第十六章偏導數(shù)與全微分

第十六章偏導數(shù)與全微分§1偏導數(shù)與全微分概念這部分要掌握的連續(xù)、偏導數(shù)、可微三個概念的定義；連續(xù)、偏導數(shù)、可微三個概念之間的關系；二元函數(shù)的連續(xù)、偏導數(shù)、可微的概念都是用極限定義的，不同的概念對應不同的極限，切勿混淆。考慮函數(shù)在點的情形，則它們分別為：在點連續(xù)定義為：在點存在偏導數(shù)定義為：或或在點可微定義為：因此，要討論點的可微性，首先要求，。這三個概念之間的關系可以用下圖表示（在點）連續(xù)3連續(xù)，連續(xù)可微12，連續(xù)可微，存在，存在在上述關系中，反方向均不成立。下面以點為例，逐一討論。42，43例1：這是教材中的典型例題，均存在，但在點不可微，且不存在，即在點不連續(xù)。34，32例2：，這是上半圓錐，顯然在點連續(xù)，但故不存在。由的對稱性，不存在。從而，在點不可微（否則，，均存在）。21例3：，由的對稱性，。（）故在點可微。且取點列，，，顯然故不存在，從而在點不連續(xù)。由的對稱性，在點也不連續(xù)。對一元函數(shù)，可微與可導是等價的，即：可微可導。但對二元函數(shù)，可微與偏導存在并不等價，即：可微偏導存在，反之未必。應特別引起注意?！?復合函數(shù)與隱函數(shù)微分法求復合函數(shù)與隱函數(shù)的偏導數(shù)，關鍵在于搞清楚各變量之間的關系。在求復合函數(shù)的高階偏導時，尤其要搞清楚偏導函數(shù)各變量之間的關系。只有明確了變量之間的關系，才可能正確使用鏈式法則。例1設為常數(shù)，函數(shù)二階可導，，證明證變量之間的關系為注意這里是某變量的一元函數(shù)，而。因為，由的對稱性得，而，，由的對稱性得，，，。于是又因為，故。注1在求時，要特別注意的函數(shù)關系仍然是注2在求時，注意正確使用導數(shù)符號，不要寫成，也不要寫成或。事實上，。注3上面的證明簡潔清楚，所要求證的微分方程的左邊是，函數(shù)作為自變量的函數(shù)，是由中間變量復合而成，利用，我們得到了這樣把求對自變量的偏導數(shù)轉化為對中間變量的偏導數(shù)，從而使計算簡單了。試比較直接求的情形。由的對稱性得則。例2設的所有二階偏導數(shù)都連續(xù)，，，試求，，。證注意，是對求偏導數(shù)之后，令所得的函數(shù)，而不是作為的一元函數(shù)對的導函數(shù)。在兩邊對求導，得將代入，得上式兩邊對求導，得在兩邊對求導，得因為有連續(xù)的二階偏導數(shù)，則，又已知，將上兩式聯(lián)立解得，。即，。例3若函數(shù)對任意正實數(shù)滿足關系，則稱為次奇次函數(shù)。設可微，試證明為次齊次函數(shù)的充要條件是證令，則，故與無關，從而，即方程兩邊分別對求導，得，，，，將前面三式代入第四式即得?；蛟谏厦嫠氖街辛?，得，，，即。變換微分方程例4設，，，變換方程（假設出現(xiàn)的導數(shù)都連續(xù)）。解這里既有自變量的變換，，也有函數(shù)的變換。自變量由原來的變換為，函數(shù)由原來的變換為。為了把原來的函數(shù)變換為函數(shù)，可以把原來的函數(shù)視為如下的復合，，，即則故即例5設，求。證方程確定了函數(shù)，在方程兩邊求微分，得兩邊再求微分，得解得故§4方向導數(shù)對多元函數(shù)，前面曾討論了它在某點的可微、偏導數(shù)、連續(xù)之間的關系。下面進一步討論方向導數(shù)與這些概念之間的關系。如下圖連續(xù)2連續(xù)，存在可微13，存在可微，，存在，，存在，存在，存在14課本定理35由偏導數(shù)定義和方向導數(shù)定義即得。43，53例：函數(shù)在點沿任意方向的方向導數(shù)存在，z特別地，沿坐標軸正、負向的方向導數(shù)為，。y但不存在。同理，不存在。從上面的討論不難看出，關于3、5有以下結論：，存在，存在，且，這時有，。41否則有43，與43矛盾42例：故在點不連續(xù)。但任意方向，當時，，當時，，即在點沿任意方向的方向導數(shù)都存在52否則有42，與42矛盾。或否則與32矛盾。24例：設，顯然在點連續(xù)，但沿任意方向的方向導數(shù)不存在，事實上不存在。34例：設，則，但時，不存在。§5Taylor公式Taylor公式的幾種形式若函數(shù)在點的某領域內(nèi)有直到階連續(xù)偏導數(shù)，則（1）其中（2）為方便，記，則其中（3）其中這是用微分表示的Taylor公式，它與一元函數(shù)的Taylor公式在形式上更為接近，由此也可以看到一元函數(shù)中在二元函數(shù)的對應物是。例1設函數(shù)有直到階連續(xù)偏導數(shù)，試證的階導數(shù)。證對用數(shù)學歸納法。時，顯然設，則例2證明Taylor公式的唯一性：若其中，求證為非負整數(shù)，），并利用唯一性求帶拉格朗日余項的階Taylor展開式。證對用數(shù)學歸納法。在中令即得。設時，則，進而。在上式中令，因為，，故時，，從而而時，不存在，故必有（）。由數(shù)學