2024屆上海市浦東新區(qū)四校高考考前模擬數(shù)學(xué)試題含解析

2024屆上海市浦東新區(qū)四校高考考前模擬數(shù)學(xué)試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖，在中，點(diǎn)為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，點(diǎn)為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，則（）A． B． C． D．2．已知向量，（其中為實(shí)數(shù)），則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．若函數(shù)在時(shí)取得極值，則（）A． B． C． D．4．某幾何體的三視圖如圖所示（單位：），則該幾何體的體積（單位：）為（）A． B．6 C． D．5．已知集合，，則等于（）A． B． C． D．6．已知，，且是的充分不必要條件，則的取值范圍是（）A． B． C． D．7．等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，，，則（）A． B． C． D．8．已知數(shù)列滿足,(),則數(shù)列的通項(xiàng)公式()A． B． C． D．9．已知拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，是上一點(diǎn)，直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，若，則為()A． B．40 C．16 D．10．已知是虛數(shù)單位，若，則（）A． B．2 C． D．1011．設(shè),則(

)A．10 B．11 C．12 D．1312．橢圓的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上，若，則的大小為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在中，點(diǎn)在邊上，且，設(shè)，，則________（用，表示）14．如圖，己知半圓的直徑，點(diǎn)是弦（包含端點(diǎn)，）上的動點(diǎn)，點(diǎn)在弧上．若是等邊三角形，且滿足，則的最小值為___________.15．已知內(nèi)角的對邊分別為外接圓的面積為，則的面積為_________.16．已知，，求____________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，焦點(diǎn)在軸上的橢圓與焦點(diǎn)在軸上的橢圓都過點(diǎn)，中心都在坐標(biāo)原點(diǎn)，且橢圓與的離心率均為．（Ⅰ）求橢圓與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）過點(diǎn)M的互相垂直的兩直線分別與，交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A、B不同于點(diǎn)M），當(dāng)?shù)拿娣e取最大值時(shí)，求兩直線MA，MB斜率的比值.18．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若對任意成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．（12分）在①；②；③這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中的橫線上，并解答相應(yīng)的問題.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足________________，，求的面積.20．（12分）已知的內(nèi)角的對邊分別為，且.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若的周長是否有最大值？如果有，求出這個最大值，如果沒有，請說明理由.21．（12分）已知函數(shù).（Ⅰ）若，求曲線在處的切線方程；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，要使恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為、，焦距為2，直線與橢圓交于兩點(diǎn)（均異于橢圓的左、右頂點(diǎn)）.當(dāng)直線過橢圓的右焦點(diǎn)且垂直于軸時(shí)，四邊形的面積為6.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線的斜率分別為.①若，求證：直線過定點(diǎn)；②若直線過橢圓的右焦點(diǎn)，試判斷是否為定值，并說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

，將,代入化簡即可.【詳解】.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量基本定理的應(yīng)用，涉及到向量的線性運(yùn)算、數(shù)乘運(yùn)算，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，是一道中檔題.2、A【解析】

結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)表示，將兩個條件相互推導(dǎo)，根據(jù)能否推導(dǎo)的情況判斷出充分、必要條件.【詳解】由，則，所以；而當(dāng)，則，解得或.所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A【點(diǎn)睛】本小題考查平面向量的運(yùn)算，向量垂直，充要條件等基礎(chǔ)知識；考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力，應(yīng)用意識.3、D【解析】

對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)在時(shí)取得極值，得到，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，又函?shù)在時(shí)取得極值，所以，解得.故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)的極值求參數(shù)的問題，屬于?？碱}型.4、D【解析】

根據(jù)幾何體的三視圖，該幾何體是由正方體去掉三棱錐得到，根據(jù)正方體和三棱錐的體積公式可求解.【詳解】如圖,該幾何體為正方體去掉三棱錐,所以該幾何體的體積為：,故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間幾何體的三視圖以及體積的求法，考查了空間想象力，屬于中檔題.5、A【解析】

進(jìn)行交集的運(yùn)算即可．【詳解】，1，2，，，，1，．故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了列舉法、描述法的定義，考查了交集的定義及運(yùn)算，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．6、D【解析】

“是的充分不必要條件”等價(jià)于“是的充分不必要條件”，即中變量取值的集合是中變量取值集合的真子集.【詳解】由題意知：可化簡為，，所以中變量取值的集合是中變量取值集合的真子集，所以.【點(diǎn)睛】利用原命題與其逆否命題的等價(jià)性，對是的充分不必要條件進(jìn)行命題轉(zhuǎn)換，使問題易于求解.7、D【解析】試題分析：由于在等比數(shù)列中，由可得：，又因?yàn)椋杂校菏欠匠痰亩?shí)根，又，，所以，故解得：，從而公比；那么，故選D．考點(diǎn)：等比數(shù)列．8、A【解析】

利用數(shù)列的遞推關(guān)系式，通過累加法求解即可．【詳解】數(shù)列滿足：，，可得以上各式相加可得：，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，數(shù)列累加法以及通項(xiàng)公式的求法，考查計(jì)算能力．9、D【解析】

如圖所示，過分別作于，于，利用和，聯(lián)立方程組計(jì)算得到答案.【詳解】如圖所示：過分別作于，于.，則，根據(jù)得到：，即，根據(jù)得到：，即，解得，，故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線中弦長問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.10、C【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)模的性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)椋?，，故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)模的定義及復(fù)數(shù)模的性質(zhì)，屬于容易題.11、B【解析】

根據(jù)題中給出的分段函數(shù)，只要將問題轉(zhuǎn)化為求x≥10內(nèi)的函數(shù)值，代入即可求出其值．【詳解】∵f（x），∴f（5）＝f[f（1）]＝f（9）＝f[f（15）]＝f（13）＝1．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分段函數(shù)中求函數(shù)的值，屬于基礎(chǔ)題．12、C【解析】

根據(jù)橢圓的定義可得，，再利用余弦定理即可得到結(jié)論.【詳解】由題意，，，又，則，由余弦定理可得.故.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的定義，考查余弦定理，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

結(jié)合圖形及向量的線性運(yùn)算將轉(zhuǎn)化為用向量表示，即可得到結(jié)果．【詳解】在中，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以．故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形中向量的線性運(yùn)算，關(guān)鍵是利用已知向量為基底，將未知向量通過幾何條件向基底轉(zhuǎn)化．14、1【解析】

建系，設(shè)，表示出點(diǎn)坐標(biāo)，則，根據(jù)的范圍得出答案．【詳解】解：以為原點(diǎn)建立平面坐標(biāo)系如圖所示：則，，，，設(shè)，則，，，，，，，顯然當(dāng)取得最大值4時(shí)，取得最小值1．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，坐標(biāo)運(yùn)算，屬于中檔題．15、【解析】

由外接圓面積，求出外接圓半徑，然后由正弦定理可求得三角形的內(nèi)角，從而有，于是可得三角形邊長，可得面積．【詳解】設(shè)外接圓半徑為，則，由正弦定理，得，∴，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理，利用正弦定理求出三角形的內(nèi)角，然后可得邊長，從而得面積，掌握正弦定理是解題關(guān)鍵．16、【解析】

求出向量的坐標(biāo)，然后利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可計(jì)算出結(jié)果.【詳解】，，，因此，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），（2）【解析】分析：(1)根據(jù)題的條件，得到對應(yīng)的橢圓的上頂點(diǎn)，即可以求得橢圓中相應(yīng)的參數(shù)，結(jié)合橢圓的離心率的大小，求得相應(yīng)的參數(shù)，從而求得橢圓的方程；(2)設(shè)出一條直線的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，消元，利用求根公式求得對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)一步求得向量的坐標(biāo)，將S表示為關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系，從眼角函數(shù)的角度去求最值，從而求得結(jié)果.詳解：（Ⅰ）依題意得對：，，得：；同理：.（Ⅱ）設(shè)直線的斜率分別為，則MA：，與橢圓方程聯(lián)立得：，得，得,，所以同理可得.所以,從而可以求得因?yàn)?，所以，不妨設(shè)，所以當(dāng)最大時(shí)，，此時(shí)兩直線MA，MB斜率的比值.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)橢圓與直線的綜合題，在解題的過程中，注意橢圓的對稱性，以及其特殊性，與y軸的交點(diǎn)即為橢圓的上頂點(diǎn)，結(jié)合橢圓焦點(diǎn)所在軸，得到相應(yīng)的參數(shù)的值，再者就是應(yīng)用離心率的大小找參數(shù)之間的關(guān)系，在研究直線與橢圓相交的問題時(shí)，首先設(shè)出直線的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，求得結(jié)果，注意從函數(shù)的角度研究問題.18、（1）（2）【解析】

（1）把代入，利用零點(diǎn)分段討論法求解；（2）對任意成立轉(zhuǎn)化為求的最小值可得.【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，不等式可化為.討論：①當(dāng)時(shí)，，所以，所以；②當(dāng)時(shí)，，所以，所以；③當(dāng)時(shí)，，所以，所以.綜上，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為.（2）因?yàn)椋?又因?yàn)?，對任意成立，所以，所以?故實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題主要考查含有絕對值不等式的解法及恒成立問題，恒成立問題一般是轉(zhuǎn)化為最值問題求解，側(cè)重考查數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).19、橫線處任填一個都可以，面積為．【解析】

無論選哪一個，都先由正弦定理化邊為角后，由誘導(dǎo)公式，展開后，可求得角，再由余弦定理求得，從而易求得三角形面積．【詳解】在橫線上填寫“”.解：由正弦定理，得.由，得.由，得.所以.又（若，則這與矛盾），所以.又，得.由余弦定理及，得，即.將代入，解得.所以.在橫線上填寫“”.解：由及正弦定理，得.又，所以有.因?yàn)椋?從而有.又，所以由余弦定理及，得即.將代入，解得.所以.在橫線上填寫“”解：由正弦定理，得.由，得，所以由二倍角公式，得.由，得，所以.所以，即.由余弦定理及，得.即.將代入，解得.所以.【點(diǎn)睛】本題考查三角形面積公式，考查正弦定理、余弦定理，兩角和的正弦公式等，正弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)換，求三角形面積時(shí)，①若三角形中已知一個角(角的大小或該角的正、余弦值)，結(jié)合題意求解這個角的兩邊或該角的兩邊之積，代入公式求面積；②若已知三角形的三邊，可先求其一個角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面積，總之，結(jié)合圖形恰當(dāng)選擇面積公式是解題的關(guān)鍵．20、（Ⅰ）；（Ⅱ）有最大值，最大值為3.【解析】

（Ⅰ）利用正弦定理將角化邊，再由余弦定理計(jì)算可得；（Ⅱ）由正弦定理可得，則，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；【詳解】（Ⅰ）由得再由正弦定理得因此，又因?yàn)?，所?（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，的周長有最大值，且最大值為3，理由如下：由正弦定理得，所以，所以.因?yàn)?，所以，所以?dāng)即時(shí)，取到最大值2，所以的周長有最大值，最大值為3.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理解三角形，以及三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題.21、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求得切線的斜率，則切線方程得解；（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)，對參數(shù)分類討論，求得函數(shù)的單調(diào)性，以及最值，即可容易求得參數(shù)范圍.【詳解】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，則.所以.又，故所求切線方程為，即.（Ⅱ）依題意，得，即恒成立.令，則.①當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋缓项}意.②當(dāng)時(shí)，令，得，，顯然.令，得或；令，得.所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，，單調(diào)遞減區(qū)間是.當(dāng)時(shí)，，，所以，只需，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，以及利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立問題，屬綜合中檔題.22、（1）；（2）①證明見解析；②【解析】

（1）由題意焦距為2，設(shè)點(diǎn)，代入橢圓，解得，從而四邊形的面積，由此能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）①由題意，聯(lián)立直線與橢圓的方程，得，推導(dǎo)出，，，，由此猜想：直線過定點(diǎn)，從而能證明，，三點(diǎn)共線，直線過定點(diǎn)．②由題意設(shè)，，，，直線，代入橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程：