有效數(shù)字及誤差計(jì)算

有效數(shù)字及誤差計(jì)算一、測(cè)量所謂測(cè)量，就是被測(cè)量的物理量和選為標(biāo)準(zhǔn)的同類(lèi)量〔即，單位〕進(jìn)行比擬，確定出它是標(biāo)準(zhǔn)量的多少倍。如：測(cè)量一本書(shū)的長(zhǎng)度，將書(shū)與米尺進(jìn)行比擬，書(shū)的長(zhǎng)度是米尺的18.85％，那么書(shū)的長(zhǎng)度為0.1885m。測(cè)量結(jié)果的數(shù)值大小和選擇的單位密切相關(guān)。同樣一個(gè)量，測(cè)量時(shí)選擇的單位越小，測(cè)量結(jié)果數(shù)值就越大，所以任何測(cè)量結(jié)果都必須標(biāo)明單位．如273.15K，3.0×108m/s等等。二、測(cè)量分類(lèi)根據(jù)獲得數(shù)據(jù)的方法不同，測(cè)量可分為直接測(cè)量和間接測(cè)量?jī)深?lèi)。1．直接測(cè)量直接測(cè)量：使用量具或儀表等標(biāo)準(zhǔn)量具經(jīng)過(guò)比擬可直接讀數(shù)獲取數(shù)據(jù)。相應(yīng)測(cè)得量稱(chēng)為直接測(cè)量量。如：米尺測(cè)量長(zhǎng)度、溫度計(jì)測(cè)量溫度、天平測(cè)量質(zhì)量等等。2．間接測(cè)量間接測(cè)量：不能直接測(cè)量出結(jié)果，而必須先直接測(cè)量與它有關(guān)的一些物理量，然后利用函數(shù)關(guān)系而獲取被測(cè)量數(shù)據(jù)的測(cè)量．相應(yīng)的測(cè)得量就是間接測(cè)量量。如：物質(zhì)的密度、物體運(yùn)動(dòng)的速度、物體的體積等等。三、有效數(shù)字測(cè)量的結(jié)果因所用單位不同而不同，但在某一單位〔量具〕下，表示該測(cè)量值的數(shù)值位數(shù)不應(yīng)隨意取位，而是要用有確定意義的表示法。圖1用毫米尺測(cè)量工件的長(zhǎng)度如圖1是用毫米尺測(cè)量一段工件長(zhǎng)度的示意圖。此工件的長(zhǎng)度介于13mm和14mm之間，其右端點(diǎn)超過(guò)13mm刻度線處，估計(jì)為6/10格，即工件的長(zhǎng)度為13.6mm。從獲得結(jié)果看，前兩位13是直接讀出，稱(chēng)為可靠數(shù)字，而最末一位0.6mm那么是從尺上最小刻度間估計(jì)出來(lái)的，稱(chēng)為可疑數(shù)字〔盡管可疑，但還是有一定根據(jù)，是有意義的〕。定義：由幾位可靠數(shù)字加上一位可疑數(shù)字在內(nèi)的讀數(shù)，稱(chēng)為有效數(shù)字。如上讀數(shù)13.6mm共有三位有效數(shù)字，這里的第三位數(shù)“6”已是估計(jì)出來(lái)的，因此，用這種規(guī)格的尺子不可能測(cè)量到以毫米為單位小數(shù)點(diǎn)后第2位。注：1、有效數(shù)字的多少，表示了測(cè)量所能到達(dá)的準(zhǔn)確程度，這與所用的測(cè)量工具有關(guān)。2、當(dāng)被測(cè)物理量和測(cè)量?jī)x器選定后，測(cè)量值的有效數(shù)字位數(shù)就可以確定了。3、儀器的讀數(shù)規(guī)那么測(cè)量就要從儀器上讀數(shù)，讀數(shù)包括儀器指示的全部有意義的數(shù)字和能夠估讀出來(lái)的數(shù)字。在測(cè)量中，有一些儀器讀數(shù)是需要估讀的，如米尺、螺旋測(cè)微計(jì)、指針式電表等等。估讀時(shí)，首先根據(jù)最小分格大小、指針的粗細(xì)等具體情況確定把最小分格分成幾分來(lái)估讀，通常讀到格值的1/10，1/5或1/2。4、有效位數(shù)的認(rèn)定〔1〕數(shù)字中無(wú)零的情況和數(shù)字間有零的情況：全部給出的數(shù)均為有效數(shù)。如：56.14mm，50.007mm有效位數(shù)分別為四位、五位?！?〕對(duì)于小數(shù)末尾的零：有小數(shù)點(diǎn)時(shí)，小數(shù)點(diǎn)后面的零全部為有效數(shù)字。如：50.140mm，2.204500的有效位數(shù)分別為五位、七位?！?〕對(duì)于第一位非零數(shù)字左邊的零：第一位非零數(shù)字左邊的零稱(chēng)為無(wú)效位零。如：0.05mm，0.00155m有效位數(shù)分別為一位、三位。〔4〕科學(xué)計(jì)數(shù)法：計(jì)量單位的不同選擇可改變量值的數(shù)值，但決不應(yīng)改變數(shù)值的有效位。因此，在變換單位時(shí)，為了正確表達(dá)出有效位數(shù)，實(shí)驗(yàn)中常采用科學(xué)計(jì)數(shù)法〔10的冪次方〕。如：注：大單位轉(zhuǎn)換小單位或小單位轉(zhuǎn)換大單位時(shí)，原數(shù)的有效位不變。四、有效數(shù)字的運(yùn)算規(guī)那么0．?dāng)?shù)值的舍入修約規(guī)那么〔1〕確定需要保存的有效數(shù)字和位數(shù)?！?〕舍入后面多余的數(shù)字。原那么－“四舍六入五湊偶”。如→2.7173→7.691→3.142→4.510注：測(cè)量結(jié)果的不確定度的有效數(shù)字，“只進(jìn)不舍”。如某測(cè)量不確定度的計(jì)算結(jié)果為0.32，結(jié)果表示中取0.4〔結(jié)果表示式中的不確定度取1位有效數(shù)〕。1．加減法運(yùn)算和差運(yùn)算的結(jié)果，其小數(shù)點(diǎn)以后的位數(shù)和參與運(yùn)算各量中小數(shù)點(diǎn)位數(shù)最少的相同。如：〔354.4〕〔514〕2．乘除法運(yùn)算乘除運(yùn)算結(jié)果的有效位數(shù)一般和參與乘除運(yùn)算各量中有效位最少者的位數(shù)相同。如注：〔1〕乘法：假設(shè)兩因子的最高位的積大于或等于10，其結(jié)果就要多保存一位有效數(shù)字。如：〔2〕除法：假設(shè)被除數(shù)有效數(shù)字的位數(shù)小于〔等于〕除數(shù)的有效數(shù)字位數(shù)，并且它的最高位的數(shù)小于除數(shù)的最高位的數(shù)，其結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)應(yīng)比被除數(shù)少1位。如在以上四那么運(yùn)算中，確定計(jì)算結(jié)果的有效數(shù)取位的原那么,概括為：可靠數(shù)與可靠數(shù)運(yùn)算的結(jié)果仍為可靠數(shù)；可靠數(shù)與可疑數(shù)運(yùn)算的結(jié)果為可疑數(shù)；可疑數(shù)與可疑數(shù)運(yùn)算的結(jié)果仍為可疑數(shù)。運(yùn)算進(jìn)位的數(shù)字是可靠數(shù)字。3．乘方、開(kāi)方運(yùn)算此類(lèi)運(yùn)算規(guī)那么和乘法運(yùn)算法那么相同。如：4．三角函數(shù)、對(duì)數(shù)、指數(shù)運(yùn)算〔1〕對(duì)數(shù)函數(shù)：對(duì)數(shù)運(yùn)算結(jié)果的有效數(shù)字，其小數(shù)點(diǎn)后面局部的位數(shù)與真數(shù)的位數(shù)相同。如：假設(shè)真數(shù)的第一位數(shù)大于5，運(yùn)算結(jié)果的有效數(shù)字可以多取1位。如：〔2〕指數(shù)函數(shù)：指數(shù)運(yùn)算結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)與指數(shù)的小數(shù)點(diǎn)后的位數(shù)相同〔包括小數(shù)點(diǎn)后的0〕。如：，由于6.25的小數(shù)點(diǎn)后只有2位，那么，而當(dāng)x=0.0000924，小數(shù)點(diǎn)后有7位，那么。對(duì)于的有效數(shù)字取法與的取法相同?！?〕三角函數(shù)：三角函數(shù)運(yùn)算結(jié)果的有效位數(shù)通常是由角度的有效位數(shù)決定的。通過(guò)改變角度值的末位的1個(gè)單位，由函數(shù)值的變化來(lái)決定三角函數(shù)值的有效數(shù)字取位。如：，而，兩結(jié)果在小數(shù)點(diǎn)后第四位產(chǎn)生差異，即5．非測(cè)量常量的有效位數(shù)是無(wú)限的〔1〕自然數(shù)是準(zhǔn)確的，運(yùn)算中不考慮它們的位數(shù)〔或者說(shuō)有效位數(shù)無(wú)限〕?！?〕運(yùn)算中無(wú)理常數(shù)〔如，e，等〕的位數(shù)：*假設(shè)是手工計(jì)算，此類(lèi)常數(shù)有效位比參加運(yùn)算的各分量中有效位最少者多取一位。*假設(shè)是計(jì)算器，可以直接利用計(jì)算器相應(yīng)的“鍵”。五、測(cè)量誤差的根本概念 測(cè)量的目的是為了得到測(cè)量結(jié)果，但在許多場(chǎng)合下僅給出測(cè)量結(jié)果往往還不充分。任何測(cè)量都存在缺陷，所有的測(cè)量結(jié)果都會(huì)或多或少地偏離被測(cè)量的真值，因此在給出測(cè)量結(jié)果的同時(shí)，還必須同時(shí)指出所給測(cè)量結(jié)果的可靠程度。在各種測(cè)量領(lǐng)域，經(jīng)常采用諸如測(cè)量誤差、測(cè)量準(zhǔn)確度和測(cè)量不確定度等術(shù)語(yǔ)來(lái)表示測(cè)量結(jié)果質(zhì)量的好壞。附：真值，是指在一定條件下，任何物理量的大小都是客觀存在的，不以人的意志為轉(zhuǎn)移的客觀量值。1．測(cè)量誤差的定義測(cè)量誤差常常簡(jiǎn)稱(chēng)為誤差〔〕：測(cè)量值〔x〕減去被測(cè)量的真值〔a〕。注：(1)由于真值不能確定，實(shí)際上用的是約定真值。嚴(yán)格意義上的誤差也無(wú)法得到，因而得到的只是誤差的估計(jì)值?！?〕誤差只有通過(guò)測(cè)量才能得到。通過(guò)誤差分析所得到的測(cè)量結(jié)果的所謂“誤差”，實(shí)際上并不是真正的誤差，而是被測(cè)量不能確定的范圍。測(cè)量誤差的大小反映了測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確程度。測(cè)量誤差可以用絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差、百分誤差表示。絕對(duì)誤差＝測(cè)量量值－真值附：最正確值，是指測(cè)量結(jié)果中的報(bào)告值。如直接屢次測(cè)量中的平均值。2．系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差誤差可以分為系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差兩類(lèi)。系統(tǒng)誤差：在重復(fù)性條件下，對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行無(wú)限屢次測(cè)量所得結(jié)果的平均值與被測(cè)量的真值之差。注：〔1〕由于真值不確定，那么能確定的只是系統(tǒng)誤差估計(jì)值?！?〕對(duì)測(cè)量?jī)x器而言，其系統(tǒng)誤差也稱(chēng)為測(cè)量?jī)x器的偏差。〔3〕在重復(fù)性條件下得到的不同測(cè)量結(jié)果應(yīng)該具有相同的系統(tǒng)誤差。〔4〕系統(tǒng)誤差可以通過(guò)對(duì)測(cè)量結(jié)果進(jìn)行修正而消除。隨機(jī)誤差：測(cè)量結(jié)果與在重復(fù)性條件下，對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行無(wú)限屢次測(cè)量所得結(jié)果的平均值之差。注：〔1〕隨機(jī)誤差等于誤差減去系統(tǒng)誤差。測(cè)量結(jié)果為無(wú)限屢次測(cè)量結(jié)果的平均值，根據(jù)隨機(jī)誤差的性質(zhì)〔對(duì)稱(chēng)性、抵償性〕可知，隨機(jī)誤差為零。只存在系統(tǒng)誤差。實(shí)際測(cè)量只能進(jìn)行有限次數(shù)，測(cè)量結(jié)果中隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差分量都存在。在重復(fù)性條件下得到的不同測(cè)量結(jié)果具有不同的隨機(jī)誤差，但有相同的系統(tǒng)誤差。根據(jù)定義，誤差、系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差均表示兩個(gè)量值之差，因此隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差也都應(yīng)該具有確定的符號(hào)，同樣也不應(yīng)當(dāng)以“±”號(hào)的形式出現(xiàn)。由于隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差都是對(duì)應(yīng)于無(wú)限屢次測(cè)量的理想概念，而實(shí)際上無(wú)法進(jìn)行無(wú)限屢次測(cè)量，只能用有限次測(cè)量的結(jié)果作為無(wú)限屢次測(cè)量結(jié)果的估計(jì)值，因此可以確定的只是隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差的估計(jì)值。附：隨機(jī)誤差的性質(zhì)，單峰性、對(duì)稱(chēng)性、有界性、抵償性。3．隨機(jī)誤差的處理根據(jù)隨機(jī)誤差的分布特征，可知：〔1〕在屢次測(cè)量時(shí)，正負(fù)隨機(jī)誤差常可以大致相消，因而用屢次測(cè)量的算術(shù)平均值表示測(cè)量結(jié)果可以減少隨機(jī)誤差的影響；〔2〕測(cè)量值的分散程度直接表達(dá)隨機(jī)誤差的大小，測(cè)量值越分散，測(cè)量的隨機(jī)誤差就越大，因此必須對(duì)測(cè)量的隨機(jī)誤差做出估計(jì)才能表示出測(cè)量的精密度。對(duì)隨機(jī)誤差估計(jì)的方法有多種，科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，常用標(biāo)準(zhǔn)偏差來(lái)估計(jì)測(cè)量的隨機(jī)誤差?！鴼埐?、偏差和誤差設(shè)a為被測(cè)量真值，m為總體平均值〔無(wú)限屢次測(cè)量結(jié)果的平均值〕，為測(cè)量平均值〔有限次測(cè)量的平均值〕，為單次測(cè)量值。①殘差：?jiǎn)未螠y(cè)量值與測(cè)量平均值之差。偏差：?jiǎn)未螠y(cè)量值與總體平均值m之差。③誤差：?jiǎn)未螠y(cè)量值與真值a之差?！?、和〔總體標(biāo)準(zhǔn)偏差〕：注：不是測(cè)量值中任何一個(gè)具體測(cè)量值的隨機(jī)誤差；的大小只說(shuō)明，在一定條件下等精度測(cè)量列隨機(jī)誤差的概率分布情況；②〔單次測(cè)量值的標(biāo)準(zhǔn)偏差，有限次測(cè)量時(shí)〕：貝塞爾公式注：是從有限次測(cè)量中計(jì)算出來(lái)的對(duì)總體標(biāo)準(zhǔn)偏差的最正確估計(jì)值，稱(chēng)為實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)誤差。③〔算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差〕：＝注：算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差，表征同一被測(cè)量量的各個(gè)測(cè)量列算術(shù)平均值分散度，可作為算術(shù)平均值不可靠性的評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)。算術(shù)平均值對(duì)單次測(cè)量的隨機(jī)誤差有一定的抵消，因而更接近真值，它們的隨機(jī)誤差分布離散就會(huì)小得多。附：屢次測(cè)量的最正確值為算術(shù)平均值設(shè)在一組測(cè)量值中，n次測(cè)量的值分別為：x1、x2、x3、…、xn，由統(tǒng)計(jì)原理可知，其真值的最正確值x0是能使各次測(cè)量值與該值之差的平方和為最小的那個(gè)值。即存在x0值使得有最小值。令＝0那么得即，算術(shù)平均值最接近于真值。4．系統(tǒng)誤差的處理〔1〕系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差是消除和修正系統(tǒng)誤差的前提。1〕理論分析法：測(cè)量過(guò)程中因理論誤差公式的近似等原因造成的系統(tǒng)誤差常?？梢詮睦碚撋献鞒雠袛嗖⒐烙?jì)其量值，如伏安法測(cè)電阻。2〕實(shí)驗(yàn)比擬法：對(duì)被測(cè)量的測(cè)量量采用實(shí)驗(yàn)方法比照、測(cè)量方法比照、儀器比照及測(cè)量條件比照來(lái)研究其測(cè)量結(jié)果的變化規(guī)律，從而發(fā)現(xiàn)可能存在的系統(tǒng)誤差。3〕數(shù)據(jù)分析法：分析屢次測(cè)量的數(shù)據(jù)分布規(guī)律來(lái)發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差?！?〕系統(tǒng)誤差的減小和修正1〕通過(guò)公式引入修正值。2〕消除系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的因素。3〕改良測(cè)量原理和測(cè)量方法。六、測(cè)量結(jié)果的不確定度概念1．表征測(cè)量結(jié)果質(zhì)量的指標(biāo)〔1〕精密度、準(zhǔn)確度和精確度精密度、準(zhǔn)確度和精確度都是評(píng)價(jià)測(cè)量結(jié)果好壞的三個(gè)概念，但含義不同。1〕．精密度：表示測(cè)量結(jié)果中隨機(jī)誤差大小的程度。即指在規(guī)定條件下對(duì)被測(cè)量進(jìn)行屢次測(cè)量時(shí)，各次測(cè)量結(jié)果之間離散的程度。精密度高那么離散程度小，隨機(jī)誤差小，但系統(tǒng)誤差的大小不明確。2〕．準(zhǔn)確度：表示測(cè)量結(jié)果中系統(tǒng)誤差大小的程度。它反響了在規(guī)定條件下，屢次測(cè)量數(shù)據(jù)的平均值或?qū)嶒?yàn)所得結(jié)果與真值符合的程度。準(zhǔn)確度高即測(cè)量結(jié)果接近真值的程度好，系統(tǒng)誤差小，但數(shù)據(jù)離散程度，即隨機(jī)誤差的大小不明確。3〕．精確度：表示測(cè)量結(jié)果中系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差綜合大小的程度，也就是對(duì)測(cè)量的精密度和準(zhǔn)確度的綜合評(píng)定。對(duì)于實(shí)驗(yàn)測(cè)量來(lái)說(shuō)，精密度高準(zhǔn)確度不一定高；而準(zhǔn)確度高精密度也不一定高；只有精密度和準(zhǔn)確度都高時(shí)，也就是說(shuō)，只有隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差都小時(shí)，精確度才高。圖2精密度、準(zhǔn)確度、精確度示意圖為了更好地理解這些概念，現(xiàn)以打靶為例來(lái)形象地說(shuō)明。圖2〔a〕表示彈著點(diǎn)相互之間比擬分散，但總體來(lái)看沒(méi)有明顯的固定偏向，因而隨機(jī)誤差大，系統(tǒng)誤差小，即精密度較低，而準(zhǔn)確度較高；圖(b)表示彈著點(diǎn)比擬密集，但總體來(lái)看偏離耙心較遠(yuǎn)，因而隨機(jī)誤差小，系統(tǒng)誤差大，即精密度較高，而準(zhǔn)確度較低；圖(c)表示彈著點(diǎn)比擬密集，且總體來(lái)看離靶心近，因而隨機(jī)誤差小，系統(tǒng)誤差也小，即精密度和準(zhǔn)確度都高，這才是精確度高。以上關(guān)于測(cè)量結(jié)果質(zhì)量評(píng)價(jià)的幾個(gè)術(shù)語(yǔ)，能夠定性地描述測(cè)量結(jié)果的質(zhì)量。對(duì)測(cè)量結(jié)果的質(zhì)量定量描述還得有具體的處理方法。目前國(guó)際上采用測(cè)量不確定度來(lái)定量評(píng)定測(cè)量結(jié)果。2．測(cè)量不確定度〔1〕為什么要引入不確定度由于真值一般不可能準(zhǔn)確的知道，誤差僅是一個(gè)理想概念，測(cè)量誤差也就不可能確切獲得。根據(jù)現(xiàn)實(shí)可行的方法，由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和測(cè)量條件推算出來(lái)的只能是誤差的估計(jì)值。將任何一個(gè)確定的值稱(chēng)為誤差是不科學(xué)的，因而誤差估計(jì)值應(yīng)采用一個(gè)專(zhuān)門(mén)名稱(chēng)，即測(cè)量不確定度?！?〕測(cè)量不確定度的概念： 測(cè)量不確定度：表征合理地賦予被測(cè)量之值的分散性，與測(cè)量結(jié)果相聯(lián)系的參數(shù)。 注：1〕不確定度表示一個(gè)區(qū)間，即被測(cè)量之值可能的分布區(qū)間?！矞y(cè)量誤差僅是一個(gè)差值〕為了表征這種分散性，測(cè)量不確定度可以用標(biāo)準(zhǔn)偏差，或標(biāo)準(zhǔn)偏差的倍數(shù)。 2〕測(cè)量不確定度由多個(gè)分量組成。其中一些分量可用測(cè)量列結(jié)果的統(tǒng)計(jì)分布估算，并用實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差表征。另一些分量那么可用基于經(jīng)驗(yàn)或其他信息的假定概率分布估算，也可用標(biāo)準(zhǔn)偏差表征。 3〕測(cè)量結(jié)果：它是被測(cè)量之值的最正確估計(jì)，而所有的不確定度分量均奉獻(xiàn)給了分散性，包括那些由系統(tǒng)效應(yīng)引起的分量。 被測(cè)量之值：它是指許多個(gè)測(cè)量結(jié)果，其中不僅包括通過(guò)測(cè)量得到的測(cè)量結(jié)果，還應(yīng)包括測(cè)量中沒(méi)有得到但又是可能出現(xiàn)的測(cè)量結(jié)果?！?〕測(cè)量不確定度的表示 1〕第一種表示方式 標(biāo)準(zhǔn)不確定度：測(cè)量不確定度用標(biāo)準(zhǔn)偏差表示。統(tǒng)一規(guī)定用小寫(xiě)拉丁字母“u”表示。在正態(tài)分布情況下，所對(duì)應(yīng)的置信概率僅為68.27%。 2〕第二種表示方式 擴(kuò)展不確定度：測(cè)量不確定度也可以用標(biāo)準(zhǔn)偏差的倍數(shù)kσ來(lái)表示。統(tǒng)一規(guī)定用大寫(xiě)拉丁字母U表示。即標(biāo)準(zhǔn)不確定度和擴(kuò)展不確定度之間的關(guān)系為： 式中k為包含因子。擴(kuò)展不確定度U表示具有較大置信概率。附：JJF1059-1999《測(cè)量不確定度評(píng)定與表示》規(guī)定，除計(jì)量學(xué)根底研究根本物理常數(shù)測(cè)量，以及復(fù)現(xiàn)國(guó)際單位制單位的國(guó)際比對(duì)等領(lǐng)域通常僅給出合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度外，在其余領(lǐng)域中一般均要求給出測(cè)量結(jié)果的擴(kuò)展不確定度。附：誤差可以用絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差兩種形式來(lái)表示，不確定度也同樣可以有絕對(duì)不確定度和相對(duì)不確定度兩種形式。絕對(duì)不確定度常簡(jiǎn)稱(chēng)為不確定度，而相對(duì)不確定度那么往往在其不確定度符號(hào)“U”或“u”上加上腳標(biāo)“rel”以示區(qū)別。被測(cè)量x的標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(x)〔或U(x)〕和相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度urel(x)〔或Urel(x)〕之間的關(guān)系為： 或 在計(jì)算相對(duì)不確定度時(shí)，分母中的x應(yīng)取其真值。由于真值無(wú)法知道，實(shí)際上用的是約定真值。而在實(shí)際工作中一般常以該量的最正確估計(jì)值，即測(cè)量結(jié)果來(lái)代替?！?〕測(cè)量不確定度的分類(lèi) 由于測(cè)量結(jié)果會(huì)受許多因素的影響，因此通常不確定度由多個(gè)分量組成。評(píng)定方法分為A、B兩類(lèi)。 A類(lèi)測(cè)量不確定度：是指用對(duì)觀測(cè)列進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法進(jìn)行的評(píng)定，其標(biāo)準(zhǔn)不確定度用實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差表征； B類(lèi)測(cè)量不確定度：是指用不同于對(duì)觀測(cè)列進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法進(jìn)行的評(píng)定。即所有與A類(lèi)評(píng)定不同的其他評(píng)定方法均稱(chēng)為B類(lèi)評(píng)定，它可以由根據(jù)經(jīng)驗(yàn)或其他信息的假定概率分布估算其不確定度，也以估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)偏差表征。 合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度：所有各不確定度分量的合成，規(guī)定以符號(hào)uc表示，它是測(cè)量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)值。 由于無(wú)論A類(lèi)不確定或B類(lèi)不確定，它們的標(biāo)準(zhǔn)不確定度均以標(biāo)準(zhǔn)偏差表示，因此兩種評(píng)定方法得到的不確定度實(shí)質(zhì)上并無(wú)區(qū)別，只是評(píng)定方法不同而已。在對(duì)各不確定度分量進(jìn)行合成得到合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度時(shí)，兩者的合成方法也無(wú)區(qū)別。因此在進(jìn)行不確定度評(píng)定時(shí)，過(guò)分認(rèn)真地討論每一個(gè)不確定度分量究竟屬于A類(lèi)不確定或是B類(lèi)不確定是沒(méi)有必要的。注：所謂的A類(lèi)和B類(lèi)僅是為了表達(dá)方便起見(jiàn)而對(duì)其按評(píng)定方法進(jìn)行的分類(lèi)，而不是對(duì)不確定度本身的分類(lèi)。根據(jù)定義，測(cè)量不確定度是與測(cè)量結(jié)果相聯(lián)系的參數(shù)，意指測(cè)量不確定度是一個(gè)與測(cè)量結(jié)果“在一起”的參數(shù)，在測(cè)量結(jié)果的完整表述中應(yīng)該包括測(cè)量不確定度。七、不確定度確實(shí)定1、A類(lèi)不確定度的估算 對(duì)于有限屢次直接測(cè)量，其不確定度的A類(lèi)分量記為： 其中：tp為分布系數(shù)，為無(wú)限屢次直接測(cè)量的不確定度A類(lèi)分量，。附表：分布系數(shù)t與測(cè)量次數(shù)n的關(guān)系t n 3 4 5 6 7 8 9 10 15 20 P 0.68 1.32 1.20 1.14 1.11 1.09 1.08 1.07 1.06 1.04 1.03 1 0.90 2.92 2.35 2.13 2.02 1.94 1.86 1.83 1.76 1.73 1.71 1.65 0.95 4.30 3.18 2.78 2.57 2.46 2.37 2.31 2.26 2.15 2.09 1.96 0.99 9.93 5.84 4.60 4.03 3.71 3.50 3.36 3.25 2.98 2.86 2.58 在大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中約定1： 針對(duì)測(cè)量次數(shù)一般少于10次的具體情況，可取，即不確定度的A類(lèi)分量為：＝注意：此式應(yīng)用條件：測(cè)量次數(shù)必須在6～10次。(置信概率近似為95％或更大?；蛘哒f(shuō)，被測(cè)量的真值落在范圍內(nèi)的概率接近或大于95％。)2、B類(lèi)不確定度的估算 在工程實(shí)踐中，絕大多數(shù)測(cè)量都是一次測(cè)量。通常以?xún)x器的最大允差表示一次測(cè)量結(jié)果的B類(lèi)不確定度。一般而言，與的關(guān)系為：其中C為置信系數(shù)，它由儀器質(zhì)量指標(biāo)在〔－，〕范圍內(nèi)服從的分布〔正態(tài)分布、均勻分布、三角分布〕來(lái)確定。附表：幾種常見(jiàn)儀器的質(zhì)量指標(biāo)在最大允差內(nèi)的分布與置信系數(shù)C的關(guān)系儀器名稱(chēng) 米尺 游標(biāo)卡尺 千分尺 物理天平 秒表 誤差分布 正態(tài)分布 均勻分布 正態(tài)分布 正態(tài)分布 正態(tài)分布 C 3 3 3 3 在大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中約定2： C=1，即把直接當(dāng)作B類(lèi)不確定度。即：注：最大允差在大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中是一種簡(jiǎn)化表示，它是參照國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的計(jì)量?jī)x表、器具的準(zhǔn)確度等級(jí)或允許誤差范圍，由生產(chǎn)廠家給出或由實(shí)驗(yàn)室結(jié)合具體測(cè)量方法和條件簡(jiǎn)化的約定。通常取最大允差等于儀表、器具的示值誤差限或根本誤差限。在大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中約定3： 儀器最大允差確定： 〔1〕對(duì)可以估讀的儀器：儀取儀器最小分度的一半。如米尺的最小刻度為1mm，那么米尺的儀＝0.5mm。 〔2〕對(duì)不可以估讀的儀器：儀取儀器最小分辨讀數(shù)。如分辨率為0.05mm的游標(biāo)卡尺，其儀＝0.05mm；分辨率為0.02mm的游標(biāo)卡尺，其儀＝0.02mm；分辨率為的分光計(jì)，其儀＝；各類(lèi)數(shù)字式儀表，儀＝儀器最小讀數(shù)。 〔3〕對(duì)有說(shuō)明或注明儀器精度等級(jí)的儀器：儀按儀器說(shuō)明書(shū)計(jì)算，如：螺旋測(cè)微器〔0～50mm〕，儀＝0.004mm；電學(xué)儀器〔如電阻箱、電橋、電表等〕，儀按其儀器等級(jí)計(jì)算，如：電阻箱、電橋，；電磁儀表〔指針式電流表、電壓表〕，。3、合成不確定度〔也稱(chēng)為總不確定度，簡(jiǎn)稱(chēng)為不確定度〕 根據(jù)國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)化組織等7個(gè)國(guó)際組織聯(lián)合發(fā)表《測(cè)量不確定度表示指南ISO1993(E)》的精神，大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)的測(cè)量結(jié)果表示中，當(dāng)兩類(lèi)不確定度相互獨(dú)立時(shí)，可用“方、和、根”法合成，獲得總不確定度，簡(jiǎn)稱(chēng)不確定度。相對(duì)不確定度為：八、測(cè)量結(jié)果的不確定度確定1、單次直接測(cè)量因單次測(cè)量不存在不確定度A類(lèi)分量，故單次測(cè)量的總不確定度就等于不確定度B類(lèi)分量。注：此時(shí)的不確定度可能小于屢次測(cè)量的不確定度，這并不意味著單次測(cè)量比屢次測(cè)量準(zhǔn)確，只是其置信概率要小于屢次測(cè)量。2、屢次直接測(cè)量 對(duì)A類(lèi)不確定度主要討論屢次等精度測(cè)量條件下，讀數(shù)分散對(duì)應(yīng)的不確定度，用貝塞爾公式計(jì)算；對(duì)B類(lèi)不確定度，主要討論儀器不準(zhǔn)所對(duì)應(yīng)的不確定度；用兩類(lèi)不確定度的“方、和、根”來(lái)求總不確定度。如：用螺旋測(cè)微器測(cè)量小鋼球的直徑，六次測(cè)量值分別為：5.499，5.498，5.500，5.499，5.498，5.500，單位mm，試求測(cè)量結(jié)果的不確定度。解：根據(jù)不確定度理論，可知A類(lèi)不確定度分量為＝0.00090mm根據(jù)說(shuō)明書(shū)可知，螺旋測(cè)微器的誤差限為0.004mm，即B類(lèi)不確定度分量為其總不確定度為0.0041mm3、間接測(cè)量 間接測(cè)量的最正確估計(jì)值和總不確定度是由直接測(cè)量結(jié)果通過(guò)函數(shù)式計(jì)算出來(lái)的。設(shè)間接測(cè)量的函數(shù)式為其中，，那么間接測(cè)量量的最正確估計(jì)值為間接測(cè)量量的不確定度為相對(duì)不確定度為特例：當(dāng)間接測(cè)量的函數(shù)式為乘除形式，可以先求相對(duì)不確定度再求總不確定度附表：常用函數(shù)的不確定度傳遞公式函數(shù)式 不確定度傳遞公式 九、測(cè)量結(jié)果的表示 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理好以后，最終要把測(cè)量結(jié)果表示出來(lái)，才算完成實(shí)驗(yàn)的測(cè)量任務(wù)。測(cè)量結(jié)果一般可寫(xiě)成式中X表示測(cè)量結(jié)果，表示被測(cè)量的最正確值，表示測(cè)量的不確定度。即：一個(gè)被測(cè)量的測(cè)量結(jié)果的表示