安徽省宿州市泗縣第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期開學(xué)適應(yīng)性訓(xùn)練數(shù)學(xué)試題

泗縣一中20232024學(xué)年度高下學(xué)期開學(xué)適應(yīng)性訓(xùn)練數(shù)學(xué)試題分值：150分考試時間：120分鐘命題人：周海艷審題人：鮑金鳳一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意解一元二次不等式、求復(fù)合對數(shù)函數(shù)定義域化簡集合，結(jié)合交集的概念即可求解.【詳解】，，所以.故選：D.2.已知，則“”是“點在第一象限內(nèi)”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】結(jié)合三角函數(shù)的想先符號判斷即可.【詳解】若，則在第一或三象限，則或，則點在第一或三象限，若點在第一象限，則，則.故“”是“點在第一象限內(nèi)”的必要不充分條件.故選：B3.函數(shù)的零點所在區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點存在性定理判斷選項即可.【詳解】因為在上為增函數(shù)，且，，因為，所以，所以的零點所在區(qū)間為.故選：C.4.已知角滿足，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由兩角差正切公式求得，直接二倍角公式及同角關(guān)系將轉(zhuǎn)化為含的形式，由此可得結(jié)果．【詳解】因為，化簡得，所以，又，所以，故選：A．5.“扇形窗下清風(fēng)徐”.如圖所示是一個扇子形窗，其所在的扇形半徑為，圓心角為，窗子左右兩邊的邊框長度都為，則該窗的面積約為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合扇形的面積公式運算求解.【詳解】由題意可知：扇形的圓心角為，大扇形的半徑為，小扇形的半徑為，所以該窗的面積為.故選：C.6.若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】要使函數(shù)是減函數(shù)，須滿足求不等式組的解即可.【詳解】若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則得，故選：C.【點睛】本題主要考查分段函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的性質(zhì).7.已知函數(shù)圖象如圖所示，則下列函數(shù)中符合此圖象的為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由排除D，為偶函數(shù)排除A，在有零點排除C，檢驗可知B符合題意.【詳解】設(shè)題設(shè)函數(shù)為，由圖可知，若，但此時，矛盾，故可排除D；由為偶函數(shù)，若，則，矛盾，故排除A；在有零點，若，則時，，矛盾，故排除C，經(jīng)檢驗，B選項在函數(shù)的零點奇偶性等方面均符合題意.故選：B.8.已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程有6個不同的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】因為，所以或，只需的圖象與直線有3個交點，據(jù)此即可求解.【詳解】因為，所以或，因為關(guān)于x的方程有6個不同的實數(shù)根，所以的圖象與直線和直線有6個不同的交點，如圖的圖象與直線有3個交點，所以只需的圖象與直線有3個交點，所以.故選：A.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵在于因為，所以或，只需的圖象與直線有3個交點的分析.二、多項選擇題：每小題5分，共20分．全部選對的得5分，部分選對得2分，有選錯得0分．9.下列等式成立的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】利用兩角和差的正弦公式、正切公式的逆運用可以分別計算出A、D選項，利用二倍角正弦公式的逆運用可以計算出B選項，根據(jù)降冪公式可以化簡病求出C選項.【詳解】對于A選項，，所以A正確；對于B選項，，所以B不正確；對于C選項，，所以C不正確；對于D選項，，所以D正確；故選：AD.10.若正實數(shù)滿足，則下列選項中正確的是（）A.有最大值B.C.的最小值是10D有最小值【答案】AB【解析】【分析】利用均值不等式和“1”的妙用判斷ACD，由討論的范圍判斷B即可.【詳解】選項A：因為正實數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以有最大值，A說法正確；選項B：由可得，因為為正實數(shù)，所以，，所以，B說法正確；選項C：由題意可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立，所以的最小值是，C說法錯誤；選項D：由A得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以有最大值，不存在最小值，D說法錯誤；故選：AB11.函數(shù)的部分圖像如圖所示，則下列說法中錯誤的是（）A.的最小正周期是 B.是奇函數(shù).C.在上單調(diào)遞增 D.直線是曲線的一條對稱軸【答案】BC【解析】【分析】由圖像求函數(shù)解析式，再根據(jù)選項研究函數(shù)相關(guān)性質(zhì).【詳解】由函數(shù)圖像可得，，最小正周期，，，則，又由題意可知當(dāng)時，，即，則，故，所以.的最小正周期是，A選項正確；，是偶函數(shù)，B選項錯誤；時，，是正弦函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，C選項錯誤；由，得曲線的對稱軸方程為，當(dāng)時，得直線是曲線一條對稱軸，D選項正確；選項中錯誤的說法是BC.故選：BC12.一般地，若函數(shù)定義域為，值域為，則稱為的“倍美好區(qū)間”，特別地，當(dāng)時，則稱為的“完美區(qū)間”．則下列說法正確的是（）A.若為函數(shù)的“完美區(qū)間”，則B.函數(shù)，存在“倍美好區(qū)間”C.函數(shù)，不存在“完美區(qū)間”D.函數(shù)，有無數(shù)個“2倍美好區(qū)間”【答案】ABD【解析】【分析】分析每個函數(shù)的定義域及其在相應(yīng)區(qū)間的單調(diào)性，按“k倍美好區(qū)間”，“完美區(qū)間”的定義，列出相應(yīng)方程，再根據(jù)方程解的情況，判斷正誤.【詳解】因為函數(shù)的對稱軸為，故函數(shù)在單調(diào)遞增。所以值域，又為函數(shù)的“完美區(qū)間”，所以，得或，因為，所以，故A對；假設(shè)函數(shù)，存在“倍美好區(qū)間”設(shè)定義域為，值域為，當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，解得，故B對；因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，假設(shè)函數(shù)存在“完美區(qū)間”，當(dāng)時，在單調(diào)遞減，要使值域為，則，解得，即假設(shè)成立，故C錯；假設(shè)函數(shù)定義域內(nèi)任意子區(qū)間，因為在上單調(diào)遞增，所以值域為，故內(nèi)任意一個子區(qū)間都是“2倍美好區(qū)間”，故D對故選：ABD三、填點題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知冪函數(shù)滿足以下條件：①是奇函數(shù)；②在是增函數(shù)；③.寫出一個滿足條件①②③的函數(shù)的一個解析式______.【答案】【解析】【分析】分別由冪函數(shù)，奇函數(shù)，增函數(shù)定義驗證以及驗證即可.【詳解】因為，定義域為，關(guān)于原點對稱；又，所以是奇函數(shù)；因為所以為上的增函數(shù)；；故答案為：14.已知函數(shù)，則的值是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)的表達式代入進行求解即可.【詳解】因為，所以，所以，故答案為：15.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是__________.【答案】（2，+∞）【解析】【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)“同增異減”的方法求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，注意函數(shù)的定義域.【詳解】是復(fù)合函數(shù)，可以寫成，，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性“同增異減”的判斷方法可知外層函數(shù)是增函數(shù)，所以只需求在定義域內(nèi)的單調(diào)遞增區(qū)間，，解得：或，函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.故答案為：16.已知函數(shù)其中．若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是___________．【答案】【解析】【分析】由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性、正弦函數(shù)單調(diào)性得出關(guān)于不等式組，從而，進一步結(jié)合，又可得到關(guān)于的不等式組，結(jié)合即可得解.【詳解】由題意，所以在單調(diào)遞增，若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，所以，其中，解得，從而等號不能同時成立，解得，又，所以只能或，即的取值范圍是.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：在得出后還要結(jié)合題意得，，由此即可順利得解.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.（1）求的值；（2）已知，，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)對數(shù)的運算法則及指數(shù)的運算法則計算即可；（2）由已知條件可得，再利用誘導(dǎo)公式及同角的商數(shù)關(guān)系化簡原不等式即可得答案．【詳解】（1）（2）因為，所以，所以，所以或，即或，又，為第二象限角，所以，所以；所以.18.已知為定義域R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，．（1）求的值以及的解析式；（2）用函數(shù)單調(diào)性定義證明：在上為增函數(shù)．【答案】（1），;（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）由奇函數(shù)的性質(zhì)求的值，利用奇函數(shù)的定義求的解析式；（2）利用單調(diào)性的定義證明即可.【小問1詳解】為R上的奇函數(shù)，設(shè)，則，又為奇函數(shù)，所以的解析式為【小問2詳解】證明：，且則，，，即所以在上為增函數(shù).19.已知函數(shù)．（1）求的值及的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求在區(qū)間上的最大值和最小值，以及取最值時x的值．【答案】（1）1，，（2）時，有最大值；時，有最小值.【解析】【分析】（1）將化簡為，解不等式，，即可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）由，得，從而根據(jù)正弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解函數(shù)的最值．【小問1詳解】解：因為，，令，，得，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，；【小問2詳解】解：因為，所以，所以，所以，當(dāng)，即時，有最大值，當(dāng)，即時，有最小值．20.已知是定義在上的奇函數(shù)，且，若對任意的m，，，都有．若，求a的取值范圍．若不等式對任意和都恒成立，求t的取值范圍．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由函數(shù)的單調(diào)性的定義，構(gòu)造出f（x）在定義域[﹣5，5]，上是增函數(shù)，通過增函數(shù)性質(zhì)解不等式得a的取值范圍;（2）由f（x）單調(diào)遞增且奇函數(shù)，利用其最大值整理得關(guān)于a，t的不等式，由a∈[﹣3，0]都恒成立，根據(jù)單調(diào)性可以求t的取值范圍．【詳解】解：設(shè)任意x1，x2滿足﹣5≤x1＜x2≤5，由題意可得：f（x1）﹣f（x2）即f（x1）＜f（x2）．所以f（x）在定義域[﹣5，5]，上是增函數(shù)，由f（2a﹣1）＜f（3a﹣3），得，解得2＜a，故a的取值范圍為（2，]；（2）由以上知f（x）是定義在[﹣5，5]上的單調(diào)遞增的奇函數(shù)，且f（﹣5）＝﹣2，得在[﹣5，5]上f（x）max＝f（5）＝﹣f（﹣5）＝2．在[﹣5，5]上不等式f（x）≤（a﹣2）t+5對a∈[﹣3，0]都恒成立，所以2≤（a﹣2）t+5即at﹣2t+3≥0，對a∈[﹣3，0]都恒成立，令g（a）＝at﹣2t+3，a∈[﹣3，0]，則只需，即．解得t故t的取值范圍（﹣∞，]．【點睛】本題主要考查函數(shù)單調(diào)性知識的應(yīng)用，解題中主要利用了單調(diào)性的定義法，最值法．21.某大型商場為迎接新年的到來，在自動扶梯的C點的上方懸掛豎直高度為5米的廣告牌DE．如圖所示，廣告牌底部點E正好為DC的中點，電梯AC的坡度．某人在扶梯上點P處(異于點C)觀察廣告牌的視角．當(dāng)人在A點時，觀測到視角∠DAE的正切值為．（1）求扶梯AC的長（2）當(dāng)某人在扶梯上觀察廣告牌的視角θ最大時，求CP的長．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）設(shè)，用分別表示出和，利用兩角和的正切公式求出，再根據(jù)的范圍求解出答案；（2）作且交于點，設(shè)，用分別表示出和，利用兩角差的正切公式表示出，利用基本不等式求出的最大值，此時即取最大值，利用基本不等式取最值的條件求出，再求出即可.【詳解】（1）由題意，為的中點，,所以，設(shè)，則，，在中，，在中，，由兩角和的正切公式，，，所以，解得，或，因為，所以，，所以扶梯AC的長為米；（2）作且交于點，如圖所示，設(shè)，則，，由（1）知，，，，當(dāng)取最大值時，即取最大值，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等式成立，所以此時.【點睛】本題主要考查兩角和差正切公式的應(yīng)用，考查學(xué)生分析轉(zhuǎn)化能力、方程思想和計算能力，屬于中檔題.22.已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）函數(shù)，若存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）已知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減.試判斷是否恒成立，并說明理由.【答案】（1）（2）（3）恒成立，理由見解析【解析】【分析】（1）先求出的定義域，判斷其奇偶性及單調(diào)性，從而將所求不等式化為，由此得解；（2）將問題轉(zhuǎn)化為和在上的值域的交集不為空集；分類討論和兩種情況，分別求出兩函數(shù)的值域，從而得解；（3）將問題轉(zhuǎn)化為判斷，再利用的單調(diào)性即可得解.【小問1詳解】因為，由，可得，即的定義域為；又，所以為奇函數(shù)，當(dāng)時，易得單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，且的值域為，不等式，可化為，所以，即，即，即，解得，則原不等式的解為；