二次函數(shù)-數(shù)形結合-綜合(學生版)

二次函數(shù)-二

⑨知識圖譜

1、y=ax-2+bx+c的圖象變換

要知識精講

一.y=④？+法+0的平移變換

1.將二次函數(shù)丁=依2+bx+c,向上平移〃個單位，函數(shù)解析式變?yōu)閥=改2+6x+c+a；向下

平移〃個單位，函數(shù)解析式變?yōu)閥=o?+法+C—〃.（即：上加下減）

2.將二次函數(shù)丁=以2+法+°,向左平移加個單位，函數(shù)解析式變?yōu)?/p>

y=a^x-\-mf+Z?（x+m）+c；向右平移m個單位，函數(shù)解析式變y=。（尤—加了+/7（%_帆）+（:.（即:

左加右減）

注意：通常，將平移前的函數(shù)尸加+法+0利用配方法化成>=4無_m2+左的形式，在根據(jù)

頂點的平移情況確定函數(shù)的平移情況，再將頂點式整理成一般式.

二.y=62+版+。的對稱變換

1.關于元軸對稱

y=ax2+Zzx+c關于x軸對稱后，得到的解析式是y=-涼---。；

y=a（^x-hf+左關于x軸對稱后，得至!J的解析式是y=—〃（%—力）2—k.

2.關于y軸對稱

y=ax2+Z?%+c關于y軸對稱后，得到的解析式是y=改?一法+。；

y=a（^x-hf+左關于y軸對稱后，得至!）的解析式是y=a（x+/z）2+k.

3.關于原點對稱

y=ax2+法+。關于原點對稱后，得到的解析式是y=-加+Z?%-c；

y=a（<x-hf+左關于原點對稱后，得到的解析式是y=-〃（％+4）2-左;

要三點剖析

一.考點：二次函數(shù)丫=62+法+。的平移變換和對稱變換.

二.重難點：

1.無論平移或對稱變換，時保持不變；

2.由點的平移或對稱延伸到線、圖形的平移或對稱.

三.易錯點：

1.平移變換遵循“上加下減，左加右減”的原則，注意平移單位的正負取值;

2.點的平移與圖像的平移的區(qū)別：點的平移左減右加，圖像的平移左加右減;

3.對稱變換務必注意變換前后開口方向，對稱軸，頂點坐標.

向。題模精講

題模一：平移變換

例1.1.1將拋物線y=x2-2x+3向上平移2個單位長度，再向右平移3個單位長度后，得到的拋物

線的解析式為()

A.y=(x-1)2+4B.y=(x-4)~+4

C.y=(x+2)2+6D.y=(x-4)2+6

例1.1.2把拋物線y=x，bx+c的圖象向右平移3個單位，再向下平移2個單位，所得圖象的解析式

為y=x?-2x+3,則b的值為.

例1.1.3函數(shù)y=Y+l,把這條拋物線沿射線y=x(x40)的方向平移應個單位，其函數(shù)解析式

變?yōu)?若把拋物線y=Y+l沿射線y=gx-l（xNO）方向平移番個單位，其函數(shù)解析式則

變?yōu)?

例1.1.4如圖，在10X10的網(wǎng)格中，每個小方格都是邊長為1的小正方形，每個小正方形的頂點

稱為格點.如果拋物線經(jīng)過圖中的三個格點，那么以這三個格點為頂點的三角形稱為該拋物線的

“內接格點三角形”.設對稱軸平行于y軸的拋物線與網(wǎng)格對角線翻的兩個交點為4B,其頂點

為C,如果△/8C是該拋物線的內接格點三角形，AB=3叵,且點4B,。的橫坐標龍入，xB,xc

滿足4<Z</，那么符合上述條件的拋物線條數(shù)是（）

A.7B.8C.14D.16

題模二：對稱變換

例1.2.1拋物線G：y=x2+1與拋物線G關于x軸對稱，則拋物線C2的解析式為（）

A.y=—x~B.y=—x?+1C.y=x?—1D.y———1

例1.2.2拋物線丫=5+2）2-3可以由拋物線丫=/平移得到，則下列平移過程正確的是（）

A.先向左平移2個單位,再向上平移3個單位

B.先向左平移2個單位,再向下平移3個單位

C.先向右平移2個單位,再向下平移3個單位

D.先向右平移2個單位,再向上平移3個單位

例1.2.3已知拋物線y=Y一6x+5,求:

（1）關于y軸對稱的拋物線的表達式；

（2）關于x軸對稱的拋物線的表達式；

（3）關于原點對稱的拋物線的表達式.

例1.2.4如圖，已知拋物線G：y=a(x+2)2-5的頂點為R與x軸相交于46兩點(點/在點

6的左側)，點8的橫坐標是1.

(1)求a的值；

(2)如圖，拋物線G與拋物線G關于x軸對稱，將拋物線G向右平移，平移后的拋物線記為a,

拋物線G的頂點為M當點只〃關于點。成中心對稱時，求拋物線0的解析式.

例1.2.5在直角坐標平面內，二次函數(shù)圖象的頂點為4(1,-4),且過點2(3,0).

(1)求該二次函數(shù)的解析式；

(2)將該二次函數(shù)圖象向右平移幾個單位，可使平移后所得圖象經(jīng)過坐標原點？并直接寫出平移

后所得圖象與x軸的另一個交點的坐標.

要隨堂練習

隨練1.1將拋物線y=x2-2x+l向下平移2個單位，再向左平移1個單位，所得拋物線的解析式是

（）

A.y=x2-2x-1B.y=x2+2x-1

C.y=x2-2D.y=x2+2

隨練L2把拋物線y=ax2+bx+c的圖象先向右平移3個單位，再向下平移2個單位，所得的圖象的

解析式是y=x,-3x+5,則a+b+c=.

隨練1.3拋物線丁=;西+（m-3）龍-3（相＞0）與x軸交于46兩點，且點力在點8的左側，與y

軸交于點C,OB=OC.

（1）求這條拋物線的解析式；

（2）若點尸（為,人）與點。（工2，匕）在（1）中的拋物線上，且占＜々，PQ=n.

①求4%12-+6〃+3的值；

②將拋物線在倒下方的部分沿國翻折，拋物線的其它部分保持不變，得到一個新圖象.當這個

新圖象與x軸恰好只有兩個公共點時，b的取值范圍是.

隨練1.4在平面直角坐標系中，先將拋物線y=f+x-2關于x軸作軸對稱變換，再將所得的拋物

線關于y軸作軸對稱變換，那么經(jīng)兩次變換后所得的新拋物線的解析式為（）

A.y=-—x+2B.y=一—+x—2

C.y=—X2+x+2D.y=x2+x+2

2、二次函數(shù)代數(shù)綜合

要知識精講

一.二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合

一次函數(shù)y=履+〃(左/0)的圖象/與二次函數(shù)y=㈤：2+6x+c(aw0)的圖象G的交點，由方程

y=kx+n

組的解的數(shù)目來確定:

y=ax2+bx+c

1.方程組有兩組不同的解時O/與G有兩個交點;

2.方程組只有一組解時O/與G只有一個交點；

3.方程組無解時O/與G沒有交點.

二.二次函數(shù)與不等式綜合

二次函數(shù)與不等式的聯(lián)系.如下表(以。>0為例)：

判別式:A="一4acA>0A=0A<0

二次函數(shù)y=以2+法+。Ik

(〃>0)的圖象L

x=x

T。Il2x

ax2+bx+c>0

b

%或無>n2x豐------任意實數(shù)

(a>0)2a

不等式的解集

ax2+bx+c<0

玉<X<x2無解無解

(a>0)

三.二次函數(shù)與方程及代數(shù)式綜合

二次函數(shù)與方程及代數(shù)式綜合主要是二次函數(shù)與一元二次方程綜合及二次函數(shù)與代數(shù)式的化簡

求值，與方程綜合注意分類討論以及整數(shù)解問題，與代數(shù)式綜合的解題思想是“消元降次，整體代

入”.

在三點剖析

一.考點：二次函數(shù)代數(shù)綜合.

二.重難點：二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合，二次函數(shù)與不等式綜合，二次函數(shù)與方程及代數(shù)式綜合.

三.易錯點：

1.二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合中求解參數(shù)的取值范圍時容易漏解或者是分不清取值范圍的上限

或者下限；

2.二次函數(shù)與不等式綜合問題解題時不要直接硬算，要結合函數(shù)圖像，利用函數(shù)的增減性來

求解參數(shù)的取值范圍；

3.二次函數(shù)與代數(shù)式綜合除了極少數(shù)情況下可以直接計算之外，一般情況下都是通過“消元降

次，整體代入”的方法來求解；

4.二次函數(shù)與方程綜合注意二次項系數(shù)的分類討論.

句。題模精講

題模一：與不等式綜合

例2.1.1如圖，己知二次函數(shù)y=ax?+bx+c的圖象過A(2,0)，B(0,-1)和C(4,5)三點.

(1)求二次函數(shù)的解析式;

(2)設二次函數(shù)的圖象與x軸的另一個交點為D,求點D的坐標;

(3)在同一坐標系中畫出直線y=x+l,并寫出當x在什么范圍內時，一次函數(shù)的值大于二次函數(shù)

的值.

例2.1.2已知一次函數(shù)+b(4W0)的圖象經(jīng)過(2,0),(4,1)兩點，二次函數(shù)

%=丁-2磁+4(其中a>2).

(1)求一次函數(shù)的表達式及二次函數(shù)圖象的頂點坐標(用含a的代數(shù)式表示)；

(2)利用函數(shù)圖象解決下列問題：

①若a=g,求當％>0且為W0時，自變量x的取值范圍；

②如果滿足%>0且%W0時的自變量x的取值范圍內恰有一個整數(shù)，直接寫出a的取值范圍.

5

4-

3-

2-

1

-5-4-3-2-1012345x

-1

例2.1.3某商場要經(jīng)營一種新上市的文具，進價為20元/件.試營銷階段發(fā)現(xiàn)：當銷售單價是25

元時，每天的銷售量為250件；銷售單價每上漲1元，每天的銷售量就減少10件.

（1）寫出商場銷售這種文具，每天所得的銷售利潤w（元）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關系式;

（2）求銷售單價為多少元時，該文具每天的銷售利潤最大；

（3）商場的營銷部結合上述情況，提出了A、B兩種營銷方案：

方案A：該文具的銷售單價高于進價且不超過30元；

方案B：每天銷售量不少于10件，且每件文具的利潤至少為25元

請比較哪種方案的最大利潤更高，并說明理由.

題模二：與一次函數(shù)綜合

例2.2.1在平面直角坐標系為夕中，拋物線y=加犬-2?zx+〃與x軸交于A、8兩點，點A的坐標

為（-2,0）.

（1）求8點坐標；

(2)直線y=L+4機+”經(jīng)過點B.

2

①求直線和拋物線的解析式；

②點P在拋物線上，過點尸作y軸的垂線/,垂足為。(。,4).將拋物線在直線/上方的部分沿直線/

翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個新圖象G.請結合圖象回答：當圖象G與直線

y=只有兩個公共點時，d的取值范圍是

-2--------

例2.2.2如圖，二次函數(shù)y=x?+bx+c圖像經(jīng)過原點和點A(2,0),直線AB與拋物線交于點B,且

ZBAO=45°.

(1)求二次函數(shù)解析式及其頂點C的坐標；

(2)在直線AB上是否存在點D,使得4BCD為直角三角形.若存在，求出點D的坐標，若不存在，說

明理由.

例2.2.3在平面直角坐標系x在中，拋物線'=7收-23-2(%#0)與丫軸交于點4其對稱軸與

x軸交于點B.

(1)求點A,8的坐標；

(2)設直線1與直線Z6關于該拋物線的對稱軸對稱，求直線1的解析式；

(3)若該拋物線在-2<x<-1這一段位于直線1的上方，并且在2v%<3這一段位于直線Z8的下

方，求該拋物線的解析式.

1-

--------1—?----1—?__

O1-------------左

例2.2.4A廠一月份產(chǎn)值為16萬元，因管理不善，二、三月份產(chǎn)值的月平均下降率為X(0<x<

1),B廠一月份產(chǎn)值為12萬元，二月份產(chǎn)值下降率為X,經(jīng)過技術革新，三月份產(chǎn)值增長，增長

率為2x.三月份A、B兩廠產(chǎn)值分別為％、yB(單位：萬元).

(1)分別寫出yA、yB與x的函數(shù)表達式；

(2)當yA=yB時，求x的值；

(3)當x為何值時，三月份A、B兩廠產(chǎn)值的差距最大？最大值是多少萬元？

例2.2.5在平面直角坐標系xOy中，過點(0,2)且平行于x軸的直線，與直線y=x-1交于點A,

點A關于直線x=l的對稱點為B,拋物線Q：y=x?+bx+c經(jīng)過點A,B.

(1)求點A,B的坐標；

(2)求拋物線G的表達式及頂點坐標；

2

(3)若拋物線C2：y=ax(a^O)與線段AB恰有一個公共點，結合函數(shù)的圖象，求a的取值范圍.

yx

1-

o1X

例2.2.6已知拋物線y=ax?+bx+c經(jīng)過A(-1,0)、B(2,0)、C(0,2)三點.

(1)求這條拋物線的解析式；

(2)如圖一，點P是第一象限內此拋物線上的一個動點，當點P運動到什么位置時，四邊形ABPC

的面積最大？求出此時點P的坐標；

(3)如圖二，設線段AC的垂直平分線交x軸于點E,垂足為D,M為拋物線的頂點，那么在直線

DE上是否存在一點G,使ACMG的周長最??？若存在，請求出點G的坐標；若不存在，請說明理由.

題模三：與代數(shù)式綜合

例2.3.1已知關于x的方程mx2+(3根+l)x+3=0.

(1)求證：不論為7〃任意實數(shù)，此方程總.有實數(shù)根；

(2)若拋物線〉=〃仃2+(3根+1卜+3與無軸交于兩個不同的整數(shù)點，且根為正整數(shù)，試確定此拋物

線的解析式；

(3)若點P(修，力)與點Q(x1+n,y2)在(2)中拋物線上，(點P、Q不重合)，且

力=為，求代數(shù)式+12%1〃+5力2+16〃+8的值.

例2.3.2已知二次函數(shù)y=a(x-m)2-a(x-m)(a,m為常數(shù)，且aWO).

(1)求證：不論a與m為何值，該函數(shù)的圖象與x軸總有兩個公共點；

(2)設該函數(shù)的圖象的頂點為C,與x軸交于A,B兩點，與y軸交于點D.

①當△ABC的面積等于1時，求a的值；

②當4ABC的面積與4ABD的面積相等時，求m的值.

2

例2.3.3已知拋物線y=ax+bx+c(0<2a<b)的頂點為P(x0,y?),點A(1,yA)>B(0,yu)、

C(-1,yc)在該拋物線上.

(I)當a=l,b=4,c=10時，

①求頂點P的坐標；

②求九的值;

yB-yc

(II)當y°NO恒成立時，求一^—的最小值.

yB-yc

例2.3.4己知：關于x的一元二次方程mx2-(3m+2)x+2m+2=0(m>0).

(1)求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；

(2)設方程的兩個實數(shù)根分別為Xrxz(其中X1<x2).若y是關于m的函數(shù)，且y=x2-2x1,求

這個函數(shù)的解析式；

(3)在(2)的條件下，結合函數(shù)的圖象回答：當自變量m的取值范圍滿足什么條件時，yW2m.

安隨堂練習

隨練2.1如圖，二次函數(shù)%=加+法+3的圖象與x軸相交于點人(_3,0)、8(1,0),交y軸點G

C、2是二次函數(shù)圖象上的一對對稱點，一次函數(shù)為=7HX+”的圖象經(jīng)過8、〃兩點.

(1)求二次函數(shù)的解析式及點，的坐標；

(2)根據(jù)圖象寫出力>以時，x的取值范圍.

隨練2.2已知：拋物線丁=加+（。-2）%—2=0過點A（3,4）.

（1）求拋物線.的解析式；

（2）將拋物線,=改2+5一2江-2=0在直線、=-1下方的部分沿直線）；=-1翻折，圖象其余

的部分保持不變，得到的新函數(shù)圖象記為G.點M（機,乂）在圖象G上，且

①求利的取值范圍；

②若點N（〃z+k%）也在圖象G上，且滿足%24恒成立，則發(fā)的取值范圍為.

隨練2.3已知拋物線y=-d+2皿-蘇+1與x軸交點為A、B（點B在點A的右側），與y軸交

于點C.

（1）試用含m的代數(shù)式表示A、B兩點的坐標；

（2）當點B在原點的右側，點C在原點的下方時，若△BOC是等腰三角形，求拋物線的

解析式；

（3）已知一次函數(shù)>=依+6,點P（〃,0）是x軸上一個動點，在（2）的條件下，過點P作

垂直于x軸的直線交這個一次函數(shù)的圖象于點M,交拋物線、=-尤2+2“-〃12+1于點2若只有當

1<〃<4時，點M位于點N的下方，求這個一次函數(shù)的解析式.

隨練2.4已知關于x的一元二次方程V-2優(yōu)+1卜+左2一2左-3=0有兩個不相等的實數(shù)根.

(1)求4的取值范圍；

(2)當“取最小的整數(shù)時，求拋物線y=d-2優(yōu)+1卜+公一2人-3的頂點坐標以及它與x軸的交

點坐標；

(3)將(2)中求得的拋物線在x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方，圖象的其余部分不變，得

到一個新圖象.請你畫出這個新圖象，并求出新圖象與直線丫=》+機有三個不同公共點時"的值.

5

4

234

3

隨練2.5已知二次函數(shù)y=(r+l)x2+2Q+2)x+；在x=0與x=2的函數(shù)值相等.

(1)求二次函數(shù)的解析式；

(2)若一次函數(shù)y=fcv+6的圖象與二次函數(shù)的圖象都經(jīng)過點4(-3,加)，求m與A的值；

(3)設二次函數(shù)的圖象與x軸交于點B,C(點6在點C的左側)，將二次函數(shù)的圖象B,C間的

部分(含點6和點C)向左平移〃(〃>0)個單位后得到的圖象記為G,同時將(2)中得到的直線

>=履+6向上平移〃個單位.請結合圖象回答：平移后的直線與圖象G有公共點時，〃的取值范圍。

隨練2.6已知關于x的一元二次方程2x2+(a+4)x+a=0.

(1)求證：無論a為任何實數(shù)，此方程總有兩個不相等的實數(shù)根；

(2)拋物線￡:y=2Y+(a+4)龍+。與x軸的一個交點的橫坐標為今，其中將拋物線0向

右平移5個單位，再向上平移;個單位，得到拋物線。2.求拋物線C2的解析式；

(3)點4("力和3(〃,⑼都在⑵中拋物線Cz上，且A、B兩點不重合，求代數(shù)式

2m3-2mn+2n3的值.

3、二次函數(shù)與三角形綜合

要知識精講

一.二次函數(shù)與等腰三角形綜合

二次函數(shù)與等腰三角形存在性問題：

解題思路：先找后求.

1.找法：已知三角形的兩個頂點，找第三個頂點，方法如下：

I

I

//一一未f、

//I\\

:/:\

IAj―~IB

\\；//

:、、一￥一，

I

2.求法：分類討論；設出點坐標，利用兩腰長相等，列方程求解.

二.二次函數(shù)與直角三角形綜合

二次函數(shù)與直角三角形存在性問題：

解題思路：先找后求.

1.找法：已知直角三角形的兩個頂點，找第三個頂點，方法如下：

jI;

A+--------------+B\/

I|、、-/

'AB為直角邊！AB為斜邊

2.求法：分類討論；設出點坐標，利用勾股定理，列方程求解.

安三點剖析

考點：二次函數(shù)與三角形綜合.

二.重難點：二次函數(shù)與等腰三角形和直角三角形的存在性問題.

易錯點:

1.不要漏解，按模型找到所有滿足條件的點然后計算求解;

2.注意數(shù)形結合思想.

題模精講

題模一：等腰三角形

例3.1.1如圖，拋物線、=。尤2+6元+c過點A(T,O),且經(jīng)過直線y=x-3與x軸的交點5及與y軸

的交點C.

(1)求點B、C的坐標；

(2)求拋物線的解析式；

(3)求拋物線的頂點"的坐標；

(4)在直線y=x-3上是否存在點尸，使是等腰三角形？若存在，求出滿足條件

的P點坐標；若不存在，說明理由.

>1

例3.1.2如圖，已知拋物線y=-x2+2x+l-m與x軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C,其中點

C的坐標是(0,3),頂點為點D,連接CD,拋物線的對稱軸與x軸相交于點E.

(1)求m的值；

(2)求NCDE的度數(shù)；

(3)在拋物線對稱軸的右側部分上是否存在一點P,使得APDC是等腰三角形？如果存在，求出符

合條件的點P的坐標；如果不存在，請說明理由.

例3.1.3如圖，已知直線V=-2x+4與無軸、,軸分別相交于A、C兩點，拋物線

、=-2元2+法+。(”o)經(jīng)過點c

(1)求拋物線的解析式；

(2)點/是直線、=-2X+4上的動點，過點“作"E垂直無軸于點E,在》軸(原點除外)上是

否存在點/，使尸為等腰直角三角形？若存在，求出點尸的坐標及對應的點"的坐標；若不

存在，請說明理由.

例3.1.4如圖，在平面直角坐標中，點0為坐標原點，直線y=-x+4與x軸交于點A,過點A的拋

物線y=ax2+bx與直線y=-x+4交于另一點B,且點B的橫坐標為1.

(1)求a,b的值；

(2)點P是線段AB上一動點(點P不與點A、B重合)，過點P作PM〃OB交第一象限內的拋物線

于點M,過點M作MC_Lx軸于點C,交AB于點N,過點P作PF_LMC于點F,設PF的長為t,MN的

長為d,求d與t之間的函數(shù)關系式(不要求寫出自變量t的取值范圍)；

(3)在(2)的條件下，當SAACN=SAP?N時，連接ON,點Q在線段BP上，過點Q作QR〃MN交ON于

點R,連接MQ、BR,當NMQR-NBRN=45°時，求點R的坐標.

例3.1.5己知拋物線y=a(XFI)2+n與y軸交于點A,它的頂點為點B,點A、B關于原點0的對稱

點分別為C、D.若A、B、C、D中任何三點都不在一直線上，則稱四邊形ABCD為拋物線的伴隨四

邊形，直線AB為拋物線的伴隨直線.

(1)如圖1,求拋物線丫=(x-2)2+1的伴隨直線的解析式.

(2)如圖2,若拋物線y=a(x-m)2+n(m>0)的伴隨直線是y=x-3,伴隨四邊形的面積為12,求

此拋物線的解析式.

(3)如圖3,若拋物線y=a(x-m)2+n的伴隨直線是y=-2x+b(b>0),且伴隨四邊形ABCD是矩

形.

①用含b的代數(shù)式表示m、n的值；

②在拋物線的對稱軸上是否存在點P,使得是一個等腰三角形？若存在，請直接寫出點P的

坐標（用含b的代數(shù)式表示）；若不存在，請說明理由.

題模二：直角三角形

例3.2.1已知拋物線y=a（x—T）一+?（。、，是不為°的常數(shù)）的頂點是A,拋物線

y=d-2x+l的頂點是當

（1）判斷點A是否在拋物線y=*-2x+l上，為什么？

（2）如果拋物線,=°（1一'—1）2+〃經(jīng)過點3

①求。的值；②這條拋物線與天軸的兩個交點和它的頂點A能否構成直角三角形？

例3.2.2如圖1,已知拋物線的頂點為4(2,1),且經(jīng)過原點。，與x軸的另一個交點為H

(1)求拋物線的解析式；

(2)連接力、AB,如圖2,在x軸下方的拋物線上是否存在點戶，使得△戚與相似？若存

在，求出尸點的坐標；若不存在，說明理由.

例3.2.3如圖，在平面直角坐標系中，ZXABC是直角三角形，ZACB=90°,AC=BC,OA=L0C=4,

拋物線yux'+bx+c經(jīng)過A,B兩點，拋物線的頂點為D.

(1)求b,c的值；

(2)點E是直角三角形ABC斜邊AB上一動點(點A、B除外)，過點E作x軸的垂線交拋物線于

點F,當線段EF的長度最大時，求點E的坐標；

(3)在(2)的條件下：

①求以點E、B、F、D為頂點的四邊形的面積；

②在拋物線上是否存在一點P,使4EFP是以EF為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有點P的

坐標；若不存在，說明理由.

例3.2.4如圖，拋物線尸-3x?+*x-4與x軸相交于點A、B,與y軸相交于點C,拋物線的對稱

55

軸與X軸相交于點M.P是拋物線在X軸上方的一個動點（點P、M、C不在同一條直線上）.分別

過點A、B作直線CP的垂線，垂足分別為D、E,連接點MD、ME.

（1）求點A,B的坐標（直接寫出結果），并證明AMDE是等腰三角形；

（2）△MDE能否為等腰直角三角形？若能，求此時點P的坐標；若不能，說明理由；

（3）若將“P是拋物線在x軸上方的一個動點（點P、M、C不在同一條直線上）”改為“P是拋物

線在x軸下方的一個動點”，其他條件不變，AMDE能否為等腰直角三角形？若能，求此時點P的

坐標（直接寫出結果）；若不能，說明理由.

,QQ1

例3.2.5如圖，在平面直角坐標系中，直線y=—x——與拋物線y=—/+fcv+c交于A、B兩點，

-424

點A在x軸上，點B的橫坐標為-8.

（1）求該拋物線的解析式；

（2）點P是直線AB上方的拋物線上一動點（不與點A、B重合），過點P作x軸的垂線，垂足為

C,交直線AB于點D,作PELAB于點E.

①設4PDE的周長為1,點P的橫坐標為x,求1關于x的函數(shù)關系式，并求出1的最大值；

②連接PA,以PA為邊作圖示一側的正方形APFG.隨著點P的運動，正方形的大小、位置也隨之改

變.當頂點F或G恰好落在y軸上時，直接寫出對應的點P的坐標.

要隨堂練習

隨練3.1平面直角坐標系中，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板/回放在第二象限，斜靠在兩坐標軸上,

且點A(0,2),點如圖所示，拋物線>=62+6一2經(jīng)過點氏

(1)求點6的坐標；

(2)求拋物線的解析式；

(3)在拋物線上是否還存在點尸(點8除外)，使仍然是以/。為直角邊的等腰直角三角形?

若存在，求所有點戶的坐標；若不存在，請說明理由.

隨練3.2已知拋物線y=6i?+fcv+c經(jīng)過點6(12,0)和C(0,-6),對稱軸為直線尤=2.

(1)求該拋物線的解析式以及拋物線與x軸另一個交點A的坐標.

(2)點〃在線段上，且AZ)=AC,若動點尸從/出發(fā)沿線段48以每秒1個單位長度的速度勻

速運動，同時另一動點0以某一速度從C出發(fā)沿線段％勻速運動，問是否存在某一時刻，使線段

國被直線切垂直平分？若存在，請求出此時的時間t(秒)和點0的運動速度，若不存在，請說

明理由；

(3)在(2)的結論下，直線x=l上是否存在點必使AMW為等腰三角形？若存在，請直接寫出

隨練3.3如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線經(jīng)過點A(0,4),B(1,0),C(5,

0),拋物線的對稱軸1與x軸相交于點M.

(1)求拋物線對應的函數(shù)解析式和對稱軸；

(2)設點P為拋物線(x>5)上的一點，若以A、0、M、P為頂點的四邊形的四條邊的長度為四個

連續(xù)的正整數(shù)，請你直接寫出點P的坐標；

(3)連接AC,探索：在直線AC下方的拋物線上是否存在一點N,使4NAC的面積最大？若存在，

請你求出點N的坐標；若不存在，請說明理由.

隨練3.4如圖，拋物線y=mx2-2mx-3m(m>0)與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點.

(1)請求出拋物線頂點M的坐標(用含m的代數(shù)式表示)，A、B兩點的坐標；

(2)經(jīng)探究可知，ABCM與4ABC的面積比不變，試求出這個比值；

(3)是否存在使ABCM為直角三角形的拋物線？若存在，請求出；如果不存在，請說明理由.

隨練3.5如圖所示，對稱軸為x=3的拋物線y=ax2+2x與x軸相交于點B,0.

(1)求拋物線的解析式，并求出頂點A的坐標；

(2)連接AB,把AB所在的直線平移，使它經(jīng)過原點0,得到直線1.點P是1上一動點.設以點

A、B、0、P為頂點的四邊形面積為S,點P的橫坐標為t,當0VSW18時，求t的取值范圍；

(3)在(2)的條件下，當t取最大值時，拋物線上是否存在點Q,使為直角三角形且0P為

直角邊？若存在，直接寫出點Q的坐標；若不存在，說明理由.

4、二次函數(shù)與四邊形綜合

安知識精講

一.二次函數(shù)與四邊形綜合

二次函數(shù)與四邊形綜合主要是與平行四邊形或者特殊的平行四邊形(矩形，菱形，正方形)的

綜合.在解決此類問題時，需要注意“平行四邊形”的四個頂點中是有一個動點或二個動點.

i.如果只有一個動點，則先求點坐標，然后代入檢驗；

2.如果有兩個動點，則常用的方法有兩個，①引入坐標代入函數(shù)解析式后建立方程，注意最

后要檢驗；②從已知條件直接進行分析.

二.動點與平行四邊形存在性問題常見模型：

1.兩固兩動型：兩個固定點，兩個動點構成平行四邊形

(1)分類討論，分成兩個固定點連線為平行四邊形對邊和對角線來討論，利用對邊平行且相

等找出所有的存在的情況.

(2)設出一個動點坐標，利用中點公式法算出另外一個點的表達式，代入另一個點所在函數(shù)

關系式.

2.三固一動型：三個固定點，一個動線構成平行四邊形

(1)分類討論，可以利用大三角的方法來找出所有的點.

大三角：連接三個固定點形成一個三角形，過每個頂點做對邊的平行線，三個平行線交點即為要找

的點.

Pi

(2)利用中點公式法，求出點坐標.

中點坐標公式：若尸(為，乂),。(々,%)為坐標系內任意兩點，則尸。中點M的坐標為

中點公式法：設出P點坐標，利用線段尸B、AC的中點都為。點，即可求出P點坐標.

總結：二次函數(shù)與四邊形綜合問題常用的解題方法是：設出動點坐標，然后用點的坐標表示線

段長度，進而建立方程求出動點坐標.

委三點剖析

考點：二次函數(shù)與四邊形綜合.

二.重難點：二次函數(shù)與平行四邊形的存在性問題，特殊平行四邊形的存在性問題.

三.易錯點：二次函數(shù)與四邊形綜合問題最容易出現(xiàn)的問題就是分類討論不徹底導致漏解，解題時

務必審清題意，按照模型分類討論.

g題模精講

題模一：二次函數(shù)與四邊形綜合

例4.1.1己知如圖，拋物線y=x?+bx+c過點A(3,0),B(1,0),交y軸于點C,點P是該拋物

線上一動點，點P從C點沿拋物線向A點運動(點P不與點A重合),過點P作PD〃y軸交直線

AC于點D

(1)求拋物線的解析式；

(2)求點P在運動的過程中線段PD長度的最大值；

(3)4APD能否構成直角三角形？若能請直接寫出點P坐標，若不能請說明理由；

(4)在拋物線對稱軸上是否存在點M使|MA-MC1最大？若存在請求出點M的坐標，若不存在請說明

理由.

例4.1.2如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=rnx2+4mx-5nl（m<0）與x軸交于點A、B（點A在

點B的左側），該拋物線的對稱軸與直線y=?x相交于點E,與x軸相交于點D,點P在直線y=

手x上（不與原點重合），連接PD,過點P作PFLPD交y軸于點F,連接DF.

（1）如圖①所示，若拋物線頂點的縱坐標為6出，求拋物線的解析式；

（2）求A、B兩點的坐標；

（3）如圖②所示，小紅在探究點P的位置發(fā)現(xiàn)：當點P與點E重合時，/PDF的大小為定值，進

而猜想：對于直線y=掾x上任意一點P（不與原點重合），/PDF的大小為定值.請你判斷該猜

想是否正確，并說明理由.

例4.1.3已知：二次函數(shù)y=/+法+8的圖象與x軸交于點A（-2,0）.

（1）求二次函數(shù)y=+bx+8的圖象與x軸的另一個交點6及頂點〃的坐標；

（2）點尸從點8出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿水平方向向右運動，同時點0從點〃出發(fā)，以每

秒2個單位的速度沿豎直方向向下運動，當點P運動到原點。時，只0同時停止運動.點「、點，

分別為點一、點0關于原點的對稱點，設四邊形制⑦的面積為S,運動時間為t,求S與￡的函數(shù)

關系表達式（不必寫出力的取值范圍）；

（3）在（2）的運動過程中，四邊形尸色能否形成矩形？若能，求出此時/的值；若不能，請說明

理由.

8

7

6

5

4

3

2

1

-4-3-2-1Oji2345x

-2

例4.1.4如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax+bx+c經(jīng)過A、B、C三點，已知點A(-3,

0),B(0,3),C(1,0).

(1)求此拋物線的解析式.

(2)點P是直線AB上方的拋物線上一動點，(不與點A、B重合),過點P作x軸的垂線，垂足

為F,交直線AB于點E,作PDLAB于點D.

①動點P在什么位置時，4PDE的周長最大，求出此時P點的坐標；

②連接PA,以AP為邊作圖示一側的正方形APMN,隨著點P的運動，正方形的大小、位置也隨之改

變.當頂點M或N恰好落在拋物線對稱軸上時，求出對應的P點的坐標.(結果保留根號)

要隨堂練習

隨練4.1如圖，已知拋物線y=-x?+bx+c與一直線相交于A(-1,0),C(2,3)兩點，與y軸交

于點N.其頂點為D.

(1)拋物線及直線AC的函數(shù)關系式;

(2)設點M(3,m),求使MN+MD的值最小時m的值;

(3)若拋物線的對稱軸與直線AC相交于點B,E為直線AC上的任意一點，過點E作EF〃BD交拋

物線于點F,以B,D,E,F為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能，求點E的坐標；若不能，

請說明理由；

(4)若P是拋物線上位于直線AC上方的一個動點，求AAPC的面積的最大值.

隨練4.2已知：拋物線￡：丫=-2/+桁一6與拋物線C?關于原點對稱，拋物線￡與x軸分別交

于4(1,0)，B(/n,0),頂點為弘拋物線。2與x軸分別交于G，兩點(點。在點，的左側)，頂點

為瓦

(1)求加的值；

(2)求拋物線￡的解析式；

(3)若拋物線G與拋物線C?同時以每秒1個單位的速度沿x軸方向分別向左、向右運動，此時記

A,B,C,D,M,"在某一時刻的新位置分別為,B',C'，D',M',N',當點、A'與點”

重合時運動停止.在運動過程中，四邊形B,ON'能否形成矩形？若能，求出此時運動時間t

(秒)的值，若不能，說明理由.

隨練4.3已知拋物線丫=」/+―+,與x軸交于A,B兩點，與y軸交于點C,連結AC,BC,D

-4

是線段0B上一動點，以CD為一邊向右側作正方形CDEF,連結BF.若見(^=8，AC=BC.

(1)求拋物線的解析式；

(2)求證:BF±AB；

(3)求"BE的度數(shù)；

(4)當D點沿x軸正方向移動到點B時，點E也隨著運動，則點E所走過的路線長是.

5、二次函數(shù)面積問題

要知識精講

一.二次函數(shù)與面積綜合問題

在直角坐標系中，已知三角形三個頂點的坐標，如果三角形的三條邊中有一條邊與坐標軸平行,

可以直接運用三角形面積公式求解三角形面積.如果三角形的三條邊與坐標軸都不平行，則通常有

以下方法：

1.如圖(1),過三角形的某個頂點作與X軸或y軸的平行線，將原三角形分割成兩個滿足一條

邊與坐標軸平行的三角形，分別求出面積后相加：

=

S&ABC=S.CD+=萬|"<4^卜田一力|=S^ACE+~'\xA-XB\；

2.如圖(2),首先計算三角形的外接矩形的面積，然后再減去矩形內其他各塊面積：

^&ABC=SDEBF-SADAC-^&AEB~^ACBF

3.如果只是求解面積最大值或者此時動點的坐標，可以通過平移直線，當直線與拋物線只有

一個交點時三角形的面積最大，此時可以直接求出動點坐標，然后再利用上述兩種方法求出面積的

最大值.

在三點剖析

一.考點：二次函數(shù)與面積問題.

二.重難點：二次函數(shù)中因動點產(chǎn)生的面積問題.

1.在用點的坐標表示線段長度，進而表示圖形面積的時候一定要保證線段的非負性，可以直接加

上絕對值或者是分類討論；

2.與動點問題相關的面積問題一定要分析清楚每個階段圖形的形狀，然后再分別求出每個階段下

面積的表達式.

g題模精講

題模一：面積最值問題

例5.1.1如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=〃a?+2如+〃經(jīng)過點A(T,0)和點2(0,3).

(1)求拋物線的解析式；

(2)向右平移上述拋物線，若平移后的拋物線仍經(jīng)過點8求平移后拋物線的解析式；

(3)在(2)的條件下，記平移后點A的對應點為點8的對應點為笈，試問：在平移后的拋

物線上是否存在一點戶，使△。女尸的面積與四邊形A4助的面積相等，若存在，求出點P的坐標;

若不存在，說明理由.

例5.1.2如圖，二次函數(shù)y=-Lx2+mx+m+L的圖象與x軸相交于點A、B(點A在點B的左側)，與

22

y軸相交于點C,頂點D在第一象限.過點D作x軸的垂線，垂足為H.

3

(1)當m=-時，求tan/ADH的值；

2

(2)當60°W/ADBW90。時，求m的變化范圍；

(3)設4BCD和AABC的面積分別為Si、S2,且滿足SFS?,求點D到直線BC的距離.

Q9

例5.1.3如圖，拋物線y=-—六+3與x軸交于點A,點B,與直線y=-—x+b相交于點B,點C,直

(1)寫出直線BC的解析式.

(2)求4ABC的面積.

(3)若點M在線段AB上以每秒1個單位長度的速度從A向B運動(不與A,B重合),同時，點

N在射線BC上以每秒2個