《十年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽賞析匯編》

全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽

真題&答案⑵11-2020)

目錄

2020年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試（A卷）.......................................1

2020年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽二試（A卷）.......................................4

2020年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試（B卷）.......................................6

2020年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽二試（B卷）.......................................9

2019年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試（A卷）.......................................11

2019年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽二試（A卷）.......................................14

2019年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試（B卷）.......................................16

2019年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽二試（B卷）.......................................19

2018年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽?試（A卷）.......................................21

2018年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽二試（A卷）.......................................24

2018年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試（B卷）.......................................26

2018年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽二試（B卷）.......................................29

2017年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試（A卷）.......................................31

2017年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽二試（A卷）.......................................35

2017年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試（B卷）.......................................37

2017年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽二試（B卷）.......................................40

2016年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試.............................................42

2016年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽二試.............................................45

2015年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試.............................................47

2015年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽二試.............................................50

2014年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試.............................................52

2014年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽二試.............................................55

2013年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試.............................................57

2013年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽二試.............................................60

2012年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽?試.............................................62

2012年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽二試.............................................65

2011年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試.............................................67

9

2011年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽二試

2020年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試答案（A卷）

2020年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽二試答案（A卷）

2020年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試答案（B卷）

2020年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽二試答案（B卷）

2019年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試答案（A卷）

2019年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽二試答案（A卷）

2019年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試答案（B卷）

2019年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽二試答案（B卷）

2018年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試答案（A卷）

2018年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽二試答案（A卷）

2018年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試答案（B卷）

2018年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽二試答案（B卷）

2017年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試答案（A卷）

2017年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽二試答案（A卷）

2017年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試答案（B卷）141

2017年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽二試答案（B卷）147

2016年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試答案153

2016年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽二試答案160

2015年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試答案164

2015年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽：試答案170

2014年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試答案

2014年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽二試答案184

2013年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試答案

2013年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽二試答案.................194

2012年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試答案...................198

2012年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽二試答案...........................207

2011年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試答案

2011年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽二試答案...........................221

2020年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試（A卷）

一、填空題：本大題共8小題，每小題8分，滿分64分.

1.在等比數(shù)列｛%｝中,ag=13,a13=1,則lo&|13的值為.

2.在橢圓「中，A為長軸的一個端點(diǎn)，B為短軸的一個端點(diǎn)，F(xiàn)/F2為兩個焦點(diǎn)，若

京.京+國.記=0,貝！J魯?shù)闹禐椤?

\r1/,??!

3.設(shè)a>0,函數(shù)f（x）=x+”?在區(qū)間（0,a］上的最小值為m,在區(qū)間［a,+8）上的

最小值為m2,若mioh=2020,則a的值為.

4設(shè)Z為復(fù)數(shù)，若為實(shí)數(shù)6為虛數(shù)單位），貝U|z+3|的最小值為

9

5.在4位￡中，AB=6,BC=4,邊AC上的中線長為ATO,則sir?」+cos6」的

值為?

6.正三棱錐P-ABC的所有棱長均為1,L,M,N分別為棱PA,PB,PC的中點(diǎn)，則該

正三棱錐的外接球被平面LMN所截的截面面積為.

AA

7.設(shè)a,b>0,滿足關(guān)于x的方程|x|+|x+a|=b恰有三個不同的實(shí)數(shù)解x,,x2,x3,

且Xi<X2<X3=b,則a+b的值為_.

8.現(xiàn)有10張卡片，每張卡片上寫有1,2,3,4,5中兩個不同的數(shù)，且任意兩張卡片上的數(shù)

不完全相同.將這10張卡片放入標(biāo)號為1,2,3,4,5的五個盒子中，規(guī)定寫有i,j的卡

片只能放在i號或j號盒子中.一種方法稱為“好的”，如果1號盒子中的卡片數(shù)多于

其他每個盒子中的卡片數(shù)，則“好的”放法共有一種.

二、解答題：本大題共3小題，滿分56分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.其

中第9題滿分16分，第10、11題滿分20分.

9.在SBC中，sinA=X-,求cosB+AZcosC的取值范圍.

9

10.對正整數(shù)n及實(shí)數(shù)X(0文x<n),定義

f(n,x)=(1-{x}).+僅}?兇.，

n”

其中[X]表示不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，{x}=x-[X].若整數(shù)m,n>2滿足

()()(?)

fm,2+fm,二+???+fm,=123,

nnft

(.)(_)(_,)

求fn,—+fn,—+??,+fn,附'一的值.

m****??

11.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A,B,C在雙曲線xy=l上，滿足AABC為等腰直角三角

形.求AABC的面積的最小值.

9

2020年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽二試（A卷）

一、如圖，在等腰AABC中，AB=BC,I為內(nèi)心，M為BI的中點(diǎn)，P為邊AC上一

點(diǎn)，滿足AP=3PC,PI延長線上一點(diǎn)H滿足MH±PH,Q為^ABC的外接圓

上劣弧AB的中點(diǎn).證明：BH±QH.

二、給定整數(shù)n>3,設(shè)ai,a2,?一,a2n,b2n是4n個非負(fù)實(shí)數(shù)，滿足

3|+a2+,?,+a2n=b|+bz+???+b2n>0,

且對任意i=1,2,???,2n,有須%+2>bi+bi+i(這里ain+i=ai,a2n+2=az,

b2n+】=b]),求a1+a?+,?,+a2n的最小值.

三、設(shè)ai=1,a2=2,a”=2a?-i+an-2,n=3,4,-?-.證明：對整數(shù)n>5,a?必有

一個模4余1的素因子.

四、給定凸20邊形P.用P的17條在內(nèi)部不相交的對角線將P分割成18個三角形.所

得圖形稱為P的一個三角剖分圖.對P的任意一個三角剖分圖T,P的20條邊以及

添加的17條對角線均稱為T的邊.T的任意10條兩兩無公共端點(diǎn)的邊的集合稱為T

的一個完美匹配.當(dāng)T取遍P的所有三角剖分圖時，求T的完美匹配個數(shù)的最大值.

9

2020年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試(B卷)

填空題：本大題共8小題，每小題8分，滿分64分.

1.若實(shí)數(shù)x滿足log2x=log,(2x)+lo^(4x)>則x=

2在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C經(jīng)過點(diǎn)(0,0),(2,4),(3,3),則圓。上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距

離的最大值為—.

3.設(shè)集合X={1,2,?一，20},A是X的子集，A的元素個數(shù)至少是2,且A的所有元素

可排成連續(xù)正整數(shù)，則這樣的集合A的個數(shù)為—.

i|

4.在三角形ABC中，BC=4,CA=5,AB=6,則sin6-+cos6-=

?----

5.設(shè)9元集合A={a+bi|a,bG{1,2,,i是虛數(shù)單位.a=⑵，z2,,??,為)是A中

所有元素的一個排列，滿足|zj文上|文???文Z|,則這樣的排列a的個數(shù)為一.

6.已知一個正三棱柱的各條棱長均為3,則其外接球的體積為

7.在凸四邊形ABCD中，汨=21力.點(diǎn)P是四邊形ABCD所在平面上一點(diǎn)，滿足

/1A+2020同+五：+2020萬=7?

設(shè)s,t分別為四邊形ABCD與APAB的面積，則工=.

8.已知首項系數(shù)為1的五次多項式f(x)滿足：f(n)=8n,n=1,2,?…，5,貝Uf(x)的一

次項系數(shù)為—.

二、解答題：本大題共3小題，滿分56分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.其

中第9題滿分16分，第10、11題滿分20分.

9.在橢圓中，A為長軸的一個端點(diǎn)，B為短軸的一個端點(diǎn)，B,F2為兩個焦點(diǎn).若

AB?AF?+BF7tBTr=0,

求tan\ABF|?tan\ABF,的值.

10.設(shè)正實(shí)數(shù)a,b,c滿足

a2+4b2+9c2=4b+12c-2,

求1+三+」的最小值.

abc

11.設(shè)數(shù)列a?的通項公式為

證明：存在無窮多個正整數(shù)m,使得am+4am-1是完全平方數(shù).

2020年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽二試（B卷）

一、如圖，A,B.C,D,E是圓。上順次的五點(diǎn)，滿足ABC=BCD=CDE,點(diǎn)P,Q分別

在線段AD,BE上，且P在線段CQ±.證明：\PAQ=\PEQ.

二、設(shè)集合A={1,2,?一，19}.是否存在集合A的非空子集81,82,滿足①SiClS?=。,

S,US2=A；②》,S2都至少有4個元素；③S1的所有元素的和等于S2的所有元素

的乘積？證明你的結(jié)論.

三、給定整數(shù)n>2.設(shè)a］，a2,…，a*bi,ba,…，bn>0,滿足

Hi+a2+??,+a1]=bi+b2+,一+bn,

9

且對任意i,j（1文i<j文n）均有aiaj>bi+瓦.a,+a2+-,■+a?的最小值.

四、設(shè)a,b為不超過12的正整數(shù)，滿足：存在常數(shù)C,使得a"+b"9三C(modl3)對任

意正整數(shù)n成立.求所有滿足條件的有序數(shù)對(a,b).

2019年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試（A卷）

、填空題：本大題共8小題，每小題8分，滿分64分.

1.已知正實(shí)數(shù)a滿足aa=（9a產(chǎn)，則1。&3a的值為

2.若實(shí)數(shù)集合｛1,2,3,X｝的最大元素和最小元素之差等于該集合的所有元素之和，則x

的值為.

3.平面直角坐標(biāo)系中，T是單位向量，向量力滿足H?丁=2,且|丁「文5|T+tT|

對任意實(shí)數(shù)t成立，則|N|的取值范圍是.

4.設(shè)A,B為橢圓「的長軸頂點(diǎn)，E,F為「的兩個焦點(diǎn)，|AB|=4,|AF|=2+人3,p

為「上一點(diǎn)，滿足|PE|?|PF|=2,則”EF的面積為.

5.在1,2,3,???」()中隨機(jī)選出一個數(shù)a,在-1,-2,-3,,一，-10中隨機(jī)選取一個數(shù)b,則

a?+b被3整除的概率是.

6.對任意區(qū)間I,用Mi表示函數(shù)y=sinx在I上的最大值.若正實(shí)數(shù)a滿足Mto,a]=

2M|a.2a]，則a的值為.

7.如圖，在正方體ABCD-EFGH的一個截面經(jīng)過頂點(diǎn)A,C及棱EF上一點(diǎn)K,且

EK

將正方體分成體積比為3:1的兩部分，則的值為.

8.將6個數(shù)2,0,1,9,20,19按任意次序排成一行，拼成一個8位數(shù)(首位不為0),則產(chǎn)

生的不同的8位數(shù)的個數(shù)為.

二、解答題：本大題共3小題，滿分56分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.其

中第9題滿分16分，第10、11題滿分20分

9.在AABC中，BC=a,CA=b,AB=c.若b是a與c的等比中項，且sinA是

sin(B-A)與sinC的等差中項，求cosB的值.

10.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓。與拋物線「：y2=4x恰有一個公共點(diǎn)，且圓。與x

軸相切于「的焦點(diǎn)F.求圓「的半徑.

11.稱一個復(fù)數(shù)列｛zj是“有趣的”，若El=1,且對任意正整數(shù)n,均有4z"1+

2z?zn+1+Z2=0.求最大的常數(shù)C,使得對一切有趣的數(shù)列｛Zn｝及任意正整數(shù)m,均

有|z|+Z2+,,,+Zm|>C.

9

2019年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽二試(A卷)

一、如圖，在銳角△ABC中，M是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P在AABCC內(nèi)，使得AP平分

\BAC.直線MP與AABP,AACP的外接圓分別相交于不同于點(diǎn)P的兩點(diǎn)D,E.

證明：若DE=MP,則BC=2BP.

二、設(shè)整數(shù)ai,a2,…，a.滿足l=ai文a?文?一文a2oi9=99.

記f=(a孑++?,?+a2oi9)-(aia3+a?+a3a5+,?,+ajoi?a?。").

求f的最小值fo.并確定使f=fo成立的數(shù)組(a1，a?,?一，a2()i9)的個數(shù).

三、設(shè)m為整數(shù)，|01|>2.整數(shù)數(shù)列加/2,...滿足：a,a?不全為零，且對任意正整數(shù)n,

均有an+2=an+1-man.

證明：若存在整數(shù)r,s(r>s>2)使得ar=as=ai,貝ljr-s>|m|.

四、設(shè)V是空間中2019個點(diǎn)構(gòu)成的集合，其中任意四點(diǎn)不共面.某些點(diǎn)之間連有線段，記

E為這些線段構(gòu)成的集合.試求最小的正整數(shù)n,滿足條件：若E至少有n個元素，則

E一定含有908個二元子集，其中每個二元子集中的兩條線段有公共端點(diǎn)，且任意兩

9

個二元子集的交為空集.

2019年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試（B卷）

填空題：本大題共8小題，每小題8分，滿分64分.

1.己知實(shí)數(shù)集合｛1,2,3,x｝的最大元素等于該集合的所有元素之和，則x的值為.

2.若平面向量=-1)與b=(2m],2m+i）垂直，其中m為實(shí)數(shù)，則a的模

為.

3.設(shè)a,。G(0,H),cosa,cosp是方程5x2-3x-1=0的兩根，則sinasinP的值

為.

4.設(shè)三棱錐P-ABC滿足PA=PB=3,AB=BC=CA=2,則該三棱錐的體積的

最大值為.

9

5.將5個數(shù)2,0,1,9,2019按任意次序排成一行，拼成一個8位數(shù)（首位不為0）,則產(chǎn)生

的不同的8位數(shù)的個數(shù)為.

A

6.設(shè)整數(shù)n>4,（x+2y-i）n的展開式中X"-4與xy兩項的系數(shù)相等，則n的值

為.

7.在平面直角坐標(biāo)系中，若以（r+1,0）為圓心，r為半徑的圓上存在一點(diǎn)（a,b）滿足

b2>4a,則r的最小值為.

8.設(shè)等差數(shù)列｛a,,｝的各項均為整數(shù)，首項a.-2019,且對任意正整數(shù)n,總存在正整

數(shù)m,使得ai+a2+-?1+an=am.這樣的數(shù)列｛an｝的個數(shù)為.

二、解答題：本大題共3小題，滿分56分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.其

中第9題滿分16分，第10、11題滿分20分.

9.在橢圓「中，F(xiàn)為一個焦點(diǎn)，A,B為兩個頂點(diǎn).若|FA|=3,|FB|=2,求|AB|的所

有可能值.

10.設(shè)a,b,c均大于1,滿足（"“求bga?logc的最大值.

[Iog6+lo&c■?-1

11.設(shè)復(fù)數(shù)數(shù)列｛zj滿足：|z)|=1,且對任意正整數(shù)n,均有4z\,+2z“ze+N=0.

證明；對任意正整數(shù)m,均有憶+Z2+…+Zm|

9

2019年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽二試（B卷）

設(shè)正實(shí)數(shù)ai,a2,?一，aioo滿足為>ai-i(i=1,2,???,50).記Xk=------------............(k=

IOtil++???+

1,2,…，99).證明:xix〉一x瑞文1.

二、求滿足以下條件的所有正整數(shù)n：

（1）n至少有4個正約數(shù)；

（2）若di<d?<,?,<必是n的所有正約數(shù)，則d,-di,-d2,???,dk-dk-1構(gòu)成

等比數(shù)列.

三、如圖，點(diǎn)A,B,C,D,E在一條直線上順次排列，滿足BC=CD=AAB?DE,點(diǎn)P

在該直線外，滿足PB=PD.點(diǎn)K,L分別在線段PB,PD上，滿足KC平分\BKE,

LC平分\ALD.

證明：A,K,L,E四點(diǎn)共圓.

9

四、將一個凸2019邊形的每條邊任意染為紅，黃，藍(lán)三種顏色之一，每種顏色的邊各673

條.證明：可作這個凸2019邊形的2016條在內(nèi)部互不相交的對角線將其剖分成2017

個三角形，并將所作的每條對角線也染為紅，黃，藍(lán)三種顏色之一，使得每個三角形

的三條邊或者顏色全部相同，或者顏色互不相同.

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2018年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試(A卷)

一、填空題：本大題共8小題，每小題8分，滿分64分.

1.設(shè)集合A={l,2,3,?一，99},B={2x|xWA},C={x|2xWA},則BUC的元素個數(shù)

為.

2.設(shè)點(diǎn)P到平面a的距離為人3,點(diǎn)Q在平面a上，使得直線PQ與a所成角不小于

30。且不大于60。，則這樣的點(diǎn)Q所構(gòu)成的區(qū)域的面積為.

3.將1,2,3,4,5,6隨機(jī)排成一行，記為a,b,c,d,e,f,則abc+def是偶數(shù)的概率為

4.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C:J+^=l(a>b>0)的左右焦點(diǎn)分別是

F,,F2,橢圓C的弦ST與UV分別平行宇x血與y軸，且相交于點(diǎn)P.已知線段

PU,PS,PV,PT的長分別為1,2,3,6,則APF1F2的面積為.

9

5.設(shè)f(x)是定義在R上的以2為周期的偶函數(shù)，在區(qū)間[0,1]上嚴(yán)格遞減，且滿足f(7t)=

[1文x文2

1,f(2jt)=2,則不等式組｛的解集為.

(1文f(x)文2

6.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z|=1,使得關(guān)于x的方程zx2+izx+2=0有實(shí)根，則這樣的復(fù)數(shù)z

的和為.

7.設(shè)。為AABC的外心，若~[O=Ti!+2AC,則sin\BAC的值為

8.設(shè)整數(shù)數(shù)列ai,a2,??,,aw滿足aio=3al,a2+a8=2a5,且ai+i8{1+&,2+aj,i=

1,2,???,9,則這樣的數(shù)列的個數(shù)為.

二、解答題：本大題共3小題，滿分56分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.其

中第9題滿分16分，第10、11題滿分20分.

11log,x-l|,0<x文9

9.已知定乂在R*上的函數(shù)f(x)=(的一設(shè)a,b,c是三個互不相同

(4-Ax,x>9

9

的實(shí)數(shù)，滿足f(a)=f(b)=f(c),求abc的取值范圍.

10.已知實(shí)數(shù)列ai,a2,a3,?一滿足：對任意正整數(shù)n,有an(2Sn-an)=1,其中Sn表示

數(shù)列的前n項和.證明：

⑴對任意正整數(shù)n,有“<2An；

(2)對任意正整數(shù)n,有a?a?+l<1.

11.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)AB是拋物線y?=4x的過點(diǎn)F(1,0)的弦，4AOB的

外接圓交拋物線于點(diǎn)P(不同于點(diǎn)O,A,B).若PF平分\APB,求|PF|的所有可

能值.

2018年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽二試（A卷）

一、設(shè)n是正整數(shù)，ai,a2「一，a“，bi,b2,?一，b“，A,B均為正實(shí)數(shù)，滿足文氏，ai文A,i=

1,2,…，n,且弛—%文?.

證明.(bi+l)(b2+1)?■?(bn+1)文B+1

'(a.+l)(a2+1)???(a?+1)A+I'

二、如圖，AABC為銳角三角形，AB<AC,M為BC邊的中點(diǎn)，｝?D和E分別為

△ABC的外接圓弧BAC和弧BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為^ABC的內(nèi)切圓在AB邊上的切點(diǎn),

G為AE與BC的交點(diǎn)，N在線段EF上，滿足NB±AB.

證明：若BN=EM,則DFJLFG.（答題時請將圖畫在答卷紙上）

B

三、設(shè)n,k,m是正整數(shù)，滿足k>2,且n文mZQn.設(shè)A是｛1,2「一，01｝的n元

力小k

子集.

證明：區(qū)間（0,bL）中每個整數(shù)均可表示為a-a\,其中a,a\eA.

k-I

四、數(shù)列｛aj定義如下：a1是任意正整數(shù)，對整數(shù)n>1,am是與工為互素，且不等

i=1

于ai,?一，即的最小整數(shù).

證明：每個正整數(shù)均在數(shù)列｛an｝中出現(xiàn).

9

2018年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試（B卷）

一、填空題：本大題共8小題，每小題8分，滿分64分.

1.設(shè)集合A={2,0,1,8},B={2a|aGA},則AnB的所有元素之和是

2.已知圓錐的頂點(diǎn)為P,底面半徑長為2,高為1.在圓錐底面上取一點(diǎn)Q,使得直線PQ

與底面所成角不大于45。，則滿足條件的點(diǎn)Q所構(gòu)成的區(qū)域的面積為.

3.將1,2,3,4,5,6隨機(jī)排成一行，記為a,b,c,d,e,f?則abc+def是奇數(shù)的概率為

4.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線1通過原點(diǎn)，7T=（3,1）是1的一個法向量.已知數(shù)列

{a0}滿足：對任意正整數(shù)n,點(diǎn)（an+i,an）均在1上.若a?=6,則a1a2a3a4a5的值

為.

9

5.設(shè)a,。滿足tan(a+_=-3,tan(0_/=5,則tan(a-p)的值為-------

6.設(shè)拋物線C:y2=2x的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)A,過點(diǎn)B（-1,0）作一直線1與拋物線C

相切于點(diǎn)K,過點(diǎn)A作1的平行線，與拋物線C交于點(diǎn)M,N,則AKMN的面積

為.

7.設(shè)f（x）是定義在R上的以2為周期的偶函數(shù)，在區(qū)間［1,2］上嚴(yán)格遞減，且滿足f（兀）=

10文x文I

1」（2兀）=0,則不等式組（乂乂的解集為.

：°文f（x）文1

8.已知復(fù)數(shù)Z1,Z2,Z3滿足|z,I=|z2|=|z3|=1,|z,+z2+z5|=r,其中r是給定實(shí)數(shù),

則：的實(shí)數(shù)是---------（用含有r的式子表示）.

2m2?

二、解答題：本大題共3小題，滿分56分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.其

中第9題滿分16分，第10、11題滿分20分.

2018

9.已知數(shù)列{a,,}:a=7,3=a?,+2,n=1,2,3,….求滿足an>4的最小正整

?n

9

9

數(shù)n.

10.已知定義在R*上的函數(shù)f(x)為f(x)”腿工一文9設(shè)&b,c是三個互

不相同的實(shí)數(shù)，滿足f(a)=f(b)=f(c),不abc前成詹?百圍.

11.如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A,B與C,D分別是橢圓「：'1+；=l(a>

b>0)的左右頂點(diǎn)與上下頂點(diǎn).設(shè)P,Q是「上且位于第一象限的兩點(diǎn)，蒲足0QIIAP,

M是線段AP的中點(diǎn)，射線0M與橢圓交于點(diǎn)R.

證明：線段OQ,OR,BC能構(gòu)成一個直角三角形.

/

9

2018年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽二試（B卷）

一、設(shè)a,b是實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=ax+b+-.證明：存在x<）G[1,9],使得>2.

X

二、如圖所示，在等腰AABC中，AB=AC,邊AC上一點(diǎn)D及BC延長線上一點(diǎn)E

滿足產(chǎn)二工,以AB為直徑的圓w與線段DE交于一點(diǎn)F.證明：B,C,F,D四

點(diǎn)共向溶福請將圖畫在答卷紙上）

三、設(shè)集合A={1,2,?一，n},X,Y均為A的非空子集（允許X=Y）.X中的最大元與

Y中的最小元分別記為maxX,minY.求滿足maxX>minY的有序集合對（X,Y）的

9

數(shù)目.

四、給定整數(shù)a>2.證明：對任意正整數(shù)n,存在正整數(shù)k,使得連續(xù)n個數(shù)ak+l,ak+

2,???,ak+n均是合數(shù).

9

2017年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試(A卷)

一、填空題：本大題共8小題，每小題8分，滿分64分.

1.定義在R上的函數(shù)f(x)對任意實(shí)數(shù)x有f(x+3),f(x-4)=-1,又當(dāng)。文x<7時,

f(x)=log2(9-x),則f(-100)的值為-------

2.若實(shí)數(shù)x,y滿足x2+2cosy=1,則x-cosy的取值范圍是?

3.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的方程為三+(=1，

F為C的上焦點(diǎn)，A

為c的右頂點(diǎn)，P是c上位于第一象限內(nèi)的動金:瑞標(biāo)邊形

OAPF的面積的最大值

為.

4.若一個三位數(shù)中任意兩個相鄰數(shù)碼的差均不超過1,則稱其為“平穩(wěn)數(shù)”.平穩(wěn)數(shù)的個

數(shù)是.

5.正三棱錐P-ABC中，AB=1,AP=2,過AB的平面a將其體積平分，則棱PC

與平面a所成角的余弦值為.

6.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)集K=(￡x,y)|x,y=-1,0,1).在K中隨機(jī)取出三個

點(diǎn)，則這三點(diǎn)中存在兩點(diǎn)之間距離為A5的概率為.

7.在&ABC中，M是邊BC的中點(diǎn)，N是線段BM的中點(diǎn).若A=：,AABC的面

積為人家則?1二?的最小值為.

9

9

8.設(shè)兩個嚴(yán)格遞增的正整數(shù)數(shù)列{%},{bn}滿足：a10=b1()<2017)對任意正整數(shù)n,有

an+2=al)+i+an.bn+i=2bn,則at+bi的所有可能值為.

二、解答題：本大題共3小題，滿分56分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.其

中第9題滿分16分，第10、11題滿分20分.

9.設(shè)k,m為實(shí)數(shù)，不等式卜2-kx-m|文1對所有xW[a,b]成立.證明：b-a文2A2.

10.設(shè)X,,X->,X,是非負(fù)實(shí)數(shù)，滿足X1+X,+X3=1,求(X|+3X2+5X3)X1++Li

的最小值和最大值.'"

9

11.設(shè)復(fù)數(shù)Zi,Z2滿足Re(z))>0,Re(z2)>0,且Re(z])=Re(z^)=2,其中Rc⑵表示復(fù)

數(shù)z的實(shí)部.

(1)求Rc(Z]Z2)的最小值；

(2)求|z)+2|+|z2+2|--z21的最小值.

2017年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽二試（A卷）

一、如圖，在AABC中，AB=AC,I為SBC的內(nèi)心.以A為圓心，AB為半徑作圓

n，以I為圓心，IB為半徑作圓r2,過點(diǎn)B,I的圓口與n,心分別交于點(diǎn)P,Q（不

同于點(diǎn)B）.設(shè)IP與BQ交于點(diǎn)R.證明：BR±CR.

二、設(shè)數(shù)列｛aj定義為訪=1,

an+n,an文n,

an+In=1，2,??