任意角的三角比教學設計

校本培訓教學設計標 題5.1任意角的三角比關鍵詞任意角、任意角的度量、任意角的三角比描述教學目標1、知識與技能領會與角有關的概念，如正角、負角、零角、象限角、終邊相同的角，并且能按要求正確表示；通過比較角度制與弧度制，體會弧度制在解決問題中的優(yōu)點；能正確進行弧度與角度的換算；會利用弧長公式和扇形面積公式解決實際問題；學會使用單位圓中的有向線段表示三角比；通過任意三角比的學習進行求值、化簡和證明；領會象限角的三角比的符號，及坐標角的三角比值。2、過程與方法通過生活中的實例感悟角度概念推廣的必要性，體會“旋轉成角”的概念；通過回憶銳角三角比，感悟任意三角比的定義及相關要點；通過三角比的建立，是學生初步領會用代數(shù)方法解決幾何問題的數(shù)形結合思想。3、情感態(tài)度與價值觀在整個教學過程中用運動變化的觀點審視事物，用對立統(tǒng)一的規(guī)律揭示生活中的空間形式和數(shù)量關系。培養(yǎng)學生的辯證唯物主義觀點。教學重點與難點重點：理解任意角的相關概念，掌握弧度制與角度制的關系和運用，掌握任意角三角比的值與符號，并能進行應用。難點：弧度制的認識，任意角三角比的值與符號形成與理解。學科高中一年級數(shù)學第二冊第5章第1節(jié)格式教學設計.doc.學習者教師、學生作者沈健單位景秀高中地址四團鎮(zhèn)四新路2號E-mailjiangdashenjian@

一、任意角三角比教學內容分析任意角的三角比分為4個課時。第一課時學習與角有關的概念，如正角、負角、零角、象限角、終邊相同的角，并且能按要求正確表示。第二課時通過比較角度制與弧度制，體會弧度制在解決問題中的優(yōu)點；能正確進行弧度與角度的換算；會利用弧長公式和扇形面積公式解決實際問題。第三課時通過任意三角比的學習進行求值、化簡和證明。第四課時領會象限角的三角比的符號及坐標角的三角比值，并在此基礎上進行計算、判斷和求值等。二、教學目標設計1、知識與技能領會與角有關的概念，如正角、負角、零角、象限角、終邊相同的角，并且能按要求正確表示；通過比較角度制與弧度制，體會弧度制在解決問題中的優(yōu)點；能正確進行弧度與角度的換算；會利用弧長公式和扇形面積公式解決實際問題；學會使用單位圓中的有向線段表示三角比；通過任意三角比的學習進行求值、化簡和證明；領會象限角的三角比的符號，及坐標角的三角比值。2、過程與方法通過生活中的實例感悟角度概念推廣的必要性，體會“旋轉成角”的概念；通過回憶銳角三角比，感悟任意三角比的定義及相關要點；通過三角比的建立，是學生初步領會用代數(shù)方法解決幾何問題的數(shù)形結合思想。3、情感態(tài)度與價值觀在整個教學過程中用運動變化的觀點審視事物，用對立統(tǒng)一的規(guī)律揭示生活中的空間形式和數(shù)量關系。培養(yǎng)學生的辯證唯物主義觀點。三、教學重點及難點重點：理解任意角的相關概念，掌握弧度制與角度制的關系和運用，掌握任意角三角比的值與符號，并能進行應用。難點：弧度制的應用，任意角三角比的值與符號形成與認識。四、教學流程設計任意角概念的形成與度量制的發(fā)展任意角三角比的具體應用任意角三角比的值與符號的闡述任意角概念的形成與度量制的發(fā)展任意角三角比的具體應用五、教學過程設計第一課時：任意角及其度量（1）教學目標：通過生活中的實例感悟角度概念推廣的必要性，體會“旋轉成角”的概念。領會與角有關的概念，如正角、負角、零角、象限角、終邊相同的角，并且能按要求正確表示。樹立辯證唯物主義的世界觀。教學用具：多媒體。教學方法：講授法。教學過程：一、引入課題：在初中時，我們學過銳角、直角、鈍角等，在現(xiàn)實生活和工程實踐中也常常遇到，但我們也會遇到如體操中“轉體720o”，這樣的角超出了我們熟知的范圍，那么它是如何定義的呢？在這一章中我們要把角度擴充到一切實數(shù)，我們要來研究任意角的三角比之間的聯(lián)系，并為我們學習下一章的三角函數(shù)打好基礎。二、講解新課：角的概念的推廣：問：什么是角？答：從同一點出發(fā)的兩條射線所構成的幾何圖形稱為角。①問：角還可以怎樣生成？答：一條射線由原來的位置，繞著它的端點旋轉到另一位置所形成的幾何圖形。②問：比較一下這兩個關于角的定義，你認為哪一個更好?答：各有千秋。①形象、直觀、易理解，但是“狹隘”，②“旋轉”形成角，描述了角生成的動態(tài)過程。我們把射線初始位置叫做角的始邊，射線的最終位置叫做角的終邊，端點叫做頂點。其次，②擴大了角的范圍。①定義的角只在0o—360o,②則定義了任意角。問：既然角可由“旋轉”得到，那么平面中有幾種“旋轉”的方式?答：順時針旋轉和逆時針旋轉。問：那么根據旋轉的方式，角可以分成幾類呢？請你給這幾類角取個名字。答：三類：正角、負角和零角。一條射線繞端點按逆時針方向旋轉所形成的角為正角，其度量值是正的；按順時針方向旋轉所形成的角為負角，其度量值是負的；當一條射線沒有旋轉時，我們也認為形成了一個角，叫零角，它的大小是0o。我們常用希臘字母a、B來表示角。例：書P5圖5-1中，主動輪與被動輪的齒數(shù)之比為3:5,當主動輪按逆時針方向旋轉5周時，OA繞O旋轉所形成的角是1800。，被動輪會按順時針方向旋轉3周，O'B繞0'旋轉所形成的角是-1080o。象限角：角的頂點置于坐標原點，角的始邊置于工軸的正半軸，這樣一來，角的終邊落在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限的角（角的終邊落在坐標軸上，則此角不屬于任何一個象限，而是坐標角。）例：書P6例1。練一練：判斷下列各角分別屬于哪個象限：30。390?！?30。300?！?0。585。1180。—2000。（三）終邊相同的角：1．觀察：390。，—330。角，它們的終邊都與30。角的終邊相同2.終邊相同的角都可以表示成一個0。至U360。的角與k（kGZ）個周角的和。390。=30。+360。 （k=1）

-330°=30°-360°（k=-330°=30°-360°（k=-1）30°=30°+0X360° （%二°）1470°=30°+4X360° （%=,）-1770°=30°-5X360°a=-5）3.所有與a終邊相同的角連同a在內可以構成一個集合S=M0=a+h36（Mez}即：任何一個與角a終邊相同的角，都可以表示成角a與整數(shù)個周角的和。練一練：書P7練習5.1（1）三、鞏固練習：1、如圖所示，寫出終邊落在陰影部分（包括邊界）的角的集合。2、在直角坐標系中，若角a與B的終邊互為反向延長線，則角a與B之間的關系一定是（） ——A、OL=-p B、a=-k^36Qo+^（kEZ）C、01=180。+0D、（1=左?360。+180。+0（C、01=180。+03、如果a是第二象限的角，那么是第幾象限的角？四、反思與提高：1、什么是角？角可以分為幾類?什么是象限角？2、如何表示終邊相同的角？如何表示某一象限角？如何表示某一坐標軸上角？3、查資料了解關于三角學的簡史。教學設計說明：從體操例子出發(fā)，說明實際生活中存在對角進行拓展的需要，感受數(shù)學知識的發(fā)展與延伸與生活的需要相關的，并要求學生課后對三角學的簡史做一定的了解，提高對知識背景的認識與了解，更有學習的動力。在與學生的交流、引導中引出正角、負角、零角的概念，進而定義象限角、終邊相同角，通過適當?shù)木毩曥柟谈拍?，加強認識。第二課時：任意角及其度量（2）一、教學目標知識與技能目標：（1）建立弧度制（2）能正確進行弧度與角度的換算。（3）引入象限角（4）會利用弧長公式和扇形面積公式解決實際問題過程與方法目標：（1|）通過比較角度制與弧度制，體會弧度制在解決問題中的優(yōu)點（2）在弧度制下的扇形面積公式和圓的弧長公式情感態(tài)度與價值觀目標：樹立辯證唯物主義的世界觀。了解數(shù)學史料，體會數(shù)學的美學價值，提高審美情趣。二、教學過程：一、講解新課：（一）知識點的介紹a、介紹弧度制：問：初中時我們們學習的角度制是如何度量角的？答：將一個周角的T1T規(guī)定為1o。360述：今天我們介紹另一種度量角的單位制—-弧度制。它的單位是rad讀作弧度。定義：長度等于半徑長的弧所對的圓心角稱為1弧度的角。如圖：NAOB=1radNAOC=2rad周角=2汽rad．正角的弧度數(shù)是正數(shù)，負角的弧度數(shù)是負數(shù)，零角的弧度數(shù)是0。風=l.角a的弧度數(shù)的絕對值 r（1為弧長，丫為半徑）。．用角度制和弧度制來度量零角，單位不同，但數(shù)量相同（都是0）。用角度制和弧度制來度量任一非零角，單位不同，量數(shù)也不同。b、角度制與弧度制的換算:抓住：360°=2汽rad ；.180°=汽rad兀， _1o rad氏0.01745rad180

（18。\。Irad=——e57.30。=57。18'I兀J例：書P33例2、例3和表2。注意幾點：.今后在具體運算時，“弧度”二字和單位符號“rad”可以省略如：3表示3radsin汽表示汽rad角的正弦；.一些特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對應值應該記??；.應確立如下的概念：角的概念推廣之后，無論用角度制還是弧度制都能在角的集合與實數(shù)的集合之間建立一種一一對應的關系。任意角的集合實數(shù)集R練一練：書P35練習5.1（2）/1、2、3c、弧長公式與扇形面積公式：例：書P33例4。比較和弧度制下兩組公式的區(qū)別（二）典型例題：例：用弧度制表示：1。終邊在％軸上的角的集合；2。終邊在丁軸上的角的集合;3。終邊在坐標軸上的角的集合。4。第一象限角的集合；5。第二象限角的集合。例：書P34例6。注意：在同一個表達式或同一個問題中不要將角度制和弧度制混用。介紹分區(qū)域的方法。（三）鞏固練習：4、如圖所示，寫出終邊落在陰影部分（包括邊界）的角的集合。5、在直角坐標系中，若角a與B的終邊互為反向延長線，則角a與B之間的關系一定是（）C、a=180o+pA、a=-p b、a=—k?360o+C、a=180o+pD、a=k?360o+180o+p(keZ)

6、7、如果a是第二象限的角，那么536、7、1將下列sin1,sin30。,sin-,sin兀。,sin0按從小到大的順序排列兀?兀,1,兀.兀,兀8、計算：cos——sin2—+—tan2—sin—+cos—8、計算：3 43 3 6 69、地球赤道的半徑約為6370km，求赤道上1'的弧長（兀取3.14,結果精確到0.01km）。10、將鐵片剪成一個半徑為9厘米，弧長為15厘米的扇形零件。求這扇形的面積。三、課后反思與提高：什么是角？角可以分為幾類?什么是象限角？如何表示終邊相同的角？如何表示某一象限角？如何表示某一坐標軸上角？什么是角度制？什么是弧度制？角、弧度制之間如何換算？弧度制在解決問題過程中有哪些優(yōu)點？什么是弧長公式與扇形面積公式？6、寫出終邊在第一、三象限角平分線上和終邊在第二、四象限角平分線上的角的集合（合并成一種形式）．7、查資料了解關于三角學的簡史。四、教學設計說明本節(jié)課是三角比的第二節(jié)課,在了解高中階段角的新的定義方法的基礎上,引入新的角的度量方式——弧度值。本節(jié)課的重點就是介紹弧度值：他的定義,和已經學過的角度制之間的聯(lián)系,以及弧度值相對于角度制的好處,難點在于角度弧度之間的熟練的轉換,因此訓練就要集中的打破舊的角度思維思路,改為弧度考慮。整堂課因此分為三大部分,第一部分是新的知識的介紹,第二部分主要是角度弧度的轉化訓練,最后一部分是反思和提高,把整堂課以及上一堂課的內容作一個總結。第三課時：任意角的三角比（1）教學目標：通過回憶銳角三角比,感悟任意三角比的定義及相關要點。通過任意三角比的學習進行求值、化簡和證明。領會象限角的三角比的符號,及坐標角的三角比值。通過三角比的建立,是學生初步領會用代數(shù)方法解決幾何問題的數(shù)形結合思想。教學用具：多媒體。教學方法：講練法。教學過程：一、引入課題：在初中時，我們學習了銳角三角比。如圖所示，直角三角形OQP中，/Q=Rt/,點O在原點處。設點P的坐標為（x,y）,則角a的對邊QP的長為y,鄰邊OQ的長為x,斜邊OP的長為r,r=Jx2+y2（r>0）?！?——?——h-2-4有銳角三角比的定義，得：QP y OQ x QP y OQ xsina==—;cosa= =—;tana= =—;cota==—OP r OP r OQ x QP y銳角a的三角比可以用其終邊上點的坐標來定義。二、講解新課：1、設a是一個任意角，在a的終邊上任?。ó愑谠c的）一點P（x,y）則P與原點的距離r=\；Xx2+lyl2=1t,i'x2+yr=\；i11 ' （圖示見書P12略）yysina=一2、比值r叫做a的正弦記作：rxx—cosa=一比值r叫做a的余弦記作：r；yytana=一比值x叫做a的正切記作：x；xx—cota=一比值y叫做a的余切記作：y；rr—seca=一比值x叫做a的正割記作：x；rr——csca=—比值y叫做a的余割記作：y注意:①角是“任意角”，當P=2k汽+a（keZ）時，p與a的同名三角比值應該是相等的，即凡是終邊相同的角的三角函數(shù)值相等。第一組誘導公式：sin（2k兀+a）=sina,cos（2k兀+a）=cosa,tan（2k兀+a）=tana,cot（2k兀+a）=cota②實際上，如果終邊在坐標軸上，上述定義同樣適用。（下面有例子說明）③r>0，而x,y的正負是隨象限的變化而不同，故三角函數(shù)的符號應由象限確定（后面將專題研究）④定義域：

y=sinay=sinay=cosay=tanaR兀

awk兀+—(keZ)y=cotay=secay=cscaawk兀(keZ)兀awk兀+—(keZ)awk兀(keZ)3、典型例題：例：書P13例1、例2。介紹單位元。練一練：書P14練習5.2(1)/1、2例：書P14表3練一練：書P14練習5.2(1)/3計算5sin270°+2cos90°+3cos360°+tan180°sin0°+sin245°—cos60°。例：書P14例3練一練：書P16練習5.2(2)/1例：⑴已知角a的終邊經過P(4,-3)，求2sina+cosa的值;⑵已知角a的終邊經過P(4a,-3a),(aw0)求2sina+cosa的值。三、鞏固練習：1、已知角a的終邊上一點P(-91,121)(t<0),求sina,cosa和tana。4 3兀2、已知角。的終邊上一點為P,OP=25(O為坐標原點)，且sm0=--(兀<0<--)，求點P的坐標。13、已知tana=-萬，且a是第四象限的角，求a的其他三角比。4、求證：sin20tan0+cos20cot0+2sin0cos0=sec0csc0。5、化簡:1 + 1 + 1 + 5、化簡:1+sin201+cos201+sec201+csc206、8、設cos100o=k，貝Utan80。等于()<1-k2 <1-<1-k2 <1-k2A、；— B、--：-kkC、D、士Jv1—k2四、反思與提高:x1x1、任意角的三角比是如何定義的？cota=—,

yr rseca=—,csca=—分別與tana,cosa,x ysina有何聯(lián)系？2、什么是第一組誘導公式？如何求坐標角的三角比？是否所有的角都存在六個三角比？3、試研究六個三角比值的取值范圍。4、如何確定任意角的三角比在各個象限內的符號?第四課時：任意角的三角比（2）一．教學目標：知識與技能掌握任意角的三角比的定義，會根據角的終邊上的一點的坐標求出六個三角比，并能確定六個三角比在各象限內的符號。會利用任意角的三角比的定義進行三角比的求值、化簡和證明。過程與方法在體會的過程中感悟和歸納出各象限內三角比的符號，滲透數(shù)形結合的數(shù)學思想。情感態(tài)度與價值觀用運動變化的觀點審視事物，用對立統(tǒng)一的規(guī)律揭示生活中的空間形式和數(shù)量關系。4、教學重點與難點重點：根據角的終邊上的一點的坐標求出六個三角比，并能確定六個三角比在各象限內的符號。利用任意角的三角比的定義進行三角比的求值、化簡和證明。難點：六個三角比在各象限內的符號的理解和記憶。教學方法：二、教學過程設計：（一）復習引入（二）新課：1、①角是“任意角”，當P=2k汽+a（keZ）時，p與a的同名三角比值應該是相等的，即凡是終邊相同的角的三角函數(shù)值相等。第一組誘導公式：sin（2k兀+a）=sina,cos（2k兀+a）=cosa,tan（2k兀+a）=tana,cot（2k兀+a）=cota②實際上，如果終邊在坐標軸上，上述定義同樣適用。③廠＞0，而x,y的正負是隨象限的變化而不同，故三角函數(shù)的符號應由象限確定④定義域：R …a豐k兀（keZ）y=sina y=cota '兀7y二cosa R仃 y=seca awk兀+—（keZ）iLy=tana aw左兀+—（keZ） y=csca awk兀（keZ）

2、任意角的三角比在各個象限內的符號因為角a的三角比由其終邊上的點P（x,1）確定，所以點P的坐標符號決定了角。的三正切函數(shù)值在各象限內的符號規(guī)角比的符號。請同學完成表4。由此，總結出正弦、余弦、正切函數(shù)值在各象限內的符號規(guī)律還可以結合正弦線、余弦線、正切線進行印證。cosasinatana律還可以結合正弦線、余弦線、正切線進行印證。cosasinatana（4-19）為了便以記憶，我們也可以歸納為一個圖：全正sina不丁全正為正cscatanatana