2023-2024學年寧夏平羅縣高二數學第二學期第一次月考試卷附答案解析

-2024學年寧夏平羅縣高二數學第二學期第一次月考試卷試題滿分150分，考試時間120分鐘2024.04數學試卷一?單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.）1．在等差數列中，若，則（

）A．6 B．9 C．11 D．242．曲線在點處的切線斜率為（

）A．0 B．1 C．-1 D．23．高二某班4名同學分別從3處不同風景點中選擇一處進行旅游觀光，則共有多少種選擇方案（

）A．種 B．種 C．種 D．種4．設是函數的導函數，的圖象如圖所示，則的圖象最有可能的是（

）A．B．C．D．5．用0，1，2，3，4這5個數字組成沒有重復數字的三位數，其中偶數共有（

）A．24個 B．30個 C．36個 D．42個6．函數的單調增區(qū)間是（）A． B．C． D．7．現有5種不同顏色要對如圖所示的四個部分進行著色，要求有公共邊界的兩塊不能用同一種顏色，則不同的著色方法共有（

）A．150種 B．180種 C．240種 D．120種8．函數是定義在上的奇函數，對任意實數恒有，則（

）A． B．C． D．二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有多選錯選的得0分.）9．下列求導錯誤的是（

）．A． B．C． D．10．如圖是函數的導函數的圖像，下列結論正確的是（

）

A．是函數的極值點B．是函數的極值點C．在處取得極大值D．函數在區(qū)間上單調遞增11．若函數在區(qū)間上不單調，則實數的值可能是（

）A．1 B．2 C．3 D．412．已知函數在上可導且，其導函數滿足，對于函數，下列結論正確的是（

）A．函數在上為增函數B．是函數的極小值點C．函數必有個零點D．三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13．已知等差數列中，，則數列的前8項和等于.14．已知函數在時取得極大值4，則．15．已知函數，若，則實數的取值范圍為.16．3名男生，4名女生，全體站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端的站法有種.四、解答題（本大題共6小題，共70分，其中第17題滿分10分，第18-22題每題滿分12分．每道題目應給出必要的解答過程）17．等差數列的前n項和為，，．數列滿足．（1）求數列的通項公式；（2）若數列的前n項和，求的值．18．已知函數．(1)求函數在點處的切線方程；(2)求函數在的最大值和最小值．19．在三棱臺中，平面，，，，為中點．

(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值．20．已知數列的前項和為.(1)求的通項公式；(2)若，求數列的前項和.21．已知函數(1)若函數在處取得極值，求的值；(2)若函數在定義域內存在兩個零點，求的取值范圍.22．已知函數(1)討論函數的單調性；(2)證明：當時，1．B【分析】根據等差數列的通項公式的基本量運算求解．【詳解】設的公差為d，因為，所以，又，所以．故選：B．2．A【分析】對函數求導，利用導數的幾何意義求，即可得答案.【詳解】由，則，所以點處的切線斜率為.故選：A3．D【分析】利用分步乘法計數原理即可得解.【詳解】由題意知每位同學都有3種選擇，可分4步完成，每步由一位同學選擇，故共有種選擇方法.故選：D.4．C【分析】根據導函數的圖象可得的單調性，即可結合選項求解.【詳解】由的圖象可知：當和時，，所以單調遞增，當時，，所以單調遞減，結合選項可知，只有C中函數符合要求，故選：C5．B【分析】根據給定條件，按個位數字是0和不是0分類，再利用排列知識求解作答.【詳解】計算偶數個數有兩類辦法：個位數字是0，十位和百位從另4個數字中選兩個進行排列有種結果，個位數字不是0，從2和4中選一個作個位，從除0外的另3個數字中選一個作百位，再從余下3個數字中選一個作十位，共有種結果，由分類加法計數原理得，偶數共有種結果.故選：B6．B【分析】求導解不等式得單調增區(qū)間.【詳解】易知的定義域為，且，當，得，故函數的單調增區(qū)間是.故選：B.7．B【分析】分步完成涂色，先涂，再涂，然后涂，．【詳解】分步涂色，第一步對涂色有5種方法，第二步對涂色有4種方法，第三步對涂色有3種方法，第四步對涂色有3種方法，∴總的方法數為．故選：B．【點睛】本題考查分步乘法原理，解題關鍵是確定完成涂色這件事的方法：分類還是分步．8．B【分析】首先構造函數，根據導數判斷函數的單調性，再結合選項，依次判斷.【詳解】設，則，由條件可知，，所以，則函數在上單調遞增，因為函數是定義在上的奇函數，則，即，故A錯誤；由函數的單調性可知，，得，故B正確；由，得，故C錯誤；由，得，故D錯誤.故選：B【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是構造函數，從而可以根據函數的單調性，判斷選項.9．AB【分析】根據導數的計算公式分別計算.【詳解】，A錯誤；，B錯誤；，C正確；，D正確．故選：AB．10．AD【分析】根據函數的極值的定義和判斷方法，通過圖像，可判斷出選項ABC的正誤；再通過函數的單調性與導數的關系可判斷出選項D的正誤.【詳解】對于選項A，由圖像可知，在的左側，在的右側，所以由函數的極值的判斷方法可知，選項A正確；對于選項B，由圖像可知，在的左側，在的右側，所以由函數的極值的判斷方法可知，選項B錯誤；對于選項C，根據圖像和極值的定義可知，選項C錯誤；對于選項D，由圖像可知，在區(qū)間上，恒有，且僅在處取到等號，故選項D正確.故選：AD.11．BC【分析】根據題意可得導函數在有變號零點，從而建立不等式即可求解.【詳解】∵定義域為，，又∵在上不單調，∴且在有變號零點.即：且在有變號零點.∴，∴，解得：.故選：BC.12．BD【分析】求導，根據導函數滿足判斷選項AB，再結合，分，，判斷選項C；再由函數在上為增函數判斷選項D.【詳解】因為，所以，因為導函數滿足，當時，，則，所以是增函數；當時，，則，所以是減函數；故A錯誤，B正確；又，則，當時，沒有零點；當時，有一個零點；當時，可能有1個或個零點，故C錯誤；因為函數在上為增函數，所以，即，整理得，故D正確；故選：BD13．72【分析】利用等差數列的求和公式可得答案.【詳解】因為，故答案為：7214．【分析】利用導數研究函數的極值，待定系數計算并驗證即可.【詳解】由題意可知，因為函數在時取得極大值4，所以，解之得，檢驗，此時，令或，令，即在上單調遞增，在上單調遞減，即滿足題意，故.故答案為：15．【分析】依題意，求導得函數在上單調遞增，原不等式可化為，解之可得答案．【詳解】，在上單調遞增，，，解得故答案為：.16．3720【分析】解法一，對特殊元素進行分類，結合排列數公式，即可求解；解法二，采用間接法，和排列數公式，即可求解；解法三，特殊位置優(yōu)先法，列式求解.【詳解】解法一(特殊元素優(yōu)先法)：按甲是否在最右端分兩類：第一類：甲在最右端時有(種)第二類：甲不在最右端時，甲有個位置可選，而乙也有個位置，而其余全排有(種)故(種)．解法二(間接法)：無限制條件的排列數共有，而甲在左端或乙在右端的排法都有，且甲在左端且乙在右端的排法有故(種)．解法三(特殊位置優(yōu)先法)：按最左端優(yōu)先安排分步．對于左端除甲外有種排法，余下六個位置全排有，但減去乙在最右端的排法種，故(種)．17．（1）；（2）.【分析】（1）因為是等差數列，由其通項公式和前n項和公式，將已知轉化為和d，即可表示，再帶入中，得答案；（2）因為新的數列是等差數列加等比數列型，所以利用分組求和，再分別使用等差數列和等比數列的前n項和公式，運算得答案.【詳解】（1）設等差數列的公差為d，則有，解得，則．又，所以．（2）依題意得：．【點睛】本題考查求數列的通項公式，特殊的等差數列和等比數列，多見于轉化為首項和公差或公比，還考查了分組求和求前n項和，屬于中檔題.18．(1)(2)最大值為，最小值為【分析】（1）根據導數的幾何意義求出函數在的導數值，即切線斜率；代入直線的點斜式方程即可；（2）利用導數判斷出函數在上的單調性，求出極大值和極小值，再分別求出端點處的函數值比較即可得出其最大值和最小值．【詳解】（1）易知，函數的定義域為；所以，則切點為又，則在點處的切線斜率，所以，切線方程為，整理可得即函數在點處的切線方程為.（2）由（1）可知，當時，，在上單調遞減；或時，，在或上單調遞增；函數在上的單調性列表如下：13極大值極小值所以，的極大值為，極小值為；又，；綜上可得，函數在上的最大值為，最小值為19．(1)證明見解析(2)【分析】（1）取的中點，證明四邊形為平行四邊形，推出，根據線面平行的判定定理，即可證明結論；（2）建立空間直角坐標系，求出相關點的坐標，求出平面與平面的法向量，根據空間角的向量求法，即可求得答案.【詳解】（1）取的中點，連接，，得為的中位線，，且．由于∽，，故，而，，則，，四邊形為平行四邊形，．又平面，平面，平面．（2）如圖，以，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標系，

則，，，所以，．設平面的一個法向量為，由，得，令，則可?。矫嫫矫娴姆ㄏ蛄靠扇椋O平面與平面的夾角為，,則，平面與平面的夾角余弦值為.20．(1)(2)【分析】（1）利用數列的通項和前n項和的關系求解；（2）利用裂項相消法即可求解.【詳解】（1）解：且，有，當時，有，兩式相減得，當時，由，適合，所以.（2）由（1）知，，所以.21．(1)(2)【分析】（1）利用極值點的意義得到，從而求得，再進行驗證即可得解；（2）分類討論的取值范圍，利用導數得到的性質，從而得到且，解之即可得解.【詳解】（1）因為，則，因為函數在處取得極值，所以，解得，當時，可得，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，所以當時，函數取得極大值，符合題意，故.（2）由，其中，當時，可得，單調遞增，此時函數至多有一個零點，不符合題意；當時，令，解得，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；所以當時，取得極大值，也是最大值，最大值為，又，且當時，，所以要使得函數有兩