人教A版（2019）必修第二冊 第六章 6.4.3 第3課時 正弦定理(二)（教學(xué)課件）

第六章

6.4.3余弦定理、正弦定理第3課時正弦定理(二)學(xué)習(xí)目標(biāo)XUEXIMUBIAO1.利用正弦、余弦定理了解三角形中邊與角的關(guān)系.2.利用正弦、余弦定理判斷三角形的形狀.3.掌握正弦、余弦定理的簡單應(yīng)用.內(nèi)容索引知識梳理題型探究隨堂演練課時對點練1知識梳理PARTONE知識點三角形中邊與角之間的關(guān)系1.利用余弦定理和正弦定理進行邊角轉(zhuǎn)化(1)cosA＝

；cosB＝

；cosC＝

.(2)2RsinA＝

，2RsinB＝

，2RsinC＝

，(其中R為△ABC外接圓的半徑)abc2.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.(1)若a2>b2＋c2，則cosA＝

<0，△ABC為

三角形；(2)若a2＝b2＋c2，則cosA＝

＝0，△ABC為

三角形；(3)若a2<b2＋c2且b2<a2＋c2且c2<a2＋b2，則cosA＝

>0，cosB＝

>0，cosC＝

>0，△ABC為

三角形.鈍角直角銳角2題型探究PARTTWO例1

在△ABC中，已知b＝3，c＝

，B＝30°，解三角形.一、利用正弦、余弦定理解三角形解方法一由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，∴a2－9a＋18＝0，解得a＝3或a＝6.當(dāng)a＝3時，A＝30°，∴C＝120°；∴A＝90°，C＝60°.又c>b，∴30°＜C＜180°，∴C＝60°或C＝120°.當(dāng)C＝60°時，A＝90°，由勾股定理，得a＝6；當(dāng)C＝120°時，A＝30°＝B，a＝b＝3.反思感悟若已知三角形的兩邊及其一邊的對角，則可直接應(yīng)用正弦定理求出另一邊的對角，但要注意此三角形解的個數(shù)的判斷；也可用余弦定理求解，在△ABC中，已知a，b和A，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，求出c，此時c的個數(shù)即為三角形解的個數(shù).跟蹤訓(xùn)練1

已知⊙O的半徑為R，在它的內(nèi)接△ABC中有2R(sin2A－sin2C)＝(a－b)sinB成立，求角C的大小.解由正弦定理，得a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.因為0°<C<180°，所以C＝45°.二、利用正弦、余弦定理判斷三角形的形狀例2

(1)已知在△ABC中，角A，B所對的邊分別是a和b，若acosB＝bcosA，則△ABC一定是A.等腰三角形

B.等邊三角形C.直角三角形

D.等腰直角三角形√解析由正弦定理得，acosB＝bcosA?sinAcosB＝sinBcosA?sin(A－B)＝0，由于－π＜A－B＜π，故必有A－B＝0，A＝B，即△ABC為等腰三角形.(2)在△ABC中，若sinA＝2sinBcosC，且sin2A＝sin2B＋sin2C，試判斷△ABC的形狀.∴a2＝b2＋c2，∴A是直角.∵A＝180°－(B＋C)，sinA＝2sinBcosC，∴sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBcosC，∴sin(B－C)＝0.又－90°＜B－C＜90°，∴B－C＝0，∴B＝C，∴△ABC是等腰直角三角形.∵sin2A＝sin2B＋sin2C，反思感悟判斷三角形形狀的方法及注意事項(1)利用余弦定理、正弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為邊(或角)的關(guān)系，通過因式分解、配方等得出邊(或角)的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀.(2)統(tǒng)一成邊(或角)的關(guān)系后，注意等式兩邊不要輕易約分，否則可能會出現(xiàn)漏解.跟蹤訓(xùn)練2

(1)在△ABC中，已知3b＝

，且cosB＝cosC，角A是銳角，則△ABC的形狀是A.直角三角形

B.等腰三角形C.等腰直角三角形

D.等邊三角形√又角A是銳角，所以A＝60°.又cosB＝cosC，且B，C都為三角形的內(nèi)角，所以B＝C.故△ABC為等邊三角形，故選D.(2)在△ABC中，若acosC＋ccosA＝bsinB，則此三角形為A.等邊三角形

B.等腰三角形C.直角三角形

D.等腰直角三角形√解析在△ABC中，由acosC＋ccosA＝bsinB，以及正弦定理可知，sinAcosC＋sinCcosA＝sin2

B，即sin(A＋C)＝sinB＝sin2

B，所以三角形為直角三角形，故選C.三、正弦、余弦定理的綜合應(yīng)用例3

設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且bsinA＝

acosB.(1)求B的大小；在△ABC中，sinA≠0，(2)若b＝3，sinC＝2sinA，求a，c的值.解∵sinC＝2sinA，∴由正弦定理，得c＝2a，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，反思感悟利用正弦、余弦定理解三角形的注意點正、余弦定理都是用來解三角形的，但在解題過程中要有意識地考慮用哪個定理更適合，或是兩個定理都要用，應(yīng)抓住兩個定理的特點：正弦定理“邊對角”，余弦定理“邊夾角”，正確選擇定理是解決此類題目的關(guān)鍵.跟蹤訓(xùn)練3

△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，asinA＋csinC－

asinC＝bsinB.(1)求B的大??；由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB.(2)若A＝75°，b＝2，求a，c的值.解sinA＝sin(30°＋45°)由已知得，C＝180°－45°－75°＝60°，3隨堂演練PARTTHREE1.在△ABC中，若AB＝

，BC＝3，C＝120°，則AC等于A.1 B.2C.3 D.412345√解析在△ABC中，設(shè)內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.即b2＋3b－4＝0，解得b＝1(負值舍去)，即AC＝1，故選A.√√123453.如果將直角三角形的三邊各增加同樣的長度，則新三角形的形狀是A.銳角三角形

B.直角三角形C.鈍角三角形

D.由增加的長度確定的√解析設(shè)直角三角形的三邊長分別為a，b，c，且a2＋b2＝c2，三邊都增加x，則(a＋x)2＋(b＋x)2－(c＋x)2＝a2＋b2＋2x2＋2(a＋b)x－c2－2cx－x2＝2(a＋b－c)x＋x2＞0，所以新三角形中最大邊所對的角是銳角，所以新三角形是銳角三角形.123454.在△ABC中，sinB＝2sinA，a＋c＝3，且cosC＝

，則a＝____.1解析∵sinB＝2sinA，∴b＝2a，又a＋c＝3，∴c＝3－a，整理，得a2＋2a－3＝0，解得a＝1(a＝－3舍去).123455.若acosA＝bcosB，則△ABC是____________三角形.等腰或直角所以2sinA·cosA＝2sinB·cosB，即sin2A＝sin2B，因為A，B為三角形的內(nèi)角，所以△ABC是等腰三角形或直角三角形.12345課堂小結(jié)KETANGXIAOJIE1.知識清單：(1)利用正弦、余弦定理解三角形.(2)判斷三角形的形狀.(3)正弦、余弦定理的綜合應(yīng)用.2.方法歸納：化歸轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合.3.常見誤區(qū)：利用正弦定理進行邊和角的正弦相互轉(zhuǎn)化時易出現(xiàn)不等價變形.4課時對點練PARTFOUR基礎(chǔ)鞏固A.等腰三角形

B.直角三角形C.等邊三角形

D.等腰直角三角形√即tanA＝tanB＝tanC，所以A＝B＝C，即△ABC為等邊三角形.12345678910111213141516123456789101112131415162.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若bcosA＋acosB＝c2，a＝b＝2，則△ABC的周長為A.5 B.6C.7 D.7.5√即△ABC的周長為5，故選A.3.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若b＋c＝2a,3sinA＝5sinB，則C等于√123456789101112131415164.△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知asinA－bsinB＝4csinC，cosA＝A.6B.5C.4D.3√解析∵asinA－bsinB＝4csinC，∴由正弦定理，得a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2.123456789101112131415165.(多選)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則下列等式恒成立的是A.a2＝b2＋c2－2bccosA

B.asinB＝bsinAC.a＝bcosC＋ccosB

D.acosB＋bcosC＝c√12345678910111213141516√√12345678910111213141516解析對于A，根據(jù)余弦定理，可得a2＝b2＋c2－2bccosA，故A正確；對于B，根據(jù)正弦定理邊角互化，可得asinB＝bsinA?ab＝ab，故B正確；對于C，根據(jù)正弦定理，得a＝bcosC＋ccosB?sinA＝sinBcosC＋sinCcosB＝sin(B＋C)＝sinA，故C正確；對于D，根據(jù)正弦定理的邊角互化可得，sinAcosB＋sinBcosC＝sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，即sinBcosC＝cosAsinB，又sinB≠0，所以cosC＝cosA，當(dāng)A＝C時，等式成立，故D不正確.6.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若A＝

，a2＋b2－c2＝ab，c＝3，則角C＝____，a＝_____.解析由a2＋b2－c2＝ab，123456789101112131415167.在△ABC中，若b＝acosC，則△ABC的形狀為____________.直角三角形解析b＝acosC，∴sinB＝sinAcosC，則sin(A＋C)＝sinAcosC.即cosAsinC＝0，∵A，C∈(0，π)，∴sinC≠0，∴cosA＝0，∴△ABC為直角三角形.12345678910111213141516123456789101112131415168.在△ABC中，A＝

，BC＝3，則△ABC的周長為_____________(用B表示).123456789101112131415169.已知△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且acosC＋

c＝b.(1)求A的大小；因為sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC，12345678910111213141516(2)若a＝1，b＝

，求c的值.所以c＝2；所以c＝a＝1.綜上可得c＝1或2.1234567891011121314151610.在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且(1)求B的大小；整理，得a2＋c2－b2＋ac＝0，12345678910111213141516代入b2＝a2＋c2－2accosB得，即a2－4a＋3＝0.解得a＝1或a＝3.12345678910111213141516綜合運用11.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若acosB＋bcosA＝4sinC，則△ABC外接圓的面積為A.16πB.8πC.2πD.4π√解析因為acosB＋bcosA＝4sinC，所以由正弦定理可得，在△ABC中，sin(A＋B)＝sinC，解得R＝2，所以△ABC外接圓的面積為S＝πR2＝4π.1234567891011121314151612.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，則cosC等于√解析因為在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且8b＝5c，C＝2B，所以8sinB＝5sinC＝5sin2B＝10sinBcosB，1234567891011121314151613.在△ABC中，若A＝

，sinB＝

cosC，則△ABC為A.直角非等腰三角形

B.等腰非直角三角形C.非等腰且非直角三角形

D