《集合的概念》教學(xué)設(shè)計(jì)【高中數(shù)學(xué)人教A版必修第一冊(cè)教案】

集合的概念

?教學(xué)目標(biāo)

1.通過(guò)實(shí)例，了解集合的含義，理解元素與集合的“屬于”關(guān)系.

2.了解集合元素的確定性、互異性、無(wú)序性，掌握常用數(shù)集及其專(zhuān)用符號(hào).

3.能用集合語(yǔ)言：描述法、列舉法表示有關(guān)數(shù)學(xué)對(duì)象，并在描述法學(xué)習(xí)和應(yīng)用過(guò)程中,

提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

?教學(xué)重難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：元素與集合之間的關(guān)系及其表示，以及用符號(hào)語(yǔ)言表示集合.

教學(xué)難點(diǎn)：選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ū硎疽恍┖?jiǎn)單的集合：描述法中元素所滿足的條件利用符號(hào)

表述及識(shí)別.

?課前準(zhǔn)備

PPT.

?教學(xué)過(guò)程

一、學(xué)習(xí)章引言，整體概覽

我們知道，方程爐=2在有理數(shù)范圍內(nèi)無(wú)解，但在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有解.在平面內(nèi)，到定點(diǎn)

的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合是圓，而在空間中，到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合是球面，

因此，明確研究對(duì)象、確定研究范圍是研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的基礎(chǔ).集合論是德國(guó)數(shù)學(xué)家康托在

19世紀(jì)末創(chuàng)立的，集合語(yǔ)言是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本語(yǔ)言.使用集合語(yǔ)言，可以簡(jiǎn)潔、準(zhǔn)確地表

達(dá)數(shù)學(xué)的一些內(nèi)容.我們將集合作為一種語(yǔ)言來(lái)學(xué)習(xí)，將學(xué)會(huì)使用最基本的集合語(yǔ)言表示有

關(guān)的數(shù)學(xué)對(duì)象，發(fā)展運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行交流的能力.

集合語(yǔ)言是一種抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，學(xué)習(xí)集合語(yǔ)言最好的方法就是使用，非洲大草原上生

存著幾千種動(dòng)物，它們常常面臨著生與死的考驗(yàn)，為了生存，它們過(guò)著“群居”的生活，這

種“物以類(lèi)聚”就產(chǎn)生某種動(dòng)物集合.讓我們一起走進(jìn)“集合”世界，探索集合的奧秘.

二、概念的引入

問(wèn)題1:下面的例子，每個(gè)問(wèn)題都由若干個(gè)對(duì)象組成，每組對(duì)象的全體都能組成集合嗎？

我們把研究的對(duì)象統(tǒng)稱(chēng)為元素，例子中的元素分別是什么？

(1)1—10之間的所有偶數(shù)；(2)立德中學(xué)今年入學(xué)的全體高一學(xué)生；

(3)所有的正方形；(4)到直線/的距離等于定長(zhǎng)d的所有點(diǎn)；

(5)方程V—3x+2=0的所有實(shí)數(shù)根：(6)地球上的四大洋.

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考、討論交流.

追問(wèn)：例子中研究的對(duì)象分別是什么，構(gòu)成的集合是什么.

預(yù)設(shè)的答案：(1)1?10之間的每個(gè)偶數(shù)作為元素，這些元素的全體就是一個(gè)集合.

(2)立德中學(xué)今年入學(xué)的每一位高一學(xué)生作為元素，這些元素的全體也是一集合.

(3)每一個(gè)正方形作為元素，所有的正方形構(gòu)成一個(gè)集合.

(4)到直線/的距離等于定長(zhǎng)d的點(diǎn)作為元素，滿足條件的點(diǎn)全體構(gòu)成的一個(gè)集合.

(5)方程/-3、+2=0的根作為元素，這些元素構(gòu)成了一個(gè)集合.

(6)地球上的四大洋作為元素，這些大洋構(gòu)成了一個(gè)集合.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)初中所學(xué)及實(shí)例，讓學(xué)生感知、了解、抽象出元素與集合的含義.提高

學(xué)生用數(shù)學(xué)抽象的思維方式思考并解決問(wèn)題的能力.

三、概念的理解

例1判斷下列說(shuō)法是否正確.

(1)所有好看的花可以構(gòu)成一個(gè)集合.

(2)由1,3,0,5,|一3］這些數(shù)組成的集合中有5個(gè)元素.

(3)高一(3)班的全體同學(xué)組成一個(gè)集合，調(diào)整座位后這個(gè)集合發(fā)了改變.

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立觀察，充分思考，交流討論.

追問(wèn)：(1)你從哪個(gè)角度分析一些研究對(duì)象能否構(gòu)成集合？(從集合中的元素是否確

定)

(2)集合中的元素能否相同，可以重復(fù)嗎？(不能重復(fù)，如問(wèn)題(2)中|一3|=3,所

以集合只有4個(gè)元素1,3,0,5,集合中的元素是互異的)

(3)高一(3)班的全體同學(xué)調(diào)整座位后這個(gè)班集體變了嗎？(班集體沒(méi)有變，集合沒(méi)

有變化，集合中的元素是沒(méi)有順序的)

(4)通過(guò)以上的學(xué)習(xí)你能給出集合中元素的特性嗎？請(qǐng)你再舉一些相應(yīng)的例子.(確

定性、互異性、無(wú)序性)

（5）如何判斷兩個(gè)集合相等？（元素是否完全一樣，兩個(gè)集合中元素是一樣的，則這

兩個(gè)集合相等）

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)具體的例子讓學(xué)生充分經(jīng)歷從觀察、分析到抽象、概括出元素的三個(gè)特

性，深刻理解集合概念.

問(wèn)題2：元素和集合各用什么字母表示？元素和集合之間有哪兩種關(guān)系？用什么符號(hào)表

示？常用數(shù)集及其記法有哪些？

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立閱讀完成.給出練習(xí)檢測(cè)其閱讀效果.

預(yù)設(shè)的答案：

（1）元素用小寫(xiě)拉丁字母a,b,c…表示；集合用大寫(xiě)拉丁字母4,B,C…表示.

（2）元素與集合的關(guān)系：“屬于”、“不屬于”.

如果a是集合A中的元素，就說(shuō)a屬于集合A,記作“6A；如果人不是集合A中的元

素，就說(shuō)〃不屬于集合A,記作旅人

（3）常用數(shù)集及其記法：非負(fù)整數(shù)（自然數(shù)集）N、正整數(shù)集N*或N'、整數(shù)集Z、有

理數(shù)集Q、實(shí)數(shù)集R.（根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況，適當(dāng)回顧一下具體數(shù)集包含哪些數(shù)，對(duì)記憶

有幫助）

設(shè)計(jì)意圖：用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示集合和元素.元素、集合的字母表示，元素與集合的“屬于”

或“不屬于”關(guān)系，常用數(shù)集及其記法，建議在運(yùn)用中逐漸熟練掌握.

問(wèn)題3：上面的例1使用自然語(yǔ)言表示集合，還有其他方法可以表示集合嗎？例如，地

球上的四大洋組成的集合，我們明確地知道地球上的4大洋是什么，而自然語(yǔ)言表達(dá)的不具

體，那么該用什么方法呢？再比如，不等式％—3<7的解集，又該用什么方法表示呢？

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考，然后交流討論.教師適時(shí)地選擇下面問(wèn)題進(jìn)行追問(wèn).

追問(wèn)1：上述兩個(gè)例子有什么區(qū)別呢？從集合中元素的特點(diǎn)來(lái)分析.

預(yù)設(shè)的答案：第1個(gè)例子集合中的元素是有限個(gè)（4個(gè)），可以這樣表示{太平洋，大

西洋，印度洋，北冰洋}.第2個(gè)集合中的元素都小于10,集合中的元素都是實(shí)數(shù)且是無(wú)數(shù)

多個(gè).

追問(wèn)2：你能總結(jié)歸納出列舉法的特征嗎？使用列舉法表示時(shí)需要注意什么？

預(yù)設(shè)的答案：把集合的元素一一列舉出來(lái)，并用大括號(hào)“{}”括起來(lái)表示集合的方

法叫做列舉法.利用列舉法表示集合時(shí)應(yīng)注意：①大括號(hào)不能缺失，元素中間用逗號(hào)隔開(kāi)；

②元素雖然與順序無(wú)關(guān)，但是防止不重不漏，按一定的順序列舉較好，如：從小到大或者從

大到小等.

追問(wèn)3：顯然不能用列舉法表示不等式x-3<7的解集.那么解集中元素的共同特點(diǎn)是

什么？將這個(gè)共同特征描述清楚，寫(xiě)出來(lái)也可以表示集合，這就是集合的描述法.閱讀課本

第4頁(yè)，什么叫描述法？然后用描述法寫(xiě)出解集對(duì)應(yīng)的集合.

預(yù)設(shè)的答案：共同特點(diǎn)是在大括號(hào)內(nèi)先寫(xiě)上表示這個(gè)集合元素的一般符號(hào)及其

取值（或變化）范圍，再畫(huà)一條豎線，在豎線后寫(xiě)出這個(gè)集合中元素所具有的共同特征，一

般形式為：*|p（x）}.這種用所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法.

{x|x<10},或者{xGR|xV10},或者{x|x—3V7},或者{xGR|x—3<7}.

追問(wèn)4：自然語(yǔ)言、列舉法和描述法表示集合時(shí)，各自的特點(diǎn)和適用對(duì)象？

預(yù)設(shè)的答案：

表示

特點(diǎn)適用對(duì)象

方法

自然元素不可列或無(wú)共同

簡(jiǎn)單易懂、生活化

語(yǔ)言特征

列舉每個(gè)元素一一列舉出來(lái)，直觀

元素有限、可列

法明顯

描述元素是無(wú)限的或比較

元素具有明顯的共同特征

法多

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)集合的表示法，學(xué)生對(duì)實(shí)例或問(wèn)題的思考，去體驗(yàn)知識(shí)方法.不僅要讓

學(xué)生明白用列舉法是集合最基本、最原始的表示方法，還要理解到集合中元素的列舉與元素

的順序無(wú)關(guān).通過(guò)問(wèn)題的思考，學(xué)生認(rèn)識(shí)到僅用列舉法表示集合是不夠的，有些集合是列舉

不完或者列舉不出來(lái)的，由此說(shuō)明學(xué)習(xí)描述法的必要性.學(xué)習(xí)描述法時(shí)，先用自然語(yǔ)言描述

集合元素具有的共同屬性，再介紹用描述法的具體方法.在這個(gè)過(guò)程中提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象

素養(yǎng).

四、概念的鞏固應(yīng)用

例2考查下列每組對(duì)象，能構(gòu)成一個(gè)集合的是（）

①某校高一年級(jí)成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生；

②直角坐標(biāo)系中橫、縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)；

③不小于3的自然數(shù)；

④我國(guó)新型冠狀病毒疫情期間支援武漢的白衣天使.

A.③④B.②③④C.②③D.②④

答案：B

設(shè)計(jì)意圖：幫助學(xué)生理解集合中元素的特性.判斷一組對(duì)象能否組成集合，關(guān)鍵看該組

對(duì)象是否滿足確定性，如果此組對(duì)象滿足確定性，就可以組成集合；否則，不能組成集合.同

時(shí)還要注意集合中元素的互異性、無(wú)序性.

例3下列關(guān)系中，正確的有()

嗎GR；@|-3|eN；④|一小gQ；⑤0={0}

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

答案：C

設(shè)計(jì)意圖：促進(jìn)學(xué)生熟練判斷元素與集合間的關(guān)系.判斷元素與集合關(guān)系的兩種方法：

(1)直接法：如果集合中的元素是直接給出，只要判斷該元素在已知集合中是否出現(xiàn)即

可.(2)推理法：對(duì)于一些沒(méi)有直接表示的集合，只要判斷該元素是否滿足集合中元素所

具有的特征即可，此時(shí)應(yīng)首先明確已知集合中的元素具有什么特征.

例4用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?/p>

(1)被3除余1的正整數(shù)的集合；

(2)坐標(biāo)平面內(nèi)第一象限的點(diǎn)的集合；

(3)方程爐一9=0的實(shí)數(shù)根組成的集合C；

(4)一次函數(shù)y=x+3與y——2x+6的圖象的交點(diǎn)組成的集合D.

師生活動(dòng)：學(xué)生分析判斷，交流討論寫(xiě)出結(jié)果，教師巡視觀察學(xué)生寫(xiě)的情況，糾正錯(cuò)誤

寫(xiě)法.

預(yù)設(shè)的答案：(1)根據(jù)被除數(shù)=商義除數(shù)十余數(shù)，可知此集合表示為{x|x=3〃+l,n

GN).

(2)第一象限內(nèi)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)均大于零，故此集合可表示為{(x,)，)卜>0,>'>0}.

(3)方程9=0的實(shí)數(shù)根為一3,3,所以C={-3,3}.

y=x+3,[x=l,

(4)由f.得

y——2x+6ly=4,

所以，一次函數(shù)y=x+3與y=—2x+6的交點(diǎn)為(1,4),所以。={(1,4)}.

解題思路：描述法表示集合的2個(gè)步驟(如圖1)：