2024初中數(shù)學競賽七年級競賽輔導講義專題28 縱觀全局含答案

2024初中數(shù)學競賽七年級競賽輔導講義專題28縱觀全局——整體思想閱讀與思考解數(shù)學問題時，人們習慣了把它分成若干個較為簡單的為，然后在分而治之，各個擊破。與分解、分部處理問題相反，整體思想是將問題看成一個完整的整體，從大處著眼，有整體入手，突出對問題的整體結構的分析和改造，把一些看似彼此孤立、實質(zhì)上緊密聯(lián)系的量作為整體考慮，從整體上把握問題的內(nèi)容和解題方向的策略，往往能找到簡捷的解題方法，解題中運用整體思想解題的具體途徑主要有：整體觀察整體設元整體代入整體求和整體求積注：既看局部，又看整體；既見“樹木”，又見“森林”，兩者互用，這是分析問題和解決問題的普遍而有效的方法．例題與求解【例1】某市抽樣調(diào)查了1000戶家庭的年收入，其中年收入最高的只有一戶，是38000元。由于將這個數(shù)據(jù)輸入錯了，所以計算機顯示的這1000戶的平均年收入比實際平均年收入高出了342元，則輸入計算機的那個錯誤數(shù)據(jù)是．解題思路：有1000個未知量，而等式只有兩個，顯然不能分布求出每個未知量，不妨從整體消元．注：有些問題要達到求解的目的，需要設幾個未知數(shù)，但在解答的過程中，這些未知數(shù)只起到溝通已知與未知的輔助的作用，因此可“設而不求”，通過整體考慮，直接獲得問題的答案．【例2】設是不全相等的任意數(shù)，若QUOTE，則（）A.都不小于零B.都不大于零C.至少有一個小于零D.至少有一個大于零解題思路：由于的任意性，若孤立地考慮，則很難把握的正負性，應該考慮整體求出的值．【例3】如果a滿足等式QUOTE，試求QUOTE的值．解題思路：不能直接求出的值，可尋求待求式子分子分母與條件等式的聯(lián)系，然后把條件等式整體代入求值．注：整體思想在代數(shù)式的化簡與求值、解方程（組）、幾何證明等方面有廣泛的應用，整體代入、疊加疊乘、整體運算、整體設元、幾何補形等都是整體思想的體現(xiàn)．【例4】已知QUOTE，代數(shù)式QUOTE，求當QUOTE時，代數(shù)式QUOTE的值．解題思路：的值無法求出，將給定的值分別代入對應的代數(shù)式，尋找已知式與待求式之間的聯(lián)系，整體代入求值．【例5】已知實數(shù)滿足方程組．求的值．QUOTE解題思路：將上述六個式子看成整體，通過⑥－⑤，④－③，②－①分別得到QUOTE．【例6】如圖，將1,2,3,4,5,6,7,8,9,10這十個數(shù)分別填入圖中的十個圓圈內(nèi)，使得任意連續(xù)相鄰的五個圓圈內(nèi)的數(shù)的和均不大于某一個整數(shù)M，求M得最小值并完成你的填圖．解題思路：解答此題的關鍵是根據(jù)題意得出QUOTE，這是本題的突破口．注：在解答有同一結構的問題時，可將這一相同結構看作一個整體，用一個字母代換，以此達到體現(xiàn)式子結構的特點，化繁為簡的目的．能力訓練1．已知密碼：3·ABCPQR=4·PQRABC,其中每個字母都表示一個十進制數(shù)字，將這個密碼翻譯成式子是2．若a，b，c的值滿足QUOTE，則QUOTE3．角中有兩個銳角和一個鈍角，其數(shù)值已經(jīng)給出，在計算QUOTE的值時，全班得到23.5°，24.5°，25.5°這樣三個不同結果，其中確有正確的答案，則正確的答案是4．如果，那么=5．已知都是正數(shù)，設，，那么與的大小關系是．6．若方程組有解，則7．若正數(shù)滿足不等式，則的大小關系是（）A．B．C．D．8．若，則的值是（）A．B．C．D．9．在一家三口人中，每兩個人的平均年齡加上余下一人的年齡分別得到47,61,60，那么這三人中最大年齡與最小年齡的差是（）A．B．C．D．10．設，滿足等式，則中至少有一個值（）A．B．C．D．11．12．有一個四位數(shù)，把它從中間分成兩半，得到前、后兩個兩位數(shù)，將前面的兩位數(shù)的末尾添一個零，然后加上前后兩個兩位數(shù)的乘積，恰好等于原來的四位數(shù)，又知道原數(shù)的個位數(shù)字為5，試求這個四位數(shù)．13．代數(shù)式中，可以分別取+1或-1．（1）證明代數(shù)式的值都是偶數(shù)．（2）求這個代數(shù)式所能取到的最大值．14．如圖，在六邊形的頂點處分別標上數(shù)1，2，3，4，5，6，能否使任意三個相鄰頂點處的三數(shù)之和（1）大于9？（2）大于10？若能，請在圖中標出來；若不能，請說明理由．專題28縱觀全局——整體思想例1380000提示：設a1，a2，a3，…，a999，al000分別為所統(tǒng)計的1000戶居民的年收入，又設他們的平均值是A，誤輸入計算機的數(shù)據(jù)為a'，由題意得例2D提示：x＋y＋z＝EQ\F(1,2)[(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2]．例3EQ－\F(5,2)原式＝例4將x＝2，y＝－4代入ax3＋EQ\F(1,2)by＋5＝1997中，得8a－2b＋5＝1997．故4a－b＝996．當x＝－4，y＝－EQ\F(1,2)時，3ax－24by3＋4986＝3a·(－4)－24b·(－EQ\F(1,2))3＋4986＝－12a＋3b＋4986＝－3(4a－b)＋4986＝－3×996＋4986＝1998．例5②－①得b－a＝20;④－③得d－c＝80；⑥－⑤得f－e＝320．故，f－e＋d－c＋b－a＝320＋80＋20＝420．例6設滿足已知條件填好的數(shù)依次為a1，a2，…，a10，則a1＋a2＋a3＋a4＋a5≤M，a2＋a3＋a4＋a5＋a6≤M，…a10＋a1＋a2＋a3＋a4≤M．所以5（a1＋a2＋…＋a10）≤10M，即≤10M，解得M≥27．5．而M為整數(shù)，故M的最小值為28．將1，2，…，10分成如下的兩組10，7，6，3，2，9，8，5，4，1．依次填入圖中，【能力訓練】1．3·571428＝4·4285712．－10提示：由題意有，即．則9a＋2b＋7c＝2(3a－2b＋c)＋3(a＋2b－3c)＝2×4＋3×（－6）＝－10．3．23.5°4．18x4＋7x3＋8x2－13x＋15＝x2(x2＋2x)＋5x(x2＋2x)－2(x2＋2x)－9x＋15＝3x2＋15x－6－9x＋15＝3(x2＋2x)＋9＝3×3＋9＝18．5．＞提示：設x＝a1＋a2＋…＋a1990，y＝a2＋a3＋…＋a1990，求M－N．6．－1提示：將3個方程組相加得(a＋b＋1)(x2＋x＋l)＝0，而x2＋x＋1＝＞0，故a＋b＋1＝0．7．B8．B9．A10．A11．(1)原式＝＝＝(由a＋b＋c＝0，得b＋c＝－a，a＋c＝－b，a＋b＝－c)＝－1＋(－1)＋(－1)＋3＝0(2)由得，即．同理，．三式相加得2()＝48，故＝24．則＝．12．設前、后兩個二位數(shù)分別為m，n，則根據(jù)題意有：10m＋mn＝100m＋n，m＝，由m＞0，n＞0，得n－90＞0，又n是兩位數(shù)，且個位數(shù)字為5，因此n＝95，從而知m＝19，故所求四位數(shù)為1995．13．(1)略．(2)在rvz，－rwy，－suz，swx，tuy，－tvx這六項相乘得，－＝－1，所以這六項中，至少有一項是－1，這樣六項之和之多是5－1＝4．在u，x，y為－1，其他字母為1時，原式的最大值為4．14．（1）能．（2）不能．提示：設所填的6個數(shù)順序為a，b，c，d，e，f，它們?nèi)我庀噜徣龜?shù)和大于10，即a＋b＋c≥11，b＋c＋d≥11，c＋d＋e≥11，d＋e＋f≥11，e＋f＋a≥11，f＋a＋b≥11，則3（a＋b＋c＋d＋e＋f）≥66，故a＋b＋c＋d＋e＋f≥．而1＋2＋3＋4＋5＋6＝21，所以不能使每三個相鄰的數(shù)之和都大于10．專題29歸納與猜想閱讀與思考當一個問題涉及相當多的乃至無窮多的情形時，可從問題的簡單情形或特殊情況人手，通過對簡單情形或特殊情況的試驗，從中發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律或作出某種猜想，從而找到解決問題的途徑或方法，這種研究問題的方法叫歸納猜想法.歸納是建立在細致而深刻的觀察基礎上，發(fā)現(xiàn)往往是從觀察開始的，觀察是解決問題的先導，解題中的觀察活動主要有三條途徑：1．數(shù)與式的特征觀察．2．幾何圖形的結構觀察．3．通過對簡單、特殊情況的觀察，再推廣到一般情況.需要注意的是，用歸納猜想法得到的結果，常常具有或然性，它可能是成功的發(fā)現(xiàn)，也可能是失敗的嘗試，需用合乎邏輯的推理步驟把它寫成無懈可擊的證明．【例1】下圖是飛行棋的一顆骰子，根據(jù)圖中A，B，C三種狀態(tài)所顯示的數(shù)字，推出“？”處的數(shù)字是___________.(A)(B)(C)解題思路：認真觀察A，B，C三種狀態(tài)所顯示的數(shù)字，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，作出推斷?！纠?】如圖，依次連結第一個正方形各邊的中點得到第二個正方形，再依次連結第二個正方形各邊的中點得到第三個正方形，按此方法繼續(xù)下去，若第一個正方形邊長為1，則第n個正方形的面積是____．解題思路：從觀察分析圖形的面積入手，先考察n＝1，2，3，4時的簡單情形，進而作出猜想．【例3】如圖，平面內(nèi)有公共端點的六條射線OA，OB，OC，OD，OE，OF，從射線OA開始按逆時針方向依次在射線上寫出數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，…．(1)“17”在射線____上．(2)請任意寫出三條射線上數(shù)字的排列規(guī)律．(3)“2007”在哪條射線上？解題思路：觀察發(fā)現(xiàn)每條射線上的數(shù)除以6的余數(shù)相同．【例4】觀察按下列規(guī)則排成的一列數(shù)：EQ\F(1,1)，EQ\F(1,2)，EQ\F(2,1)，EQ\F(1,3)，EQ\F(2,2)，EQ\F(3,1)，EQ\F(1,4)，EQ\F(2,3)，EQ\F(3,2)，EQ\F(4,1)，EQ\F(1,5)，EQ\F(2,4)，EQ\F(3,3)，EQ\F(4,2)，EQ\F(5,1)，EQ\F(1,6)，…(※)(1)在(※)中，從左起第m個數(shù)記為F(m)，當F(m)＝EQ\F(2,2001)時，求m的值和這m個數(shù)的積．(2)在(※)中，未經(jīng)約分且分母為2的數(shù)記為c．它后面的一個數(shù)記為d，是否存在這樣的兩個數(shù)c和d，使cd＝2001000?如果存在，求出c和d；如果不存在，請說明理由．解題思路：按分母遞減而分子遞增的變化規(guī)律，對原數(shù)列恰當分組，明確每組中數(shù)的個數(shù)與分母的關系、未經(jīng)約分且分母為2的數(shù)在每組中的位置，這是解本例的關鍵，【例5】在2,3兩個數(shù)之間，第一次寫上EQ\F(2＋3,1)＝5，第二次在2.5之間和5，3之間分別寫上EQ\F(2＋5,2)＝\F(7,2)和EQ\F(5＋3,2)＝4，如圖所示：第k次操作是在上一次操作的基礎上，在每兩個相鄰的數(shù)之間寫上這兩個數(shù)的和的EQ\F(1,k)．(1)請寫出第3次操作后所得到的9個數(shù)，并求出它們的和．(2)經(jīng)過k次操作后所有的數(shù)的和記為Sk，第k＋1次操作后所有數(shù)的和記為Sk＋1，寫出Sk＋1與Sk之間的關系式．(3)求S6的值．解題思路：(1)先得出第3次操作后所得到的9個數(shù)，再把它們相加即可．(2)找到規(guī)律，即毒次操作幾個數(shù)的時候，除了頭尾兩個數(shù)2和3之外，中間的n－2個數(shù)均重復計算了2次，用Sk表示出Sk＋1(3)根據(jù)(1)，(2)可算出S6的值．能力訓練1．有數(shù)組(1，1，1)，(2，4，8)，(3，9，27)，…，則第100組的三個數(shù)之和為．（廣東省廣州市競賽試題）2．如圖有一長條型鏈子，其外形由邊長為1cm的正六邊形排列而成．其中每個黑色六邊形與6個白色六邊形相鄰，若鏈子上有35個黑色六邊形，則此鏈子有________個白色六邊形．3．按一定規(guī)律排列的一串數(shù)：EQ\F(1,1)．EQ－\F(1,3)，EQ\F(2,3)，EQ－\F(3,3)，EQ\F(1,5)，EQ－\F(2,5)，EQ\F(3,5)，EQ－\F(4,5)，EQ\F(5,5)，EQ－\F(1,7)，EQ\F(2,7)，EQ－\F(3,7)，…中，第98個數(shù)是__________.4．給出下列麗列數(shù)2，4，6，8，10,…，19946，13,20,27,34,…，1994則這兩列數(shù)中，相同的數(shù)的個數(shù)是()．A．142B．143C．284如圖，∠AOB＝45°，對OA上到點Ｏ的距離分別為1，3，5，7，9，11，…的點作OA的垂線且與OB相交，得到并標出一組黑色梯形，面積分別為S1，S2，S3，…，則S10＝.6．一條直線分一張平面為兩部分，二條直線最多分一張平面為4部分，設五條直線最多分平面為ｎ部分，則n等于()A．16B．18Ｃ．24D．317．觀察下列正方形的四個頂點所標的數(shù)字規(guī)律．那么2013這個數(shù)標在()．A．第503個正方形的左下角B．第503個正方形的右下角C．第504個正方形的左下角D．第504個正方形的右下角8．自然數(shù)按下表的規(guī)律排列：(1)求上起第10行，左起第13列的數(shù)．(2)數(shù)127應在上起第幾行，左起第幾列．9．一串數(shù)排成一行，它們的規(guī)律是這樣的：頭兩個數(shù)都是1，從第三個數(shù)開始，每一個數(shù)都是前兩個數(shù)的和，也就是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55…問：這串數(shù)的前100個數(shù)中（包括第100個數(shù)）有多少個偶數(shù)？10.將一個圓形紙片用直線劃分成大小不限的若干小紙片，如果要分成不少于50個小紙片，至少要畫多少條直線？請說明理由．11.下面是按一定規(guī)律排列的一列數(shù)：第1個數(shù)：EQ\F(1,2)－(1＋\F(－1,2))；第2個數(shù)：；第3個數(shù)：；…第n個數(shù)：．那么，在第10個數(shù)，第11個數(shù)，第12個數(shù)，第13個數(shù)中，最大的數(shù)是哪一個？12.有依次排列的3個數(shù)：3，9，8．對任相鄰的兩個數(shù)，都用右邊的數(shù)減去左邊的數(shù)，所得之差寫在這兩個數(shù)之間，可產(chǎn)生一個新數(shù)串：3，6，9，－1，8，這稱為第一次操作；做第二次同樣的操作后也可產(chǎn)生一個新數(shù)串：3，3，6，3，9，－10,－1，9，8，繼續(xù)依次操作下去，問：從數(shù)串3，9，8開始操作第一百次以后所產(chǎn)生的那個新數(shù)串的所有數(shù)之和是多少？專題29歸納與猜想例16提示：5的對面是2，4的對面是3，1的對面是6．例2提示：＝1，＝，＝，＝，進而推出＝．例3（1）OE（2）射線OA上數(shù)字的排列規(guī)律：6n－5（n為自然數(shù)，下同）；射線OB上數(shù)字的排列規(guī)律：6n－4；射線OC上數(shù)字的排列規(guī)律：6n－3；射線OD上數(shù)字的排列規(guī)律：6n－2；射線OE上數(shù)字的排列規(guī)律：6n－1；射線OF上數(shù)字的排列規(guī)律：6n．（3）在6條射線的數(shù)字規(guī)律中，只有6n－3＝2007有整數(shù)解，解圍n＝335，故“2007”在射線OC上．例4（1）可分組為（），（，），（，，），（，，，），（，，，，）…，可知各組數(shù)的個數(shù)依次為1，2，3，…．當F（m）＝時，m＝（1＋2＋…＋2001）＋2＝2003003，這2003003個數(shù)的積為．例5（1）第3次操作后所得到的9個數(shù)為：2，，，，5，3，4，，3．它們的和為2＋＋＋＋5＋3＋4＋＋3＝．（2）由條件知＝5，則＝＋＝＝－．（3）因＝．故＝－＝40；＝－＝55，＝－＝．【能力訓練】1．10101002．142提示：若有n個黑色六邊形，則白色六邊形個數(shù)為4n＋2．故＝35時，4n＋2＝4×35＝142個．3．4．B5．76黑色梯形的規(guī)律明顯：每個梯形的高都為2，上底分別對OA上的1，5，9，…，下底分別對應OA上的3，7，11，…．而上、下底的長度恰好和它在OA上對應的數(shù)值是一樣的．以上底為例，1＝1，5＝1＋4×1，9＝1＋4×2，