《線性代數(shù)及其應(yīng)用》 課件 李庶民 第一章 線性方程組與矩陣

求解線性方程組例1解線性方程組對(duì)應(yīng)的增廣矩陣一、矩陣的初等變換交換方程組的第一個(gè)方程和第二個(gè)方程對(duì)應(yīng)的增廣矩陣正好是交換第一行和第二行1把方程組的第一個(gè)方程乘以-2加到第二個(gè)方程和第三個(gè)方程上對(duì)應(yīng)的增廣矩陣正好是把第一行的每個(gè)元素乘以

-2分別加到第二行、第三行對(duì)應(yīng)位置的元素上2第二個(gè)方程乘以-1加到第三個(gè)方程上，第三個(gè)方程乘以-1對(duì)應(yīng)的增廣矩陣正好是把第二行的每個(gè)元素乘以-1加到第三行對(duì)應(yīng)位置的元素上，第三行每個(gè)元素乘以-13第三個(gè)方程乘以2

加到第二個(gè)方程上，第二個(gè)方程乘以

4對(duì)應(yīng)的增廣矩陣正好是把第三行的每個(gè)元素乘以2加到第二行對(duì)應(yīng)位置的元素上，第二行每個(gè)元素乘以行階梯形矩陣第三個(gè)方程乘以-1加到第一個(gè)方程上，第二個(gè)方程乘以1加到第一個(gè)方程上對(duì)應(yīng)的增廣矩陣正好是把第三行的每個(gè)元素乘以-1，第二行的每個(gè)元素乘以

1，都加到第一行對(duì)應(yīng)位置的元素上5最后一個(gè)方程組有唯一解，它和原方程組是同解方程組，所以原方程組有唯一解：

行最簡形矩陣由此可見，對(duì)矩陣實(shí)施這些變換是十分必要的，為此，我們引入如下定義：將矩陣的某一行的倍數(shù)加到另一行，用

表示將矩陣第

行的

倍加到第

行.稱為矩陣的初等行變換定義1下面三種矩陣的變換：交換矩陣的某兩行，我們用表示交換矩陣的第，兩行;矩陣的某一行乘以非零數(shù),用

表示矩陣的第

行元素乘以非零數(shù)

；(1)(2)(3)將上面定義中的“行”換成“列”（記號(hào)由“r”換成“c”，就得到了矩陣的初等列變換的定義.矩陣的初等行變換和初等列變換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換.在例1中，線性方程組(3)、(4)、(5)對(duì)應(yīng)的增廣矩陣有一個(gè)共同特點(diǎn)，就是：可畫一條階梯線，線的下方全為零；每個(gè)臺(tái)階只有一行，臺(tái)階數(shù)就是非零行的行數(shù)；每一非零行的第一個(gè)非零元素位于上一行首元的右側(cè)，

即這樣的矩陣，我們稱為行階梯形矩陣.對(duì)于最后一個(gè)矩陣，它的非零行的第一個(gè)非零元素全為

1，并且這些非零元素所在的列的其余元素全為零，這樣的階梯形矩陣，我們稱為行最簡形矩陣.

試用矩陣的初等行變換將矩陣

先化為行階梯形矩陣，再進(jìn)一步化為行最簡形矩陣.例3解行階梯形矩陣行最簡形對(duì)于行最簡形矩陣再實(shí)施初等列變換，可變成一種形狀更簡單的矩陣.

例如，將上面的行最簡形矩陣再實(shí)施初等列變換最后一個(gè)矩陣

稱為矩陣

的標(biāo)準(zhǔn)形，寫成分塊矩陣的形式，則有二、線性方程組有解的充要條件非齊次線性方程組齊次線性方程組其中增廣矩陣定理

設(shè)齊次線性方程組的系數(shù)矩陣為,則線性方程組有非零解的充分必要條件是例：求解齊次線性方程組解：對(duì)該線性方程組的系數(shù)矩陣進(jìn)行初等行變換，由于，所以線性方程組有非零解.行最簡型對(duì)應(yīng)的方程組為令則原方程的解為：或定理

設(shè)

為非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣，

表示其增廣矩陣，則非齊次線性方程組有解的充分必要條件是時(shí),方程組有無窮多解.且當(dāng)時(shí),方程有唯一解；解方程組例解對(duì)該線性方程組的增廣矩陣實(shí)施初等行變換，從而原方程組等價(jià)于令

，移項(xiàng)，得原方程組的解為：，其中

為任意常數(shù)由于，所以線性方程組有無窮多解.矩陣的乘法來源于線性變換及線性方程組的矩陣表示.以線性變換為例.設(shè)有兩個(gè)線性變換將（2）式代入（1）式，得到到的線性變換線性變換(3)稱為線性變換(1)與(2)的乘積，相應(yīng)地把(3)所對(duì)應(yīng)的矩陣定義為(1)與(2)對(duì)應(yīng)的矩陣的乘積.即或（1）（2）（3）矩陣的乘法定義

設(shè),規(guī)定矩陣A與B的乘矩陣積是一個(gè),其中矩陣的第i行是由矩陣A的第i行元素第j列元素與矩陣B的第j列相應(yīng)元素乘積之和,即并把此乘積記為

注：兩個(gè)矩陣相乘時(shí)只有當(dāng)左邊矩陣的列數(shù)等于右邊矩陣的行數(shù)時(shí)，兩個(gè)矩陣才能相乘。20例1、設(shè),求AB矩陣B為A為矩陣,A的列數(shù)等于B的行數(shù)所以矩陣A,B可以相乘,乘積AB是一個(gè)矩陣,由定義得21例2、設(shè)，則有22則有例3、設(shè)23上述例子表明:(1)矩陣乘法不滿足交換律，即在一般情況下，

(2),未必有盡管矩陣滿足(3)矩陣乘法不滿足消去律:時(shí),未必有設(shè)有線性方程組稱為該線性方程組的系數(shù)矩陣.矩陣令再根據(jù)矩陣相等的定義，該線性方程組可以用矩陣形式來表示：例425矩陣乘法滿足以下運(yùn)算律：(3)分配律:(1)(2)結(jié)合律:特別簡言之,n階單位矩陣與任何n階方陣都是可交換的.分別為m階和n階單位矩陣(4)A為矩陣，和則交換單位陣

的第

行和第

行，或交換第

列和第

列，得到的初等矩陣記為

.

即初等矩陣

對(duì)

階單位矩陣

實(shí)施一次初等變換得到的矩陣稱為

階初等矩陣。

由于初等變換有三種,對(duì)

階單位矩陣

實(shí)施一次初等變換得到的初等矩陣也有三種：（1）（2）將單位陣

的第

行乘以

加到第

行（或?qū)挝魂?/p>

的第

列乘以

加到第

列）得到的初等矩陣記為.即

用非零的數(shù)

乘單位陣

的第

行或第

列得到的初等矩陣記為

.

即（3）初等矩陣有下列基本性質(zhì):設(shè)

是一個(gè)

矩陣，對(duì)

施行一次初等行變換，相當(dāng)于在

的左邊乘以相應(yīng)的

階初等矩陣；對(duì)

施行一次初等列變換，相當(dāng)于在

的右邊乘以相應(yīng)的

階初等矩陣.定理：例而則即用左乘相當(dāng)于交換矩陣的第1與第2行設(shè)有矩陣又即用右乘2加于第1列.相當(dāng)于將矩陣的第3列乘逆矩陣的計(jì)算定理：以下命題相互等價(jià)：

(1)階方陣可逆；

(2)方陣行等價(jià)于階單位矩陣；

(3)方陣可表示為若干個(gè)初等矩陣的乘積.若可逆，則存在一系列初等矩陣使得兩邊右乘得第一個(gè)等式表明，對(duì)進(jìn)行一系列初等行變換后可將其化為單位矩陣；第二個(gè)等式表明，對(duì)單位矩陣作同樣的初等行變換后可將其化為，于是構(gòu)造出利用初等行變換求逆矩陣的方法如下：(1)構(gòu)造矩陣；(2)對(duì)矩陣實(shí)施初等行變換，將左半部分矩陣化為單位矩陣時(shí)，則右半部分矩陣就是.即初等行變換例1設(shè)

,證明可逆，并求

.

........................解:因?yàn)?/p>

,故可逆,且

.

利用初等行變換求逆矩陣的方法，還可用于求矩陣

.

即初等行變換例２已知矩陣方程，求矩陣

.

解：設(shè)

，由

,若

可逆，則

.所以......................利用逆矩陣還可以求得矩陣方程

和，若下面介紹用逆矩陣求解線性方程組的方法：設(shè)有線性方程組（1）矩陣

可逆，則有37記則方程組

可寫成系數(shù)矩陣未知向量常數(shù)向量方程組

的解是方程組的解(2)構(gòu)成的向量,又稱解向量.(1)(2)(1)38是方程組的一個(gè)解.即當(dāng)

可逆，用左乘式,可得

.

例3、解方程組的解.

解：39

可逆且于是即例4

將矩陣表示成有限個(gè)初等方陣的乘積.因此經(jīng)次初等行變換：

解:化成3階單位矩陣，它們所對(duì)應(yīng)的初等方陣為:由初等方陣的性質(zhì)得可作如下驗(yàn)證：線性代數(shù)第一節(jié)

線性方程組

第二節(jié)

矩陣與向量第三節(jié)

矩陣與向量的基本運(yùn)算第四節(jié)

方陣的逆矩陣*第五節(jié)

分塊矩陣第六節(jié)

應(yīng)用實(shí)例第七節(jié)MATLAB實(shí)驗(yàn)一第一章

線性方程組與矩陣第一節(jié)

線性方程組

一、線性方程組的概念與實(shí)例線性方程組、齊次線性方程組、方程組的解、齊次線性方程組的平凡解二、高斯消元法和初等變換高斯消元法、線性方程組的初等變換

第二節(jié)

矩陣與向量一、矩陣與向量的實(shí)例和概念

矩陣的概念（元素、實(shí)矩陣、復(fù)矩陣、共軛矩陣、n階方陣、行矩陣、列矩陣）向量的概念（行向量、列向量、向量的維數(shù)）線性方程組的增廣矩陣、零矩陣、上三角矩陣、下三角矩陣、對(duì)角矩陣二、矩陣的初等變換行初等變換、列初等變換、矩陣的等價(jià)關(guān)系、行階梯形矩陣、行最簡形矩陣、標(biāo)準(zhǔn)矩陣

矩陣的秩、線性方程組解的情況（系數(shù)矩陣與增廣矩陣秩的關(guān)系）第三節(jié)

矩陣與向量的基本運(yùn)算一、矩陣與向量的線性運(yùn)算二、矩陣的乘法矩陣的加法與運(yùn)算律（交換律、結(jié)合律、零矩陣、矩陣的減法），矩陣的數(shù)乘運(yùn)算與運(yùn)算律，矩陣和向量的線性運(yùn)算矩陣的乘法運(yùn)算與運(yùn)算律，矩陣的轉(zhuǎn)置運(yùn)算和性質(zhì)，方陣的冪運(yùn)算第四節(jié)

方陣的逆矩陣一、方陣的逆矩