《線性代數(shù)及其應用》課件 Ch3-4-齊次線性方程組

第三章

線性方程組解的結構

第四節(jié)

線性方程組解的結構二、非齊次線性方程組解的結構

一、齊次線性方程組的解空間

一、齊次線性方程組形如的方程組叫做齊次線性方程組.為未知數(shù).為系數(shù)，其中注意：未知數(shù)的次數(shù)均為一次；①和可以相等，也可以不相等；②每一個方程的右端均為數(shù)字0.③

一、齊次線性方程組形如若記則方程組(1)可寫為向量方程的方程組叫做齊次線性方程組.為未知數(shù).為系數(shù)，其中向量方程(2)的解稱為方程組(1)的解向量.方程組的全體解向量集合，稱為方程組的解集.

一、齊次線性方程組二、齊次線性方程組解的判定定理推論僅有零解的充要條件是系數(shù)矩陣的秩設元齊次線性方程組定理有非零解的充要條件是系數(shù)矩陣的秩設元齊次線性方程組對于齊次線性方程組，若方程的個數(shù)小于未知量的個數(shù)，則方程組有非零解.對于齊次線性方程組，若方程的個數(shù)等于未知量的個數(shù)，則方程組有非零解的充分必要條件是三、齊次線性方程組解的性質(zhì)設有齊次線性方程組1.若為方程組的解,則也是該方程組的解.證為方程組的解為方程組的解,證畢.2.若為方程組的解,為實數(shù),則也是該方程組的解.設有齊次線性方程組1.若為方程組的解,則也是該方程組的解.2.若為方程組的解,為實數(shù),則也是該方程組的解.三、齊次線性方程組解的性質(zhì)設有齊次線性方程組1.若為方程組的解,則也是該方程組的解.2.若為方程組的解,為實數(shù),則也是該方程組的解.證為方程組的解為方程組的解,證畢.三、齊次線性方程組解的性質(zhì)注:則它就有無窮多個解.齊次線性方程組若有非零解,設有齊次線性方程組1.若為方程組的解,則也是該方程組的解.2.若為方程組的解,為實數(shù),則也是該方程組的解.三、齊次線性方程組解的性質(zhì)注:則它就有無窮多個解.齊次線性方程組若有非零解,設有齊次線性方程組1.若為方程組的解,則也是該方程組的解.2.若為方程組的解,為實數(shù),則也是該方程組的解.3.若為方程組的解,注:則它就有無窮多個解.齊次線性方程組若有非零解,為實數(shù),則線性組合也是方程組的解.三、齊次線性方程組解的性質(zhì)四、基礎解系的定義定義線性無關;注:的任意一個解都可由線性表示.礎解系,其中為任意常數(shù).的通解可表示為則如果是齊次線性方程組的基滿足:若齊次線性方程組的有限個解則稱的一個基礎解系.是方程組四、基礎解系的定義定義線性無關;的任意一個解都可由線性表示.滿足:若齊次線性方程組的有限個解則稱的一個基礎解系.是方程組四、基礎解系的定義定義線性無關;的任意一個解都可由線性表示.滿足:若齊次線性方程組的有限個解則稱的一個基礎解系.是方程組方程組的基礎解系也不是唯一的.方程組的解集的極大無關組不是唯一的.方程組的一個基礎解系即為其解集一個極大無關組.例解下列齊次線性方程組,并求出方程組的一個基礎解系.解對此方程組的系數(shù)矩陣作如下初等行變換:由于,所以該齊次線性方程組有非零解行最簡形矩陣對應的方程組為：行最簡形矩陣非零行的非零首元在第1列和第2列，所以選取為自由未知量，并令即將自由未知量移至等號右端，有其中為任意常數(shù)行最簡形矩陣對應的方程組為：行最簡形矩