北師大版七年級數(shù)學下冊重難點專題提優(yōu)訓練專題16難點探究專題：全等三角形中的動態(tài)問題(原卷版+解析)(3大動態(tài))

專題16難點探究專題：全等三角形中的動態(tài)問題【考點導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一利用分類討論思想求全等三角形中的動點中的時間問題】 1【考點二利用全等三角形中的動點求線段長及最值問題】 7【考點三全等三角形中的動點綜合問題】 13【典型例題】【考點一利用分類討論思想求全等三角形中的動點中的時間問題】例題：（2023春·全國·七年級專題練習）已知：如圖，在長方形中，，，延長到點E，使，連接DE，動點P從點B出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿向終點A運動，當點P運動___________秒時，和全等．【變式訓練】1．（2022·江蘇·景山中學七年級期末）如圖，，垂足為，cm，cm，射線，垂足為，動點從點出發(fā)以2cm/s的速度沿射線運動，點為射線上一動點，滿足，隨著點運動而運動，當點運動______秒時，與全等．2．（2022·八年級單元測試）如圖,在中,．點在直線上,動點從點出發(fā)沿的路徑向終點運動;動點從點出發(fā)沿路徑向終點運動．點和點分別以每秒和的運動速度同時開始運動,其中一點到達終點時另一點也停止運動,分別過點和作直線于直線于．當點運動時間為___________秒時,與全等．3．（2022秋·江蘇·八年級專題練習）如圖，在△ABC中，AB=24cm，AC=16cm，∠BAD=∠CAD，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，動點P以每秒2cm的速度從A點向B點運動，動點Q以每秒1cm的速度從C點向A點運動，當一個點到達終點時，另一個點隨之停止運動，設運動時間為t秒．（1）求證：△AED≌△AFD；（2）若AE=10cm，當t取何值時，△DEP與△DFQ全等．4．（2023春·七年級課時練習）如圖，∠MAN是一個鈍角，AB平分∠MAN，點C在射線AN上，且AB＝BC，BD⊥AC，垂足為D．(1)求證：；(2)動點P，Q同時從A點出發(fā)，其中點Q以每秒3個單位長度的速度沿射線AN方向勻速運動；動點P以每秒1個單位長度的速度勻速運動．已知AC＝5，設動點P，Q的運動時間為t秒．①如圖②，當點P在射線AM上運動時，若點Q在線段AC上，且，求此時t的值；②如圖③，當點P在直線AM上運動時，點Q在射線AN上運動的過程中，是否存在某個時刻，使得APB與BQC全等？若存在，請求出t的值；若不存在，請說出理由．【考點二利用全等三角形中的動點求線段長及最值問題】例題：（2023春·七年級課時練習）如圖，在中，，，，，平分交于點，點、分別是、邊上的動點，則的最小值為________．【變式訓練】1．（2022秋·八年級課時練習）如圖，在等邊中，是的平分線，點是的中點，點是上的一個動點，連接，，當?shù)闹底钚r，的度數(shù)為__________．2．（2023春·七年級課時練習）如圖，點B為線段上的動點，，以為邊作等邊，以為底邊作等腰三角形，則的最小值為______．3．（2023春·全國·七年級專題練習）如圖所示，在等腰中，，點D為射線上的動點，，且，與所在的直線交于點P，若，則_____．4．（2023春·七年級課時練習）如圖，邊長為9的等邊三角形中，M是高所在直線上的一個動點，連接，將線段繞點B逆時針旋轉得到，連接．則在點M運動過程中，線段長度的最小值是______．【考點三全等三角形中的動點綜合問題】例題：（2022·遼寧葫蘆島·八年級期末）如圖，在中，．點D是直線上一動點（點D不與點B，C重合），，連接．(1)如圖1，當點D在線段上時，直接寫出與之間的數(shù)量關系；(2)如圖2，當點D在邊的延長線上時，請?zhí)骄烤€段與之間存在怎樣的數(shù)量關系？并說明理由；(3)如圖3，若點D在邊的延長線上，且點A，E分別在直線的兩側，其他條件不變，若，直接寫出的長度．【變式訓練】1．（2022秋·江西新余·八年級?？茧A段練習）等腰直角三角形ABC中，，，P為射線BC上的一個動點（不與點B，C重合），連接AP，以AP為直角邊，A為直角頂點，在AP右側作等腰直角三角形PAD，使，連接CD．(1)如圖①，當點P在線段BC上時，求證：；(2)如圖②，當點P在線段BC的延長線上時，請直接寫出線段BP和CD的數(shù)量關系與位置關系．2．（2022秋·安徽滁州·八年級校考階段練習）如圖，在中，，，點是直線上的一動點（不和重合），于，交直線于．(1)當點在邊上時，①證明：；②證明：；(2)點在的延長線上時，請你探索這三條線段之間的數(shù)量關系，畫出圖形并證明你的結論．3．（2022秋·福建泉州·八年級泉州七中?？计谥校┤鐖D，中，，E點為射線CB上一動點，連接AE，作且．(1)①如圖1，過F點作交AC于D點，求證：；②如圖2，在①的條件下，連接BF交AC于G點，若E點為BC中點，求證：；(2)當直線BF與直線AC交于G點，若，請求出的值．專題16難點探究專題：全等三角形中的動態(tài)問題【考點導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一利用分類討論思想求全等三角形中的動點中的時間問題】 1【考點二利用全等三角形中的動點求線段長及最值問題】 7【考點三全等三角形中的動點綜合問題】 13【典型例題】【考點一利用分類討論思想求全等三角形中的動點中的時間問題】例題：（2023春·全國·七年級專題練習）已知：如圖，在長方形中，，，延長到點E，使，連接DE，動點P從點B出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿向終點A運動，當點P運動___________秒時，和全等．【答案】2或14##14或2【分析】分三種情況：點在上，點在上，點在上，分別進行求解即可．【詳解】解：當點在上時，，，當時，，∴，當點在上時，不是直角三角形，∴和全等不可能成立，當點在上時，，，當時，，∴，故答案為：2或14．【點睛】本題考查全等三角形的判定．解題的關鍵是選擇合適的方法證明三角形全等．【變式訓練】1．（2022·江蘇·景山中學七年級期末）如圖，，垂足為，cm，cm，射線，垂足為，動點從點出發(fā)以2cm/s的速度沿射線運動，點為射線上一動點，滿足，隨著點運動而運動，當點運動______秒時，與全等．【答案】0或2或4或6【解析】【分析】根據(jù)題意可分點P在點B的左側和右側進行分類求解即可．【詳解】解：設點P的運動時間為t秒，由題意得：CP=2tcm，①當t=0時，即點C與點P重合，滿足△ACB≌△NBP，②當點P在點B的左側時，且滿足AC=BP=2cm，∵，∴，∵CP=2tcm，∴，即，解得：；③當點P在點B的右側時，且滿足AC=BP=2cm，則，∴，即，解得：；④當點P在點B的右側時，且滿足BC=BP=6cm，則，∴，即，解得：；綜上所述：當或0或4或6秒時，與全等．故答案為0或2或4或6．【點睛】本題主要考查全等三角形的性質與判定，熟練掌握全等三角形的性質與判定是解題的關鍵．2．（2022·八年級單元測試）如圖,在中,．點在直線上,動點從點出發(fā)沿的路徑向終點運動;動點從點出發(fā)沿路徑向終點運動．點和點分別以每秒和的運動速度同時開始運動,其中一點到達終點時另一點也停止運動,分別過點和作直線于直線于．當點運動時間為___________秒時,與全等．【答案】2或6##6或2【分析】對點P和點Q是否重合進行分類討論，通過證明全等即可得到結果；【詳解】解：如圖1所示：與全等，，，解得∶；如圖2所示：點與點重合，與全等，，解得∶；故答案為∶或．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質，準確分析計算是解題的關鍵．3．（2022秋·江蘇·八年級專題練習）如圖，在△ABC中，AB=24cm，AC=16cm，∠BAD=∠CAD，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，動點P以每秒2cm的速度從A點向B點運動，動點Q以每秒1cm的速度從C點向A點運動，當一個點到達終點時，另一個點隨之停止運動，設運動時間為t秒．（1）求證：△AED≌△AFD；（2）若AE=10cm，當t取何值時，△DEP與△DFQ全等．【答案】（1）見解析；（2）t=4或【分析】（1）利用直接證明△AED≌△AFD即可；（2）先求解再分三種情況討論，①當0＜t＜5時，點P在線段AE上，點Q在線段CF上，②當5≤t＜6時，點P在線段BE上，點Q在線段CF上，③當6≤t＜12時，點P在線段BE上，點Q在線段AF上，再利用全等三角形的對應邊相等建立方程，解方程即可得到答案.【詳解】解：（1）∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED=∠AFD=90°．∵∠BAD=∠CAD，AD=AD．∴△AED≌△AFD(AAS)．（2）∵△AED≌△AFD∴DE=DF，AF=AE=10．∴CF=6若△DEP與△DFQ全等，且DE=DF，∠DEP=∠DFQ=90°，∴EP=FQ，①當0＜t＜5時，點P在線段AE上，點Q在線段CF上，∴EP=10﹣2t，F(xiàn)Q=6﹣t∴10﹣2t＝6﹣t，∴t=4；②當5≤t＜6時，點P在線段BE上，點Q在線段CF上，∴EP=2t-10，F(xiàn)Q=6﹣t∴2t-10=6﹣t，∴t=

③當6≤t＜12時，點P在線段BE上，點Q在線段AF上，∴EP=2t-10，F(xiàn)Q=t﹣6∴2t-10=t-6，∴t=4（不合題意，舍去）．綜上所述，當t=4或時，△DEP與△DFQ全等．【點睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質，動態(tài)三角形全等問題，清晰的分類討論是解題的關鍵.4．（2023春·七年級課時練習）如圖，∠MAN是一個鈍角，AB平分∠MAN，點C在射線AN上，且AB＝BC，BD⊥AC，垂足為D．(1)求證：；(2)動點P，Q同時從A點出發(fā)，其中點Q以每秒3個單位長度的速度沿射線AN方向勻速運動；動點P以每秒1個單位長度的速度勻速運動．已知AC＝5，設動點P，Q的運動時間為t秒．①如圖②，當點P在射線AM上運動時，若點Q在線段AC上，且，求此時t的值；②如圖③，當點P在直線AM上運動時，點Q在射線AN上運動的過程中，是否存在某個時刻，使得APB與BQC全等？若存在，請求出t的值；若不存在，請說出理由．【答案】(1)見解析(2)①；②存在，或【分析】（1）①先證Rt△BDA≌Rt△BDC（HL），推出∠BAC＝∠BCA．再由角平分線的定義得∠BAM＝∠BAC，等量代換即可證明；（2）①作BH⊥AM，垂足為M．先證△AHB≌△ADB（AAS），推出BH＝BD，再由S△ABP＝S△BQC，推出，結合P，Q運動方向及速度即可求解；②分“點P沿射線AM方向運動，點Q在線段AC上”，以及“點P沿射線AM反向延長線方向運動，點Q在線段AC延長線上”兩種情況討論，利用三角形全等得出AP與CQ的關系即可求解．【詳解】（1）證明：∵BD⊥AC，∴，在Rt△BDA和Rt△BDC中，∴Rt△BDA≌Rt△BDC（HL），∴∠BAC＝∠BCA．∵AB平分∠MAN，∴∠BAM＝∠BAC，∴∠BAM＝∠BCA．（2）解：①如下圖所示，作BH⊥AM，垂足為M．∵BH⊥AM，BD⊥AC，∴∠AHB＝∠ADB＝90°，在△AHB和△ADB中，∴△AHB≌△ADB（AAS），∴BH＝BD，∵S△ABP＝S△BQC，∴，∴，∴，∴．②存在，理由如下：當點P沿射線AM方向運動，點Q在線段AC上時，如下圖所示，∵AB＝BC，又由（1）得∠BAM＝∠BCA，∴當AP＝CQ時，△APB≌△CQB，∴，∴；當點P沿射線AM反向延長線方向運動，點Q在線段AC延長線上時，如下圖所示，由（1）得∠BAM＝∠BCA，∴∠BAP＝∠BCQ，又∵AB＝BC，∴當AP＝CQ時，△APB≌△CQB，∴，∴．綜上所述，當或時，△APB和△CQB全等．【點睛】本題考查角平分線的定義，全等三角形的判定與性質，熟練掌握全等三角形的判定方法，并注意分類討論是解題的關鍵．【考點二利用全等三角形中的動點求線段長及最值問題】例題：（2023春·七年級課時練習）如圖，在中，，，，，平分交于點，點、分別是、邊上的動點，則的最小值為________．【答案】【分析】在上取一點，使，連接，判斷出，得出，進而得出當點C，E，在同一條線上，且時，最小，即最小，其值為，最后用面積法，即可求出答案．【詳解】解：如圖，在上取一點，使，連接，平分，，，∴，，，∴當點C，E，在同一條線上，且時，最小，即最小，其值為，，，即的最小值為，故答案為：．【點睛】此題主要考查了角平分線的定義，全等三角形的判定和性質，點到直線的距離，垂線段最短，三角形的面積公式，作出輔助線構造出全等三角形是解本題的關鍵．【變式訓練】1．（2022秋·八年級課時練習）如圖，在等邊中，是的平分線，點是的中點，點是上的一個動點，連接，，當?shù)闹底钚r，的度數(shù)為__________．【答案】60°##60度【分析】由題意可知點A、點C關于BD對稱，連接AE交BD于點P，由對稱的性質可得，PA＝PC，由兩點之間線段最短可知，AE即為PE+PC的最小值，然后根據(jù)等邊三角形的性質求出∠EPB＝60°，再通過△BPE≌△CPE得出∠EPC＝∠EPB＝60°．【詳解】解：∵△ABC是等邊三角形，BD是∠ABC的平分線，∴點D為AC的中點，BD⊥AC，∴點A、點C關于BD對稱，如圖，連接AE，交BD于P，線段AE的長即為PE+PC最小值，∵點E是邊BC的中點，∴AE⊥BC，∵∠ABC＝60°，BD是∠ABC的平分線，∴∠PBE＝30°，∴∠BPE＝60°，∵在△BPE和△CPE中，，∴△BPE≌△CPE（SAS），∴∠EPC＝∠BPE＝60°．故答案為：60°．【點睛】本題考查的是軸對稱﹣最短路線問題，熟知等邊三角形的性質是解答此題的關鍵．2．（2023春·七年級課時練習）如圖，點B為線段上的動點，，以為邊作等邊，以為底邊作等腰三角形，則的最小值為______．【答案】2【分析】連接，證明，得，從而點P在射線上運動，再利用垂線段最短解決問題．【詳解】解：連接,∵是等邊三角形，∴，在和中，，∴,∴，∴，∴點P在射線上運動，∴當時，的值最小，∴故答案為：【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質，全等三角形的判定與性質，點的運動軌跡問題，證明點P在射線上運動是解題的關鍵．3．（2023春·全國·七年級專題練習）如圖所示，在等腰中，，點D為射線上的動點，，且，與所在的直線交于點P，若，則_____．【答案】【分析】作，交的延長線于H，利用證明，得，，再證明，得，從而解決問題．【詳解】解：作，交的延長線于H，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，，∵，∴，∵，，∴，∴，∵，設，則，∴，，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了三角形全等的判定和性質，余角的性質，解題的關鍵是作出輔助線，構造全等三角形．4．（2023春·七年級課時練習）如圖，邊長為9的等邊三角形中，M是高所在直線上的一個動點，連接，將線段繞點B逆時針旋轉得到，連接．則在點M運動過程中，線段長度的最小值是______．【答案】【分析】取的中點，連接，根據(jù)等邊三角形的性質和旋轉可以證明，可得，根據(jù)垂線段最短，當時，最短，即最短，由直角三角形的性質可求得線段長度的最小值．【詳解】解：如圖，取的中點G，連接，∵線段繞點逆時針旋轉得到，∴，又∵是等邊三角形，∴，即，∴，∵是等邊三角形的高，∴，∴，又∵旋轉到，∴，在和中，，∴（），∴，根據(jù)垂線段最短，當時，最短，即最短，此時，∴，∴，∴．∴線段長度的最小值是．故答案為：．【點睛】本題考查了旋轉的性質，等邊三角形的性質，全等三角形的判定與性質，垂線段最短的性質，作輔助線構造出全等三角形是解題的關鍵，也是本題的難點．【考點三全等三角形中的動點綜合問題】例題：（2022·遼寧葫蘆島·八年級期末）如圖，在中，．點D是直線上一動點（點D不與點B，C重合），，連接．(1)如圖1，當點D在線段上時，直接寫出與之間的數(shù)量關系；(2)如圖2，當點D在邊的延長線上時，請?zhí)骄烤€段與之間存在怎樣的數(shù)量關系？并說明理由；(3)如圖3，若點D在邊的延長線上，且點A，E分別在直線的兩側，其他條件不變，若，直接寫出的長度．【答案】(1)CE+CD=BC，證明見解析(2)CE=BC+CD，證明見解析(3)CE=4【解析】【分析】（1）根據(jù)條件AB=AC，∠BAC=90°，AD=AE，∠DAE=90°，判定△ABD≌△ACE（SAS），即可得出BD和CE之間的關系，根據(jù)全等三角形的性質，即可得到CE+CD=BC；（2）根據(jù)已知條件，判定△ABD≌△ACE（SAS），得出BD=CE，再根據(jù)BD=BC+CD，即可得到CE=BC+CD；（3）根據(jù)條件判定△ABD≌△ACE（SAS），得出BD=CE，即可解決問題．(1)解：如圖1，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE，∴BC=BD+CD=CE+CD，(2)線段BC，CD與CE之間存在的數(shù)量關系為BC=CE-CD．理由：如圖2中，由（1）同理可得，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，∴在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE，∴BD=BC+CD，即CE=BC+CD．(3)如圖3，由（1）同理可得，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE，即∠BAD=∠EAC，同理，△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE，∵CD=10，BC=6，∴DB=DC-BC=4，∴CE=4．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質．解決問題的關鍵是掌握：兩邊及其夾角分別對應相等的兩個三角形全等．解題時注意：全等三角形的對應邊相等．【變式訓練】1．（2022秋·江西新余·八年級?？茧A段練習）等腰直角三角形ABC中，，，P為射線BC上的一個動點（不與點B，C重合），連接AP，以AP為直角邊，A為直角頂點，在AP右側作等腰直角三角形PAD，使，連接CD．(1)如圖①，當點P在線段BC上時，求證：；(2)如圖②，當點P在線段BC的延長線上時，請直接寫出線段BP和CD的數(shù)量關系與位置關系．【答案】(1)見解析(2)；【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質，用SAS即可進行證明；（2）證明，根據(jù)全等三角形的性質即可得出結論．【詳解】（1）解：∵在等腰直角三角形BAC與等腰直角三角形PAD中，·∴，∴在△CAD與△BAP中，∴．（2）∵在等腰直角三角形BAC與等腰直角三角形PAD中，·∴，∴在△CAD與△BAP中，∴，∴，∠PBA=∠DCA，∵∠PBA+∠BCA=90°，∴∠DCA+