安徽省六安市2023-2024年度滬科版數(shù)學(xué)九年級(jí)上學(xué)期綜合測(cè)試卷

安徽省六安市2023-2024年度滬科版數(shù)學(xué)九年級(jí)上學(xué)期綜合測(cè)試卷一．選擇題（共40分）1．若點(diǎn)（2，3）是反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，則此函數(shù)圖象一定經(jīng)過點(diǎn)（）A．（2，﹣3） B．（3，﹣2） C．（1，﹣6） D．（﹣1，﹣6）2．已知3a＝2b（ab≠0），則下列比例式成立的是（）A．＝ B． C．＝ D．3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，則tanA的值是（）A． B． C． D．4．河堤的橫斷面如圖所示，堤高BC＝6m，迎水坡AB的坡比為1：，則AB的長是（）A．12m B．6m C．12m D．6m5．一枚炮彈射出x秒后的高度為y米，且y與x之間的關(guān)系為y＝ax2+bx+c（a≠0）若此炮彈在第3.2秒與第5.8秒時(shí)的高度相等，則在下列時(shí)間中炮彈所在高度最高的是（）A．第3.3秒 B．第4.5秒 C．第5.2秒 D．第4.3秒6．已知，在△ABC中，點(diǎn)D為AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE∥BC，DH∥AC分別交AC、BC于點(diǎn)E、H，點(diǎn)F是延長線BC上一點(diǎn)，連接FD交AC與點(diǎn)G，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A． B． C． D．7．已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，則反比例函數(shù)y＝與一次函數(shù)y＝﹣cx+b在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可能是（）A． B． C． D．8．如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E在AD上，且AE＝2ED，CE交對(duì)角線BD于點(diǎn)F，若S△DEF＝2，則S△BCF為（）A．4 B．6 C．9 D．189．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC的平分線交AC于D，M在AC延長線上，N在BD上，MN經(jīng)過BC中點(diǎn)E，MD＝MN，若sinA＝，則的值為（）A． B． C． D．10．已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一個(gè)根為﹣1，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），則關(guān)于x的不等式ax2+c＞（2﹣b）x﹣1的解為（）A．x＜﹣1或x＞3 B．x＜﹣2或x＞2 C．﹣1＜x＜3 D．﹣2＜x＜2二．填空題（共20分）11．已知線段，點(diǎn)P是它的黃金分割點(diǎn)，則BP的長為＝．12．如圖，點(diǎn)D、E是△ABC邊BC、AC上的點(diǎn)，BD：CD＝2：5，連接AD、BE，交點(diǎn)為F，DF：AF＝1：4，那么的值是．13．如圖，點(diǎn)A在雙曲線的第一象限的圖象上，AB垂直于y軸于點(diǎn)B，點(diǎn)C在x軸的正半軸上，且OC＝3AB，點(diǎn)E在線段AC上，且AE＝3EC，點(diǎn)D為OB的中點(diǎn)，若△ADE的面積為3，則k值為．14．如圖，在菱形ABCD中，∠A＝60°，M、N是邊AD，AB上任意兩點(diǎn)，將菱形ABCD沿MN翻折，點(diǎn)A恰巧落在對(duì)角線BD上的點(diǎn)E處．（1）若∠DME＝20°，則∠ANM＝；（2）若AM：MD＝1：2，則BE：EN＝．三．解答題（8+8+8+8+10+10+12+12+14=90分）15．計(jì)算：．16．已知y＝y(tǒng)1+y2，其中y1與x﹣3成正比例，y2與x2+1成正比例，且當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣2，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝4．（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）求出該函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．17．如圖，在△ABC中，AB＝5，sinB＝，tanC＝．（1）求BC的長．（2）若點(diǎn)D在BC邊上，且BD：CD＝3：2，求tan∠CAD的值．18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△OAB的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為O（0，0），A（2，1），B（1，﹣2）．（1）以原點(diǎn)O為位似中心，在y軸的右側(cè)畫出△OAB的一個(gè)位似△OA1B1，使它與△OAB的位似比為2：1；（2）畫出將△OAB向左平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位后得到的△O2A2B2；（3）判斷△OA1B1和△O2A2B2是位似圖形嗎？若是，請(qǐng)?jiān)趫D中標(biāo)出位似中心點(diǎn)M，并寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)．19．某同學(xué)利用數(shù)學(xué)知識(shí)測(cè)量建筑物DEFG的高度．他從點(diǎn)A出發(fā)沿著坡度為i＝1：2.4的斜坡AB步行26米到達(dá)點(diǎn)B處，用測(cè)角儀測(cè)得建筑物頂端D的仰角為37°，建筑物底端E的俯角為30°．若AF為水平的地面，測(cè)角儀豎直放置，其高度BC＝1.6米，則此建筑物的高度DE．（結(jié)果保留根號(hào)，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）20．如圖，一次函數(shù)y＝2x﹣2的圖象與反比例函數(shù)y＝的圖象交于M，N兩點(diǎn)．（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）求△OMN的面積；（3）根據(jù)圖象，直接寫出使反比例函數(shù)值大于一次函數(shù)值時(shí)x的取值范圍．21．如圖，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，動(dòng)點(diǎn)P以2cm/s的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC向點(diǎn)C移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q以1cm/s的速度從點(diǎn)C出發(fā)．沿CB向點(diǎn)B移動(dòng)，設(shè)P、Q兩點(diǎn)移動(dòng)ts（0＜t＜5）后，△CQP的面積為Scm2（1）在P、Q兩點(diǎn)移動(dòng)的過程中，△CQP的面積能否等于3.6cm2？若能，求出此時(shí)t的值；若不能，請(qǐng)說明理由；（2）當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為多少秒時(shí)，△CPQ與△CAB相似．22．如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，4），點(diǎn)E在拋物線上．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)E在第一象限內(nèi)，過點(diǎn)E作EF∥y軸，交BC于點(diǎn)F，作EH∥x軸，交拋物線于點(diǎn)H，點(diǎn)H在點(diǎn)E的左側(cè)，以線段EF，EH為鄰邊作矩形EFGH，當(dāng)矩形EFGH的周長為11時(shí)，求線段EH的長；（3）點(diǎn)M在直線AC上，點(diǎn)N在平面內(nèi)，當(dāng)四邊形OENM是正方形時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)．23．已知：如圖，△ABC中，BD是中線，點(diǎn)E是AB上一點(diǎn)，CE與BD交于點(diǎn)F，EB＝EF．（1）在圖中與∠DFC相等的角有和；（2）在圖中找出與線段AB相等的線段，并證明．（3）若∠ADB＝90°﹣∠ABD，AB＝kAC，求的值．（用含k的代數(shù)式表示）

安徽省六安市2023-2024年度滬科版數(shù)學(xué)九年級(jí)上學(xué)期綜合測(cè)試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．若點(diǎn)（2，3）是反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，則此函數(shù)圖象一定經(jīng)過點(diǎn)（）A．（2，﹣3） B．（3，﹣2） C．（1，﹣6） D．（﹣1，﹣6）【解答】解：∵點(diǎn)（2，3）是反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，∴k＝2×3＝6，A．2×（﹣3）＝﹣6，不符合題意；B．3×（﹣2）＝﹣6，不符合題意；C．1×（﹣6）＝﹣6，不符合題意；D．﹣1×（﹣6）＝6，符合題意；∴只有點(diǎn)（﹣1，﹣6）在反比例函數(shù)圖象上．故選：D．2．已知3a＝2b（ab≠0），則下列比例式成立的是（）A．＝ B． C．＝ D．【解答】解：∵3a＝2b，∴＝或＝或＝或＝，所以D選項(xiàng)符合題意，A、B、C選項(xiàng)不符合題意．故選：D．3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，則tanA的值是（）A． B． C． D．【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，∴AC＝＝＝4，∴tanA＝＝，故選：D．4．河堤的橫斷面如圖所示，堤高BC＝6m，迎水坡AB的坡比為1：，則AB的長是（）A．12m B．6m C．12m D．6m【解答】解：∵Rt△ABC中，BC＝6m，迎水坡AB的坡比為1：，∴BC：AC＝1：，∴AC＝?BC＝6（m），∴AB＝＝12（m）．故選：A．5．一枚炮彈射出x秒后的高度為y米，且y與x之間的關(guān)系為y＝ax2+bx+c（a≠0）若此炮彈在第3.2秒與第5.8秒時(shí)的高度相等，則在下列時(shí)間中炮彈所在高度最高的是（）A．第3.3秒 B．第4.5秒 C．第5.2秒 D．第4.3秒【解答】解：∵炮彈在第3.2秒與第5.8秒時(shí)的高度相等，∴拋物線的對(duì)稱軸為x＝4.5．故選：B．6．已知，在△ABC中，點(diǎn)D為AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE∥BC，DH∥AC分別交AC、BC于點(diǎn)E、H，點(diǎn)F是延長線BC上一點(diǎn)，連接FD交AC與點(diǎn)G，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A． B． C． D．【解答】解：∵DE∥BC，DH∥AC，∴四邊形DECH是平行四邊形，∴DH＝CE，DE＝CH，∵DE∥BC，，故選項(xiàng)A正確，不符合題意；∵DH∥CG，∴，故C正確，不符合題意；∵DE∥BC，∴，故D正確，不符合題意．由已知條件不能得出，故B符合題意．故選：B．7．已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，則反比例函數(shù)y＝與一次函數(shù)y＝﹣cx+b在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可能是（）A． B． C． D．【解答】解：根據(jù)二次函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)可得c＞0，根據(jù)拋物線開口向下可得a＜0，由對(duì)稱軸在y軸右邊可得a、b異號(hào)，故b＞0，則反比例函數(shù)y＝的圖象在第二、四象限，一次函數(shù)y＝﹣cx+b經(jīng)過第一、二、四象限，故選：C．8．如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E在AD上，且AE＝2ED，CE交對(duì)角線BD于點(diǎn)F，若S△DEF＝2，則S△BCF為（）A．4 B．6 C．9 D．18【解答】解：∵AE＝2ED，∴＝，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，BC＝AD，∴△EDF∽△CBF，∴＝＝＝，∴＝（）2＝，∵S△EDF＝2，∴S△BCF＝18．故選：D．9．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC的平分線交AC于D，M在AC延長線上，N在BD上，MN經(jīng)過BC中點(diǎn)E，MD＝MN，若sinA＝，則的值為（）A． B． C． D．【解答】解：過D作DH⊥AB于H，延長MN交AB于F，如圖：在Rt△ABC中，sinA＝，∴＝，設(shè)BC＝6x，則AB＝7x，∵E為BC中點(diǎn)，∴BE＝BC＝3x，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠DBH，∵∠DHB＝∠DCB＝90°，BD＝BD，∴△BCD≌△BHD（AAS），∴BH＝BC＝6x，∠CDB＝∠HDB，∵M(jìn)D＝MN，∴∠CDB＝∠MND，∴∠MND＝∠HDB，∴DH∥MN，∵DH⊥AB，∴MN⊥AB，即NF⊥AB，∴∠BEF＝90°﹣∠EBF＝∠A，∴sin∠BEF＝sinA＝，∴＝，即＝，∴BF＝x，∵NF⊥AB，DH⊥AB，∴NF∥DH，∴＝＝＝，故選：A．10．已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一個(gè)根為﹣1，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），則關(guān)于x的不等式ax2+c＞（2﹣b）x﹣1的解為（）A．x＜﹣1或x＞3 B．x＜﹣2或x＞2 C．﹣1＜x＜3 D．﹣2＜x＜2【解答】解：設(shè)拋物線的表達(dá)式為：y＝a（x﹣h）2+k＝a（x﹣1）2+4，當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝a（﹣1﹣1）2+4，解得：a＝﹣1，故拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3，將不等式ax2+c＞（2﹣b）x﹣1整理為：ax2+bx+c＞2x﹣1，聯(lián)立y＝﹣x2+2x+3和y′＝2x﹣1并解得：x＝±2，故﹣2＜x＜2時(shí)，函數(shù)y在y′之上，即ax2+bx+c＞2x﹣1，故選：D．二．填空題（共4小題）11．已知線段，點(diǎn)P是它的黃金分割點(diǎn)，則BP的長為＝1或．【解答】解：∵點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，當(dāng)AP＜BP時(shí)，∴BP＝×AB＝×＝1，當(dāng)AP＞BP時(shí)，∴AP＝1，BP＝AB﹣AP＝﹣1＝，故答案為：1或．12．如圖，點(diǎn)D、E是△ABC邊BC、AC上的點(diǎn)，BD：CD＝2：5，連接AD、BE，交點(diǎn)為F，DF：AF＝1：4，那么的值是．【解答】解：如圖所示，過D作DG∥BE，交AC于G，則BD：CD＝EG：GC＝2：5，即：，，∴DF：AF＝EG：AE＝1：4，即：AE＝4EG，∴．故答案為：．13．如圖，點(diǎn)A在雙曲線的第一象限的圖象上，AB垂直于y軸于點(diǎn)B，點(diǎn)C在x軸的正半軸上，且OC＝3AB，點(diǎn)E在線段AC上，且AE＝3EC，點(diǎn)D為OB的中點(diǎn)，若△ADE的面積為3，則k值為4．【解答】解：連DC，如圖，∵AE＝3EC，△ADE的面積為3，∴△CDE的面積為1，∴△ADC的面積為4，設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（a，b），則AB＝a，OC＝3AB＝3a，而點(diǎn)D為OB的中點(diǎn)，∴，∵S梯形OBAC＝S△ABD+S△ADC+S△ODC，∴，∴ab＝4，把A（a，b）代入雙曲線，∴k＝ab＝4．故答案為：4．14．如圖，在菱形ABCD中，∠A＝60°，M、N是邊AD，AB上任意兩點(diǎn)，將菱形ABCD沿MN翻折，點(diǎn)A恰巧落在對(duì)角線BD上的點(diǎn)E處．（1）若∠DME＝20°，則∠ANM＝40°；（2）若AM：MD＝1：2，則BE：EN＝2．【解答】解：（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)得：∠AMN＝∠EMN，∵∠DME＝20°，∴，∵∠A＝60°，∴∠ANM＝180°﹣∠A﹣∠AMN＝40°；故答案為：40°；（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)得：AM＝EM，∠A＝∠MEN＝60°，∴∠MED+∠BEN＝120°，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∵∠A＝60°，∴△ABD是等邊三角形，∴∠ADB＝∠ABD＝60°，∴∠MED+∠DME＝120°，∴∠DME＝∠BEN，∴△MED∽△ENB，∴，∴，∵AM：MD＝1：2，∴EM：MD＝1：2，∴BE：EN＝2：1．故答案為：2．三．解答題（共9小題）15．計(jì)算：．【解答】解：原式＝2+3﹣2×+﹣1＝2+3﹣+﹣1＝4．16．已知y＝y(tǒng)1+y2，其中y1與x﹣3成正比例，y2與x2+1成正比例，且當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣2，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝4．（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）求出該函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：（1）設(shè)y1＝k1（x﹣3），y2＝k2（x2+1），則y＝y(tǒng)1+y2＝k1（x﹣3）+k2（x2+1），把x＝0，y＝﹣2；x＝1，y＝4代入得，解得：k1＝2，k2＝4，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝4x2+2x﹣2；（2）把x＝0代入y＝4x2+2x﹣2得：y＝﹣2，則與y軸交點(diǎn)為（0，﹣2），把y＝0代入y＝4x2+2x﹣2得4x2+2x﹣2＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝，則與x軸交點(diǎn)為（﹣1，0），（，0）．17．如圖，在△ABC中，AB＝5，sinB＝，tanC＝．（1）求BC的長．（2）若點(diǎn)D在BC邊上，且BD：CD＝3：2，求tan∠CAD的值．【解答】解：（1）如圖，過點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E，在Rt△ABE中，AB＝5，sinB＝，∴＝，∴AE＝3，∴BE＝＝4，在Rt△AEC中，tanC＝，∴＝，∴CE＝2AE＝6，∴BC＝BE+CE＝10；（2）過點(diǎn)D作AF⊥AC，垂足為F，連接AD，∵BD：CD＝3：2，BC＝10，∴CD＝10×＝4，在Rt△CDF中，tanC＝，∴＝，∴設(shè)DF＝x，則CF＝2x，∵DF2+CF2＝CD2，∴x2+4x2＝16，解得x＝，∴DF＝，CF＝，由（1）得AC＝＝3，∴AF＝3﹣＝，∴在Rt△ADF中，tan∠CAD＝＝＝．18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△OAB的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為O（0，0），A（2，1），B（1，﹣2）．（1）以原點(diǎn)O為位似中心，在y軸的右側(cè)畫出△OAB的一個(gè)位似△OA1B1，使它與△OAB的位似比為2：1；（2）畫出將△OAB向左平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位后得到的△O2A2B2；（3）判斷△OA1B1和△O2A2B2是位似圖形嗎？若是，請(qǐng)?jiān)趫D中標(biāo)出位似中心點(diǎn)M，并寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)．【解答】解：（1）如圖，△OA1B1即為所作圖形；（2）如圖，△O2A2B2即為所作圖形；（3）△OA1B1和△OA2B2是位似圖形，點(diǎn)M為所求位似中心，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣4，2）．19．某同學(xué)利用數(shù)學(xué)知識(shí)測(cè)量建筑物DEFG的高度．他從點(diǎn)A出發(fā)沿著坡度為i＝1：2.4的斜坡AB步行26米到達(dá)點(diǎn)B處，用測(cè)角儀測(cè)得建筑物頂端D的仰角為37°，建筑物底端E的俯角為30°．若AF為水平的地面，測(cè)角儀豎直放置，其高度BC＝1.6米，則此建筑物的高度DE．（結(jié)果保留根號(hào)，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【解答】解：延長CB交AE于H，作CP⊥DE于P，在Rt△ABH中，∵i＝1：2.4，AB＝26米，∴BH＝10米，∴PB＝CH＝10+1.6＝11.6（米），在Rt△CPE中，∵∠PCE＝30°，∴PC＝PE＝11.6米，在Rt△CPD中，∵∠DCP＝37°，∴PD＝PCtan37°≈15.05（米），∴DE＝PD+PE＝15.05+11.6≈26.7（米），答：建筑物高DE約為26.7米．20．如圖，一次函數(shù)y＝2x﹣2的圖象與反比例函數(shù)y＝的圖象交于M，N兩點(diǎn)．（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）求△OMN的面積；（3）根據(jù)圖象，直接寫出使反比例函數(shù)值大于一次函數(shù)值時(shí)x的取值范圍．【解答】解：（1）把N（﹣1，﹣4）代入y＝，得k＝﹣1×（﹣4）＝4，所以反比例函數(shù)解析式為y＝；（2）把M（2，m）代入y＝，得2m＝4，解得m＝2，則M點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，2）．把M（2，2），N（﹣1，﹣4）代入y＝ax+b，得，解得，所以一次函數(shù)解析式為y＝2x﹣2，設(shè)直線與x軸的交點(diǎn)為P，則P（1，0），即OP＝1，∴S△MON＝S△MOP+S△NOP＝×1×2+×1×4＝3；（3）由圖象可知，當(dāng)0＜x＜2或x＜﹣1時(shí)，反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值．21．如圖，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，動(dòng)點(diǎn)P以2cm/s的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC向點(diǎn)C移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q以1cm/s的速度從點(diǎn)C出發(fā)．沿CB向點(diǎn)B移動(dòng)，設(shè)P、Q兩點(diǎn)移動(dòng)ts（0＜t＜5）后，△CQP的面積為Scm2（1）在P、Q兩點(diǎn)移動(dòng)的過程中，△CQP的面積能否等于3.6cm2？若能，求出此時(shí)t的值；若不能，請(qǐng)說明理由；（2）當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為多少秒時(shí)，△CPQ與△CAB相似．【解答】解：（1）在矩形ABCD中，∵AB＝6cm，BC＝8cm，∴AC＝10cm，AP＝2tcm，PC＝（10﹣2t）cm，CQ＝tcm，過點(diǎn)P作PH⊥BC于點(diǎn)H，則PH＝（10﹣2t）cm，根據(jù)題意，得t?（10﹣2t）＝3.6，解得：t1＝2，t2＝3．答：△CQP的面積等于3.6cm2時(shí)，t的值為2或3．（2）如答圖1，當(dāng)∠PQC＝90°時(shí)，PQ⊥BC，∵AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，QC＝t，PC＝10﹣2t，∴△PQC∽△ABC，∴＝，即＝，解得t＝（秒）；如答圖2，當(dāng)∠CPQ＝90°時(shí)，PQ⊥AC，∵∠ACB＝∠QCP，∠B＝∠QPC，∴△CPQ∽△CBA，∴＝，即＝，解得t＝（秒）．綜上所述，t為秒與秒時(shí)，△CPQ與△CAB相似．22．如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，4），點(diǎn)E在拋物線上．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)E在第一象限內(nèi)，過點(diǎn)E作EF∥y軸，交BC于點(diǎn)F，作EH∥x軸，交拋物線于點(diǎn)H，點(diǎn)H在點(diǎn)E的左側(cè)，以線段EF，EH為鄰邊作矩形EFGH，當(dāng)矩形EFGH的周長為11時(shí)，求線段EH的長；（3）點(diǎn)M在直線AC上，點(diǎn)N在平面內(nèi)，當(dāng)四邊形OENM是正方形時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)．【解答】解：（1）∵拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)B（4，0）和C（0，4），∴解得，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+4；（2）∵點(diǎn)B（4，0）和C（0，4）．設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+4，則0＝4k+4，解得k＝﹣1．直線BC的解析式為y＝﹣x+4，設(shè)E（x，﹣x2+x+4），且0＜x＜4，則F（x，﹣x+4），GH＝EF＝﹣x2+x+4﹣（﹣x+4）＝﹣x2+2x，∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝﹣，∴H（2﹣x，﹣x2+x+4），∴GF＝EH＝x﹣（2﹣x）＝2x﹣2，依題意得2（﹣x2+2x+2x﹣2）＝11．解得x＝5（舍去）或x＝3．∴EH＝4，（3）令y＝0，則﹣x2+x+4＝0，解得x＝﹣2或x＝4．∴A（﹣2，0）．設(shè)直線AC的解析式為y＝px+q，將A（﹣2，0），C（0，4）代入，解得p＝2，q＝4，∴直線AC的解析式為y＝2x+4，∵四邊形OENM是正方形，∴OE＝OM，∠EOM＝90°，分別過點(diǎn)M、E作y軸的垂線，垂足分別為P、Q，如圖，∠OPM＝∠EQO＝90°，∠OMP＝90°﹣∠MOP＝∠EOQ．∴△OMP≌ΔEOQ（AAS）．∴PM＝OQ，PO＝EQ．設(shè)E（m，﹣m2+m+4），：∴PO＝EQ＝﹣m，PM＝OQ＝m2﹣m﹣4．則M（m2﹣m﹣4，m），∵點(diǎn)M在直線AC上，∴m＝2（﹣m﹣4）+4．解得m＝4或m＝﹣1，當(dāng)m＝4時(shí)，M（0，4），E（4，0），即點(diǎn)M與點(diǎn)C重合，點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，四邊形OENM是正方形，此時(shí)N（4，4）：當(dāng)m＝﹣1時(shí)，M（﹣，﹣1），E（﹣1，），點(diǎn)O向左平移個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，得到點(diǎn)M，則點(diǎn)E向左平移個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，得到點(diǎn)N，N（﹣1﹣，﹣1），即N（﹣，）．當(dāng)OM沿著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到OE，如圖：設(shè)M（a，b），則點(diǎn)E（b，﹣a），∵點(diǎn)M在y＝2x+4的圖象上，∴