2020-2021學年惠州市高二年級上冊期末數(shù)學試卷(含解析)

2020-2021學年惠州市高二上學期期末數(shù)學試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分）

1.設f（x）為可導函數(shù)，且1（2）=：,求九呷0f（2f）-f（2+”）的值（）

nh

A.1B.—1C.：D.—：

22

2.已知圓Ci：%2+丫2+8X-20=。和圓。2：x2+y2-6y=0,則兩圓的位置關系為（）

A.外離B.外切C.相交D.內切

3.如圖是某籃球運動員在30場比賽中得分的莖葉圖，則得分的中位089

112346789

數(shù)和眾數(shù)分別為（）,）0113335789

A2旬2301223489

A.3和34o1

B.23和3

C.3和23

D.23和23

4.有60件產(chǎn)品，編號為01至60,現(xiàn)從中抽取5件檢驗，用系統(tǒng)抽樣的方法所確定的抽樣編號是（）

A.5,17,29,41,53B.5,12,31,39,57

C.5,15,25,35,45D.5,10,15,20,25

5."4<K<9”是“方程工+3=1表示的圖形為橢圓”的（）

9-kk-4、/

A,充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

6.已知直線、:4x-3y+6=0和直線=-1,拋物線y?=4x上一動點P到直線匕和直線％的距

離之和的最小值是（）

1137

A.2B.3C.—D.—

516

7.某地區(qū)氣象臺統(tǒng)計，該地區(qū)下雨的概率是於，刮三級以上風的概率為*既刮風又下雨的概率為

卷，則在下雨天里，刮風的概率為（）

A.短B.；C.1D.2

審=寫名窗圈>1?般1

8.橢圓$”一:.「能是參數(shù)》的離心率是

，涉=學都蒯螂

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分)

9.已知雙曲線C：奈―，=l(a>0/>0)的左，右焦點分別為Fi，F(xiàn)2,過雙曲線C上的一點M作

兩條漸近線的垂線，垂足分別為4B,若囹尸2『=16|河川?|MB|,則()

A.雙曲線C的離心率為企

B.四邊形4MB。的面積為：。2(0為坐標原點)

C.雙曲線C的漸近線方程為y=±V2x

D.直線M4與直線MB的斜率之積為定值

10.己知函數(shù)fQ)=e^sinx,則下列結論正確的是()

A.“X)是周期函數(shù)

B.f。)在(一%。)上單調遞增

C.f(x)在(0,弓)上單調遞減

D.f(x)在(-5兀,5兀)內有10個極值點

11.人民日報智慧媒體研究院在2020智慧媒體高峰論壇上發(fā)布重磅智能產(chǎn)品一人民日報創(chuàng)作大腦，

在2/算法的驅動下，無論是圖文編輯、視頻編輯，還是素材制作，所有的優(yōu)質內容創(chuàng)作都變得

更加容易.已知某數(shù)據(jù)庫有視頻a個、圖片b張(a,beN*,a>b>1),從中隨機選出一個視頻和

一張圖片，記“視頻甲和圖片乙入選”為事件4“視頻甲入選”為事件B,“圖片乙入選”為

事件C,則下列判斷中正確的是()

A.PQ4)=P(B)+P(C)B.P(4)=P(B)-P(C)

C.p(A)>P(BC)+P(BC)D.p(BC)<P(BC)

12.己知函數(shù)y=f(x)的導函數(shù)y=/'(x)的圖象如圖所示，則(

A./(xx)<fg)

B./(%3)</(X2)

C.f(x)在(a,b)內有2個極值點

D.f(x)的圖象在點x=0處的切線斜率小于0

三、單空題(本大題共4小題，共20.0分)

13,已知樣本與，X3...X2019的平均數(shù)與方差分別是1和4,%=。陽+6伽>0,1=12.2019)且

樣本y「y2,丫3“42019的平均數(shù)與方差也分別是1和16,則。2+爐=

14.設P是拋物線、=；%2一3上橫坐標非負的一個動點，過P引圓/+y2=2的兩條切線，切點分別

為7;、T2,當ITIRI最小時，直線7打2的方程是.

**

15.己知點1P為雙曲線馬-鼻=2血*，埠愚.尊上任意一點，過點1P作雙曲線的漸近線的平行線,

:靖覆

分別與兩漸近線交于豳兩點，若怦麴1卜|喇=,喊，則該雙曲線的離心率為.

16.設/'(尤)是R上的奇函數(shù)，且當xe[0,+8)時，/(%)=%(14-3x).則當xe(-8,0)時，f(x)=

四、解答題(本大題共6小題，共72.0分)

17.如圖，點4為圓外一點，過點4作圓的兩條切線，切點分別為8,C,

4DE是圓的割線，連接CO,BD,BE,CE.

(1)求證：BECD=BD-CE；

(2)延長CD交于尸，若CE〃AB,證明：尸為線段4B的中點.

18.某校從參加高一年級期末考試的學生中抽出60名學生，將其成績(均為整數(shù))分成六段[40,50),

[50,60),[90,100]后畫出如下部分頻率頒布直方圖，觀察圖形的信息，回答下列問題：

(I)求第四小組的頻率，補全這個頻率分布直方圖，并估計這次考試的及格率(60分及以上為及格)；

(口)若將頻率袖為概率，從這個學校的高一學生中抽取3個學生(看作有放回的抽樣)，求其成績在80

分至100分(包括80分)的學生數(shù)X的分布列和數(shù)學期望.

og

]Hf!

tnn

19.已知函數(shù);我喻=談一?第一1凝

(1)求曲線考=精!刈在點敲g,一卷3處的切線方程;

(2)直線皆為曲線第=玳;礴的切線，且經(jīng)過原點，求直線甕的方程及切點坐標

20.某商店為了更好地規(guī)劃某種商品進貨的量，該商店從某一年的銷售數(shù)據(jù)中，隨機抽取了8組數(shù)據(jù)

作為研究對象，如圖所示。(噸)為該商品進貨量，y(天)為銷售天數(shù))；

X234568911

y12334568

(I)根據(jù)上表數(shù)據(jù)在下列網(wǎng)格中繪制散點圖；

(H)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，求出y關于x的線性回歸方程5?=bx+a-.

(IE)根據(jù)(U)中的計算結果，若該商店準備一次性進貨該商品24噸，預測需要銷售天數(shù).

21.如圖，在正方體ABC。一為當6劣中，以4也。4為軸截面有一半圓柱。。1，點E為圓弧前的中

點.

(1)證明：平面&E。〃平面ABiC.

(2)求二面角E-ADr-。的正弦值.

22.橢圓C：5+，=l(a>b>0)的左右焦點分別為&,F2,離心率為爭過點片且垂直于x軸的

直線被橢圓截得的弦長為近，直線八y=kx+m與橢圓交于不同的4B兩點.

(1)求橢圓。的方程：

(口)若在橢圓C上存在點Q滿足：瓦？+礪=4麗(0為坐標原點).求實數(shù)；I的取值范圍.

參考答案及解析

1.答案：B

解析：解：由九)-"2+八)=_八"o々+e-々f)=_jM(/(2+e-r(2)+r⑵52-")=

hhh

_(O/(2+ft)-/(2)+/i-0=-2/(2)，

、hh-h'''

由/''(2)=I，則九"o"2f)-f(2+")=_2/(2)=-1，

故選：B.

由)-r(2+h)=_(JTo"2+h)-f(2)+)-r(2))=_2r(2),利用導數(shù)的定義，由

f(2)=I，即可求得答案.

本題考查極限的運算，考查導數(shù)的定義，考查轉化思想，屬于中檔題.

2.答案：C

解析：解：根據(jù)題意，圓G：%2+y2+8%—20=0,即(x+4)2+y2=36,圓心為。式―4,0),半

徑=6；

圓C2：x2+y2-6y=0,即/+(y-3)?=9,圓心。2(0,3),半徑萬=3；

則有IC1C2I=V16+9=5.

則有匕-r2|=3<ICgl<1rl+r2\=9；

則兩圓相交；

故選：C.

根據(jù)題意，由兩個圓的方程分析可得圓心與半徑，進而求出圓心距IGC2I，比較可得匕-萬1=3<

|CiC2l<|ri+r2|,結合圓與圓的位置關系分析可得答案.

本題考查圓與圓的位置關系，注意分析圓的圓心與半徑，屬于基礎題.

3.答案：D

解析：

本題考查莖葉圖，考查眾數(shù)、中位數(shù)，屬于基礎題.

根據(jù)莖葉圖列出的數(shù)據(jù)，這組數(shù)據(jù)有30個，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是最中間兩個數(shù)字的平均數(shù)，再找出

出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)字.

解：由莖葉圖知這組數(shù)據(jù)有30個，

這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是最中間兩個數(shù)字的平均數(shù)等=23,

眾數(shù)是這些數(shù)字中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)字，是23,

故選D

4.答案：A

解析：試題分析：???根據(jù)題意可知，系統(tǒng)抽樣得到的產(chǎn)品的編號應該具有相同的間隔，總體是60個,

從中抽取5個，那么可知間隔是60:5=12,.??只有。符合要求，即后面的數(shù)比前一個數(shù)大12.故選A.

考點：本題主要考查了系統(tǒng)抽樣，是一個基礎題，解題時抓住系統(tǒng)抽樣的特點，找出符合題意的編

號，這種題目只要出現(xiàn)一定是我們必得分的題目.

點評：解決該試題的關鍵是根據(jù)題意可知，本題所說的用系統(tǒng)抽樣的方法所確定的抽樣編號間隔應

該是60:5=12,觀察所給的四組數(shù)據(jù)，只有最后一組符合題意.

5.答案：B

22

解析：解：?.?方程1表示的圖形為橢圓，

9-fck-4

9-k>0

???Jc-4>0,解得：4<fc<9且/c豐y,

9—k手k—4

故"4VKV9”是“方程二十拄=1表示的圖形為橢圓"的必要不充分條件，

9-kk-4

故選：B.

求出方程工+3=1表示的圖形為橢圓的k的范圍，結合集合的包含關系判斷即可.

9-kk-4

本題考查了充分必要條件，考查橢圓的方程，是一道基礎題.

6.答案：A

由拋物線y2=4x知直線G為其準線，焦點為F(l,0).由拋物線的定義可知動點P到直線％的距離與P到

焦點尸(1,0)的距離相等，所以P到直線。的距離與P到焦點F(l,0)的距離之和的最小值為焦點F(L0)到

|4xl-0+6|

直線l的距離(如圖)，則d=7^^=2.

7.答案：C

解析：解：該地區(qū)下雨的概率是右刮三級以上風的概率為卷，既刮風又下雨的概率為5,

???設A事件為下雨，B事件為刮風，由題意得，P(4)=2,P(AB)=^,

則P(B|4)=需=3=：，

故選：c.

由已知中，該地區(qū)下雨的概率是於，刮三級以上風的概率為卷，既刮風又下雨的概率為總，利用條件

概率公式，即可求得結論.

本題考查概率的計算，考查條件概率，考查學生的計算能力，屬于基礎題.

8.答案：B

解析：試題分析：因為橢圓*“干，所以a=5,b=3,橢圓的離心率黎=二

]〃二香潮物第鐲

關系B<>

考點：本題主要考查橢圓的參數(shù)方程，橢圓的幾何意義。

點評：簡單題，橢圓的離心率為

9.答案:ABD

解析：解：雙曲線C的兩條漸近

線分別為bx+ay=0和bx—

ay=0,

設加。。,%))，則

B\

_|b&+ay°l_岷+ay()|\bx-ay\\bx-ay\

\MA\0000

yjb24-a221=b24-a=c

|b%o+ayol.M-ayol_|標就02淚

所以|M4|?|MB|

CCC2

又M點在雙曲線上，則胃一吟=1=爐就一。2羽=a2b2,

|方2就一02油_a2b2

所以|M*?|MB|

c2

因為尸/2『=16|M*?|M8|,所以4c2=16詈，

即c,=4a2/?2<=>c4=4a2(c2—a2)=e4=4(e2—1)<=>(e2—2)=0,

又e>l,所以e=VL故A正確；

因為e=￡=&=q=2Q=2<=>a2=h2,

aa"az

所以3?%=9(-3=一捺=一1'所以。ALOB，所以四邊形0ABM是矩形，

故四邊形OABM的面積為==故B正確；

因為a=b,所以雙曲線的漸近線方程為y=±x,故C錯誤；

^MA*=k°B,k0A=(-1),1=—1,故。正確?

故選：ABD.

先根據(jù)馮?2『=161AMi?|MB|可得到4c2=16罷，進而可判斷4B,C,。四個選項.

本題考查雙曲線的性質，考查離心率的求法，考查數(shù)學運算和直觀想象的核心素養(yǎng)，屬于中檔題.

10.答案：BD

解析:解：若f(x)存在周期,則必滿足了(%+7)=/(%),

而當TH0時，e|x+Tlsin(x+T)4e^sinx,

???/(x)不是周期函數(shù)，

故選項A錯誤；

/Q)求導可得：/'(x)=exsinx+excosx=V2exsin(x+~)>

當xe(一?$時，sin(x+5>0,f(x)>0,

???/。)在(一%》上單調遞增，

故選項B正確，選項C錯誤；

令(。)=0,即魚sin(x+》=0,解得x解集為：

{x\x=—+kn,kEZ],v%e(-5TT,5TT),

4

.??f'(x)=0在Xe(—5兀,5兀)有10個變號零點，

即f(x)在x6(-5兀,5兀)內有10個極值點，

故選項O正確.

故選：BD.

根據(jù)周期函數(shù)的定義判斷選項A錯誤；根據(jù)導函數(shù)的正負以及零點的個數(shù)可判斷BCD的正誤.

本題考查了函數(shù)的周期性、單調性、極值點的判斷方法.

11.答案：BC

解析：解：因為事件力，B,C是相互獨立事件，由相互獨立事件的概率公式可知，選項A錯誤，選

項B正確；

事件】包含“視頻甲未能入選，圖片乙入選”，“視頻甲入選，圖片乙未能入選”，“視頻甲、圖片

乙都未入選”三種情況，

所以P(4)=P(BC)+P(BC)+P(BC)，則PQ4)>P(BC)+P(BC)，故選項C正確；

由題意可知，P(BC)=(1—64=鬻，

P(麗=今。-》=黑，

因為a,b€N",a>h>1,

所以鬻>智，即P(BC)>P(BC)，故選項。錯誤.

故選：BC.

利用相互獨立事件的概率乘法公式，對四個選項逐一分析判斷即可.

本題考查了相互獨立事件的概率乘法公式的理解和應用，考查了邏輯推理能力與運算能力，屬于中

檔題.

12.答案：AC

解析:解：由導函數(shù)的圖象可知，函數(shù)在區(qū)間(X1/2)，@2*3)上均單調遞增，故/(與)>/(不)>f(Xl)，

選項A正確，選項B錯誤，

導函數(shù)的圖象在區(qū)間(a,b)上有兩個零點，故原函數(shù)有2個極值點，選項C正確；

((0)>0,故〃x)的圖象在點x=0處的切線斜率大于0,選項。錯誤.

故選：AC.

由題意利用導函數(shù)的符號研究函數(shù)的單調性和函數(shù)的極值即可確定函數(shù)的性質.

本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)單調性的方法，利用導數(shù)研究函數(shù)極值的方法，導數(shù)的幾何意義等

知識，屬于中等題.

13.答案：5

解析：解：?.?樣本/，X2,X3…％2。19的平均數(shù)與方差分別是1和%

%=axi+b(a>0,i=1,2..2019)且樣本%,y2,y3..)2019的平均數(shù)與方差也分別是1和16,

fQ+b=1

'UM=16'

由a>0,解得Q=2,b=-1,

???a?+52=4+i=5

故答案為：5.

利用平均數(shù)和方差的性質直接求解.

本題考查兩個數(shù)的和的求法，考查平均數(shù)、方差的性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題.

14.答案：%+y—1=0

解析：解：設圓心為。(0,0),P。與AB交于E，則PO2=P"+2,中2=27\E=普=25一焉

二當P。值最小時，口超取最小值；

設P(x,y),則P。？=x2+y2=y2+4y+12=(y+2)2+8

當y=-2時，PO2有最小值8,P(2,2)

設切點為72(%2,%)，

則PT1的方程為/X+yj=2,PT^的方程為小乂+,2y=2,

把(2,2)分別代入求得2%+2%=2,2X2+2y2=2

.??直線T1T2的方程是2x+2y=2,化簡得x+y-l=0

故答案為：x+y—1=0.

設圓心為。(0,0),PO與T打2交于E,則尸。2=「r+2,7m=27\E=鬻=2小一急當P。值最

小時，”乙取最小值，求出P的坐標，設出兩切點坐標，根據(jù)圓的切線方程公式分別寫出兩條切線方

程，然后把P點坐標代入后得到過兩切點的直線方程即可.

此題考查學生掌握圓的切線方程公式,靈活運用點的坐標與直線方程的關系寫出直線方程，是一道

中檔題.

15.答案：空

事

解析：試題分析：設雅磁雄，則雙曲?戔的漸近線方程瞿=過點舉作雙曲線兩漸近線的平行

謝

方程為■津=it士曝一好

前

國饋

卜胖=一加『看=正聯(lián)多，

由，！%,解得4,艮

般=一日(常一淵￥承=3

V..渤v.a

，臚=一案

產(chǎn)，解得!

由]

9=一快一崛

就

由—據(jù)—Y噎=亍,故答案為呈

考點：雙曲線的幾何性質.

16.答案：%(1—3%)

解析：解：設%E(-8,0],則一工€[0,+8),

可得/(一%)=-X(l+3-%)),

??,/(%)為R上的奇函數(shù)

/(x)=—/(—x)=x(l—3%)

故答案為：x(l-3%)

先設%￡(-8,0],則一％W[0,+8),可得/(一%)=-％(1+3-x)),再由/(%)為R上的奇函數(shù)求解.

本題主要考查利用函數(shù)的奇偶性來求對稱區(qū)間上的解析式，要注意求哪個區(qū)間上的解析式，在哪個

區(qū)間上取變量.

17.答案：(1)證明：由題意可知乙4CO=乙4EC,ACAD=CEAC

AV”廠

ADCACE,CD-AC

同理，器=嚕

BEAE

XvAB=AC,

S=■--BE-CD=BD-CE

(2)解：如圖，由切割線定理，得FB'2=FD,FC,

??,CE//AB,

???Z-FAD=乙AEC,

又???/8切圓于B,AACD=Z.AEC././.FAD=Z.FCA,

Appr\

：.^AFD-^CFA,即4F2=FD-FC,

CFFA

???FB2=AF2,即FB=R4,F為線段48的中點.

解析：⑴證明△ADC-△力CE,可得胃=若，同理，附=*利用4B=4C,即可得出結論；

CCnCDC/1C

(2)由切割線定理，得FB2=FD-FC,證明△AFDsz\CR4,^^AF2=FD-FC,即可證明F為線段

4B的中點.

本題考查三角形相似的判斷與運用，考查切割線定理，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題.

18.答案：解：(1);各組的頻率和等于1,

.,?第四組的頻率啟=1-(0.0254-0.015x2+0.01+0.005)x

10=0.3,0.03

直方圖如右圖.

縱坐標是0.03.

依題意，60分及以上的分數(shù)所在的第三、四、五、六組，

頻率和為(0.015+0.03+0.025+0.005)x10=0.75,

???抽樣學生成績的及格率是75%.

(口)由題間，知每抽一名學生，抽到80?100分學生的概率。為0.3,且x?B(3,0,3),

AP(X=0)=CC2的=0.343,

P(f=1)=6x0.3X0.72=0.441.

p(《=2)=Cfx0.32x0.7=0.189.

=3)=廢XO.33=0.027.

??.隨機變量X的分布列為：

X0123

P0.3430.4410.1890.027

???EX=3x0.3=0.9.

解析：(I)利用頻率分布直方圖能求出第四組的頻率，由此能補齊直方圖，能求出抽樣學生成績的

及格率.

(口)由題間，知每抽一名學生，抽到80?100分學生的概率為0.3,且x?8(3,0,3)，由此能求出X的分

布列和數(shù)學期望.

本題考查頻率分布直方圖的應用，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望，是中檔題，在歷年高

考中都是必考題.

19.答案：⑴,=’%：-翳(2)期=］瓢;，切點坐標為啟，騫.

解析：試題分析：解：⑴史於隰

在點（X-⑥既處的切線的斜率蕨/修黛夠1=出，

切線的方程為￥=1?裔:-妻；

（2）設切點為儂3死J,則直線/的斜率為/竄碼：/=翁蜷心，

J2直線5的方程為：/陽蜷碰健新噌模廠瞬.

又直線￡過點（遵，,@3,

?"?,o=像滁習十￡*—應J+年金卜黑2-1盛,

整理，得黑］i=1-德，二,茍：=—髻，

二，颼：=《—霸書《一期一照=一筮尊，

的斜率瓶=筑:感-幻產(chǎn).?,=腮，二直線&的方程為芹=J瓠;，切點坐標為好號

考點：切線的方程

點評：導數(shù)常應用于求曲線的切線方程、求函數(shù)的最值與單調區(qū)間、證明不等式和解不等式中參數(shù)

的取值范圍等。

20.答案：解：（I）根據(jù)上表數(shù)據(jù)在下列網(wǎng)格中繪制散點圖，8|V._____________...?

如圖所示；:二二二二二二二二二二二

（口）根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，:二二二二二二二二二二二

3-------------1?--------------------------------

計算％=gX（2+3+4+5+6+8+9+ll）=6,）-------,----------------

歹=gx(l+2+3+3+4+5+6+8)=4,567891011

第1%團一?1^7_241-8X6X4_49

E匕靖一位2-356-8X62-68

.-?y關于%的線性回歸方程?=-?

oo34

（HI）根據(jù)（口）中的計算結果,

x=2n4?時rj-4-，y'-49x2.4y11=弁577"1.?7；

所以該商店一次性進貨該商品24噸，預測需要銷售17天.

解析：(I)根據(jù)表中數(shù)據(jù)繪制散點圖即可;

(H)根據(jù)表中數(shù)據(jù)計算已歹和回歸系數(shù)，寫出線性回歸方程；

(HI)根據(jù)(U)中線性回歸方程計算x=24時9的值即可.

本題考查了散點圖與線性回歸方程的應用問題，是中檔題.

21.答案：(1)證明：因為E點是下底半圓弧中點，

所以A/IDE為等腰直角三角形，^ADE=45°,

因為4BC。-41勺6。1是正方體，所以4。&4=45°,

所以AC〃ED,因為3修〃