2024年中考數(shù)學(xué)第一次模擬試卷（浙江卷）（全解全析）

年中考第一次模擬考試（浙江卷）數(shù)學(xué)·全解全析第Ⅰ卷一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)選出并在答題卡上將該項(xiàng)涂黑）1．設(shè)x是用字母表示的有理數(shù)，則下列各式中一定大于零的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，三種類型的非負(fù)數(shù)：（1）絕對(duì)值；（2）偶次方；（3）二次根式（算術(shù)平方根）．根據(jù)含絕對(duì)值、平方的數(shù)都是非負(fù)數(shù)，它們的值都大于等于0，由此可解此題．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，與都小于0，當(dāng)時(shí)，，而不論x取何值，，必大于0．故選：D．2．下列計(jì)算正確的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查整式的加法運(yùn)算，根據(jù)合并同類項(xiàng)法則判定A、B、C；根據(jù)去括號(hào)法則判定D即可．【詳解】解：A.沒有同類項(xiàng)不能合并；故本選項(xiàng)不符合題意；

B.故該選項(xiàng)正確，符合題意；C.，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

D.故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；故選：B．3．2023年9月23日第19屆杭州亞運(yùn)會(huì)開幕，有最高2640000人同時(shí)收看直播，數(shù)字2640000用科學(xué)記數(shù)法可以表示為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)，用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)時(shí)，一般形式為，確定與的值是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，共有位數(shù)字，的后面有位，，故選：C．4．由6個(gè)同樣的立方體擺出從正面看是

的幾何體，下面擺法正確的是（）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根據(jù)主視圖：從正面看得到幾何體的圖像，逐個(gè)判斷即可得到答案．【詳解】解：A選項(xiàng)圖形主視圖得到兩行兩列，故A不符合題意；B選項(xiàng)圖形主視圖得到兩行三列，且第一列由兩個(gè)，其余的一個(gè)，故B符合題意；C選項(xiàng)圖形主視圖得到兩行三列，且第一二列都是兩個(gè)，故C不符合題意；D選項(xiàng)圖形主視圖得到兩行四列，故D不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查主視圖：從正面看得到幾何體的圖像叫幾何體的主視圖．5．分式的值，可以等于（）A． B．0 C．1 D．2【答案】D【分析】根據(jù)分子、分母的取值范圍進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵，，且，∴的值不可能是、0、；當(dāng)時(shí)，分式的值等于2，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的求值，正確得出分子、分母的取值范圍是解題的關(guān)鍵．6．如圖，是的切線，點(diǎn)是切點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，連接，若，，則的長為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】此題重點(diǎn)考查切線的性質(zhì)定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)．連接、，由是的直徑，得，，由切線的性質(zhì)得，而，則，所以是等邊三角形，則，所以，于是得到問題的答案．【詳解】解：連接、，則，是的直徑，，，與相切于點(diǎn)，，，，，是等邊三角形，，，故選：C．7．小明所在的班級(jí)有20人去體育場觀看演出，20張票分別為區(qū)第10排1號(hào)到20號(hào)采用隨機(jī)抽取的辦法分票，小明第一個(gè)抽取得到10號(hào)座位，接著小亮從其余的票中任意抽取一張，取得的一張恰與小明鄰座的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了概率公式，直接利用概率公式求解．【詳解】解：因?yàn)榕c10號(hào)座位相鄰得有2個(gè)座位（9號(hào)和11號(hào)），所以小亮從其余的票中任意抽取一張，取得的一張恰與小明鄰座的概率為．故選：A．8．已知和均是以x為自變量的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值分別是和，若存在實(shí)數(shù)m，使得，則稱函數(shù)和符合“特定規(guī)律”，以下函數(shù)和符合“特定規(guī)律”的是（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】B【分析】本題主要考查一元二次方程根的判別式、二次函數(shù)的性質(zhì)．根據(jù)題中所給定義及一元二次方程根的判別式可直接進(jìn)行排除選項(xiàng)．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，函數(shù)值分別為和，若存在實(shí)數(shù)，使得，A、有，，所以不存在實(shí)數(shù)m，故不符合題意；B、有，，所以存在實(shí)數(shù)m，故符合題意；C、有，，所以不存在實(shí)數(shù)m，故不符合題意；D、有，，所以不存在實(shí)數(shù)m，故不符合題意；故選：B．9．如圖，已知，以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長為半徑作圓弧，與角的兩邊分別交于C，D兩點(diǎn)，分別以點(diǎn)C，D為圓心，大于長為半徑作圓弧，兩條圓弧交于內(nèi)一點(diǎn)P，連接，過點(diǎn)P作直線，交OB于點(diǎn)E，過點(diǎn)P作直線，交于點(diǎn)F．若，，則四邊形的面積是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】過P作于M，再判定四邊形為平行四邊形，再根據(jù)勾股定理求出邊和高，最后求出面積．【詳解】解：過P作于M，由作圖得：平分，∴，∴，∴，∵，，∴四邊形為平行四邊形，，∴，∴，設(shè)，在中，，即：，解得：，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了基本作圖，掌握平行四邊形的判定定理，勾股定理及平行四邊形的面積公式是解題的關(guān)鍵．10．如圖，已知正方形和正方形，且三點(diǎn)在一條直線上，連接，以為邊構(gòu)造正方形，交于點(diǎn)，連接．設(shè)，．若點(diǎn)三點(diǎn)共線，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，余角性質(zhì)，三角函數(shù)，過點(diǎn)作于，連接，先證明，得到，設(shè)，則，，再證明、，得到，，，利用三角函數(shù)即可求解，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：過點(diǎn)作于，連接，則，∵四邊形、四邊形、四邊形是正方形，∴，，，∵點(diǎn)三點(diǎn)共線，∴，∴都是等腰直角三角形，∴，∵，，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴，設(shè)，則，，∵，，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，在中，，在中，，∵，∴，∴，故選：．第Ⅱ卷二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分）11．計(jì)算的結(jié)果等于．【答案】【分析】根據(jù)平方差公式計(jì)算即可．【詳解】解：原式．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟記平方差公式是解題的關(guān)鍵．12．如圖，在中，．過點(diǎn)作的平分線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交延長線于點(diǎn)．若，則．【答案】72【分析】本題考查平行線及角平分線的定義，等腰三角形的性質(zhì)．先利用平行線的性質(zhì)求出，再利用角平分線的定義和等邊對(duì)等角計(jì)算．【詳解】解：，，，平分，；，．故答案為：72．13．已知在二次函數(shù)中，函數(shù)值與自變量的部分對(duì)應(yīng)值如表：01238300則滿足方程的解是【答案】/【分析】本題考查了求拋物線解析式，一元二次方程的解，通過表格數(shù)據(jù)求出然后代入方程即可求解．【詳解】解：由表格可知拋物線經(jīng)過，拋物線解析式為：，將代入可得：，解得：，移項(xiàng)可得：因式分解可得：解得：．14．如圖，P為直徑上的一點(diǎn)，點(diǎn)M和N在上，且．若，，則．【答案】【分析】本題考查了垂徑定理，含30度的直角三角形三邊的關(guān)系和勾股定理．延長交于Q，作于H，連接，如圖，由，得到，利用圓的對(duì)稱性得到點(diǎn)M與點(diǎn)Q關(guān)于對(duì)稱，則，所以，在中利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到，則在中可勾股定理計(jì)算出，然后根據(jù)垂徑定理得到，，即可得到的值．【詳解】解：延長交于Q，作于H，連接，如圖，∵，而，∴，∴點(diǎn)M與點(diǎn)Q關(guān)于對(duì)稱，∴，∴，在中，∵，∴，在中，∵，，∴，∵，∴，∴，故答案為：．15．如圖1是一款重型訂書機(jī)，其結(jié)構(gòu)示意圖如圖2所示．其主體部分為矩形EFGH，由支撐桿CD垂直固定于底座AB上，且可以繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)．壓桿MN與伸縮片PG連接，點(diǎn)M在HG上，MN可繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)，PG⊥HG，DF＝8cm，GF＝2cm，不使用時(shí)，EF∥AB，G是PF中點(diǎn)，且點(diǎn)D在NM的延長線上，則MG＝cm，使用時(shí)如圖3，按壓MN使得MN∥AB，此時(shí)點(diǎn)F落在AB上，若CD＝2cm，則壓桿MN到底座AB的距離為cm．【答案】4【分析】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用，正確做出輔助線是解題的關(guān)鍵．如圖2，延長，則過點(diǎn)D，由三角形中位線定理可得的長度，如圖3，過點(diǎn)P作于K，可得在中，，知，故，可得，，由，得，即可得壓桿MN到底座AB的距離為．【詳解】解：如圖2，延長，則過點(diǎn)D，四邊形是矩形，，即，是中點(diǎn)，是的中位線，，如圖3，過點(diǎn)P作于K，，，，，，在中，，知，即，，解得，，，，得，解得，∴壓桿MN到底座AB的距離為，故答案為：4，．16．由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成的大正方形如圖所示．將小正方形對(duì)角線雙向延長，分別交邊，和邊的延長線于點(diǎn)G，H．若大正方形與小正方形的面積之比為5，，則大正方形的邊長為．【答案】3【分析】設(shè)小正方形在線段上的一個(gè)頂點(diǎn)為M，與相交于點(diǎn)P，由大正方形與小正方形的面積之比為5，可推出，設(shè)，，則，利用勾股定理和多項(xiàng)式的因式分解推出；延長交于點(diǎn)N，利用平行線分線段成比例定理可證N是的中點(diǎn)以及，設(shè)，則，證得，同理得，由此可推出；由，得，可求得與的長，最后由求出a的值即可．【詳解】解：設(shè)小正方形在線段上的一個(gè)頂點(diǎn)為M，與相交于點(diǎn)P，∵大正方形與小正方形的面積之比為5，∴，∴，設(shè)，，則，由勾股定理得：，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，延長交于點(diǎn)N，∵，，∴，∴，∵，∴，設(shè)，則，∵，，∴，，∵，∴，∴，同理可得：，∴，∴，∵，∴，即，∴，∵，即，∴，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，因式分解等知識(shí)，靈活運(yùn)用平行線分線段成比例定理和勾股定理求出線段之間的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．三、解答題（本大題共8個(gè)小題，共72分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．（6分）（1）計(jì)算：；（2）解不等式：．【答案】（1）；（2）【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算以及解一元一次不等式；（1）分別根據(jù)零指數(shù)冪的定義，絕對(duì)值的性質(zhì)以及二次根式的性質(zhì)，計(jì)算即可；（2）不等式去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，化系數(shù)為1即可．【詳解】（1）原式；（2），去括號(hào)，得，移項(xiàng)，得，合并同類項(xiàng)，得．18．（6分）小汪解答“解分式方程：”的過程如下，請(qǐng)指出他解答過程中錯(cuò)誤步驟的序號(hào)，并寫出正確的解答過程．解：去分母得：…①，去括號(hào)得：…②，移項(xiàng)得：…③，合并同類項(xiàng)得：…④，系數(shù)化為1得：…⑤，∴是原分式方程的解．【答案】錯(cuò)誤步驟的序號(hào)為①，解法見詳解．【分析】本題考查檢查解分式方程；錯(cuò)誤步驟的序號(hào)為①，解方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，，進(jìn)而解這個(gè)整式方程，最后檢驗(yàn)，即可求解．【詳解】解：錯(cuò)誤步驟的序號(hào)為①，去分母得：去括號(hào)得：移項(xiàng)得：…③，合并同類項(xiàng)得：…④，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，∴是原分式方程的解．19．（8分）某校初三年級(jí)開展了系列交通安全知識(shí)競賽，從中隨機(jī)抽取30名學(xué)生兩次知識(shí)競賽的成績（百分制），并對(duì)數(shù)據(jù)（成績）進(jìn)行收集、整理、描述和分析．下面給出了部分信息．a(chǎn)．這30名學(xué)生第一次競賽成績b．這30名學(xué)生兩次知識(shí)競賽的獲獎(jiǎng)情況統(tǒng)計(jì)表參與獎(jiǎng)優(yōu)秀獎(jiǎng)卓越獎(jiǎng)第一次競

賽人

數(shù)101010平均分828795第二次競

賽人

數(shù)21216平均分848793和第二次競賽成績得分情況統(tǒng)計(jì)圖：（規(guī)定：分?jǐn)?shù)，獲卓越獎(jiǎng)；分?jǐn)?shù)，獲優(yōu)秀獎(jiǎng)；分?jǐn)?shù)，獲參與獎(jiǎng)）c．第二次競賽獲卓越獎(jiǎng)的學(xué)生成績?nèi)缦拢?0

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98d．兩次競賽成績樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如表：平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)第一次競賽m87.588第二次競賽90n91根據(jù)以上信息，回答下列問題：(1)小松同學(xué)第一次競賽成績是89分，第二次競賽成績是91分，在圖中用“〇”圈出代表小松同學(xué)的點(diǎn)；(2)直接寫出m，n的值；(3)請(qǐng)判斷第幾次競賽中初三年級(jí)全體學(xué)生的成績水平較高，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)，(3)二，理由見解析【分析】本題考查統(tǒng)計(jì)圖分析，涉及中位數(shù)、加權(quán)平均數(shù)、眾數(shù)，（1）根據(jù)這30名學(xué)生第一次競賽成績和第二次競賽成績得分情況統(tǒng)計(jì)圖可得橫坐標(biāo)是89，縱坐標(biāo)是90的點(diǎn)即代表小松同學(xué)的點(diǎn)；（2）根據(jù)平均數(shù)和中位數(shù)的定義可得m和n的值；（3）根據(jù)平均數(shù)，眾數(shù)和中位數(shù)進(jìn)行決策即可．【詳解】（1）解：（1）如圖所示．（2），∵第二次競賽獲卓越獎(jiǎng)的學(xué)生有16人，成績從小到大排列為：90

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98，∴第一和第二個(gè)數(shù)是30名學(xué)生成績中第15和第16個(gè)數(shù)，∴，∴，；（3）可以推斷出第二次競賽中初三年級(jí)全體學(xué)生的成績水平較高，理由是：第二次競賽學(xué)生成績的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都高于第一次競賽．答：二，第二次競賽學(xué)生成績的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都高于第一次競賽．20．（8分）某校九年級(jí)學(xué)生在數(shù)學(xué)社團(tuán)課上進(jìn)行了項(xiàng)目化學(xué)習(xí)研究，某小組研究如下：【提出驅(qū)動(dòng)性問題】如何設(shè)計(jì)紙盒？【設(shè)計(jì)實(shí)踐任務(wù)】選擇“素材1”“素材2”設(shè)計(jì)了“任務(wù)1”“任務(wù)2”的實(shí)踐活動(dòng)．請(qǐng)你嘗試幫助他們解決相關(guān)問題．素材1利用一邊長為的正方形紙板可能設(shè)計(jì)成如圖所示的無蓋紙盒素材2如圖，若在正方形硬紙板的四角各剪掉一個(gè)同樣大小的小正方形，將剩余部分折成一個(gè)無蓋紙盒．【嘗試解決問題】任務(wù)1初步探究：折一個(gè)底面積為無蓋紙盒（1）求剪掉的小正方形的邊長為多少？任務(wù)2折成的無蓋紙盒的側(cè)面積是否有最大值？（2）如果有，求出這個(gè)最大值和此時(shí)剪掉的小正方形的邊長；如果沒有，說明理由．【答案】任務(wù)1：剪掉的正方形的邊長為．任務(wù)2：當(dāng)剪掉的正方形的邊長為時(shí)，長方形盒子的側(cè)面積最大為．【分析】此題主要考查了一元二次方程和二次函數(shù)的應(yīng)用，找到關(guān)鍵描述語，找到等量關(guān)系準(zhǔn)確地列出方程和函數(shù)關(guān)系式是解決問題的關(guān)鍵．任務(wù)1：假設(shè)剪掉的正方形的邊長為，根據(jù)長方形盒子的底面積為，得方程，解所列方程并檢驗(yàn)可得；任務(wù)2：側(cè)面積有最大值，設(shè)剪掉的正方形邊長為，盒子的側(cè)面積為，利用長方形盒子的側(cè)面積為：得出即可．【詳解】解：任務(wù)1：設(shè)剪掉的正方形的邊長為，則，即，解得（不合題意，舍去），，答：剪掉的正方形的邊長為．任務(wù)2：側(cè)面積有最大值．理由如下：設(shè)剪掉的小正方形的邊長為，盒子的側(cè)面積為，則與的函數(shù)關(guān)系為：，即，即，∴時(shí)，．即當(dāng)剪掉的正方形的邊長為時(shí)，長方形盒子的側(cè)面積最大為．21．（10分）為了保護(hù)小吉的視力，媽媽為他購買了可升降夾書閱讀架（如圖1），將其放置在水平桌面上的側(cè)面示意圖（如圖2），測(cè)得底座高為，支架為，面板長為為．（厚度忽略不計(jì)）(1)求支點(diǎn)離桌面的高度；（計(jì)算結(jié)果保留根號(hào)）(2)小吉通過查閱資料，當(dāng)面板繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，面板與桌面的夾角滿足時(shí)，能保護(hù)視力．當(dāng)從變化到的過程中，問面板上端離桌面的高度是增加了還是減少了？增加或減少了多少？（精確到，參考數(shù)據(jù)：，）【答案】(1)支點(diǎn)C離桌面l的高度；(2)面板上端E離桌面l的高度是增加了，增加了約【分析】（1）作，先在求出的長，再計(jì)算即可得答案；（2）分別求出時(shí)和時(shí)，的長，相減即可．【詳解】（1）解：如下圖，作，，，，，支點(diǎn)C離桌面l的高度；（2），，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，面板上端E離桌面l的高度是增加了，增加了約．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造直角三角形．22．（10分）正方形邊長為3，點(diǎn)E是上一點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)F．(1)如圖1，若，求的值；(2)如圖1，，若，求m的值．(3)如圖2，點(diǎn)G為上一點(diǎn)，且滿足，設(shè)，試探究y與x的函數(shù)關(guān)系．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，掌握相似三角形判定定理的內(nèi)容是解題關(guān)鍵．（1）證可得，結(jié)合即可求解；（2）由可得，進(jìn)一步可得，據(jù)此即可求解；（3）由（1）可得，證得即可求解．【詳解】（1）解：由題意得：∴∴即：解得：（2）解：∵，∴∴由（1）可得：∴∴∵，∴解得：（3）解：由（1）得：即：解得：∵，∴∴即：∴整理得：∵∴，又∴故：23．（12分）如圖1，E點(diǎn)為x軸正半軸上一點(diǎn)，交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于C、D兩點(diǎn)，P點(diǎn)為劣弧上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且、．(1)的度數(shù)為________；(2)如圖2，連結(jié)，取中點(diǎn)G，連結(jié)，則的最大值為________；(3)如圖3，連接、、、．若平分交于Q點(diǎn)，求的長；(4)如圖4，連接、，當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)（不與B、C兩點(diǎn)重合），求證：為定值，并求出這個(gè)定值．【答案】(1)120(2)2(3)(4)見解析，【分析】本題主要考查了垂徑定理在圓中的應(yīng)用，最后一問由“共頂點(diǎn)，等線段”聯(lián)想到旋轉(zhuǎn)，是此題的突破口，同時(shí)，要注意頂角為的等腰三角形腰和底邊比是固定值．（1）由已知得到垂直平分，故得到，證明為等邊三角形即可得到答案；（2）由于直徑，根據(jù)垂徑定理可以得到是的中點(diǎn)，要求最大值即求最大值，當(dāng)為直徑時(shí)，有最大值，即可得到答案；（3）根據(jù)垂徑定理得到，證明，由（1）得，即可得到答案；（4）將繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，得到，證明，過A作于G，則，根據(jù)勾股定理證明．【詳解】（1）解：連接，，、，，，，，，，，的度數(shù)為；（2）解：由題可知，為直徑，且，由垂徑定理可得，，連接，是的中點(diǎn)，，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，此時(shí)取得最大值，且，的最大值為；（3）解：連接，，，