數(shù)學(xué)全等三角形

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全等三角形學(xué)問點(diǎn)總結(jié)及復(fù)習(xí)

一、學(xué)問網(wǎng)絡(luò)

??對(duì)應(yīng)角相等

性質(zhì)??

?對(duì)應(yīng)邊相等?

??邊邊邊SSS??全等形?全等三角形?邊角邊SAS??判定?

?角邊角ASA?

?角角邊AAS?

??

??斜邊、直角邊HL?

作圖?

角平分線?

?性質(zhì)與判定定理

二、基礎(chǔ)學(xué)問梳理（一）、基本概念

?應(yīng)用

1、“全等”的理解全等的圖形必需滿意：（1）外形相同的圖形；（2）大小相等的圖形；

即能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫全等形。同樣我們把能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。全等三角形定義：能夠完全重合的兩個(gè)三角形稱為全等三角形。（注：全等三角形是相像三角形中的特別狀況）

當(dāng)兩個(gè)三角形完全重合時(shí)，相互重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，相互重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊，相互重合的角叫做對(duì)應(yīng)角。

由此，可以得出：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等。

(1)全等三角形對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊，兩個(gè)對(duì)應(yīng)角所夾的邊是對(duì)應(yīng)邊；(2)全等三角形對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角，兩條對(duì)應(yīng)邊所夾的角是對(duì)應(yīng)角；(3)有公共邊的，公共邊肯定是對(duì)應(yīng)邊；(4)有公共角的，角肯定是對(duì)應(yīng)角；

(5)有對(duì)頂角的，對(duì)頂角肯定是對(duì)應(yīng)角；2、全等三角形的性質(zhì)

（1）全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等；（2）全等三角形對(duì)應(yīng)角相等；3、全等三角形的判定方法

（1）三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。

（2）兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。（3）兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。（4）兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。

（5）斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等。4、角平分線的性質(zhì)及判定

性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等判定：到一個(gè)角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角平分線上（二）敏捷運(yùn)用定理

1、判定兩個(gè)三角形全等的定理中，必需具備三個(gè)條件，且至少要有一組邊對(duì)應(yīng)相等，因此在查找全等的條件時(shí)，總是先查找邊相等的可能性。

2、要擅長發(fā)覺和利用隱含的等量元素，如公共角、公共邊、對(duì)頂角等。3、要擅長敏捷選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄅ卸▋蓚€(gè)三角形全等。（1）已知條件中有兩角對(duì)應(yīng)相等，可找：

①夾邊相等（ASA）②任一組等角的對(duì)邊相等(AAS)（2）已知條件中有兩邊對(duì)應(yīng)相等，可找

①夾角相等(SAS)②第三組邊也相等(SSS)（3）已知條件中有一邊一角對(duì)應(yīng)相等，可找

①任一組角相等(AAS或ASA)②夾等角的另一組邊相等(SAS)

（三）經(jīng)典例題

例1.已知：如圖所示，AB=AC，

，求證：

.

例2.如圖所示，已知：AF=AE，AC=AD，CF與DE交于點(diǎn)B。求證：

。

例3.如圖所示，AC=BD，AB=DC，求證：

。

例4.如圖所示，求證：BD=CE。

，垂足分別為D、E，BE與CD相交于點(diǎn)O，且

例5：已知：如圖，在四邊形ABCD中，AC平分∠BAD、CE⊥AB于E，且∠B+∠D=180?。求證：AE=AD+BE分析：從上面例題，可以看出，有時(shí)為了證明某兩條線段和等于另一條線段，可以考慮“截長補(bǔ)短”的添加幫助線，本題是否仍可考慮這樣“截長補(bǔ)短”的方法呢？由于AC是角平分線，所以在AE上截AF=AD，連結(jié)FC，可證出?ADC≌?AFC，問題就可以得到解決。證明（一）：在AE上截取AF=AD，連結(jié)FC。在?AFC和?ADC中

?AF?AD?已作?

??

??1??2?已知?

???AC?AC?公共邊?

∴?AFC≌?ADC（邊角邊）

∴∠AFC=∠D（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）∵∠B+∠D=180?（已知）

∴∠B=∠EFC（等角的補(bǔ)角相等）在?CEB和?CEF中

??B??EFC證?已????CEB??CEF?90??已知???CE?CE?公共邊???

∴?CEB≌?CEF（角角邊）

∴BE=EF∵AE=AF+EF∴AE=AD+BE（等量代換）

證明（二）：在線段EA上截EF=BE，連結(jié)FC（如右圖）。

小結(jié)：在幾何證明過程中，假如現(xiàn)成的三角形不行以證明，則需要我們選出所需要的三角形，這就需要我們恰到好處的添加幫助線。（四）全等三角形復(fù)習(xí)練習(xí)題一、選擇題

1．如圖，給出下列四組條件：

①AB?DE，BC?EF，AC?DF；②AB?DE，?B??E，BC?EF；③?B??E，BC?EF，?C??F；④AB?DE，AC?DF，?B??E．其中，能使△ABC≌△DEF的條件共有（）A．1組B．2組C．3組D．4組2.如圖，D，E分別為△ABC的AC，BC邊的中點(diǎn)，將此三角形沿DE折疊，使點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)P處．若?CDE?48°，則?APD等于（）3.如圖（四），點(diǎn)P是AB上任意一點(diǎn)，?ABC??ABD，還應(yīng)補(bǔ)充一個(gè)條件，才能推出△APC≌△APD．從下列條件中補(bǔ)充一個(gè)條件，不肯定能推出△APC≌△APD的是（）．．．．A．BC?BDB．AC?ADC．?ACB??ADBD．?CAB??DABA．42°B．48°C．52°D．58°

B

PD

圖（四）

1題圖2題圖

4.如圖，在△ABC與△DEF中，已有條件AB=DE，還需添加兩個(gè)條件才能使△ABC≌△DEF，不能添加的一組條件是()

(A)∠B=∠E,BC=EF（B）BC=EF，AC=DF(C)∠A=∠D，∠B=∠E（D）∠A=∠D，BC=EF5．如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，若AC=10cm，則△DBE的周長等于()

A．10cmB．8cmC．6cmD．9cm

6．如圖所示，表示三條相互交叉的大路，現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條大路的距離相等，則可供選擇的地址有（）Ａ．1處Ｂ．2處Ｃ．3處Ｄ．4處

A

4題圖5題圖

C

D

E

B

6題圖

7．某同學(xué)把一塊三角形的玻璃打碎了3塊，現(xiàn)在要到玻璃店去配一塊完全一樣的玻璃，那么最省事的方法是（

）A．帶①去B．帶②去C

．帶③去

D．帶①②③去

?

Rt△ABC?B?908．如圖，在中，，ED是AC的垂直平分線，交AC于點(diǎn)D，交BC

于點(diǎn)E．已知?BAE?10，則?C的度數(shù)為（）

A．30B．40C．50D．60

9．如圖，△ACB≌△A?C?B?

，?BCB?=30°，則?ACA?的度數(shù)為（）A．20°B．30°C．35°D．40°10．如圖，AC＝AD，BC＝BD，則有（）

A．AB垂直平分CDB．CD垂直平分AB

1題圖C．AB與CD相互垂直平分D．CD平分∠ACB

A

B?

?

?

?

?

?

C

A

B

B?DC

8題圖10題圖8題7題圖

11．尺規(guī)作圖作?AOB的平分線方法如下：以O(shè)為圓心，任意長為半徑畫弧交OA、OB于C、D，再分別以點(diǎn)C、D為圓心，以大于

1

CD長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線OP，由作法得2

△OCP≌△ODP的依據(jù)是（）A．SASB．ASAC．AASD．SSS

12.如圖,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D,若BC=5cm,BD=3cm,則點(diǎn)D到AB的距離為()A.5cmB.3cmC.2cmD.不能確定

13．如圖，OP平分?AOB，PA?OA，PB?OB，垂足分別為A，B．下列結(jié)論中不肯定成立的是（