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文檔簡介
2023北師大版新教材高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊
第二章圓錐曲線
§1橢圓
1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程
基礎(chǔ)過關(guān)練
題組一橢圓的定義及其應(yīng)用
22
1.(2020河南南陽六校聯(lián)考)已知橢圓予+5=1上一點P(x,y)到該橢圓的一個焦
43
點的距離為3,則點P到另一個焦點的距離為()
A.2B.3C.1D.V10
2.(2022重慶第八中學(xué)校月考)已知點P(x,y)滿足方程
J(%-2)2+y2+J(%++y2=6,則點P的軌跡為()
A.圓B.橢圓
C.直線D.線段
3.(2022福建三明月考)已知4ABC的頂點B,C在橢圓1~+y2=l上,頂點A是橢圓
的一個焦點,且橢圓的另一個焦點在BC邊上,則4ABC的周長是()
A.2V3B.6C.4V3D.4
4.(2021江西南昌第二中學(xué)月考)已知橢圓9+y2=i的左、右焦點分別為件,F2,過
E作垂直于x軸的直線與橢圓相交,設(shè)其中一個交點為P,則|PF21=()
A.—B.V3C.-D.4
22
5.(2022吉林遼源階段檢測)若橢圓白+y2=l上一點A到左焦點儲的距離為2,B為
AFi的中點,0是坐標(biāo)原點,則|OB|的值為()
A.1B.2C.3D.4
題組二橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
6.(2021北京首都師范大學(xué)附屬中學(xué)期中)已知橢圓C的左、右焦點分別為儲(-
1,0),F2(1,0).過點Fi的直線與C交于A,B兩點.若AABF2的周長為8,則橢圓C
的標(biāo)準(zhǔn)方程為
A.-+^=1B.-+^=1
161587
化2y2
C.土+匕=1D.-+^=1
4334
7.(2021湖南長沙第九中學(xué)月考)若橢圓的兩個焦點分別為F(2,0),F2(2,0),且
該橢圓過點P值,-|,則該橢圓的方程為(
A.-+^=1B.-+^=1
48610
化2y2
C.土+匕=1D.—+^=1
84106
8.以兩條坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓過點P(|,-4)和則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是
A,竺+x2=l
25
汽2n
B.Q1
c纖y』或**2=1
D.以上都不對
9.(2021寧夏銀川第二中學(xué)月考)已知圓B:(x+2)2+y2=64,點A(2,0),動點C為圓
B上任意一點,則AC的垂直平分線與BC的交點P的軌跡方程是()
A?話刁B.—+^=1
164
C.UD.-+^=1
1612416
22
10.(2020天津一中期末質(zhì)量調(diào)查)已知橢圓?卷=1(a>b>0)的左、右焦點分別為
azbz
FbF2,以線段FF2為直徑的圓與橢圓交于點P(W「W),則橢圓的方程
為.
11.(2020廣西來賓教學(xué)質(zhì)量診斷性聯(lián)合考試)如圖,已知橢圓C的中心為原點
0,F(-2V5,0)為C的左焦點,P為C上一點,滿足|0P|=10F|,且|PF|=4,求橢圓C
的標(biāo)準(zhǔn)方程.
題組三橢圓的方程的應(yīng)用
22
12.(2020遼寧撫順一中三模)已知橢圓靠+臺1(a>b>0)分別過點A(2,0)和B(0,-
1),則該橢圓的焦距為()
A.V3B.2V3C.V5D.2V5
13.(2021吉林長春第三中學(xué)月考)點P(4cosa,2gsina)(a£R)與橢圓
22
C:3+5=1的位置關(guān)系是()
43
A.點P在橢圓C上
B.不能確定,與a的取值有關(guān)
C.點P在橢圓C內(nèi)
D點P在橢圓C外
22
14.(2021四川樂山十校期中聯(lián)考)已知方程三-表示焦點在y軸上的橢圓,
m-1m-2
則實數(shù)m的取值范圍是()
A.(-8,2)B.(-8,1)
22
15.(2021吉林長春外國語學(xué)校月考)若橢圓三+匕=1的焦距為2,則實數(shù)m的值
97n+4
為()
A.1或4B.4或6
C.1或6D.4或7
16.(2021四川西昌期中)已知橢圓?+y2=l的左、右焦點分別是儲,F,P是橢圓C
42
上的一點,且NFFF2甘,求△EPF2的面積.
能力提升練
題組一橢圓的定義的應(yīng)用
22
1.(2020北京豐臺期末)已知點P是橢圓C:高+5=1上一點,M,N分別是圓(x-
10064
6)2+y2=l和圓(x+6)2+y2=4上的點,那么IPM+1PN|的最小值為()
A.15B.16C.17D.18
22
2.(2021湖北襄陽宜城第三中學(xué)月考)已知P為橢圓予+3=1上一點,件,F2為該橢
43
圓的兩個焦點,若NFFF2=60。,則巨瓦?布=()
A.-B.3C.6D.2
2
3.(2022四川成都樹德中學(xué)階段性測試)已知點A(l,1),Fi是橢圓5x2+9y2=45的
左焦點,P是橢圓上的動點,則IPA+1PF」的最大值和最小值分別為()
A.6+V2,6-V2B.4+V2,4-夜
C.6+2V2,6-2V2D.4+2近,4-2式
22
4.(2020陜西西安八校高考模擬)已知橢圓?+一=1的兩個焦點分別是儲,F,M是
942
橢圓上一點,且MFj-MF21=2,則AFF2M的面積是.
題組二橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其應(yīng)用
5.(2020安徽六安一中開學(xué)考試)對于常數(shù)m,n,“方程mx2+ny2=l表示的曲線是
橢圓”是“mn>0”的()
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充分必要條件
D.既不充分也不必要條件
22
6.(2020湖北恩施利川第五中學(xué)期中)已知FbF2是橢圓三+之=1的兩個焦點,P是
2449
橢圓上一點,且iPFj:|PF21=4:3,則△PFE的面積等于()
A.24B.26C.22V2D.24應(yīng)
22
7.(2021黑龍江哈爾濱師范大學(xué)附屬中學(xué)月考)一個動圓與圓C1:x+(y+3)=l外
22
切,與圓C2:x+(y-3)=81內(nèi)切,則這個動圓圓心的軌跡方程為()
A,^+―=1B.—+^=1
25162516
丫2支2汽2y2
C.^+—=1D.—+^=1
169169
22
8.(多選)(2021江蘇南通中學(xué)期中)設(shè)橢圓白+看=1的右焦點為F,直線
y=m(0〈m〈V^)與橢圓交于A,B兩點,則下列結(jié)論正確的是()
A.|AF|+|BF|為定值
B.AABF的周長的取值范圍是[6,12]
C.當(dāng)m二加時,AABF為直角三角形
D.當(dāng)m=l時,AABF的面積為注
22
9.(2021河北保定第三中學(xué)期中)已知橢圓C:?$l(a〉b>0)的左、右焦點分別
azbz
為FI,F2,P為橢圓C上一點,NFFF2=120°,|PF1|=2+VX|PF21二2-遮.
⑴求橢圓C的方程;
(2)求點P的坐標(biāo).
答案與分層梯度式解析
基礎(chǔ)過關(guān)練
1.C根據(jù)題意知a=2,由橢圓的定義知點P到該橢圓的另一個焦點的距離為2a-
3=1,故選C
2.B設(shè)點A⑵0),B(-2,0),則J(%-2)2+y2表示|PA|,J(%+2)2+y2表示|PB|,
所以|PA|+1PB|=6,又IAB=4<6,所以點P的軌跡是以A,B為焦點的橢圓.故選B.
3.C由橢圓的方程得a=V3.設(shè)橢圓的另一個焦點為F,則由橢圓的定義得
BA|+|BF|=1CA|+|CF|=2a,所以4ABC的周長為
BA+1BC+|CA=(BA+1BF|)+(CF+1CA)=2a+2a=4a=4V3.故選C.
4.C易得C=A/4-1;所以當(dāng)x=-遮時,|PF」=|y|三,又|PF」+|PF2|=4,所以
5二4-|PFi故選C.
5.B由已知得a=3,設(shè)橢圓的右焦點為F2,則|AF2|=2a-2=6-2=4,易知OB是
△AFF2的中位線,所以10B|=號1=2.故選B.
6.C根據(jù)橢圓的定義,可得|AF2|+|BF2|+|AB|=|AF/+|AF2|+|BFi|+|BF2|=4a=8,解
得a=2,
又c=l,所以b2=a2-c2=3.
22
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為9+5=1.故選C.
43
2222
7.D|PFj+1PF2"(I+2)+(-|)+J(|-2)+(-|)=2Vw=2a,故a=V10,又
22
c=2,所以b2=a2-c2=10-4=6,故該橢圓的方程為^+號」.故選D.
106
m+16n=1,m=1,
解得Im-1
||m+9n=1,1n=
???橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為言+x2=l.故選A.
9.C由題意得|PA|=|PC|,
則|PB|+1PA|=|PB|+1PC|=〕BC|=8>[AB|=4,
故點P的軌跡是以A,B為焦點的橢圓,其中a=4,c=2,,b2=a2-c?=16-4=12,
22
..?點p的軌跡方程是±+9=1,故選c.
1612
9?
10.答案上+匕=1
94
解析根據(jù)題意知IP0=J|+Y=V5=C,
故Fi(-迷,0),F2(V5,0).
???1PF/+|PF2
=4+2=6=2a,.,.a=3,.*.b=2,
22
???橢圓的方程為3+?=L
94
11.解析由題意可得,該橢圓的半焦距c=2V5,設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為
22
J+2(a>b>。),右焦點為Fi,則Fi(2V5,0),連接PK,如圖.
azbz
因為|0P|=|0F|,所以|0P|=|0Fj,
所以PF_LPFi.
又|PF|=4,IFF11=4V5,
所以|PF/力|FFI|2"PF|2=8,
所以2a=|PF|+|PFil=12,即a=6,
所以b2=a2-c2=16,
22
所以橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為2+5=1.
3616
12.B由題意可得a=2,b=l,所以c=Va2-b2=V4—1=V3,所以2c=243.故選B.
13.D把(4cosa,2gsina)(a£R)代入橢圓方程的左邊,得
如辿+(2修ina)2=4(c°s2+sin2a)=4>1,因此點P在橢圓C外.故選D.
43a
14.C三-馬=1表示焦點在y軸上的橢圓,則2-m>m-l>0,解得Km<|.所以實數(shù)
m-1m-22
m的取值范圍是(1,1).故選C.
15.B若焦點在x軸上,則c=V9-m-4=l,解得m=4;若焦點在y軸上,則
c=Vm+4-9=1,解得m=6.故選B.
易錯警示在解決與橢圓方程有關(guān)的問題叱一定要注意橢圓焦點的位置,即焦
點是在x軸上還是在y軸上,如果不確定,則需要分情況討論.
16.解析因為|PFJ+1PF2|=2a=4,且
所以|PFL「+|PF2|2=4C2=4義(4-1)=12,
所以iPFj-|PF2|
_(PFI|+|PF2|)2-(|PFI|2+|PF2|2)_2
2,
所以S&pF二出嚴(yán),
△卜1尸卜22
能力提升練
22
1.C橢圓C:1中,a=10,b=8,所以c=6.
10064
圓(x-6)2+y2=l和圓(x+6/+y2=4的圓心為橢圓C的兩個焦點,
則當(dāng)M,N在如圖所示的位置時,|PM"|PN|的值最小,最小值為|PFJ+1PF2HFiN|-
F2M|=2a-2-l=17.故選C.
2.D根據(jù)橢圓方程可知a=2,c-V4^3=l.
設(shè)旗1書旗5由橢圓的定義和余弦定理得也享二金+皿皿…刎,
可得mn-4,故Pa?PF2=mncos60°=4X-=2.故選D.
22
3.A設(shè)橢圓的右焦點為F2,把橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為氤+七=1,
由已知得|PF』+|PF21二2a=6=PF1|=6-|PF2|,A|PA|+1PFi|=6-(IPF21-1PA|).
①當(dāng)|PA|NlPFzl時,有IPAHPF2IW|AFz1,等號成立時|PA|+1PFj最大,此時P是
射線AF2與橢圓的交點,則|PA+1PF11的最大值是6+V2.
②當(dāng)|PA|W|PFz|時,有|PFZHPA|W|AFz1,等號成立時|PA|+1PFj最小,此時P是
射線F2A與橢圓的交點,則IPA|+1PF」的最小值是6-V2.故選A.
4.答案4
解析由橢圓的定義可知,1MFI|+|MF21=6,
又IMF1HMF21=2,所以IMF11=4,|MF2|=2.
又IF1F2H2/,所以|MF1|2+|MF2/=|F1F2H
所以AFF2M是以MFbMF2為直角邊的直角三角形,所以AFF2M的面積為
jlMFil|MF2|=|x4X2=4.
m>0,
5.A若方程mx2+ny2=l表示的曲線是橢圓,則卜>0,所以“方程mx2+ny2=l表示
、mHn,
的曲線是橢圓”是“mn>0”的充分不必要條件.故選A.
6.A由題意得a?=49,所以a=7,所以|PF」+|PF2|=2a=14,又|PF』:山|=4:3,所
2
以|PFf]=8,|PF1=6,因為|FF』=2V49-24=10,所以|PFi『+1PF2|=|所以
PF」PFz,故△PFE的面積S=:PFj*"|[><8><6=24.故選人.
7.A設(shè)動圓的半徑為r,圓心為M,
根據(jù)題意可知,Ci(0,-3),C2(0,3),
iMGhl+r,|MC2|=9-r,|GG|=3-(-3)=6,
MCJ+IMC2=l+r+9-r=10>6,故動圓圓心的軌跡為焦點在y軸上的橢圓,且焦點為
C2(0,3)和Ci(0,-3),其中2a=10,a=5,2c=|CiC21=6,c=3,
所以b2=a2-c=25-9=16,
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