第三節(jié)分部積分法

第三節(jié)分部積分法要求：把握不定積分的分部積分法，明確用不定積分分部積分法解題的類型。重點(diǎn)：用分部積分法計(jì)算的題型并會計(jì)算。難點(diǎn)：換元積分法與分部積分法結(jié)合應(yīng)用。作業(yè)4－3〔P

〕1,4,6,12,13,14,19,21258問題提出：我們知道，求不定積分是求微分的逆運(yùn)算．導(dǎo)數(shù)公式不定積分公式；和差求導(dǎo)公式逐項(xiàng)積分公式；復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式換元積分公式；乘積求導(dǎo)公式分〔不同類型函數(shù)乘積的積分〕例如計(jì)算不定積分xcosxdx．xcosx為某兩函數(shù)乘積導(dǎo)數(shù)的一局部，即d(xsinx)xcosxdxsinxdx，上式兩端積分 d(xsinx)xcosxdxsinxdx，得 CxsinxxcosxdxcosxC，1 2于是 xcosxdxxsinxcosxC.一般地，假設(shè)函數(shù)uu(x)vv(x)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，那么兩個(gè)函數(shù)乘積導(dǎo)數(shù)公式為[uv]uvvu移項(xiàng)，得 uv[uv]uv兩邊積分，得或上式稱為分部積分公式．

uvdxuvvudxudvuvvdu 〔dvvdx，duudx．一、直接應(yīng)用分部積分公式udv[uv]vdu．1．計(jì)算不定積分

xexdx．解設(shè)ux ，dvexdx，則dudx，vex〔，于是 xexdxxdex留意

xex

exdx

xex

ex

C．〔1〔〕處沒有加C，這是由于加了C后，在后面計(jì)算中會抵消；假設(shè)設(shè)uexdvxdx，則xexdx

1x2ex1

1x2exdx，2 2積分x2exdx比積分xexdx要簡潔，沒有到達(dá)預(yù)期目的．由此可見，選擇u與dv格外關(guān)鍵，一般要考慮以下兩點(diǎn)：v要易求；積分vdu要比積分udv易計(jì)算．2．計(jì)算不定積分x2exdx．解設(shè)ux2 ，dvexdx，則du2xdx，vex，于是 x2exdxx2dex

x2ex

2xexdxx2ex2[xexexdx]x2ex

2xex2ex

C．留意假設(shè)要兩次分部積分，選取udv要全都，否則會復(fù)原．3．計(jì)算不定積分x2cosxdx．解設(shè)ux2dvcosxdx；則du2xdxvsinx，所以x2cosxdx x2sinx2xsinxdx．又設(shè)uxdvsinxdx；則dudxvcosx，于是x2codxx2sinx2xsinxdxx2sinx2(xcosxcosxdx)x2sinx2xcosx2sinxC(x22)sinx2xcosxC．4．計(jì)算不定積分arcsinxdx．解設(shè)uarcsinxdvdx；則du

dx1x2,1x2于是arcsidxarcs

xdx

xarcs111x2

1x21x1x21x25．計(jì)算不定積分xarctanxdx．

C．解設(shè)uarctanxdvxdx；則du

dx 1,v x2,1x2 21 1 x2 1

1 x211x2arctanx 2 2 1x2

dx x2arctanx dx2 2 x211 1 1 1 1 x2arctanx 2 2

)dx x2arctanx (xarctanx)C2 21 1 (x21)arctanx xC．2 2例6．計(jì)算不定積分(4x33x27lnxdx．dx解設(shè)ulnxdv(4x3

3x2

7)dx；則du

,vx4x37x,x于是(4x3

3x2

7)lnxdx(x4x37x)lnx(x31

x27)dx1(x4x37x)lnx

x4 x37xC．4 3從這幾個(gè)典型例題可以看到，被積函數(shù)具有以下形式時(shí)可用分部積分法解決．p(xxa及b為常數(shù)，則〔1〕假設(shè)〔2〕

p(x)eaxdx時(shí)，設(shè)up(xdveaxdx；p(x)sixxp(x)cosaxdxup(x)，dvsinaxdx〔dvcosaxd；假設(shè)

p(x)ln(axb)dx時(shí)，設(shè)uln(axbdvp(x)dx；假設(shè)

p(x)arcsinaxdx或

p(x)arctanaxdx時(shí)，設(shè)uarcsinaxdvp(x)dx．說明u及dv更加便于積分．一般被積函數(shù)是不同類函數(shù)函數(shù)乘積時(shí)，往往想到用分部積分法．二、不同類型函數(shù)乘積7．計(jì)算不定積分

xex(1x)2

dx．解設(shè)uxexdv

；則du(1x)ex,v ,dx 1(1x)2 1xdx 1于是

xex 1 xex ex(1x) xex dx xexd( ) dx ex (1x)2 1x 1x 1x 1xxex

exdx

xex

exC．1x 1x8．計(jì)算不定積分xarctanxdx．1x211x21x2解設(shè)uarctan1x2

xdx

；則du

dx1x2

,v ，1x2于是x1x21x2

arct dx1x21x2 arctanxln(x 1x1x21x29．計(jì)算不定積分x2f(x)dx．解設(shè)ux2dvf(x)dx；則du2xdxvf(x),所以 x2f(x)dxx2f(x)2xf(x)dx．又設(shè)ux,dvf(x)dx；則dudxvf(x，于是x2f(x)dxx2f(x)2xf(x)dxx2f(x)2(xf(x)f(x)dx)x2f(x)2xf(x)2f(x)C．10．計(jì)算不定積分(lnx)2dx．x2設(shè)u(lnx)2dv

dx dx 1 ；則du 2lnx ,v x2 x x所以 (lnx)2dx

(lnx)2

2

lnxdx．1x2 x x21又設(shè)ulnxdvdx；則du1dxv1，x2 x x(lnx)2 1 lnx于是 dx (lnx)22 dxx2 x x21 1 (lnx)22[ lnx1 1 x x x21 2 2

dx]x(lnx)2xlnxxC．三、循環(huán)積分11．計(jì)算不定積分I

exsinxdx．解設(shè)uexdvsinxdx；則duexdxvcosx，所以Iexcosxexcosdx．又對于積分excosxdx，再設(shè)uexdvcosxdx；則duexdxvsinx，于是Iexcosxexcosdxexcosxexsinxexsinxdx，從而IexcoexsinxI，1故 I

ex(sinxcosx)C．212．計(jì)算不定積分I

sec3xdx．解由于Isecxsec2xdxsecxdtanxsecxtanxsecxtan2

xdxsecxtanxsecx(sec2

secxtanxsec3xdxsecxdx，所以 I1setanx1sedx2 21secxtanx1ln|secxtanx|C．2 2四、混合運(yùn)算13．計(jì)算不定積分e

xdx．解

tettdt2tet

2td

2(tet

etdt)2tet2et

c2

C．xx14．計(jì)算不定積分sinlnxdx．xx解sinlnxdx

lxt

etsintdt

et(sintcost)C1x(sinlnxcoslnx)C．2五、遞推公式15．求不定積分In

dx (x2a2)n

解當(dāng)n1時(shí)，用分部積分法設(shè)u 1

dvdx；則

du

2nx

dx,vx，于是 I

(x2

a2)nx

2n x2

(x2dx

a2)n1x

2n

x2a2a2dxn (x2

a2)n

(x2

a2)n1

(x2

a2)n

(x2

a2)n1x dx dx(x2

a2)n

2n

(x2

a2)n

2na2

(x2

a2)n1(x2

xn

2nI 2na2In

，n1從而有遞推公式I