2024初中數(shù)學競賽八年級競賽輔導講義專題16 等腰三角形的性質(zhì)含答案

2024初中數(shù)學競賽八年級競賽輔導講義專題16 等腰三角形的性質(zhì)閱讀與思考等腰三角形是一類特殊三角形，具有特殊的性質(zhì)，這些性質(zhì)為角度的計算、線段相等、直線位置關(guān)系的證明等問題提供了新的理論依據(jù)．因此，在解與等腰三角形相關(guān)的問題時，除了要運用全等三角形知識方法外，又不能囿于全等三角形，應(yīng)善于利用等腰三角形的性質(zhì)探求新的解題途徑，應(yīng)熟悉以下基本圖形、基本結(jié)論．⑴圖1中，，，．⑵圖2中，只要下述四個條件：①；②；③；④中任意兩個成立，就可以推出其余兩個成立．BBCAD圖1ADBC12圖2例題與求解【例1】如圖，在△ABC中，D在AC上，E在AB上，且AB=AC，BC=BD，AD=DE=BE，則∠A=___________．（五城市聯(lián)賽試題）解題思路：圖中有很多相關(guān)的角，用∠A的代數(shù)式表示這些角，建立關(guān)于∠A的等式．AABCDE【例2】如圖，在△ABC中，已知∠BAC=900，AB=AC，D為AC中點，AE⊥BD于E，延長AE交BC于F，求證：∠ADB=∠CDF．（安徽省競賽試題）解題思路：∠ADB與∠CDF對應(yīng)的三角形不全等，因此，需構(gòu)造全等三角形，而在等腰三角形中，作頂角的平分線或底邊上的高(中線)是一條常用的輔助線．AABCDEF【例3】如圖，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=900，D是AC上一點，且AE垂直BD的延長線于E，又AE=BD，求證：BD是∠ABC的角平分線．（北京市競賽試題）解題思路：∠ABC的角平分線與AE邊上的高重合，故應(yīng)作輔助線補全圖形，構(gòu)造全等三角形、等腰三角形．AAEBCD【例4】如圖，在△ABC中，∠BAC=∠BCA=440，M為△ABC內(nèi)一點，使∠MCA=300，∠MAC=160，求∠BMC度數(shù)．（北京市競賽試題）BBCMABCMA圖3N解題思路：作等腰△ABC的對稱軸(如圖1)，通過計算，證明全等三角形，又440+160=600；可以AB為一邊，向點C所在的一側(cè)作等邊△ABN，連結(jié)CN，MN(如圖2)；或以AC為一邊，向點B所在的一側(cè)作等邊BCMA圖3NBBCMA圖1DOBBCMA圖2N【例5】如圖，△ABC是邊長為1的等邊三角形，△BDC是頂角∠BDC=1200的等腰三角形，以D為頂點作一個600角，角的兩邊分別交AB于M，交AC于N，連結(jié)MN，形成一個三角形．求證：△AMN的周長等于2．（天津市競賽試題）解題思路：欲證△AMN的周長等于2，只需證明MN=BM+CN，考慮用補短法證明．BBACDNM【例6】如圖，△ABC中，∠ABC=460，D是BC邊上一點，DC=AB，∠DAB=210，試確定∠CAD的度數(shù)．（北京市競賽試題）解題思路：解本題的關(guān)鍵是利用DC=AB這一條件．BBDCA能力訓練A級1．如果等腰三角形一腰上的高另一腰的夾角為450，那么這個等腰三角形的底角為_____________．2．如圖，已知∠A=150，AB=BC=CD=DE=EF，則∠FEM=_____________．3．如圖，在等邊△ABC的AC，BC邊上各取一點P、Q，使AP=CQ，AQ，BP相交于點O，則∠BOQ=____________.4．如圖，在△ABC中，∠BCA=900，∠BAC=600，BC=4，在CA的延長線取點D，使AD=AB，則D，B兩點之間的距離是____________．(第2題)(第2題)BACDEFMNABCQPO(第3題)ABCD(第4題)5．如圖，在△ABC中，AB=AC，D為BC上一點，BF=CD，CE=BD，那么∠EDF等于（ ）A．900-∠A B．900-∠A C．1800-∠A D．450-∠A6．如圖，在△ABC中，∠ACB=900，AC=AE，BC=BF，則∠ECF=（ ）A．600 B．450 C．300 D．不確定（安徽省競賽試題）ACACBEF第5題圖第6題圖7．△ABC的一個內(nèi)角的大小是400，且∠A=∠B，那么∠C的外角的大小是（ ）A．1400 B．800或1000 C．1000或1400 D．800或1400(“希望杯”邀請賽試題)8．三角形三邊長，，滿足，則三角形一定是（ ）A．等邊三角形 B．以為底邊的等腰三角形C．以為底邊的等腰三角形 D．等腰三角形（北京市競賽試題）9．如圖，在△ABC中，AB=AC，D，E分別是腰AB，AC延長線上的點，且BD=CE，連結(jié)DE交BC于G，求證：DG=EG．（湖北省競賽試題）AABCDGE10．如圖，在△ABC中，∠BAC=900，AB=AC，BE平分∠ABC，CE⊥BE，求證：CE=BD．（江蘇省競賽試題）AABCDE11．已知Rt△ABC中，AC=BC，∠C=900，D為AB邊中點，∠EDF=900，將∠EDF繞D點旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AC，BC(或它們的延長線)于E、F，當∠EDF繞D點旋轉(zhuǎn)到DE⊥AC于E時(如圖1)，易證：S△DEF+S△CEF=S△ABC，當∠EDF繞D點旋轉(zhuǎn)到DE和AC不垂直時，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，S△DEF，S△CEF，S△ABC又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明．（牡丹江市中考試題）AABCABCABCEDFEDFDF圖1圖2圖312．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=800，O為△ABC內(nèi)一點，且∠OBC=100，∠OCA=200，求∠BAO的度數(shù)．（天津市競賽試題）B級1．如圖，在△ABC中，∠ABC=1000，AM=AN，CN=CP，則∠MNP=_________．AABCNMP(第1題)ABCPEF(第2題)ABCNM(第3題)2．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=900，直角∠EPF的頂點P是BC的中點，兩邊PE，PF分別交AB，AC于點E，F(xiàn)，給出以下4個結(jié)論：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S四邊形AEPF=S△ABC；④EF=AP．當∠EPF在△ABC內(nèi)繞頂點P旋轉(zhuǎn)時(點E不與A，B重合)．上述結(jié)論正確的是____________．（蘇州市中考試題）3．如圖，在△ABC中，AB=BC，M，N為BC邊上兩點，并且∠BAM=∠CAN，MN=AN，則∠MAC的度數(shù)是____________．4．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC與∠ACB的平分線相交于D，∠ADC=1300，那么∠CAB的大小是（ ）A．800 B．500 C．400 D．200AA(第4題)BCD(第5題)ABCDABDECM(第6題)5．如圖，在△ABC中，∠BAC=1200，AD⊥BC于D，且AB+BD=DC，則∠C的大小是（ ）A．200 B．250 C．300 D．4506．如圖，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=900，AE平分∠BAC交BC于E，BD⊥AE于D，DM⊥AC交AC的延長線于M，連CD，下列四個結(jié)論：①∠ADC=450；②BD=AE；③AC+CE=AB；④AB-BC=2MC．其中正確結(jié)論的個數(shù)為（ ）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個7．如圖，已知△ABC為等邊三角形，延長BC至D，延長BA至E，并且使AE=BD，連結(jié)CE、DE，求證：CE=DE．AABCDE8．如圖，△ABC中，已知∠C=600，AC＞BC，又△ABC′、△A′BC、△AB′C都是△ABC外的等邊三角形，而點D在AC上，且BC=DC．⑴證明：△C′BD≌△B′DC；⑵證明：△AC′D≌△DB′A；⑶對△ABC、△ABC′、△A′BC、△AB′C，從面積大小關(guān)系上，你能得出什么結(jié)論？（江蘇省競賽試題）ABABCDA′B′C′9．在△ABC中，已知AB=AC，且過△ABC某一頂點的直線可將△ABC分成兩個等腰三角形，試求△ABC各內(nèi)角的度數(shù)．（江蘇省揚州中學測試題）10．如圖，在△ABC中，∠C=900，∠CAD=300，AC=BC=AD，求證：CD=BD．AABCD11．已知△ABC中，∠B為銳角，從頂點A向邊BC或BC的延長線引垂線交BC于H點，又從頂點C向邊AB或AB的延長線引垂線交AB于K，試問：當，是整數(shù)時，△ABC是怎樣的三角形？并證明你的結(jié)論．（“智能杯”通訊賽試題）專題16等腰三角形的性質(zhì)例145°例2提示：過點A作∠A的平分線BD交于G，先證明△ABG≌△ACF，再證明△AGD≌△CFFD例3提示：延長BC，AE交于一點.、例4提示：如圖，作BD⊥AC于D，則∠OCD=∠OAD=30°，∴∠BA0=44°－30°=14°，∠MAO=∠OAC－∠MAC=14°，∴∠BAO=∠MAO，又∵∠AOD=∠COD=90°－30°=60°，∴∠AOB=∠AOM=120°，∴OB=OM.又∵AO=AO，∴△AOB≌△AOM又∵∠BOM=120°，∴∠OMB=30°，故∠BMC=180°－∠OMB=150°.例5如圖，在AC延長線上截取CM1=BM，由Rt△BDM≌Rt△CDM1，得MD=M1D，∠MDB=∠M1DC.∴∠MDM1=120°－∠MDB+∠M1DC=120°，又∠MDN=60°，∴∠NDM1=60°，∵MD=MD1，∠MDN=∠NDM1=60°，DN=DN，∴△MDN≌△M1DN，得MN=NM1，故△AMN周長：AM+MN+AN=AM+AN+NM1=AM+AM1=AB+AC=2.例6解法1如圖a，作△ABD關(guān)于AD的軸對稱圖形△ADC，則∠EAD=21°，AE=AB，∴DE=BD，又∠ADC=21°+46°=67°，故∠ADE=∠ADB=180°－67°=113°，∠CDE=113°－67°=56°，連CE，可證△CDE≌△ABD≌△AED，∠ODE=∠OED=46°，得OD=OE，又DC=AE，則AO=CO，∠OCA=∠OAC，∠COE=2∠ACO，∠COE=2×46°=92°=2∠ACO.從而∠ACO=46°=∠OAC，∴∠DAE+∠EAC=67°.解法2如圖b，過A點作AE∥BC.過D作DE∥AB，連接EC.∵∠EDC=∠ABC=46°，DE=AB=CD，∴∠DCE=∠CED=×（180°－46°）=67°∵∠ADC=∠ABC+∠BAD=46°+21°=67°∴∠ADC=∠DCE，，∴AD=EC.∴梯形ADCE為等腰梯形∴AC=DE（等腰梯形對角線相等），∴AB=AC=CD，∴∠DAC=∠ADC=67°.A級1.67.5°或22.5°2.75°3.60°4.85.A6.B7.B8.D提示：由已知得(b－c)(a－b)(a+c)=0，故b=c或a=b.9.提示：過D作DF∥AC交BC于F，證明△DFG≌△ECG.10.提示：延長CE交BA的延長線于F，證明△BEC≌△BEF，再證明△AFC≌△ADB.11.提示：圖2成立，聯(lián)系圖1，可證明△ECD≌△FBD，圖3不成立，此時12.作∠BAC的角平分線與CO的延長線交于D，連BD，則△ABD≌△ACD，則∠ABD=∠ACD=30°，∠OBD=∠ABC－∠OBC－∠ABD=20°=∠ABD，∠DOB=∠OBC+∠OCB=40°=∠DAB，從而△ABD≌△OBD，AB=OB，即△ABO為等腰三角形，得∠BAO=（180°－40°）=70°B級1.40°2.①②③提示：連AP.3.60°提示：設(shè)∠CAN=∠BAM=α，∠MAN=β，則∠C=∠BAC=2α+β，∠AMN=β4.D5.A6.D7.提示：延長BD到F，使DF=BC，則△BEF為等邊三角形，再證明△BCE≌△FDE8.⑴證明略；⑵由①得C′D=AC=AB′，由②得DB′=BA=C′A，又AD=AD，∴△AC′D≌△DB′A；⑶S△AB′C＞S△ABC′＞S△ABC＞S△A′BC，S△ABC+S△ABC′=S△AC′B+S△A′BC9.滿足題意的圖形有以下四種情形：AABEC圖bABCF圖c圖dABCGABDC圖a10.提示：在△ACD內(nèi)以CD為邊作等邊△ECD，連AE，則△ACE≌△ADE.∴∠CAE=∠CAD=15°，又∵∠DCB=90°-∠ACD=90°-75°=15°，∴∠CAE=∠BCD=∠ECA.又∵AC=BC，CE=CD，∴△ACE≌△BCD，∴∠DBC=∠EAC=15°.∴∠DCB=∠DBC，∴DC=DB.AACBED11.設(shè)，，因BH＜BA，BK＜BC，故mn＜4，得；；；；①當m=n=1時，BH=BC，BK=AB，△ABC是等邊三角形.②當m=1，n=2時，BH=BC，BK=AB，△ABC是∠A為直角的等腰直角三角形.③當m=1，n=3時，BH=BC，BK=AB，△ABC是∠A為120°的等腰三角形.④當m=2，n=1時，△ABC是以∠C為直角的等腰直角三角形.⑤當m=3，n=1時，△ABC是以∠C為120°的等腰三角形.專題17等腰三角形的判定閱讀與思考在學習了等腰三角形性質(zhì)與判定后，我們可以對等腰三角形的判定、證明線段相等的方法作出歸納總結(jié)．1．等腰三角形的判定：⑴從定義入手，證明一個三角形的兩條邊相等；⑵從角入手，證明一個三角形的兩個角相等．2．證明線段相等的方法：⑴當所證的兩條線段位于兩個三角形，通過全等三角形證明；⑵當所證的兩條線段位于同一個三角形，通過等角對等邊證明；⑶尋找某條線段，證明所證的兩條線段都與它相等．善于發(fā)現(xiàn)、構(gòu)造等腰三角形，進而利用等腰三角形的性質(zhì)為解題服務(wù)，是解幾何題的一個常用技巧．常見的構(gòu)造方法有：平分線+平行線、平分線+垂線、中線+垂線．如圖所示：例題與求解【例1】如圖，在△ABC中，AB=7，AC=11，點M是BC的中點，AD是∠BAC的平分線，MF∥AD，則CF的長為____________．（全國初中數(shù)學競賽試題）解題思路：角平分線+平行線易構(gòu)造等腰三角形，解題的關(guān)鍵是利用條件“中點M”．AABDMFC【例2】如圖，在△ABC中，∠B=2∠C，則AC與2AB之間的關(guān)系是（）A．AC＞2AB B．AC＝2AB C．AC≤2AB D．AC＜2AB(山東省競賽試題)解題思路：如何條件∠B=2∠C，如何得到2AB，這是解本題的關(guān)鍵．AABC【例3】兩個全等的含300，600角的三角板ADE和三角板ABC，如圖所示放置，E、A、C三點在一條直線上，連結(jié)BD，取BD中點M，連結(jié)ME，MC，試判斷△EMC的形狀，并說明理由．（山東省中考試題）解題思路：從△ADE≌△BAC出發(fā)，先確定△ADB的形狀，為判斷△EMC的形狀奠定基礎(chǔ)．AABCMDE【例4】如圖，已知在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點，且BE=AC，延長BE交AC于F，求證：AF=EF．（天津市競賽試題）解題思路：只需證明∠FAE=∠AEF，利用中線倍長，構(gòu)造全等三角形、等腰三角形．EEABDCF【例5】如圖，在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=200，在邊AB上取點D，使AD=BC，求∠BDC度數(shù)．（“祖沖之杯”競賽試題）解題思路：由條件知底角為300，這些角并不是特殊角，但它們的差卻為600，600使我們聯(lián)想到等邊三角形，由此找到切入口．如圖1，以BC為邊在△ABC內(nèi)作等邊△BCO；如圖②，以AC為邊作等邊△ACE．BCABCADBCAD圖1OBCAD圖2E能力訓練A級1．已知△ABC為等腰三角形，由頂點A所引BC邊的高線恰等于BC邊長的一半，則∠BAC=__________．2．如圖，在Rt△ABC中，∠C=900，∠ABC=660，△ABC以點C為中點旋轉(zhuǎn)到△A′B′C的位置，頂點B在斜邊A′B′上，A′C與AB相交于D，則∠BDC=_________．AACDBB′A′(第2題)ABCDEF(第3題)(第4題)99153．如圖，△ABC是邊長為6的等邊三角形，DE⊥BC于E，EF⊥AC于F，F(xiàn)D⊥AB于D，則AD=_______．（天津市競賽試題）4．如圖，一個六邊形的六個內(nèi)角都是1200，其連續(xù)四邊的長依次是1，9，9，5，那么這個六邊形的周長是____________．（“祖沖之杯”邀請賽試題）5．如圖，△ABC中，AB=AC，∠B=360，D、E是BC上兩點，使∠ADE=∠AED=2∠BAD，則圖中等腰三角形共有（ ）A．3個 B．4個 C．5個 D．6個6．若△ABC的三邊長是，，，且滿足，，，則△ABC（ ）A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等邊三角形（“希望杯”邀請賽試題）7．等腰三角形一腰上的高等于該三角形某一條邊的長度的一半，則其頂角等于（ ）A．300 B．300或1500C．1200或1500D．300或1200或1500（“希望杯”邀請賽試題）8．如圖，已知Rt△ABC中，∠C=900，∠A=300，在直線BC或AC上取一點P，使得△PAB是等腰三角形，則符合條件的P點有（ ）A．2個 B．4個 C．6個 D．8個（江蘇省競賽試題）BCABCABACDEBCADFGE第5題圖第8題圖第9題圖9．如圖在等腰Rt△ABC中，∠ACB=900，D為BC中點，DE⊥AB，垂足為E，過點B作BF∥AC交DE的延長線于點F，連接CF交AD于G．⑴求證：AD⊥CF；⑵連結(jié)AF，度判斷△ACF的形狀，并說明理由．10．如圖，△ABC中，AD⊥BC于D，∠B=2∠C，求證：AB+BD=CD．（天津市競賽試題）BBACD11．如圖，已知△ABC是等邊三角形，E是AC延長線上一點，選擇一點D，使得△CDE是等邊三角形，如果M是線段AD的中點，N是線段BE的中點，求證：△CMN是等邊三角形．（江蘇省競賽試題）AACENMBD12．如圖1，Rt△ABC中，∠ACB=900，CD⊥AB，垂足為D，AF平分∠CAB，交CD于點E，交CB于點F．AABDFEC圖1ABDFEC圖2A′E′D′⑴求證：CE=CF；⑵將圖1中的△ADE沿AB向右平移到△A′D′E的位置，使點E′落在BC邊上，其他條件不變，如圖2所示，試猜想：BE′與CF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請證明你的結(jié)論．（山西省中考試題）B級1．如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，AB+BD=AC，則∠B：∠C的值=__________．AABCD(第1題)(第2題)ABDEC2．如圖，△ABC的兩邊AB、AC的垂直平分線分別交BC于D、E，若∠BAC+∠DAE=1500，則∠BAC的度數(shù)是____________．3．在等邊△ABC所在平面內(nèi)求一點P，使△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形，具有這樣性質(zhì)的點P有_________個．4．如圖，在△ABC中，∠ABC=600，∠ACB=450，AD、CF都是高，相交于P，角平分線BE分別交AD、CF于Q、S，則圖中的等腰三角形的個數(shù)是（ ）A．2 B．3 C．4 D．5ABDCEABDCEFPQS(第4題)ABCED第5題AA1NMA2A3(第6題)5．如圖，在五邊形ABCDE中，∠A=∠B=1200，EA=AB=BC=DC=DE，則∠D=（ ）A．300 B．450 C．600 D．67.50（“希望杯”競賽試題）6．如圖，∠MAN=160，A1點在AM上，在AN上取一點A2，使A2A1=AA1，再在AM上取一點A3，使A3A2=A2A1，如此一直作下去，到不能再作為止，那么作出的最后一點是（ ）A．A5 B．A6 C．A7 D．A87．若P為△ABC所在平面內(nèi)一點，且∠APB=∠BPC=∠CPA=1200，則點P叫作△ABC的費爾馬點，如圖1．AABCPACBB′圖1圖2⑴若點P為銳角△ABC的費爾馬點，且∠ABC=600，PA=3，PC=4，則PB的值為_____．⑵如圖2，在銳角△ABC外側(cè)作等邊△ACB′，連結(jié)BB′．求證：BB′過△ABC的費爾馬點P，且BB′=PA+PB+PC．（湖州市中考試題）8．如圖，△ABC中，∠BAC=600，∠ACB=400，P、Q分別在BC、AC上，并且AP、BQ分別是∠BAC、∠ABC的角平分線，求證：BQ+AQ=AB+BP．（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）AABPQC9．如圖，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，M是BC的中點，過M作ME∥AD交BA延長線于E，交AC于F，求證：BE=CF=(AB+AC)．（重慶市競賽試題）AABDMCFE10．在等邊△ABC的邊BC上任取一點D，作∠DAE=600，DE交∠C的外角平分線于E，那么△ADE是什么三角形？證明你的結(jié)論．（《學習報》公開賽試題）11．如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，直線：與軸、軸的正半軸分別相交于點A、B，過點C(－4，－4)作平行于軸的直線交AB于點D，CD=10．⑴求直線的解析式；⑵求證：△ABC是等腰直角三角形；⑶將直線沿軸負方向平移，當平移恰當?shù)木嚯x時，直線與，軸分別相交于點A′、B′，在直線CD上存在點P，使得△A′B′P是等腰直角三角形，請直接寫出所有符合條件的點P的坐標．（寧波市江東區(qū)模擬題）BBACODyx12．如圖1，在平面直角坐標系中，△AOB為等腰直角三角形，A(4，4)．⑴求B點坐標；⑵如圖2，若C為軸正半軸上一動點，以AC為直角邊作等腰直角△ACD，∠ACD=900，連接OD，求∠AOD度數(shù)；⑶如圖3，過點A作軸于E，F(xiàn)為軸負半軸上一點，G在EF的延長線上，以EG為直角邊作等腰Rt△EGH，過A作軸垂線交EH于點M，連接FM，等式=1是否成立？若成立，請證明；若不成立，說明理由．BBAOxyBAOxyCDBAOxyEFGHM圖1圖2圖3專題17等腰三角形的判定例1延長MF，BA交于E，延長FM至點P，使MP=MF，連BP，則△BMP≌△CMF，∴BP=CF.∵AD平分∠BAC，AD∥FM，∠BAD=∠DAC=∠MFC=∠AFE=∠E=∠P，∴AE=AF，BE=BP，即AB+AE=AB+AF=AB+AC-CF=CF，∴CF=(AB+AC)=(7+11)=9.例2D例3提示：△EMC為等腰直角三角形，連AM，易證：△ADE≌△BAC.∴AD=AB，又∠DAB=90°.又∵M為BD中點，∴AM⊥DB且DM=BM=AM.又∵∠MDE=∠MAC=105°，∴△EDM≌△CAM.∴EM=MC，∠DME=∠AMC，∴∠DME+∠EMA=∠AMC+∠EMA=90°.∴△EMC為等腰直角三角形.例4延長AD至G，使DG=AD，連接BG.由△ADC≌△GDB，得AC=BG，AC∥BG.∵BE=AC，∴BE=BG，得∠BED=∠BGD，∴∠FAE=∠BGD=∠BED=∠AEF，故AF=EF.AABCGDEF例5提示：結(jié)合圖1，給出解答過程.由圖形的軸對稱性知：△ABO≌△ACO，∴∠BAO=∠CAO=10°，∴∠ABO=∠ACO=20°，∴∠AOB=∠AOC=150°.又∵BO=BC=CO=AD，∴△ACD≌△CAO，∴∠AOC=∠CDA=150°，故∠BDC=30°.A級1.90°或75°或15°2.72°3.24.375.D6.D提示：將三式相加7.D8.C9.⑴先證△ACD≌△CBF，∴∠CAD=∠BCF.又∵∠CAD+∠CDG=∠BCF+∠CDG=90°，∴∠CGD=90°，∴AD⊥CF.⑵△ACF為等腰三角形.10.提示：延長DB至E，使BE=AB，連結(jié)AE，證明∠E=∠C，AC=AE.11.提示：證明△DCA≌△ECB、△DCM≌△ECN，∠NCM=60°.12.⑴提示：先證明∠CEF=∠CFE.⑵作EG⊥AC于G，證明△CEG≌△BE′D′，可得CE=BE′，又CF=CE，BE′=CF.B級1.2:12.110°3.104.D5.C提示：在五邊形內(nèi)作等邊三角形ABF，則E、F、C在一條直線上.6.B7.提示：⑴⑵在BB′上取點P，使∠BPC=120°，再在PB′上取點E使PE=PC，連結(jié)CE.則由△PCE為等邊三角形，可得：PC=CE，∠PCE=60°，∠CEB′=120°∵△ACB′為正三角形，∴可證：△ACP≌△B′CE.∴∠APC=∠B′EC=120°，PA=EB′.∴∠APC=∠BPC=∠CPA=120°，∴P為△ABC的費馬點.∴BB′過△ABC的P，且BB′=EB′+PB+PE=PA+PB+PC.8.提示：延長AB至M，使BM=BP，連結(jié)PM，則AB+BP=AM，可證明BQ=QC.∴AQ+QB=AQ+QC=AC，又由△AMP≌△ACP得AM=AC，故AB+BP=AQ+BQ.9.提示：延長FM至P，使PM=FM，連結(jié)BP，則△BMP≌△CMF，AE=AF，BE=BP.10.提示：當D為BC的端點，顯見△AED是等邊三角形；當D為BC邊的中點，取AC的中點F，連接DF，易證△CDF為等邊三角形，又△ADF≌△EDC，故△ADE為等邊三角形．猜測：當D為BC上任意點時，△ADE也為等邊三角形．11．（1）；（2）過點C作CH⊥y軸于H，證明△AOB≌△BHC即可；（3）符合條件的P點共有5個，分別為．圖a圖b12．提示：（1）B圖a圖b（2）如圖a，過A作AS⊥OB于S，過D作DT⊥x軸于T．∵△OAB為等腰直角三角形，∴OS=AS=BS，再由△ASC≌△CTD，可得：AS=CT，SC=TD．∴CT=AS=OS，∴OT=CS=TD．∴∠TOD=45°，則∠AOD=90°；（3）等式成立，理由如下：如圖b，在AM上截取AS=OF，連ES，可證△EAS≌△EOF，可得：ES=EF，∠AES=∠OEF∴∠SEF=∠AEO=90°，∴∠FEM=∠SEM=45°．又∵EM=EM，∴△EFM≌△ESM，∴FM=SM，∴AM=AS+SM=OF+FM，∴．專題18直角三角形閱讀與思考直角三角形是一類特殊三角形，有以下豐富的性質(zhì)：角的關(guān)系：兩銳角互余；邊的關(guān)系：斜邊的平方等于兩直角邊的平方和；邊角關(guān)系：所對的直角邊等于斜邊的一半.這些性質(zhì)廣泛應(yīng)用于線段計算、證明線段倍分關(guān)系、證明線段平方關(guān)系等方面.在現(xiàn)階段，勾股定理是求線段的長度的主要方法，若圖形缺少條件直角條件，則可通過作輔助垂線的方法，構(gòu)造直角三角形為勾股定理的應(yīng)用創(chuàng)造必要條件；運用勾股定理的逆定理，通過代數(shù)方法計算，也是證明兩直線垂直的一種方法.熟悉以下基本圖形基本結(jié)論：例題與求解【例l】（1）直角△ABC三邊的長分別是，和5，則△ABC的周長＝_____________.△ABC的面積＝_____________.（2）如圖，已知Rt△ABC的兩直角邊AC＝5，BC＝12，D是BC上一點，當AD是∠A的平分線時，則CD＝_____________.（太原市競賽試題）解題思路：對于（1），應(yīng)分類討論；對于（2），能在Rt△ACD中求出CD嗎？從角平分線性質(zhì)入手.【例2】如圖所示的方格紙中，點A，B，C，都在方格線的交點，則∠ACB＝（）A.120°B.135°C.150°D.165°（“希望杯”邀請賽試題）解題思路：方格紙有許多隱含條件，這是解本例的基礎(chǔ).【例3】如圖，P為△ABC邊BC上的一點，且PC＝2PB，已知∠ABC＝45°，∠APC＝60°，求∠ACB的度數(shù).（“祖沖之杯”邀請賽試題）解題思路：不能簡單地由角的關(guān)系推出∠ACB的度數(shù)，綜合運用條件PC＝2PB及∠APC＝60°，構(gòu)造出含30°的直角三角形是解本例的關(guān)鍵.【例4】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，分別以AB，AC為邊在△ABC的外側(cè)作等邊△ABE和等邊△ACD，DE與AB交于F，求證：EF＝FD.（上海市競賽試題）解題思路：已知FD為Rt△FAD的斜邊，因此需作輔助線，構(gòu)造以EF為斜邊的直角三角形，通過全等三角形證明.【例5】如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝30°，∠ADC＝60°，AD＝CD，求證：（北京市競賽試題）解題思路：由待證結(jié)論易聯(lián)想到勾股定理，因此，三條線段可構(gòu)成直角三角形，應(yīng)設(shè)法將這三條線段集中在同一三角形中.【例6】斯特瓦爾特定理：如圖，設(shè)D為△ABC的邊BC上任意一點，a，b，c為△ABC三邊長，則.請證明結(jié)論成立.解題思路：本題充分體現(xiàn)了勾股定理運用中的數(shù)形結(jié)合思想.能力訓練A級1.如圖，D為△ABC的邊BC上一點，已知AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，則BC＝_____________.2.如圖，在Rt△ABC中∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于E，DE是斜邊AB的垂直平分線，且DE＝1cm，則AC＝_____________cm.3.如圖，四邊形ABCD中，已知AB∶BC∶CD∶DA＝2∶2∶3∶1，且∠B＝90°，則∠DAB＝_____________.（上海市競賽試題）4.如圖，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，邊BC上的中線AD＝6，則BC的長為_____________.（湖北省預賽試題）5.如果一個三角形的一條邊是另一條邊的2倍，并且有一個角是30o，那么這個三角形的形狀是（）A.直角三角形B.鈍角三角形C.銳角三角形D.不能確定（山東省競賽試題）6.如圖，小正方形邊長為1，連結(jié)小正方形的三個頂點可得△ABC，則AC邊上的高為（）A.B.C.D.（福州市中考試題）7.如圖，一個長為25分米的梯子，斜立在一豎直的墻上，這時梯足距墻底端7分米，如果梯子的頂端沿墻下滑4分米，那么梯足將滑（）A.15分米B.9分米C.8分米D.5分米8.如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝60°，AB＝4，AD＝5，那么等于（）A.1B.2C.D.9.如圖，△ABC中，AB＝BC＝CA，AE＝CD，AD，BE相交于P，BQ⊥AD于Q，求證：BP＝2PQ.（北京市競賽試題）10.如圖，△ABC中，AB＝AC.（1）若P是BC邊上中點，連結(jié)AP，求證：（2）P是BC邊上任意一點，上面的結(jié)論還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；（3）若P是BC邊延長線上一點，線段AB，AP，BP，CP之間有什么樣的關(guān)系？請證明你的結(jié)論.11.如圖，直線OB是一次函數(shù)圖象，點A的坐標為（0，2），在直線OB上找點C，使得△ACO為等腰三角形，求點C的坐標.12.已知：如圖，將矩形ABCD沿對角線BD折疊，使點C落在處，交AD于E，AD＝8，AB＝4，求△BED的面積.（山西省中考試題）B級1.若△ABC的三邊a,b,c滿足條件：，則這個三角形最長邊上的高為_____________.2.如圖，在等腰Rt△ABC中，∠A＝90°，P是△ABC內(nèi)的一點，PA＝1，PB＝3，PC＝，則∠CPA＝_____________.3.在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，則△ABC的周長為_____________.4.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AF平分∠CAB交CD于E，交CB于F，且EG∥AB交CB于G，則CF與GB的大小關(guān)系是（）A.CF＞GBB.CF＝GBC.CF＜GBD.無法確定5.在△ABC中，∠B是鈍角，AB＝6，CB＝8，則AD的范圍是（）A.8＜AC＜10B.8＜AC＜14C.2＜AC＜14D.10＜AC＜14（江蘇省競賽試題）6.滿足兩條直角邊長均為整數(shù)，且周長恰好等于面積的整數(shù)倍的直角三角形的個數(shù)有（）A.1個B.2個C.3個D.4個（浙江省競賽試題）7.如圖，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，D是斜邊BC的中點，E，F(xiàn)分別是AB，AC邊上的點，且DE⊥DF，若BE＝12，CF＝5，求△DEF的面積.（四川省聯(lián)賽試題）8.如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，D為斜邊BC中點，DE⊥DF，求證：（江蘇省競賽試題）9.周長為6，面積為整數(shù)的直角三角形是否存在？若不存在，請給出證明；若存在，請證明有幾個.（全國聯(lián)賽試題）10.如圖，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，BD＝3，CD＝2，求△ABC面積.（天津市競賽試題）11.如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，E，F(xiàn)分別是BC上兩點，若∠EAF＝45°，試推斷BE，CF，EF之間數(shù)量關(guān)系，并說明理由.12.已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠MCN＝45°.（1）如圖1，當M，N在AB上時，求證：（2）如圖2，將∠MCN繞點C旋轉(zhuǎn)，當M在BA的延長線上時，上述結(jié)論是否成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由.（天津市中考試題）專題18直角三角形例1（1）12或30；6或30；提示：，得；由，得，（2）提示：作DE⊥AB于E，設(shè)CD=x，則BE=13-5=8，DE=x，BD=12-x，由，得．例2B提示：過B作BD⊥AC延長線于D點，設(shè)CD=x，BD=y，可求得：x=y，則∠BCD=45°，故∠BCA=135°．例3∠ACB=75°提示：過C作CQ⊥AP于Q，連接BQ，則AQ=BQ=CQ．例4提示：過E作EG⊥AB于G，先證明Rt△EAG≌Rt△ABC，再證明△EFG≌△DFA．例5連接AC∵AD=DC，∠ADC=60°，∴△ADC是等邊三角形，DC=CA=AD，以BC為邊向四邊形外作等邊三角形BCE，即BC=BE=CE，則∠BCE=∠EBC=∠CEB=60°，∴∠ABE=∠ABC+∠EBC=90°，連接AE，則，易證△BDC≌△EAC，得BD=AE，故．例6過A作AE⊥BC于E，設(shè)DE=x，BD=u，DC=v，AD=t，則，故，，消去x得，即．A級1．142．33．135°4．提示：延長AD至E，使DE=AD，連接BE，則△ACD≌△EBD，∴BE=AC=13，AE=12，又AB=5，則∠BAD=90°，5．D6．C7．C8．B9．提示：△ADC≌△BEA，∠BPQ=60°．10．（1）（2）略（3）提示：AB，AP，BP，CP，之間的關(guān)系是11．提示：滿足提議的點有4個，作別分別為：；12．10．B級1．2．135°提示：將△PAC繞A點順時針旋轉(zhuǎn)90°，3．32或42提示：分類討論。4．B5．D6．C提示：設(shè)直角三角形兩直角邊長為a，b（a≤b），則（a，b，k均為正整數(shù)），化簡得：(ka-4)(ka-b)=8，∴或，解得（k，a，b）=（1，5，12）或（2，3，4）或（1，6，8）．7．提示：連接AD，由△ADE≌△CDF，得ED=DF，AE=CF=5，AF=BE=12，．8．提示：延長ED至G，使DG=ED，連接CG，F(xiàn)G，則BE=CG，EF=FG．9．解：設(shè)此直角三角形的斜邊為c，兩直角邊分別為a，b，面積為S，則：由①②得：2<c<3⑤由②得：，把③④代入上式得：3c=9-S，即6<3c<9，而S為整數(shù)，從而3c=7或8，若3c=7，則S=2，代入②、④得：，ab=4，次方程1．一副三角板，按圖11-2-1所示方式疊在一起，則圖中的度數(shù)是（）．A．75°B．60°C．65°D．55°2．如圖11-2-2所示，在△ABC中，∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD，則∠A的度數(shù)為（）A．36°B．72°C．108°D．144°圖11—2—1圖11—2—2圖11—2—1圖11—2—23．我們知道：等腰三角形的兩個底角相等，已知等腰三角形的一個內(nèi)角為40°，則這個等腰三角形的頂角為（）．A．40°B．100°C．40°或100°D．70°或50°4．（1）在△ABC中，若∠A﹕∠B﹕∠C=2﹕3﹕4，則∠A=，∠B=，∠C=．（2）在△ABC中，若，則∠C=．（3）若三角形的三個外角的比是2﹕3﹕4，則這個三角形按角分是三角形．5．已知：如圖11-2-3所示，CE⊥AB于點E，AD⊥BC于點D，∠A=30°，則∠C的度數(shù)為．6．已知：如圖11-2-4所示，一輪船在海上往東行駛，在A處測得燈塔C位于北偏東60°，在B處測得燈塔C位于北偏東25°，則∠ACB=．圖11—2—3圖11—2—4圖11—2—3圖11—2—47．如圖11-2-5所示，已知∠EGF=∠E+∠F，求∠A+∠B+∠C+∠D的度數(shù)．圖11—2—5圖11—2—58．（1）已知，如圖11-2-6所示，AD是高，AE是∠BAC的平分線，是說明：．圖11—2—6圖11—2—6（2）如圖11-2-7所示，在△ABC中，已知三條角平分線AD、BE、CF相交于點I，IH⊥BC，垂足為H，∠BID與∠HIC是否相等？并說明理由．圖11—2—7圖11—2—7能力提升9．在三角形中，最大角的取值范圍是（）．A．B．C．D．10．直角三角形中兩銳角平分線所成的角的度數(shù)是（）．A．45°B．135°C．45°或135°D．都不對11．如圖11-2-8所示，把△ABC紙片沿DE折疊，當點A落在四邊形BCDE內(nèi)部時，則∠A與∠1+∠2之間有一種數(shù)量關(guān)系始終保持不變，那么，你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是（）．A．B．C．D．圖11—2—8圖11—2—812．已知△ABC的三個內(nèi)角為∠A、∠B、∠C，且，，，則中，銳角的個數(shù)最多為（）A．0B．1C．2D．313．在△ABC中，BC邊不動，點A豎直向上運動，∠A越來越小，∠B、∠C越來越大，若∠A減少，∠B增加，∠C增加，則三者之間的關(guān)系是．14．在△ABC中，高BD、CE所在的直線相交于點H，且點H與點B、C不重合，∠A=50°，則∠BHC=．15．已知等腰三角形一腰上的高與另一腰成20°角，則這個三角形的頂角是．16．如圖11-2-9所示，在△ABC中，A1B平分∠ABC，A1C平分∠ACD，A2B平分∠A1BD，A2C平分∠A1CD，A3B平分∠A2BD，A3C平分∠A2CD，若∠A=64°，則∠A3=；依此類推，若∠A=，∠An=．圖11—2—9圖11—2—917．（1）如圖11-2-10所示，在△ABC中，∠ABC的n等分線與∠ACB的n等分線分別交于G1，G2，G3，…，Gn-1，試猜想：∠BGn-1C與∠A的數(shù)量關(guān)系．（其中n是不小于2的整數(shù)）．首先得到：當n=2時，如圖（a）所示，∠BG1C=，當n=3時，如圖（b）所示，∠BG2C=，…，如圖（c）所示，猜想∠BGn-1C=．……（a）（b……（a）（b）（c）（d）圖11—2—10圖11—2—10（2）如圖（d）所示，在四邊形ABCD中，BP、CP仍然是∠ABC，∠BCD的角平分線，則∠P與∠A、∠D之間的數(shù)量關(guān)系為．18．如圖11-2-11所示，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，AG⊥AE，CG是△ABC的外角∠ACF的平分線，若∠G-∠DAE=60°，則∠ACB=．圖11—2—11圖11—2—1119．閱讀材料：如圖11-2-12所示，AD與CB相交于O點，在△AOB和△COD中，∠A+∠B+∠AOB=180°，∠C+∠D+∠COD=180°，∠AOB=∠COD，所以∠A+∠B=∠C+∠D．圖形類似數(shù)字“8”，所以我們稱之為“8”字形．根據(jù)上述材料解決下列問題：如圖11-2-13所示，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠A=48°，∠C=46°，BE與AD相交于點G，BC與DE相交于點H．（1）仔細觀察圖11-2-13中有個“8”字形．（2）求∠BED的度數(shù)．（3）試探究∠A，∠E，∠C之間的關(guān)系．（直接寫出結(jié)論）圖11—2—12圖11—圖11—2—12圖11—2—1320．如圖11-2-14所示，已知射線OM與射線ON互相垂直，B、A分別為OM、ON上一動點，（1）若∠ABM，∠BAN的平分線交于點C．問：點B、A在OM、ON上運動過程中，∠C的度數(shù)是否改變？若不變，直接寫出結(jié)論；若改變，說明理由．（2）如圖11-2-15所示，若∠ABO、∠BAN的平分線所在的直線相交于點C，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，求出其值；若不成立，說明理由．圖11—2—14圖11—2—14圖11—2—1521．如圖11-2-16所示，在△ADE和△ABC中，∠EAD=∠AED=∠BAC=∠BCA=45°，∠BAD=∠BCF．（1）求∠ECF+∠DAC+∠ECA的度數(shù)；（2）判斷ED與FC的位置關(guān)系，并對你的結(jié)論加以證明．圖11—2—16圖11—2—1622．如圖11-2-17（a）所示，在平面直角坐標系中，△DEQ的一個頂點在x軸的負半軸上，邊DQ交x軸于點C，且CE平分∠DEQ，過點D作直線交x軸于點B，交y軸于點A，使∠ADE=∠BDC，已知，，其中m，n滿足．（1）求點C、E的坐標．（2）若∠ABC=30°，求∠Q的度數(shù)．（3）如圖11-2-17（b）所示，在平面直角坐標系中，若直線AB繞點D旋轉(zhuǎn)，過D作DH⊥AB，交x軸于點G，交y軸于點H，直線AB繞點D轉(zhuǎn)動時，下列結(jié)論：①∠Q的大小不變；②的值不變．選擇一個正確的結(jié)論，求其值，并證明你的結(jié)論．（a）（a）（b）圖11-2-17中考鏈接23．（2011·四川綿陽）將一副常規(guī)三角尺按圖11-2-18所示方式放置，則圖中∠AOB的度數(shù)為A．75°B．95°C．105°D．120°24．一副三角板疊在一起按圖11-2-19所示方式放置，最小銳角的頂點D恰好放在等腰直角三角板的斜邊AB上，BC與DE交于點M.如果∠ADF=100°，那么∠BMD為度.圖11—2—18圖11—圖11—2—18圖11—2—19巔峰突破25．如圖11-2-20所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠DAF=，，則射線AF與BG（）A．平行B．延長后相交C．反向延長后相交D．可能平行也可能相交26．如圖11-2-21所示，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若，，則∠C=．（用表示）圖11—2—20圖11—圖11—2—20圖11—2—21（2）如下圖所示，過點G作GM⊥BC于M，連接HF.∵AD∥BC，∴∠AHF=∠MFH.∵EH∥FG，∴∠EHF=∠GFH.∴∠AHE=∠MFG.又∵∠A=∠GMF=90°，EH=GF，∴△AHE≌△MFG.∴GM=AE=2.∵BC=12，BF=a，∴FC=12－a.∴.(3)△GFC的面積不能等于2.∵點H在AD上，∴菱形邊上EH的最大值為.∴BF的最大值為.又因為的值隨著a的增大而減小，所以的最小值為.又∵，∴△GFC的面積不能等于2.第三節(jié)梯形基礎(chǔ)演練1.C；2.B；3.C；4.D；5.B；6.①②③能力提升7.D；8.B；9.A；10.B；11.3212.如下圖所示，作DE∥AC，交BC的延長線于E，則四邊形AQCED為平行四邊形，∴AD=CE.∵AC⊥BD，∴∠BDE=90°.∴梯形的中位線長.∵.∴梯形的中位線.13.(1)如下圖所示，把等腰梯形的兩腰分別延長后可得一個邊長為2的等邊三角形.所以它可以由一個邊長為2的等邊三角形，沿著中位線的位置形剪一刀而得.（2）四種.分別用3，4，5個小梯形拼出較大的等腰梯形.①3個梯形，周長為11cm，如下圖所示；②4個梯形，周長為10cm，如下圖所示；③5個梯形，周長為17cm，如下圖所示；④5個梯形，周長為11cm，如下圖所示；14.（1）∵AB∥DF，∴∠1=∠ADF.∴∠1=∠2，∴∠2=∠ADF.∴EA=ED.又AC=DF，∴EC=EF.∴△EAD及△ECF均是等腰三角形，且頂角為對頂角，由三角形內(nèi)角和定理知∠ADF=∠DFC，∴AD∥CF.又∵CF＜AD，∴四邊形ADCF是梯形，∵AC=DF，∴ADCF是等腰梯形.(2)四邊形ADCF的周長=AD+DC+CF+AF.①∵△ADC的周長=AD+DC+AC=16（厘米）.②AF=3（厘米）.③FC=AC－3.④將②，③，④代入①得：四邊形ADCF的周長=AD+DC+(AC－3)+AF=(AD+DC+AC)－3+3=16（厘米）.15.(1)解：∵∠BCD=75°，AD∥BC，∴∠ADC=105°.由等邊△DCE可知∠CDE=60°，故∠ADE=45°.由AB⊥BC，AD∥BC，可得∠DAB=90°，∴∠AED=45°.（2）證明：如圖（a）所示，由（1）知∠AED=45°，∴AD=AE，故點A在線段DE的垂直平分線上.由△DCE是等邊三角形得CD=CE，故點C也在線段DE的垂直平分線上.連接AC，∵∠AED=45°，∴∠BAC=45°.又AB⊥BC，∴∠ACB=45°.∴BA=BC.（3）如圖（b）所示，∵∠FBC=30°，∴∠ABF=60°.連接AF，BF，AD的延長線相交于點G，∵∠FBC=30°，∠DCB=75°，∴∠BFC=75°，故BC=BF.由（2）知：BA=BC，故BA=BF，∵∠ABF=60°，∴AB=BF=FA，又∵AD∥BC，AB⊥BC，∴∠FAG=∠G=30°，∴FG=FA=FB.∵∠G=∠FBC=30°，∠DFG=∠CFB，F(xiàn)B=FG，∴△BCF≌△GDF.∴DF=CF，即點F是線段CD的中點.∴.16.（1）證明：∵EF將矩形ABCD分成面積相等的兩部分，∴.∴.∴.又∵，∴.（2）當直線經(jīng)過原矩形頂點D時，如圖∵，，∴.∴.即，∴.∴.17.（1）NE=MB且NE⊥MB.（2）成立.理由：如下圖所示，連接AE.∵E為CD中點，AB=BC=CD，∴AB=EC.又AB∥CD，即AB∥CE，∴四邊形ABCE為平行四邊形.∵∠C=90°，∴四邊形ABCE為矩形.又AB=BC，∴四邊形ABCE為正方形.∴AE=AB.∵等腰直角三角形AMN中，∴AN=AM，∠NAM=90°.∴∠1+∠2=90°.又∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3.∴△NAE≌△MAB.∴NE=MB.延長NE、BM交于點F.由△NAE≌△MAB可得，∠AEN=∠ABM.∴∠4=∠6.∵∠5=∠6，∴∠4=∠5.又∠EMF=∠BMC，∴∠EFB=∠C=90°.∴BM⊥NE.中考鏈接18.（1）設(shè)AB=10xkm，則AD=5xkm，CD=2xkm，∵四邊形ABCD是等腰梯形，∴BC=AD=5xkm，∴AD+CD+CB=12xkm，∴外環(huán)公路的總長和市區(qū)公路長的比為12x：10x=6：5；（2）由（1）可知，市區(qū)公路的長為10xkm，外環(huán)公路的總長為12xkm，由題意得：.解這個方程得.∴.答：市區(qū)公路的長為10km.19.（1）略（2）解：如下圖所示，作BH⊥AD，CK⊥AD，則有BC=HK，∵∠BAD=45°，∴∠HAB=∠KDC=45°,∴，同理：，∵，，∴，而，∴，∴巔峰突破20.(1)10；.（2）如下圖(a)、（b）所示.①∵△BEF與梯形ABCD等高，梯形ABCD的高，∴，即；②∵，（為常數(shù)），∴.∴.∴.∴，為整數(shù)，∴.即BF的長為：1cm、2cm、3cm.21.（1）略.(2)解：如下圖所示，延長CD和BE的延長線交于H，∵BF⊥CD，∠BEC=90°，∴∠HEC=90°，∴∠EBF+∠H=∠ECH+∠H=90°，∴∠EBF=∠ECH，∵BE=CE，∠BEC=∠CEH，∴△BEG≌△CEH（ASA），∴EG=E