《數(shù)學(xué)（上 一冊）（第二版）》 課件 第1-4章 不等式與集合 -數(shù)列

不等式與集合第1章1目錄1.1不等式的性質(zhì)與解集1.2一元一次不等式（組）1.3一元二次不等式1.4含有絕對值的不等式1.5簡易邏輯2教學(xué)要求：1.理解并掌握不等式的基本性質(zhì)，掌握基本不等式及應(yīng)用。2.了解集合的概念與表示方法，掌握常用數(shù)集的記法。理解區(qū)間的含義及表示方法，會進(jìn)行數(shù)集與區(qū)間的互化。掌握用集合、區(qū)間表示不等式解集的方法，并能把解集在數(shù)軸上表示出來。3.掌握一元一次不等式（組）的解法。了解集合交集的概念及運(yùn)算，理解集合之間的關(guān)系。34.了解一元二次方程、二次函數(shù)和一元二次不等式的關(guān)系，會用數(shù)形結(jié)合的思想方法求解一元二次不等式，了解并集的概念及運(yùn)算。5.體會絕對值的幾何意義，會用變量代換的思想方法解含有絕對值的不等式，了解補(bǔ)集的概念及運(yùn)算。6.了解命題的概念，會判斷命題的真假。理解充分條件、必要條件、充分必要條件的意義，會利用它們判斷兩個命題之間的關(guān)系。41.1不等式的性質(zhì)與解集5實(shí)數(shù)的大小我們知道，實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)之間可以建立一一對應(yīng)關(guān)系。例如，點(diǎn)A與實(shí)數(shù)2對應(yīng)，點(diǎn)B與實(shí)數(shù)-3對應(yīng)等?？梢钥吹?，當(dāng)數(shù)軸上一點(diǎn)P從左向右移動時，它對應(yīng)的實(shí)數(shù)就逐漸增大。6數(shù)軸上的任意兩點(diǎn)中，右邊的點(diǎn)對應(yīng)的實(shí)數(shù)比左邊的點(diǎn)對應(yīng)的實(shí)數(shù)大。例如，點(diǎn)A位于點(diǎn)B的右邊，則點(diǎn)A對應(yīng)的實(shí)數(shù)2比點(diǎn)B對應(yīng)的實(shí)數(shù)-3大，即2>-3。在數(shù)軸上，如果點(diǎn)A在點(diǎn)B的右邊（或左邊），點(diǎn)A對應(yīng)的實(shí)數(shù)為a，點(diǎn)B對應(yīng)的實(shí)數(shù)為b，則有a>b（或a<b）。對于任意兩個實(shí)數(shù)a和b，它們具有如下基本事實(shí)：a-b>0?a>b，a-b=0?a=b，a-b<0?a<b。由此可知，要確定兩個實(shí)數(shù)a和b的大小關(guān)系，還可以通過比較它們的差與0的大小關(guān)系進(jìn)行判定。7不等式的基本性質(zhì)從實(shí)數(shù)的大小關(guān)系出發(fā)，可以得到不等式的基本性質(zhì)：性質(zhì)1不等式的兩邊同時加上（或減去）同一個實(shí)數(shù)，不等號的方向不變，即如果a>b，那么a+m>b+m；如果a<b，那么a+m<b+m。性質(zhì)2不等式的兩邊同時乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變，即如果a>b且m>0，那么am>bm；如果a<b且m>0，那么am<bm。8性質(zhì)3不等式的兩邊同時乘（或除以）同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向要改變，即如果a>b且m<0，那么am<bm；如果a<b且m<0，那么am>bm。性質(zhì)4不等式具有傳遞性，即如果a>b且b>c，那么a>c。9基本不等式及其應(yīng)用我們知道，對于任意實(shí)數(shù)a，都有a2≥0。那么，對于任意實(shí)數(shù)x，y而言，必定有（x-y）2≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時等號成立。將（x-y）2≥0的左邊展開得x2-2xy+y2≥0，移項(xiàng)得x2+y2≥2xy。這表明對于任意實(shí)數(shù)x，y，都有x2+y2≥2xy，

①當(dāng)且僅當(dāng)x=y時，等號成立。10特別地，當(dāng)a>0，b>0時，我們用

分別代替x，y，則不等式①變?yōu)閍+b≥2

，即通常稱不等式②為基本不等式，其中，

稱為a，b的算術(shù)平均數(shù)，

稱為a，b的幾何平均數(shù)。因此，不等式②表達(dá)的結(jié)論為：兩個正實(shí)數(shù)的幾何平均數(shù)不超過算術(shù)平均數(shù)。當(dāng)a，b的和一定時，若不等式②中等號成立，則a，b的幾何平均值

取最大值；當(dāng)a，b的積一定時，若不等式②中等號成立，則a，b的算術(shù)平均值

取最小值。利用這個特性，可以很方便地解決一些求最大（?。┲档膶?shí)際問題。11集合的概念不等式的解的全體也被稱為解集。一般地，某些指定的對象組成的全體就是一個集合（簡稱集）。集合通常用大寫英文字母A，B，C，…表示。例如：滿足不等式x<3的全體自然數(shù)0，1，2組成集合A，滿足不等式x+3<5的全體實(shí)數(shù)組成集合B。12集合中的每個對象都稱為這個集合的元素。集合的元素通常用小寫英文字母a，b，c，…表示。集合中的元素必須是確定的。如果給定一個集合，則任何一個對象是否為其中的元素應(yīng)可明確判斷。一個給定集合中的元素是互不相同的，也就是說，集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的。只要構(gòu)成兩個集合的元素是一樣的，我們就稱這兩個集合是相等的。如果a是集合A的元素，就說a屬于集合A，記作a∈A；如果a不是集合A的元素，就說a不屬于集合A，記作a?A。13集合的元素可以是字母、數(shù)字，甚至是圖形。如果集合中的元素是數(shù)，那么這樣的集合叫作數(shù)集。常用數(shù)集及其記法見下表。我們把不含任何元素的集合稱為空集，記作?。例如，方程x2+2=0沒有實(shí)數(shù)解，因此，方程x2+2=0的實(shí)數(shù)解組成的集合就是?。14常用數(shù)集表集合的表示方法通常有兩種：列舉法和描述法。我們將實(shí)例考察第（1）題中的集合A表示為{0，1，2}。像這樣通過在大括號內(nèi)一一列舉集合中的所有元素表示集合的方法叫作列舉法。用列舉法表示集合，元素之間要用逗號分隔開。我們將實(shí)例考察第（2）題中的集合B表示為{x|x<2，x∈R}。用集合中元素的共同特征來表示集合的方法叫作描述法。描述法的一般形式為{x|x具有的共同特征}。使不等式成立的未知數(shù)的全體組成的集合，稱為不等式的解集。15區(qū)間的概念不等式的解集往往是數(shù)集。設(shè)a，b是兩個實(shí)數(shù)，且a<b，我們規(guī)定：1.數(shù)集{x|a≤x≤b}稱為閉區(qū)間，用符號[a，b]表示。2.數(shù)集{x|a<x<b}稱為開區(qū)間，用符號（a，b）表示。3.數(shù)集{x|a≤x<b}稱為左閉右開區(qū)間，用符號[a，b）表示。4.數(shù)集{x|a<x≤b}稱為左開右閉區(qū)間，用符號（a，b]表示。16上面的這些數(shù)集都稱為區(qū)間，其中[a，b）和（a，b]統(tǒng)稱為半開半閉區(qū)間。這里的實(shí)數(shù)a，b分別稱為區(qū)間的左端點(diǎn)和右端點(diǎn)。區(qū)間在數(shù)軸上可以用一條以a，b為端點(diǎn)的線段表示，區(qū)間閉的一端用實(shí)心點(diǎn)表示，區(qū)間開的一端用空心點(diǎn)表示。175.實(shí)數(shù)集R可用區(qū)間（-∞，+∞）表示，數(shù)集{x|x≥a}，{x|x≤b}，{x|x>a}，{x|x<b}則分別可用區(qū)間[a，+∞），（-∞，b]，（a，+∞），（-∞，b）表示。其中，a，b也稱為區(qū)間的端點(diǎn)，“+∞”讀作“正無窮大”，“-∞”讀作“負(fù)無窮大”。181.2一元一次不等式（組）19一元一次不等式只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是一次的不等式，稱為一元一次不等式。我們在初中已經(jīng)學(xué)過一元一次不等式的解法，即利用不等式的基本性質(zhì)，將不等式逐步化成x<a（或x>a）的形式?；静襟E是：去分母→去括號→移項(xiàng)→合并同類項(xiàng)→未知數(shù)的系數(shù)化為1。因?yàn)閷?shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng)，所以不等式的解集可以在數(shù)軸上直觀地表示出來。20一元一次不等式組一元一次不等式組含有相同未知數(shù)的幾個一元一次不等式所組成的不等式組。不等式組的解集不等式組中各不等式的解集的公共部分。一元一次不等式組解法的基本步驟：（1）求出不等式組中各不等式的解集；（2）分別作出各不等式的解集的數(shù)軸表示，找出公共部分，得到不等式組的解集（若公共部分不存在，則不等式組的解集為空集）。21兩個一元一次不等式所組成的一元一次不等式組的解集情況，可以歸結(jié)為以下四種基本類型。22為了直觀地表示一個集合，我們可以在平面上畫一條封閉的曲線，用它的內(nèi)部來表示一個非空集合，這種圖稱為Venn圖。集合A與B的交集A∩B可用Venn圖表示，圖中的陰影部分即表示A∩B。若兩個集合沒有公共元素[如例1（2）不等式組中兩個不等式的解集]，則這兩個集合的交集為空集，記作A∩B=?。23我們規(guī)定，空集是任何集合的子集。也就是說，對于任意一個集合A，都有??A。對于任意一個集合A，它的所有元素都屬于集合A本身，所以任意一個集合都是它本身的子集，即A?A。集合A與集合B的包含關(guān)系A(chǔ)?B（或B?A），可以用圖表示。24設(shè)集合A={4，6，8，10}，集合B={2，4，6，8，10}，則集合A?B，且集合B中存在元素2?A。這時，我們稱集合A是集合B的真子集。我們規(guī)定，空集是任何非空集合的真子集，也就是說，對于任意一個非空集合A，都有??A。集合B與它的真子集A的關(guān)系，可以用上圖a表示。25對于常用數(shù)集N，Z，Q，R來說，有N?Z?Q?R。使用Venn圖可以清楚地表示這種真包含的關(guān)系，如圖所示。設(shè)集合A={2，3}，集合B={x|x2-5x+6=0}，考察方程x2-5x+6=0的實(shí)數(shù)解可知，集合A與集合B中的元素是一樣的。根據(jù)子集的定義得A?B且B?A。26由集合相等的定義，可以知道，{x|x2-7x+12=0}={3，4}。又如：{中國古代四大發(fā)明}={指南針，火藥，造紙術(shù)，印刷術(shù)}，

{平行四邊形}={兩組對邊分別平行的四邊形}

={對角線互相平分的四邊形}。271.3一元二次不等式28一元二次不等式受各種成本和銷售策略的影響，隨著商品銷量提升，企業(yè)的利潤并非總是均勻增加的。請研究以下案例：商場某商品的存貨量為200件。在存貨支持的范圍內(nèi)，商場一天銷售該商品的數(shù)量x（單位：件）與利潤y（單位：元）之間滿足關(guān)系式y(tǒng)=-10x2+400x（x∈N）。如果商場計(jì)劃在一天內(nèi)通過銷售該商品產(chǎn)生3000元以上的利潤，那么一天內(nèi)至少應(yīng)銷售多少件?根據(jù)問題得不等式-10x2+400x>3000（x∈N），整理得x2-40x+300<0（x∈N）。這是一個關(guān)于x的不等式，求出滿足這個不等式的解是問題的關(guān)鍵。29類似實(shí)例考察中的不等式還有很多，例如：x2-x+1>0，-2x2+3x+5<0。上述不等式都是只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)為二次的不等式，我們把這樣的不等式稱為一元二次不等式，它的一般形式是ax2+bx+c>0，或ax2+bx+c<0，其中，a，b，c均為常數(shù)，a≠0。需要說明的是，整理后沒有二次項(xiàng)的一元不等式不是一元二次不等式。30如何求一元二次不等式的解集呢?二次函數(shù)y=x2-x-2的圖像如圖所示，觀察圖像并討論：（1）當(dāng)y=0時，x取什么值?（2）二次函數(shù)y=x2-x-2的圖像與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是什么?（3）當(dāng)y<0時，x的取值范圍是什么?（4）當(dāng)y>0時，x的取值范圍是什么?31我們知道，二次函數(shù)y=x2-x-2的圖像是一條開口向上的拋物線，因此：（1）當(dāng)y=0時，即得到一元二次方程x2-x-2=0，解得方程的兩個實(shí)數(shù)根x1=-1，x2=2。（2）由上圖可知，二次函數(shù)y=x2-x-2的圖像與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（-1，0），（2，0）。（3）當(dāng)y<0時，x的取值范圍是（-1，2），即不等式x2-x-2<0的解集為（-1，2）。（4）當(dāng)y>0時，x的取值范圍是（-∞，-1）或（2，+∞）。32集合A與B的并集A∪B可用Venn圖表示，圖中的陰影部分即表示A∪B。因此，不等式x2-x-2>0的解集為（-∞，-1）∪（2，+∞）。上述方法可以推廣到任意的一元二次不等式。33我們知道，對于一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0），設(shè)Δ=b2-4ac，它的根按照Δ>0，Δ=0，Δ<0可分為三種情況。相應(yīng)地，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與x軸的位置關(guān)系也可分為三種情況。因此，我們可分三種情況來討論對應(yīng)的一元二次不等式的解集。341.4含有絕對值的不等式35含有絕對值的不等式在生產(chǎn)和生活中，我們經(jīng)常會接觸到有誤差范圍的技術(shù)要求。圖是一工件加工圖紙，要求加工的過程中，三角形的高為30mm，誤差范圍在±0.042mm，若一名學(xué)生加工的工件高為dmm，則d必須滿足什么條件，工件才合格?36設(shè)學(xué)生實(shí)際加工的工件高與30mm之間的差為x，則x=d-30。由以上要求可知x最大為0.042，最小為-0.042，因此得-0.042≤x≤0.042。觀察圖所示數(shù)軸，數(shù)軸上符合-0.042≤x≤0.042的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離小于等于0.042，也就是說，x≤0.042，即37類似實(shí)例考察中得到的不等式還有很多，例如

等。像這樣的不等式稱為含有絕對值的不等式。由實(shí)例考察可知

≤0.042可轉(zhuǎn)化為-0.042≤x≤0.042，也就是說

≤0.042的解集是[-0.042，0.042]，即為上圖所示。類似地，若

>0.042，則在數(shù)軸上表示x的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離大于0.042，即x<-0.042或x>0.042。因此，不等式

>0.042的解集是（-∞，-0.042）∪（0.042，+∞）。38根據(jù)以上分析，可以得出下表的結(jié)論。應(yīng)用這個結(jié)論及不等式的性質(zhì)可以解類似≤0.042，>5等較復(fù)雜的不等式。39全集與補(bǔ)集我們考察不等式

≤a的解集A，

>a（a>0）的解集B以及實(shí)數(shù)集R三個集合之間的關(guān)系。由圖可知：不等式

≤a的解集A與

>a（a>0）的解集B都是實(shí)數(shù)集R的子集，解集A與解集B的交集為?，而并集等于實(shí)數(shù)集R。像這樣，如果作為研究對象的集合都是某個給定集合的子集，那么這個給定的集合就稱為全集，常用符號U來表示。40在畫Venn圖時，我們通常用矩形的內(nèi)部表示全集U，則在矩形內(nèi)，集合A的外部表示的就是?UA，如圖中的陰影部分。411.5簡易邏輯42命題判斷真假是生活中常見的問題。請你判斷下面所說的事情是真是假，并總結(jié)這四句話的共同點(diǎn)。（1）長城屬于中國；（2）雪是黑的；（3）5是自然數(shù)；（4）11>25。43實(shí)例考察中四句話的共同點(diǎn)是：都是陳述句，都可以判斷真假。實(shí)例考察的這些語句中，（1）（2）（3）（4）都是命題。其中，（1）（3）是真命題；（2）（4）是假命題。44為了方便，我們常用小寫字母p，q，r，s，…表示命題。當(dāng)命題p是真命題時，可簡稱p為真；當(dāng)命題p是假命題時，可簡稱p為假，例如：r：5是自然數(shù)。r為真s：11>25。

s為假上述兩個判斷的意思是：命題r為“5是自然數(shù)”，是真命題；命題s為“11>25”，是假命題。45例題解析

例1下列語句是不是命題?如果是命題，指出它的真假；如果不是命題，說明理由：（1）空集是任何集合的子集。

（2）對數(shù)函數(shù)是增函數(shù)嗎?（3）

=-2。

（4）x=5。（5）π是有理數(shù)。

（6）上課請不要講話!分析判斷一個語句是不是命題，就是要看它是否符合“陳述句”和“可以判斷真假”這兩個條件。解上面6個語句中，（2）（6）不是陳述句，所以它們都不是命題；（4）是陳述句，但因?yàn)闊o法判斷它的真假，所以它也不是命題；其余3個都是陳述句，而且都可以判斷真假，所以它們都是命題，其中（1）是真命題，（3）（5）是假命題。46上面列舉的命題都是用一句簡單的陳述句表達(dá)的，我們把這類命題稱為簡單命題。除此之外，還有一類命題是由一些連接詞把一些簡單命題連接起來構(gòu)成的，例如：（1）12是4的倍數(shù)，且12是6的倍數(shù)。（2）3+4=7或3+4>7。（3）6不是分?jǐn)?shù)，也不是整數(shù)。（4）如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等。（5）若整數(shù)a是素數(shù)，則a是奇數(shù)。47我們把這類命題稱為復(fù)合命題。其中，（4）（5）具有“如果p，那么q”或“若p，則q”的形式，通常我們把這種形式的命題中的p稱為命題的條件，q稱為命題的結(jié)論。有關(guān)復(fù)合命題的真假，我們將通過實(shí)例來討論。數(shù)學(xué)中有一些命題雖然表面上不是“若p，則q”的形式，例如“垂直于同一條直線的兩條直線平行”，但是把它的表述作適當(dāng)改變，就可以寫成“若p，則q”的形式：若兩條直線垂直于同一條直線，則這兩條直線平行。這樣，它的條件和結(jié)論就很清楚了。48四種命題考察下面命題的幾種變化，各種變化形式之間是怎樣的關(guān)系?有什么特點(diǎn)?如果天下雨，那么露天的地面濕。

①變化1把命題①的條件與結(jié)論互換，得：如果露天的地面濕，那么天下雨。

②變化2把命題①的條件與結(jié)論都否定，得：如果天沒下雨，那么露天的地面不濕。

③變化3把命題①的條件與結(jié)論互換后再否定，得：如果露天的地面不濕，那么天沒下雨。

④49命題①與②，③與④稱為互逆命題，其特點(diǎn)是條件與結(jié)論交換了位置。命題③的條件與結(jié)論，恰好是命題①的條件與結(jié)論的否定，反過來也一樣，我們把命題①與③稱為互否命題。命題②與命題④的關(guān)系也是如此。命題④的條件與結(jié)論，恰好是命題①的結(jié)論與條件的否定，反過來也一樣，我們稱命題①與④互為逆否命題。命題②與③的關(guān)系也是如此。分析實(shí)例考察中的4個命題的真假，容易得出：命題①與④為真，命題②與③為假。實(shí)際上，互為逆否命題的兩個命題同真或同假。50充分、必要和充要條件“充分”和“必要”是邏輯中兩個十分重要的詞匯，它們表明了兩個命題間的基本關(guān)系。圖表現(xiàn)了整數(shù)集合和自然數(shù)集合的關(guān)系。我們知道，如果a是自然數(shù)，那么a必是整數(shù)，也就是說，從“a是自然數(shù)”可以推出“a是整數(shù)”；但反過來，從“a是整數(shù)”不能推出“a是自然數(shù)”。因此，我們說：“a是自然數(shù)”是“a是整數(shù)”的充分而不必要條件；或者說：“a是整數(shù)”是“a是自然數(shù)”的必要而不充分條件。51根據(jù)上述定義，分析下面兩個命題：p：三角形的三條邊相等；q：三角形的三個內(nèi)角相等。52由三角形的三條邊相等可推出它的三個內(nèi)角相等，即p?q，所以p是q的充分條件；由三角形的三個內(nèi)角相等也可推出它的三條邊相等，即q?p，所以p是q的必要條件。于是，我們就說“三角形的三條邊相等”是“三角形的三個內(nèi)角相等”的充分必要條件，即p是q的充分必要條件。53函數(shù)第2章54目錄2.1函數(shù)的概念2.2函數(shù)的性質(zhì)2.3冪函數(shù)2.4指數(shù)函數(shù)2.5對數(shù)函數(shù)55教學(xué)要求：1.理解函數(shù)的概念，會用函數(shù)觀察、認(rèn)識、分析客觀世界中變量之間的關(guān)系。2.學(xué)會用恰當(dāng)?shù)姆椒ǎń馕龇?、列表法、圖像法）表示函數(shù)，會解讀用列表法與圖像法表示的函數(shù)關(guān)系的實(shí)際含義。3.會求一些簡單的函數(shù)的定義域。4.理解函數(shù)值的概念，并會用觀察與分析的方法得到一些簡單的函數(shù)的值域。5.會用描點(diǎn)法畫函數(shù)的圖像。6.會通過觀察與分析，判斷函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，并能利用函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)在有限區(qū)間上的最大值或最小值。567.了解反函數(shù)的概念以及求函數(shù)的反函數(shù)的基本方法。8.了解n次方根的概念，掌握實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則，能熟練地使用計(jì)算器求冪的值。9.了解由指數(shù)式引入對數(shù)概念的過程，理解對數(shù)的含義，掌握對數(shù)的運(yùn)算法則，能熟練地使用計(jì)算器求對數(shù)值。10.學(xué)會運(yùn)用函數(shù)知識理解和解決簡單的實(shí)際問題。11.掌握數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，了解冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際背景，理解它們的概念，了解它們的圖像特征和性質(zhì)，并能夠?qū)⑦@些知識用于解釋生活和生產(chǎn)中有關(guān)指數(shù)、對數(shù)規(guī)律變化的問題。572.1函數(shù)的概念58我們在初中已經(jīng)初步接觸了一些有關(guān)函數(shù)的概念：變量在一個變化過程中，數(shù)值發(fā)生變化的量稱為變量。常量在一個變化過程中，數(shù)值保持不變的量稱為常量。函數(shù)與自變量在某個變化過程中有兩個變量，設(shè)為x和y，如果對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應(yīng)，那么變量y稱為變量x的函數(shù)，x稱為自變量。正比例函數(shù)形如y=kx（k≠0且k是常數(shù)）的函數(shù)稱為正比例函數(shù)，其中常數(shù)k稱為正比例系數(shù)。59反比例函數(shù)形如y=

（k≠0且k是常數(shù)）的函數(shù)稱為反比例函數(shù)，其中常數(shù)k稱為反比例系數(shù)。一次函數(shù)形如y=kx+b（k，b是常數(shù)，k≠0）的函數(shù)稱為一次函數(shù)。正比例函數(shù)是一種特殊的一次函數(shù)。二次函數(shù)形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)稱為二次函數(shù)，其中a，b，c分別是二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)。60函數(shù)的概念我們知道，用不等式表示的x的取值范圍就是滿足相應(yīng)不等式的實(shí)數(shù)x的集合，這種集合可以用區(qū)間表示。因此，實(shí)例考察的“面積”一例中，x的取值范圍可以寫成（0，+∞）；“個人所得稅”一例中，x的取值范圍可以寫成（5000，8000]。進(jìn)一步考察上面這兩個例子會發(fā)現(xiàn)，x每取一個值，函數(shù)y按照對應(yīng)法則，都有唯一的值與之對應(yīng)。由此，我們可以加深對函數(shù)的認(rèn)識：61例如，正比例函數(shù)y=kx（k≠0）的對應(yīng)關(guān)系是“乘以k”，定義域是（-∞，+∞），值域也是（-∞，+∞）；二次函數(shù)y=x2+c的對應(yīng)關(guān)系是“求平方再加c”，定義域是（-∞，+∞），值域是[c，+∞）。從函數(shù)的概念可以知道，函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系是構(gòu)成函數(shù)的兩大要素。函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系確定后，函數(shù)的值域也就隨之確定了。62函數(shù)的表示方法表示兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系的方法有解析法、列表法和圖像法三種。解析法我們學(xué)過的正比例函數(shù)y=kx（k≠0），反比例函數(shù)y=

（k≠0），一次函數(shù)y=kx+b（k≠0），二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）都是用解析式來表示兩個變量之間函數(shù)關(guān)系的。這種用解析式來表示函數(shù)的方法稱為解析法。用解析法表示函數(shù)便于由自變量求出對應(yīng)的函數(shù)值，也便于研究函數(shù)的性質(zhì)。63列表法列表法是指用表格來表示兩個變量之間函數(shù)關(guān)系的方法。例如，下表記錄的是某同學(xué)小學(xué)一年級到五年級時，各學(xué)期的數(shù)學(xué)期末考試成績。在這里，考試成績是學(xué)期序號的函數(shù)。用列表法表示的函數(shù)便于直接查找自變量對應(yīng)的函數(shù)值，但有時會數(shù)據(jù)不全。64圖像法圖像法是指在平面上用圖像來表示兩個變量之間函數(shù)關(guān)系的方法。例如，城市的平均氣溫與平均降水量是隨著時間變化而變化的，例如圖所示是某城市平均氣溫和平均降水量與時間的關(guān)系。實(shí)線是氣溫T（單位：℃）隨著時間t變化的函數(shù)關(guān)系，虛線是平均降水量Y（單位：mm）隨著時間t變化的函數(shù)關(guān)系。函數(shù)的圖像法表示直觀形象，能清晰地反映函數(shù)關(guān)系及變化趨勢，但有時無法畫出函數(shù)的完整圖像。65函數(shù)關(guān)系的建立用數(shù)學(xué)方法解決問題時，常常需要把問題中的有關(guān)變量及其關(guān)系用數(shù)學(xué)的形式（代數(shù)式、方程、表、圖或其他方法）表示出來。通常，這個過程稱為建立數(shù)學(xué)模型，簡稱建模。函數(shù)模型是數(shù)學(xué)模型中最常用的一種。由于實(shí)踐中的大量問題是兩個變量之間的關(guān)系問題，因此建立兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系（函數(shù)模型）是很重要的。66在實(shí)際問題中，有時兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系式要分段來表示。例如，在省內(nèi)投寄外埠平信，每封信的重量不超過20g時，付郵資0.8元；超過20g而不超過40g時，付郵資1.6元；超過40g而不超過60g時，付郵資2.4元。設(shè)平信的重量為xg（0<x≤60），應(yīng)付郵資為y元，則有67①式表示了變量x∈（0，60]與y之間的函數(shù)關(guān)系，其中x是自變量，y是x的函數(shù)。這個函數(shù)與我們以前熟悉的各種函數(shù)不同，在自變量的不同取值范圍內(nèi)，函數(shù)的對應(yīng)法則不同。我們把這樣的函數(shù)稱為分段函數(shù)。分段函數(shù)的定義域是自變量的幾個取值范圍的并集，它的圖像要在同一個直角坐標(biāo)系內(nèi)逐段畫出。①式所表示的函數(shù)就是一個定義域?yàn)椋?，60]，值域?yàn)閧0.8，1.6，2.4}的分段函數(shù)，它的圖像如圖所示。在日常生活和科學(xué)技術(shù)中，分段函數(shù)是經(jīng)常遇到的一類函數(shù)。68對分段函數(shù)特別要注意以下幾個問題：（1）分段函數(shù)在形式上，會有多于一個的表達(dá)式，但它仍然表示一個函數(shù)，不能理解成多個函數(shù)。（2）分段函數(shù)的圖像一般由多于一段的線段或曲線段以及點(diǎn)組成，同樣也應(yīng)該把它們看作一個整體。（3）在求分段函數(shù)的函數(shù)值時，需要注意的是，對給定的自變量，首先要確定它的范圍，再根據(jù)該范圍的對應(yīng)法則（函數(shù)表達(dá)式），計(jì)算函數(shù)值。692.2函數(shù)的性質(zhì)70函數(shù)的奇偶性我們知道，二次函數(shù)f（x）=x2的圖像是關(guān)于y軸對稱的軸對稱圖形，這種對稱性在數(shù)值上也能反映出來。通過計(jì)算，得到f（-1）=f（1），f（-2）=f（2）。事實(shí)上，對于任意的x∈（-∞，+∞），都有f（-x）=（-x）2=x2=f（x）。也就是說，函數(shù)f（x）=x2具有f（-x）=f（x）的特性。71如果函數(shù)y=f（x）（x∈D）是偶函數(shù)，那么函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于y軸對稱。反過來，如果函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于y軸對稱，那么這個函數(shù)一定是偶函數(shù)。72對于反比例函數(shù)

，我們知道，它的圖像關(guān)于原點(diǎn)中心對稱，這種對稱性在數(shù)值上也能反映出來。對于任意的x∈（-∞，0）∪（0，+∞），都有也就是說，函數(shù)

具有f（-x）=-f（x）的特性。73如果函數(shù)y=f（x）（x∈D）是奇函數(shù)，那么函數(shù)y=f（x）的圖像是關(guān)于原點(diǎn)對稱的中心對稱圖形。反過來，如果函數(shù)y=f（x）的圖像是關(guān)于原點(diǎn)對稱的中心對稱圖形，那么這個函數(shù)一定是奇函數(shù)。一個函數(shù)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，我們就說這個函數(shù)具有奇偶性。根據(jù)奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義，可以得到：函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件。如果一個函數(shù)既不是奇函數(shù)，又不是偶函數(shù)，我們就把這個函數(shù)稱為非奇非偶函數(shù)。74函數(shù)的單調(diào)性我們知道，對于一次函數(shù)y=kx+b（k≠0），如果k>0，那么當(dāng)x∈（-∞，+∞），且x逐漸增大時，y的值隨之逐漸增大。如果k<0，那么當(dāng)x∈（-∞，+∞），且x逐漸增大時，y的值隨之逐漸減小。上述現(xiàn)象反映了函數(shù)的一個基本性質(zhì)———單調(diào)性。觀察二次函數(shù)y=x2-2，當(dāng)x在定義域（-∞，+∞）內(nèi)變化時，它的圖像的變化趨勢如圖所示。我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x∈（-∞，0]，且x逐漸增大時，y的值隨之逐漸減??；當(dāng)x∈[0，+∞），且x逐漸增大時，y的值隨之逐漸增大。7576如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間I上是單調(diào)增加或單調(diào)減少的，我們就說函數(shù)y=f（x）在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間I稱為函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間。由上述可知，二次函數(shù)y=x2-2在定義域（-∞，+∞）上沒有單調(diào)性，但在（-∞，0]上是單調(diào)減少的，區(qū)間（-∞，0]為函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；在[0，+∞）上是單調(diào)增加的，區(qū)間[0，+∞）為函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間。77函數(shù)的最大值與最小值我們知道，二次函數(shù)y=x2-2的圖像是一條拋物線，頂點(diǎn)（0，-2）是拋物線上的最低點(diǎn)，即對于任意的x，都有f（x）≥

f（0）。從而得到，當(dāng)x=0時，函數(shù)y取得最小值為-2。由于該函數(shù)圖像上沒有最高點(diǎn)，所以函數(shù)y沒有最大值。78反函數(shù)我們知道，圓面積S是圓半徑r的函數(shù)，即S=πr2（r>0）。反過來，也可以由圓面積S來確定圓的半徑r，即r=

（A>0）。這時，面積S是自變量，半徑r是面積S的函數(shù)。在這種情況下，函數(shù)r=

（S>0）與函數(shù)S=πr2（r>0）有著特殊的關(guān)系，這種關(guān)系就是下面研究的反函數(shù)。79反函數(shù)的概念設(shè)函數(shù)y=f（x）（x∈D）的值域?yàn)镸。根據(jù)這個函數(shù)中x，y的關(guān)系，求得x用y表示的解析式，即x=φ（y）。如果對于y在M中的任何一個值，通過x=φ（y），x在D中都有唯一的值和它對應(yīng)，那么，x=φ（y）就表示y是自變量，x是y的函數(shù)。我們就將函數(shù)x=φ（y）（y∈M）稱為函數(shù)y=f（x）（x∈D）的反函數(shù)，記作x=f-1（y）。在函數(shù)x=f-1（y）中，y表示自變量，x表示函數(shù)。但在習(xí)慣上，我們用x表示自變量，用y表示函數(shù)，即對調(diào)函數(shù)x=f-1（y）中的字母x，y而改寫成y=f-1（x）（在本書中，函數(shù)y=f（x）的反函數(shù)都采用y=f-1（x）的形式）。例如函數(shù)y=4x（x∈R）的反函數(shù)為y=

（x∈R）。80f-1是f的逆對應(yīng)。由反函數(shù)的概念可知，若函數(shù)y=f（x）有反函數(shù)y=f-1（x），那么函數(shù)y=f-1（x）的反函數(shù)就是y=f（x），即函數(shù)y=f（x）與y=f-1（x）互為反函數(shù)。對于函數(shù)y=f（x）（x∈D），只有當(dāng)任意一個y∈M的值，都有唯一的x值與它對應(yīng)時，y=f（x）在它的定義域D內(nèi)才有反函數(shù)存在。81反函數(shù)的求法從反函數(shù)的概念我們不難得到如下結(jié)論：函數(shù)y=f（x）的定義域是它的反函數(shù)y=f-1（x）的值域；函數(shù)y=f（x）的值域是它的反函數(shù)y=f-1（x）的定義域。求函數(shù)的反函數(shù)的一般步驟為：（1）由y=f（x）解出x=f-1（y），即把x用y表示出來；（2）將x=f-1（y）改寫成y=f-1（x），也就是將x=f-1（y）中的x，y對調(diào)；（3）寫出反函數(shù)y=f-1（x）的定義域。82互為反函數(shù)的函數(shù)圖像間的關(guān)系由上述所學(xué)可得，函數(shù)y=2x-1（x∈R）的反函數(shù)是y=

（x∈R），函數(shù)y=

（x≥0）的反函數(shù)是y=x2（x≥0）。我們畫出原函數(shù)和它的反函數(shù)的圖像，見圖。83從上圖可以看出，函數(shù)和它的反函數(shù)的圖像關(guān)于直線y=x對稱。一般地，函數(shù)y=f（x）的圖像和它的反函數(shù)y=f-1（x）的圖像關(guān)于直線y=x對稱。反之，如果兩個函數(shù)的圖像關(guān)于直線y=x對稱，則這兩個函數(shù)一定是互為反函數(shù)。842.3冪函數(shù)85實(shí)數(shù)指數(shù)冪正整數(shù)指數(shù)冪零指數(shù)冪

a0=1（a≠0）負(fù)整數(shù)指數(shù)冪整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則（a，b≠0，m，n是整數(shù)）平方根若x2=a（a≥0），則稱x為a的平方根（二次方根）。立方根若x3=a，則稱x為a的立方根（三次方根）。86n次方根若xn=a（a為實(shí)數(shù)，n為大于1的正整數(shù)），則稱x為a的一個n次方根。當(dāng)n為偶數(shù)時，對于每一個正實(shí)數(shù)a，它在實(shí)數(shù)集里有兩個n次方根，它們互為相反數(shù)，分別為

和

；而對于每一個負(fù)數(shù)a，它的n次方根是沒有意義的。當(dāng)n為奇數(shù)時，對于每一個實(shí)數(shù)a，它在實(shí)數(shù)集里只有一個n次方根，表示為

，當(dāng)a>0時，

>0；當(dāng)a<0時，

<0。0的n次方根是0，即

=0。87n次根式我們把形如

（有意義時）的式子稱為n次根式，其中n稱為根指數(shù)，a稱為被開方數(shù)，非負(fù)數(shù)的n次方根

稱為a的n次算術(shù)根，并且

=a（n>1，n為正整數(shù)）。學(xué)習(xí)了n次方根的概念，現(xiàn)在我們可以把整數(shù)指數(shù)冪推廣到有理指數(shù)冪。例如，對于正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，應(yīng)用運(yùn)算法則，有又因?yàn)樗?8一般地，規(guī)定

，其中，當(dāng)n為偶數(shù)時，a≥0；當(dāng)n為奇數(shù)時，a∈R。等式

的左邊是冪的形式，右邊是根式的形式，根據(jù)需要可以相互轉(zhuǎn)換。同樣可以規(guī)定負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義：設(shè)a≠0，n，m∈N*，且n>1，規(guī)定89這樣，就把整數(shù)指數(shù)冪的概念推廣到有理指數(shù)冪。可以證明整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則對有理數(shù)指數(shù)冪也同樣適用，但需注意法則中出現(xiàn)的每一個有理數(shù)指數(shù)冪都應(yīng)有意義。事實(shí)上，還可以將有理數(shù)指數(shù)冪推廣到實(shí)數(shù)指數(shù)冪，當(dāng)m，n為實(shí)數(shù)時，整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則也成立。90冪函數(shù)我們觀察一次函數(shù)y=x，二次函數(shù)y=x2，反比例函數(shù)y=

（即y=x-1）的解析式，可以發(fā)現(xiàn)：它們都是以冪的形式出現(xiàn)，冪的底數(shù)是自變量x，指數(shù)是常數(shù)。冪函數(shù)的定義域與常數(shù)α的取值有關(guān)，由冪的性質(zhì)可知1α=1，即x=1時，y=1，因此，冪函數(shù)的圖像恒過點(diǎn)（1，1）。我們已經(jīng)學(xué)過常見的冪函數(shù)y=xα（α=1，-1，2）的圖像和性質(zhì)，現(xiàn)在討論另外兩個具有代表性的冪函數(shù)的圖像和性質(zhì)。912.4指數(shù)函數(shù)92景區(qū)游客問題隨著中國經(jīng)濟(jì)高速增長，人民生活水平不斷提高，旅游成了越來越多家庭的重要生活方式。由于游客人數(shù)不斷增加，某地為了增加景區(qū)外收入，自2001年起取消了景區(qū)門票收費(fèi)。下表給出了該景區(qū)2001年至2015年的游客人次以及增加量，游客的人次有怎樣的變化規(guī)律呢?93為了便于觀察規(guī)律，根據(jù)表格，該景區(qū)取消門票收費(fèi)后的15年游客人次的變化如圖所示。觀察圖像和表格，我們發(fā)現(xiàn)年增加量越來越大，但難以看出變化規(guī)律。94我們知道，做減法可以得到游客人次的年增加量，做除法可以得到游客人次的年增加率，增加量、增長率是刻畫事物變化規(guī)律的兩個很重要的量。從2002年起，將景區(qū)每年的游客人次除以上一年的游客人次，可以得到結(jié)果表明，景區(qū)的游客人次的年增長率都約為1.11-1=0.11，是一個常數(shù)。像這樣，增長率為常數(shù)的變化方式，我們稱為指數(shù)增長。該景區(qū)的游客人次的變化就近似于指數(shù)增長。95顯然，從2001年開始，景區(qū)游客人次的變化規(guī)律可以近似描述為：1年后，游客人次是2001年的1.111倍；2年后，游客人次是2001年的1.112倍；3年后，游客人次是2001年的1.113倍；……設(shè)x年后，游客人次是2001年的y倍，則y=1.11x（x∈N*），即經(jīng)過x年后的游客人次是2001年的1.11x倍。96藥物剩余問題某種藥物靜脈注射后，通過尿液排出體外，每經(jīng)過1天，藥物在體內(nèi)的剩余量就減少50%。成人單次注射這種藥物1g，經(jīng)過x天后，藥物在體內(nèi)的剩余量是多少?1天后，藥物在體內(nèi)的剩余量是1×50%=0.5g；2天后，藥物在體內(nèi)的剩余量是

g；3天后，藥物在體內(nèi)的剩余量是

g；……設(shè)x天后，藥物在體內(nèi)的剩余量是yg，則y=0.5x，即經(jīng)過x天后，藥物在體內(nèi)的剩余量是0.5xg。由上述兩個問題得到的函數(shù)具有相同的特點(diǎn)，即自變量x都作為指數(shù)，底數(shù)都是大于0且不等于1的常量。97指數(shù)函數(shù)的概念上面出現(xiàn)的兩個函數(shù)：y=1.11x和y=0.5x，都是以冪的形式出現(xiàn)，指數(shù)是自變量x，底數(shù)是一個大于0且不等于1的常數(shù)。這類函數(shù)就是我們要研究的指數(shù)函數(shù)。指數(shù)函數(shù)y=ax（a>0，且a≠1）的定義域是（-∞，+∞）。98指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)由于指數(shù)函數(shù)y=ax的底數(shù)a的取值范圍可以分為0<a<1和a>1兩種情形，我們以比較簡單的指數(shù)函數(shù)y=2x和y=

為例進(jìn)行討論。為了便于研究，我們在同一平面直角坐標(biāo)系中用描點(diǎn)法畫出函數(shù)y=2x和y=

的圖像。99列表（為便于繪圖，無法整除的函數(shù)值保留2位小數(shù)）：從上面指數(shù)函數(shù)y=2x和y=

的圖像，可以得到：（1）兩個圖像都在x軸上方，它們的函數(shù)值y>0。（2）兩個圖像都過點(diǎn)（0，1），即當(dāng)x=0時，y=1。（3）y=2x的圖像沿x軸的正方向上升，在定義域內(nèi)是增函數(shù)；y=

的圖像沿x軸的正方向下降，在定義域內(nèi)是減函數(shù)。100一般地，指數(shù)函數(shù)y=ax（a>0，且a≠1）的圖像和性質(zhì)見下表：1012.5對數(shù)函數(shù)102細(xì)胞分裂的次數(shù)某種細(xì)胞的分裂規(guī)律為：1個細(xì)胞1次分裂成2個與它本身相同的細(xì)胞，即第1次分裂后，細(xì)胞的個數(shù)是2；第2次分裂后，細(xì)胞的個數(shù)是2×2=22；第3次分裂后，細(xì)胞的個數(shù)是；……那么，第幾次分裂后恰好出現(xiàn)16個細(xì)胞?第幾次分裂后恰好出現(xiàn)128個細(xì)胞?103對數(shù)的運(yùn)算在代數(shù)式ab=N中有a，b，N三個量，若已知其中兩個量，就可以求出第三個量。已知a，b，求N是乘方運(yùn)算；已知b，N，求a是開方運(yùn)算；那么，已知a，N，求b是什么運(yùn)算呢?例如：（1）在實(shí)例考察中，設(shè)第b次分裂后恰好出現(xiàn)16個細(xì)胞，即已知2b=16，求b；（2）已知2b=5，求b。它們都是已知冪的底數(shù)和冪的值，求冪的指數(shù)的運(yùn)算。由于24=16，所以（1）中的b=4。但（2）中的b是多少呢?要想解決這個問題，還需要學(xué)習(xí)新的知識———對數(shù)。104對數(shù)的定義例如，由于24=16，所以4是以2為底16的對數(shù)，記作log216=4；由于3-1=

，所以-1是以3為底

的對數(shù)，記作log3

=-1。105通常，我們稱等式ab=N為指數(shù)式，稱等式logaN=b為對數(shù)式。根據(jù)對數(shù)的定義，可以得到，當(dāng)a>0，且a≠1時，ab=N?logaN=b。由上述指數(shù)式與對數(shù)式的關(guān)系，可以得到如下結(jié)論：（1）零和負(fù)數(shù)沒有對數(shù)，即N>0；（2）loga1=0，logaa=1（a>0，且a≠1）；（3）alogaN=N（a>0，且a≠1）；（4）logaab=b（a>0，且a≠1）。106對數(shù)的運(yùn)算法則若a>0，且a≠1，M>0，N>0，則有法則1法則2法則3107下面我們來證明法則1和法則3。設(shè)logaM=p，logaN=q，把它們化為指數(shù)式：M=ap，N=aq，M·N=ap·aq=ap+q，Mn=（ap）n=apn，所以loga（M·N）=logaap+q=p+q=logaM+logaN，logaMn=logaapn=pn=nlogaM。108常用對數(shù)和自然對數(shù)我們把以10為底的對數(shù)稱為常用對數(shù)。log10N通常可簡記為lgN。常用對數(shù)可以用計(jì)算器求值。以無理數(shù)e（e≈2.71828）為底的對數(shù)稱為自然對數(shù)。logeN通?？珊営洖閘nN。在科學(xué)技術(shù)中用得更多的是自然對數(shù)。自然對數(shù)也可以用計(jì)算器求值。109換底公式如何求log23呢?計(jì)算器上求對數(shù)的鍵只有

鍵和

鍵，因此，很自然地要把求log23的問題轉(zhuǎn)化為求常用對數(shù)或自然對數(shù)的問題。設(shè)log23=x，則有2x=3。將上式兩邊取常用對數(shù)，有1g2x=1g3，即x1g2=1g3，110所以即同樣，也可用自然對數(shù)表示log23的值，即我們將上述方法推廣，就可給出對數(shù)的換底公式：若a>0，且a≠1，N>0，則有111對數(shù)函數(shù)的概念在實(shí)例考察中，設(shè)1個細(xì)胞經(jīng)過y次分裂后，得到的細(xì)胞個數(shù)為x。我們知道x與y的關(guān)系為x=2y，指數(shù)式x=2y的對數(shù)式是y=log2x（x>0），它是細(xì)胞分裂的次數(shù)y關(guān)于細(xì)胞個數(shù)x的函數(shù)。函數(shù)y=log2x以對數(shù)形式出現(xiàn)，真數(shù)x為自變量，底數(shù)為常數(shù)。112由于對數(shù)函數(shù)y=logax（a>0，且a≠1）中，自變量x是真數(shù)，因此，對數(shù)函數(shù)的定義域是（0，+∞）。我們前面已學(xué)過指數(shù)函數(shù)y=ax（a>0，且a≠1），它的對數(shù)形式是x=logay。如果互換x=logay中的字母x，y，就可以把它改寫成對數(shù)函數(shù)的形式：y=logax。由上可以看出，指數(shù)函數(shù)y=ax（a>0，且a≠1），x∈（-∞，+∞）和對數(shù)函數(shù)y=logax（a>0，且a≠1），x∈（0，+∞）是互為反函數(shù)的關(guān)系。113對數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)先看下面的例子。在圖a中，分別作出了指數(shù)函數(shù)y=2x，y=10x和它們的反函數(shù)y=log2x，y=lgx的圖像，在圖b中分別作出了指數(shù)函數(shù)y=

和它的反函數(shù)y=

的圖像。114通過觀察可知：（1）a和b兩圖中，對數(shù)函數(shù)的圖像都在y軸的右邊。（2）a和b兩圖中，對數(shù)函數(shù)的圖像都過點(diǎn)（1，0），即當(dāng)x=1時，y=0。（3）y=log2x的圖像沿x軸的正方向上升，對數(shù)函數(shù)y=log2x在定義域內(nèi)是增函數(shù)；y=

的圖像沿x軸的正方向下降，對數(shù)函數(shù)y=

在定義域內(nèi)是減函數(shù)。115一般地，對數(shù)函數(shù)y=logax（a>0，且a≠1）的圖像和性質(zhì)見下表：116三角函數(shù)第3章117目錄3.1角的概念及推廣3.2任意角的三角函數(shù)3.3三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式3.4兩角和與兩角差的三角函數(shù)3.5三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)3.6已知三角函數(shù)值求角3.7解三角形118教學(xué)要求：1.了解任意角的概念，會在直角坐標(biāo)系中表示任意角。2.理解弧度制是用實(shí)數(shù)表示角的一種度量方法，會進(jìn)行角度與弧度的換算。3.會用三角函數(shù)的定義和同角三角函數(shù)的關(guān)系來求角的正弦、余弦和正切的值，會用計(jì)算器求任意角的三角函數(shù)值。4.會利用誘導(dǎo)公式把任意角的三角函數(shù)值化為銳角的三角函數(shù)值。5.會用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正弦型函數(shù)的圖像，并能根據(jù)圖像得到它們的性質(zhì)；會用描點(diǎn)法作正切函數(shù)的圖像，并能根據(jù)圖像得到它的性質(zhì)。1196.能通過三角函數(shù)的學(xué)習(xí)，認(rèn)識周期變化規(guī)律，并能用其解釋一些自然現(xiàn)象。7.了解“已知三角函數(shù)值，求指定范圍內(nèi)的角”的方法。8.會利用計(jì)算器求已知三角函數(shù)值對應(yīng)的角。9.熟記兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，會進(jìn)行有關(guān)計(jì)算。10.理解直角三角形邊角關(guān)系，掌握求解直角三角形的一般方法。11.通過對任意三角形邊角關(guān)系的探索，掌握正弦定理和余弦定理及三角形面積公式。12.能應(yīng)用正弦定理和余弦定理解三角形，并解決一些實(shí)際問題。1203.1角的概念及推廣121我們知道，在平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)O從一個位置OA旋轉(zhuǎn)到另一個位置OB所形成的圖形稱為角。這條射線的端點(diǎn)O稱為角的頂點(diǎn)，射線在旋轉(zhuǎn)的初始位置OA稱為角的始邊，射線在旋轉(zhuǎn)的終止位置OB稱為角的終邊。角常用小寫希臘字母α，β，γ，…來表示。我們以前學(xué)習(xí)的角，其大小都在0°到360°之間，而在現(xiàn)實(shí)生活中，還有其他的角。例如，體操運(yùn)動中的轉(zhuǎn)體2周（轉(zhuǎn)體720°）；另外，旋轉(zhuǎn)的方向也有不同，如跳水運(yùn)動中的向外翻騰與向內(nèi)翻騰，汽車方向盤的左右旋轉(zhuǎn)，用扳手旋緊或旋松螺母等。我們應(yīng)該如何刻畫這些現(xiàn)象呢?122角的概念的推廣要準(zhǔn)確地刻畫上述現(xiàn)象，不僅要知道形成的角，而且要知道角形成的過程，既要知道角的旋轉(zhuǎn)量，又要知道它的旋轉(zhuǎn)方向。這就需要對角的概念進(jìn)行推廣。我們規(guī)定：按上述規(guī)定，我們就把角的概念推廣到了任意角。123為了能準(zhǔn)確地表示一個角，我們在畫角的時候，不僅要表示出旋轉(zhuǎn)方向，而且要把形成這個角的旋轉(zhuǎn)過程表示出來。例如，在圖中，正角α=600°，負(fù)角β=-60°。124象限角與終邊相同的角為了方便，我們常把角放到平面直角坐標(biāo)系中進(jìn)行討論。以平面直角坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn)O為角的頂點(diǎn)，讓角的始邊與x軸的正半軸重合，這時角的終邊落在坐標(biāo)系中的第幾象限，就說這個角是第幾象限角。如果一個角的終邊落在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個角不屬于任何一個象限。例如，在圖中，45°角是第一象限角，-240°角是第二象限角，585°角是第三象限角，300°角是第四象限角；90°角與-180°角不是象限角。125在0°~360°范圍內(nèi)，各象限角的范圍如圖所示。126在同一直角坐標(biāo)系中，畫出30°，390°，750°，-330°角，如圖所示。從上圖中可以看出，390°，750°，-330°角的終邊都與30°角的終邊相同。我們把它們稱為與30°角終邊相同的角，而且，30°=30°+0×360°，390°=30°+1×360°，750°=30°+2×360°，-330°=30°+（-1）×360°。127這樣我們可以得到與30°角終邊相同的角（含30°角在內(nèi)）的一般表達(dá)式β=30°+k·360°，k∈Z。128弧度制在初中，我們把圓周分成360等份，每一份稱為1度的弧，1度的弧所對的圓心角稱為1度（1°）的角。我們還知道1°=60'，1'=60″。這種度量角的單位制稱為角度制。在數(shù)學(xué)和工程實(shí)際中還常用另一種度量角的單位制———弧度制。我們規(guī)定：129如圖所示，弧AB的長度等于圓O的半徑r，則弧AB所對的圓心角為1rad的角。根據(jù)以上規(guī)定，在半徑為r的圓中，長度為l的圓弧所對的圓心角α的大小是

rad，即130由于圓周的長度是2πr，在弧度制下它所對的圓心角的大小是因?yàn)橹芙怯媒嵌缺硎緸?60°，所以可得出360°=2πrad。由此可以得到度與弧度的換算公式：131角的弧度數(shù)用實(shí)數(shù)表示，且任何一個角的弧度數(shù)必定是唯一確定的實(shí)數(shù)；反過來，任何一個實(shí)數(shù)也都可以看作是一個弧度數(shù)，它對應(yīng)唯一確定的一個角。因此，角（用弧度制表示）的集合與實(shí)數(shù)集R之間建立了一一對應(yīng)關(guān)系，如圖所示。132下表列出了一些常見角和特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對應(yīng)關(guān)系。采用弧度制后，與角α終邊相同的角（含角α在內(nèi)）的一般表達(dá)式為β=α+2kπ，k∈Z。例如，與

的角終邊相同的角β可表示為β=

+2kπ，k∈Z。1333.2任意角的三角函數(shù)134在上一節(jié)的學(xué)習(xí)中，我們推廣了角的概念，并介紹了在直角坐標(biāo)系中表示角的方法，這種方法能否將銳角三角函數(shù)的概念推廣到任意角的三角函數(shù)呢?下面我們先來考察在直角坐標(biāo)系中的銳角三角函數(shù)。在直角三角形中如圖所示，在直角三角形OPM中，∠M是直角。銳角α的對邊是a，鄰邊是b，斜邊是c，則有135在直角坐標(biāo)系中如圖所示，在銳角α的終邊上任取一點(diǎn)P（原點(diǎn)除外），過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為M，這樣就得到了直角三角形OPM。設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則角α的對邊MP的長是y，鄰邊OM的長是x，斜邊OP的長是r。其中，r=

（r>0）。由此，得到136任意角的三角函數(shù)的定義在實(shí)例考察中，我們得到，在直角坐標(biāo)系中，銳角三角函數(shù)可以用其終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)來定義。這種方法同樣適用于定義任意角的三角函數(shù)。如圖所示，在任意角α的終邊上任取一點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），OP=r，則137我們規(guī)定：根據(jù)相似三角形的知識，對于確定的角α，其正弦、余弦和正切（如果存在的話）的值都是唯一確定的，與點(diǎn)P在角α的終邊上的位置無關(guān)。因此，正弦、余弦和正切都是以角α為自變量的函數(shù)，分別稱為角α的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)，它們都是關(guān)于角α的三角函數(shù)。138必須指出，在tanα=

中，x≠0表示角α的終邊不能在y軸上，即只有當(dāng)α≠

+kπ（k∈Z）時，tanα才有意義。除此以外，對于每一個確定的角α，三個函數(shù)都有意義。139下面給出了一些常見角和特殊角的三角函數(shù)值。記住這些三角函數(shù)值對解決實(shí)際問題會有很大幫助。140三角函數(shù)值的符號根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義，我們知道，角α的終邊上點(diǎn)P坐標(biāo)值的符號決定了角α的三角函數(shù)值的符號。各三角函數(shù)值在各個象限的符號列表如下：141為了便于記憶，我們把sinα，cosα和tanα的正負(fù)號標(biāo)在各個象限中，如圖所示。142利用計(jì)算器求已知角的三角函數(shù)值利用計(jì)算器求已知角的三角函數(shù)值時，角的大小、正負(fù)可以是任意的；角的單位可以是度，也可以是弧度。因此在計(jì)算三角函數(shù)值之前，必須先使用

鍵，把計(jì)算器調(diào)到需要的狀態(tài)。143同角三角函數(shù)的基本關(guān)系因?yàn)閤2+y2=r2，所以當(dāng)α≠

+kπ（k∈Z）時，由三角函數(shù)的定義可得144于是，得出同角三角函數(shù)的基本關(guān)系：當(dāng)我們知道一個角的某個三角函數(shù)的值時，借助同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和三角函數(shù)的定義，就可求出這個角的其他的三角函數(shù)的值。另外，還可以利用它們來化簡同角的三角函數(shù)式。1453.3三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式146對于任意角α，在直角坐標(biāo)系中，角α+2kπ（k∈Z），-α，π+α，π-α的終邊與角α的終邊有著特殊的關(guān)系。我們可以用幾個公式表達(dá)上述關(guān)系。這些公式稱為誘導(dǎo)公式。有關(guān)α+2kπ（k∈Z）的誘導(dǎo)公式我們知道，在直角坐標(biāo)系中，角α+2kπ（k∈Z）與角α的終邊相同。根據(jù)三角函數(shù)的定義，它們的同名三角函數(shù)值相等，即利用公式一，我們能將任意角的三角函數(shù)化為[0，2π）內(nèi)的角的三角函數(shù)。147有關(guān)-α的誘導(dǎo)公式根據(jù)負(fù)角的定義可以知道，在直角坐標(biāo)系中，角-α與角α的終邊關(guān)于x軸對稱。如圖所示，在角α的終邊上取一點(diǎn)P，使OP=1，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則點(diǎn)P'（x，-y）必在角-α的終邊上，且OP'=r=1，所以148由此，得到有關(guān)-α的誘導(dǎo)公式：利用公式二，我們能將任意負(fù)角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為正角的三角函數(shù)。由公式一和公式二得：sin（2π-α）=sin（-α+2π）=sin（-α）=-sinα，cos（2π-α）=cos（-α+2π）=cos（-α）=cosα，tan（2π-α）=tan（-α+2π）=tan（-α）=-tanα。由此，得到2π-α的誘導(dǎo)公式：149有關(guān)π±α的誘導(dǎo)公式如圖所示，把任意角α的終邊按逆時針旋轉(zhuǎn)π弧度，就得到了角π+α的終邊。從圖中可以看出，角π+α的終邊與角α的終邊關(guān)于原點(diǎn)對稱。在角α的終邊上取一點(diǎn)P，使OP=1，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則點(diǎn)P'（-x，-y）必在角π+α的終邊上，且OP'=1。所以150由此，得到有關(guān)π+α的誘導(dǎo)公式：由公式四和公式二得sin（π-α）=sin[π+（-α）]=-sin（-α）=sinα，cos（π-α）=cos[π+（-α）]=-cos（-α）=-cosα，tan（π-α）=tan[π+（-α）]=tan（-α）=-tanα。由此，得到有關(guān)π-α的誘導(dǎo)公式：151利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式將任意角的三角函數(shù)化為銳角三角函數(shù)時，一般可按下面步驟進(jìn)行：1523.4兩角和與兩角差的三角函數(shù)153某城市的電視發(fā)射塔建在近郊的一座小山上，如圖所示。小山高BC約為50m，在地平面上的A處，測得A，C兩點(diǎn)間的距離約為130m，測得電視發(fā)射塔的視角（∠CAD）約為45°，求這座電視發(fā)射塔的高度。154設(shè)這座電視發(fā)射塔的高CD=xm，∠BAC=α。在Rt△ACB中在Rt△ADB中155如果能根據(jù)sinα=

和45°的三角函數(shù)值求得tan（45°+α）的值，那么上式就是一個關(guān)于x的一元一次方程，由此就能很方便地求得這座電視發(fā)射塔的高度。如何根據(jù)sinα=

和45°的三角函數(shù)值求得tan（45°+α）的值呢?也就是說，如果知道了任意角α和β的三角函數(shù)值，那么如何利用它們來表示α+β和α-β的三角函數(shù)值呢?這些就是本節(jié)要解決的問題。156兩角和與差的余弦下面我們來研究關(guān)于用角α和β的三角函數(shù)值表示cos（α-β）的問題。如圖a所示，圓O的半徑為1（圓O是單位圓），圓O與x軸正半軸的交點(diǎn)為P0（1，0），任意角α，β和α-β的終邊與圓的交點(diǎn)依次為P1，P2和P3，則|OP1|=|OP2|=|OP3|=1。根據(jù)三角函數(shù)的定義可知，點(diǎn)P1，P2，P3的坐標(biāo)分別是（cosα，sinα），（cosβ，sinβ），[cos（α-β），sin（α-β）]。如圖b所示，連結(jié)P0P3和P1P2，由于∠P2OP1=∠P0OP3=α-β，根據(jù)相等的圓心角所對的弦長相等，得|P0P3|=|P1P2|。157158根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，有

|P0P3|2=[cos（α-β）-1]2+[sin（α-β）-0]2

=cos2（α-β）-2cos（α-β）+1+sin2（α-β）

=2-2cos（α-β），

|P1P2|2=（cosα-cosβ）2+（sinα-sinβ）2

=cos2α-2cosαcosβ+cos2β+sin2α-2sinαsinβ+sin2β

=2-2（cosαcosβ+sinαsinβ）。因?yàn)閨P0P3|2

=|P1P2|2，所以2-2cos（α-β）=2-2（cosαcosβ+sinαsinβ）即cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ，上式對任意角α和β都成立。159在上面的公式中，用-β代替β，得cos[α-（-β）]=cosαcos（-β）+sinαsin（-β）

=cosαcosβ-sinαsinβ，即cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ。這樣，我們得到兩角和與差的余弦公式：160兩角和與差的正弦161在上面的公式中，用-β代替β，推導(dǎo)出sin（α-β）的三角公式：sin（α-β）=sin[α+（-β）]

=sinαcos（-β）+cosαsin（-β）

=sinαcosβ-cosαsinβ。這樣，我們得到兩角和與差的正弦公式：162asinx±bcosx的轉(zhuǎn)化下面我們來討論怎樣將asinx±bcosx（a>0，b>0）化為Asin（x±φ）（A>0，0<φ<

）的正弦型表達(dá)式。我們假設(shè)asinx±bcosx=Asin（x±φ）（a>0，b>0），由于Asin（x±φ）=A（sinxcosφ±cosxsinφ）

=Acosφsinx±Asinφcosx，所以163由此可得A2cos2φ+A2sin2φ=a2+b2，即A2（cos2φ+sin2φ）A2=a2+b2，A=則有根據(jù)上述結(jié)果可得唯一確定的銳角φ。也可以從圖所示直角三角形中得到A和φ。164兩角和與差的正切當(dāng)α，β和α±β都不等于

+kπ（k∈Z）時，有把這個分式的分子、分母的各項(xiàng)同除以cosαcosβ（cosαcosβ≠0），得165在上面的公式中，用-β代替β，得即這樣，我們得到兩角和與差的正切公式：166二倍角公式在公式sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ中，令β=α，則得二倍角正弦公式：在公式cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ中，令β=α，則得二倍角余弦公式：如果要求二倍角的余弦公式（C2α）中僅含α的正弦（余弦），那么又可得到：167在公式tan（α+β）=中，令β=α，則得二倍角正切公式：以上公式都稱為二倍角公式，簡稱倍角公式。倍角公式給出了α的三角函數(shù)與2α的三角函數(shù)之間的關(guān)系。二倍角公式具有相對性，即公式左端的角總是右端角的二倍。根據(jù)這個特點(diǎn)，可以靈活運(yùn)用公式。例如：1683.5三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)169正弦函數(shù)y=sinx的圖像與性質(zhì)正弦函數(shù)y=sinx的圖像先用描點(diǎn)法畫出y=sinx在區(qū)間[0，2π]上的圖像。列表：用計(jì)算器計(jì)算表中的正弦函數(shù)值（精確到0.01），并填入表中。170描點(diǎn)：以表中對應(yīng)x，y值為坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)。連線：將所描各點(diǎn)順次用光滑曲線連接起來，即完成所畫的圖像。圖b所示為用計(jì)算機(jī)軟件繪制的正弦函數(shù)在區(qū)間[0，2π]上的圖像。請參照此核對你畫的圖像。171正弦函數(shù)的定義域是R，因此我們需要將正弦函數(shù)y=sinx（x∈[0，2π]）的圖像向兩邊擴(kuò)展。現(xiàn)在，我們利用描點(diǎn)法在同一坐標(biāo)系中繼續(xù)畫出正弦函數(shù)y=sinx在區(qū)間[-2π，0]上的圖像（即圖中y軸左側(cè)的曲線）。172從圖中可以看到，正弦函數(shù)在區(qū)間[-2π，0]和[0，2π]上的圖像形狀完全相同，只是位置不同。因此，y=sinx在區(qū)間[-2π，0]上的圖像，可以看作是把y