數(shù)學(xué)（北師大版選修23）練習(xí)1.4簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題活頁(yè)作業(yè)7

活頁(yè)作業(yè)(七)簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題一、選擇題1．有4名同學(xué)參加唱歌、跳舞、下棋三項(xiàng)比賽，每項(xiàng)比賽至少有1人參加，每名同學(xué)只參加一項(xiàng)比賽，另外甲同學(xué)不能參加跳舞比賽，則不同的參賽方案的種數(shù)為()A．12 B．24C．26 D．36解析：當(dāng)甲一人一組時(shí)，共有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)＝12種不同的參賽方案；當(dāng)甲和另一人一組時(shí)，共有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＝12種不同的參賽方案．所以共有12＋12＝24種不同的參賽方案．答案：B2．某外商計(jì)劃在四個(gè)候選城市投資3個(gè)不同的項(xiàng)目，且在同一個(gè)城市投資的項(xiàng)目不超過(guò)2個(gè)，則該外商不同的投資方案有()A．16種 B．36種C．42種 D．60種解析：若選擇了兩個(gè)城市，則有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)＝36種投資方案；若選擇了三個(gè)城市，則有Ceq\o\al(3,4)Aeq\o\al(3,3)＝24種投資方案．因此共有36＋24＝60種投資方案．答案：D3．將1,2,3填入3×3的方格中，要求每行、每列都沒(méi)有重復(fù)數(shù)字，如圖所示是一種填法，則不同的填寫方法共有()123312231A．6種 B．12種C．24種 D．48種解析：第一步，確定第一行，有Aeq\o\al(3,3)種填法．第二步，確定第一列，有Aeq\o\al(2,2)種填法，這時(shí)剩下的空格就唯一確定了．所以有Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(2,2)＝12種填法．答案：B4．在1,2,3,4,5這五個(gè)數(shù)字組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，各位數(shù)字之和為奇數(shù)的共有()A．23個(gè) B．24個(gè)C．18個(gè) D．6個(gè)解析：各位數(shù)字之和為奇數(shù)可分兩類(都是奇數(shù)或兩個(gè)偶數(shù)一個(gè)奇數(shù))，故滿足條件的三位數(shù)共有Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)＝24個(gè)．答案：B二、填空題5．現(xiàn)有6張風(fēng)景區(qū)門票分配給6位游客，若其中A，B風(fēng)景區(qū)門票各2張，C，D風(fēng)景區(qū)門票各1張，則不同的分配方案共有________種．解析：6位游客選2人去A風(fēng)景區(qū)，有Ceq\o\al(2,6)種，余下4位游客選2人去B風(fēng)景區(qū)，有Ceq\o\al(2,4)種，余下2人去C，D風(fēng)景區(qū)，有Aeq\o\al(2,2)種，所以分配方案共有Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(2,2)＝180種．答案：1806．某航空母艦將進(jìn)行一次編隊(duì)配置試驗(yàn)，要求2艘攻擊型核潛艇一前一后，2艘驅(qū)逐艦和2艘護(hù)衛(wèi)艦分列左、右，同側(cè)不能是同種艦艇，則艦艇分配方案的種數(shù)為________．解析：先將2艘驅(qū)逐艦和2艘護(hù)衛(wèi)艦平均分成兩組(同組的2艘艦艇不是同種艦艇)，再排列，有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)種方法，然后排2艘攻擊型核潛艇，有Aeq\o\al(2,2)種方法，故艦艇分配方案的種數(shù)為Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)＝32．答案：32三、解答題7．從6名短跑運(yùn)動(dòng)員中選4人參加4×100m接力，如果其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，解：解法一問(wèn)題分成三類．①甲、乙兩人均不參加，有Aeq\o\al(4,4)種；②甲、乙兩人有且僅有一人參加，有2Ceq\o\al(3,4)·(Aeq\o\al(4,4)－Aeq\o\al(3,3))種；③甲、乙兩人均參加，有Ceq\o\al(2,4)·(Aeq\o\al(4,4)－2Aeq\o\al(3,3)＋Aeq\o\al(2,2))種．故共有252種．解法二6人中取4人參加的種數(shù)為Aeq\o\al(4,6)，除去甲、乙兩人中至少有一人不排在恰當(dāng)位置的有Ceq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(3,5)種，因前后把甲、乙兩人都不在恰當(dāng)位置的種數(shù)Aeq\o\al(2,4)減去了兩次，故共有Aeq\o\al(4,6)－Ceq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(3,5)＋Aeq\o\al(2,4)＝252種．8．有9本不同的課外書，分給甲、乙、丙三名同學(xué)，求在下列條件下，各有多少種分法？(1)甲得4本，乙得3本，丙得2本；(2)一人得4本，一人得3本，一人得2本．解：(1)分三步完成．第一步：從9本不同的書中，任取4本分給甲，有Ceq\o\al(4,9)種方法；第二步：從余下的5本書中，任取3本給乙，有Ceq\o\al(3,5)種方法；第三步：把剩下的書給丙，有Ceq\o\al(2,2)種方法．∴共有不同的分法Ceq\o\al(4,9)Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(2,2)＝1260種．(2)分兩步完成．第一步：按4本、3本、2本分成三組有Ceq\o\al(4,9)Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(2,2)種方法；第二步：將分成的三組書分給甲、乙、丙三個(gè)人，有Aeq\o\al(3,3)種方法．∴共有Ceq\o\al(4,9)Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＝7560種．一、選擇題1．將4名實(shí)習(xí)教師分配到高一年級(jí)的3個(gè)班實(shí)習(xí)，若每班至少安排1名教師，則不同的分配方案種數(shù)為()A．12 B．36C．72 D．108解析：由于元素個(gè)數(shù)多于位置個(gè)數(shù)，故先分組再分位置，分兩步完成．第一步，從4名教師中選出2名教師組成一組，其余2名教師各自為一組，共有Ceq\o\al(2,4)種方法；第二步，將上述三組與3個(gè)班級(jí)對(duì)應(yīng)，共有Aeq\o\al(3,3)種方法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理，所求的不同的方案種數(shù)為Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＝36．答案：B2．在航天員進(jìn)行的一項(xiàng)太空實(shí)驗(yàn)中，要先后實(shí)施6個(gè)程序，其中程序A只能出現(xiàn)在第一步或最后一步，程序B和C在實(shí)施時(shí)必須相鄰，則實(shí)驗(yàn)順序的編排方法共有()A．32種 B．48種C．96種 D．144種解析：本題是一個(gè)分步計(jì)數(shù)問(wèn)題，程序A只能出現(xiàn)在第一步或最后一步，∴從第一個(gè)位置和最后一個(gè)位置中選一個(gè)位置把A排列，有Aeq\o\al(1,2)＝2種排法．∵程序B和C在實(shí)施時(shí)必須相鄰，∴把B和C看成一個(gè)元素，同除A外的3個(gè)元素排列，注意B和C之間還有Aeq\o\al(2,2)種排法，故共有Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(2,2)＝48種排法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有2×48＝96種排法，故選C．答案：C二、填空題3．正五邊形ABCDE中，若把頂點(diǎn)A，B，C，D，E染上紅、黃、綠、黑四種顏色中的一種，使得相鄰頂點(diǎn)所染顏色不相同，則不同的染色方法共有________種．解析：若用三種顏色，有Ceq\o\al(1,5)Aeq\o\al(3,4)種染法，若用四種顏色，有5·Aeq\o\al(4,4)種染法，則不同的染色方法有Ceq\o\al(1,5)Aeq\o\al(3,4)＋5·Aeq\o\al(4,4)＝240種．答案：2404．奧運(yùn)選手選拔賽上，8名男運(yùn)動(dòng)員參加100m決賽．其中甲、乙、丙三人必須在1,2,3,4,5,6,7,8八條跑道的奇數(shù)號(hào)跑道上，解析：分兩步安排這8名運(yùn)動(dòng)員．第一步：安排甲、乙、丙三人，共有1,3,5,7四條跑道可安排，所以安排方式有Aeq\o\al(3,4)＝24種．第二步：安排另外5人，可在2,4,6,8及余下的一條奇數(shù)號(hào)跑道上安排，所以安排方式有Aeq\o\al(5,5)＝120種．∴安排這8人的方式有24×120＝2880種．答案：2880三、解答題5．從7名男生5名女生中，選出5人，分別求符合下列條件的選法種數(shù)有多少種．(1)A，B必須當(dāng)選；(2)A，B都不當(dāng)選；(3)A，B不全當(dāng)選；(4)至少有2名女生當(dāng)選；(5)選出5名同學(xué)，讓他們分別擔(dān)任體育委員、文娛委員等5種不同工作，但體育委員由男生擔(dān)任，文娛委員由女生擔(dān)任．解：(1)除A，B選出外，從其他10人中再選3人，共有的選法種數(shù)為Ceq\o\al(3,10)＝120．(2)去掉A，B，從其他10人中任選5人，共有的選法種數(shù)為Ceq\o\al(5,10)＝252．(3)按A，B的選取情況進(jìn)行分類．A，B全不選的方法數(shù)為Ceq\o\al(5,10).A，B選1人的方法數(shù)為Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(4,10)，共有選法Ceq\o\al(5,10)＋Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(4,10)＝672種．(4)從反面考慮，用間接法，去掉女同學(xué)不選或選1人的情況，所有方法總數(shù)為Ceq\o\al(5,12)－Ceq\o\al(5,7)－Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(4,7)＝596．(5)選出一名男生擔(dān)任體育委員，再選出一名女生擔(dān)任文娛委員，剩下的10人中任取3人擔(dān)任其他3個(gè)班委．由分步計(jì)數(shù)原理可得所有方法總數(shù)為Ceq\o\al(1,7)Ceq\o\al(1,5)Aeq\o\al(3,10)＝25200．6．從1到9這九個(gè)數(shù)字中取三個(gè)偶數(shù)和四個(gè)奇數(shù)，試問(wèn)：(1)能組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)？(2)上述七位數(shù)中三個(gè)偶數(shù)排在一起的有幾個(gè)？(3)在(1)中的七位數(shù)中，偶數(shù)排在一起，奇數(shù)也排在一起的有幾個(gè)？(4)在(1)中任意兩個(gè)偶數(shù)都不相鄰的七位數(shù)有幾個(gè)？解：(1)分步完成．第一步：在4個(gè)偶數(shù)中取3個(gè)，有Ceq\o\al(3,4)種情況；第二步：在5個(gè)奇數(shù)中取4個(gè)，有Ceq\o\al(4,5)種情況；第三步：3個(gè)偶數(shù)，4個(gè)奇數(shù)進(jìn)行排列，有Aeq\o\al(7,7)種情況．所以符合題意的七位數(shù)有Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(4,5)·Aeq\o\al(7,7)＝100800個(gè)．(2)上述七位數(shù)中，三個(gè)偶數(shù)排在一起的有Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(4,5)·Aeq\o\al(5,5)·Aeq\o\al(3,3)＝14400個(gè)．(3)上