2016年高考-全國二卷-文科數(shù)學-(原題+解析)

2016年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(課標全國卷Ⅱ)文數(shù)本卷滿分150分,考試時間120分鐘.第Ⅰ卷(選擇題,共60分)一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.已知集合A={1,2,3},B={x|x2<9},則A∩B=()A.{-2,-1,0,1,2,3} B.{-2,-1,0,1,2} C.{1,2,3} D.{1,2}2.設復數(shù)z滿足z+i=3-i,則z=()A.-1+2i B.1-2i C.3+2i D.3-2i3.函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的部分圖象如圖所示,則()A.y=2sin2x-π6 C.y=2sinx+π6 4.體積為8的正方體的頂點都在同一球面上,則該球的表面積為()A.12π B.323π C.8π 5.設F為拋物線C:y2=4x的焦點,曲線y=kx(k>0)與C交于點P,PF⊥x軸,則k=(A.12 B.1 C.32 6.圓x2+y2-2x-8y+13=0的圓心到直線ax+y-1=0的距離為1,則a=()A.-43 B.-34 C.3 7.下圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖,則該幾何體的表面積為()A.20π B.24π C.28π D.32π8.某路口人行橫道的信號燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn),紅燈持續(xù)時間為40秒.若一名行人來到該路口遇到紅燈,則至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為()A.710 B.58 C.38 9.中國古代有計算多項式值的秦九韶算法,下圖是實現(xiàn)該算法的程序框圖.執(zhí)行該程序框圖,若輸入的x=2,n=2,依次輸入的a為2,2,5,則輸出的s=()A.7 B.12 C.17 D.3410.下列函數(shù)中,其定義域和值域分別與函數(shù)y=10lgx的定義域和值域相同的是()A.y=x B.y=lgx C.y=2x D.y=111.函數(shù)f(x)=cos2x+6cosπ2-x的最大值為A.4 B.5 C.6 D.712.已知函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(x)=f(2-x),若函數(shù)y=|x2-2x-3|與y=f(x)圖象的交點為(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),則∑i=1mA.0 B.m C.2m D.4m第Ⅱ卷(非選擇題,共90分)本卷包括必考題和選考題兩部分.第13~21題為必考題,每個試題考生都必須作答.第22~24題為選考題,考生根據(jù)要求作答.二、填空題:本題共4小題,每小題5分.13.已知向量a=(m,4),b=(3,-2),且a∥b,則m=.

14.若x,y滿足約束條件x-y+1≥015.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若cosA=45,cosC=513,a=1,則b=16.有三張卡片,分別寫有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一張卡片,甲看了乙的卡片后說:“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”,乙看了丙的卡片后說:“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”,丙說:“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”,則甲的卡片上的數(shù)字是.

三、解答題:解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.(本小題滿分12分)等差數(shù)列{an}中,a3+a4=4,a5+a7=6.(Ⅰ)求{an}的通項公式;(Ⅱ)設bn=[an],求數(shù)列{bn}的前10項和,其中[x]表示不超過x的最大整數(shù),如[0.9]=0,[2.6]=2.18.(本小題滿分12分)某險種的基本保費為a(單位:元),繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人,續(xù)保人本年度的保費與其上年度出險次數(shù)的關聯(lián)如下:上年度出險次數(shù)01234≥5保費0.85aa1.25a1.5a1.75a2a隨機調(diào)查了該險種的200名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險情況,得到如下統(tǒng)計表:出險次數(shù)01234≥5頻數(shù)605030302010(Ⅰ)記A為事件:“一續(xù)保人本年度的保費不高于基本保費”.求P(A)的估計值;(Ⅱ)記B為事件:“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費但不高于基本保費的160%”.求P(B)的估計值;(Ⅲ)求續(xù)保人本年度平均保費的估計值.19.(本小題滿分12分)如圖,菱形ABCD的對角線AC與BD交于點O,點E,F分別在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于點H.將△DEF沿EF折到△D'EF的位置.(Ⅰ)證明:AC⊥HD';(Ⅱ)若AB=5,AC=6,AE=54,OD'=22,求五棱錐D'-ABCFE的體積20.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=(x+1)lnx-a(x-1).(Ⅰ)當a=4時,求曲線y=f(x)在(1,f(1))處的切線方程;(Ⅱ)若當x∈(1,+∞)時,f(x)>0,求a的取值范圍.21.(本小題滿分12分)已知A是橢圓E:x24+y23=1的左頂點,斜率為k(k>0)的直線交E于A,M兩點,點N在E(Ⅰ)當|AM|=|AN|時,求△AMN的面積;(Ⅱ)當2|AM|=|AN|時,證明:3<k<2.請考生在第22~24題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題計分.22.(本小題滿分10分)選修4—1:幾何證明選講如圖,在正方形ABCD中,E,G分別在邊DA,DC上(不與端點重合),且DE=DG,過D點作DF⊥CE,垂足為F.(Ⅰ)證明:B,C,G,F四點共圓;(Ⅱ)若AB=1,E為DA的中點,求四邊形BCGF的面積.23.(本小題滿分10分)選修4—4:坐標系與參數(shù)方程在直角坐標系xOy中,圓C的方程為(x+6)2+y2=25.(Ⅰ)以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,求C的極坐標方程;(Ⅱ)直線l的參數(shù)方程是x=tcosα,y=tsinα(t為參數(shù)),l與C24.(本小題滿分10分)選修4—5:不等式選講已知函數(shù)f(x)=x-12+x+1(Ⅰ)求M;(Ⅱ)證明:當a,b∈M時,|a+b|<|1+ab|.

2016年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(課標全國卷Ⅱ)一、選擇題1.D由已知得B={x|-3<x<3},∵A={1,2,3},∴A∩B={1,2},故選D.2.Cz=3-2i,所以z=3+2i,故選C.3.A由題圖可知A=2,T2=π3--π6=π2,則T=π,所以ω=2,則y=2sin(2x+φ),因為題圖經(jīng)過點π3,2,所以2sin2×π3+φ=2,所以2π3+φ=2kπ+π2,k∈Z,即φ=2kπ-π4.A設正方體的棱長為a,則a3=8,解得a=2.設球的半徑為R,則2R=3a,即R=3,所以球的表面積S=4πR2=12π.故選A.5.D由題意得點P的坐標為(1,2).把點P的坐標代入y=kx(k>0)得k=1×2=2,故選6.A由圓的方程可知圓心為(1,4).由點到直線的距離公式可得|a×1+4-1|a易錯警示圓心的坐標容易誤寫為(-1,-4)或(2,8).7.C由三視圖知圓錐的高為23,底面半徑為2,則圓錐的母線長為4,所以圓錐的側(cè)面積為12×4π×4=8π.圓柱的底面積為圓柱的側(cè)面積為4×4π=16π,從而該幾何體的表面積為8π+16π+4π=28π,故選C.8.B行人在紅燈亮起的25秒內(nèi)到達該路口,即滿足至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈,根據(jù)幾何概型的概率公式知所求事件的概率P=2540=58,9.C執(zhí)行程序框圖,輸入a為2時,s=0×2+2=2,k=1,此時k>2不成立;再輸入a為2時,s=2×2+2=6,k=2,此時k>2不成立;再輸入a為5,s=6×2+5=17,k=3,此時k>2成立,結(jié)束循環(huán),輸出s為17,故選C.10.D函數(shù)y=10lgx的定義域、值域均為(0,+∞),而y=x,y=2x的定義域均為R,排除A,C;y=lgx的值域為R,排除B,故選D.易錯警示利用對數(shù)恒等式將函數(shù)y=10lgx變?yōu)閥=x,將其值域認為是R是失分的主要原因.11.Bf(x)=1-2sin2x+6sinx=-2sinx-322+112,當sinx=1時,思路分析利用二倍角余弦公式及誘導公式將f(x)=cos2x+6cosπ2-x轉(zhuǎn)化為關于sinx的二次函數(shù),通過配方來求最值,注意不要忘記sin12.B由題意可知f(x)的圖象關于直線x=1對稱,而y=|x2-2x-3|=|(x-1)2-4|的圖象也關于直線x=1對稱,所以兩個圖象的交點關于直線x=1對稱,且每對關于直線x=1對稱的交點的橫坐標之和為2,所以∑i=1mxi疑難突破關于直線x=1對稱的兩點橫坐標之和為2,由題意得出f(x)與y=|x2-2x-3|的圖象均關于直線x=1對稱是解題的關鍵.二、填空題13.答案-6解析因為a∥b,所以m3=4-2,易錯警示容易把兩個向量平行與垂直的條件混淆.14.答案-5解析由約束條件畫出可行域,如圖中陰影部分所示(包括邊界).當直線x-2y-z=0過點B(3,4)時,z取得最小值,zmin=3-2×4=-5.15.答案2113解析由cosC=513,0<C<π,得sinC=1213由cosA=45,0<A<π,得sinA=3所以sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA=6365根據(jù)正弦定理得b=asinBsin16.答案1和3解析丙的卡片上的數(shù)字之和不是5,則丙有兩種情況:①丙的卡片上的數(shù)字為1和2,此時乙的卡片上的數(shù)字為2和3,甲的卡片上的數(shù)字為1和3,滿足題意;②丙的卡片上的數(shù)字為1和3,此時乙的卡片上的數(shù)字為2和3,甲的卡片上的數(shù)字為1和2,這時甲與乙的卡片上有相同的數(shù)字2,與已知矛盾,故情況②不符合,所以甲的卡片上的數(shù)字為1和3.疑難突破先對丙分類討論,確定出丙卡片上的數(shù)字情況再確定乙、甲是解決問題的關鍵.三、解答題17.解析(Ⅰ)設數(shù)列{an}的公差為d,由題意有2a1+5d=4,a1+5d=3.解得a1=1,d=25.(3分所以{an}的通項公式為an=2n+35(Ⅱ)由(Ⅰ)知,bn=2n+35當n=1,2,3時,1≤2n+35當n=4,5時,2≤2n+35當n=6,7,8時,3≤2n+35當n=9,10時,4≤2n+35<5,bn所以數(shù)列{bn}的前10項和為1×3+2×2+3×3+4×2=24.(12分)疑難突破充分挖掘[x]的意義,進而將{bn}的表達式類比分段函數(shù)給出,從而求出數(shù)列{bn}的前10項和.18.解析(Ⅰ)事件A發(fā)生當且僅當一年內(nèi)出險次數(shù)小于2.由所給數(shù)據(jù)知,一年內(nèi)出險次數(shù)小于2的頻率為60+50200故P(A)的估計值為0.55.(3分)(Ⅱ)事件B發(fā)生當且僅當一年內(nèi)出險次數(shù)大于1且小于4.由所給數(shù)據(jù)知,一年內(nèi)出險次數(shù)大于1且小于4的頻率為30+30200故P(B)的估計值為0.3.(6分)(Ⅲ)由所給數(shù)據(jù)得保費0.85aa1.25a1.5a1.75a2a頻率0.300.250.150.150.100.05(10分)調(diào)查的200名續(xù)保人的平均保費為0.85a×0.30+a×0.25+1.25a×0.15+1.5a×0.15+1.75a×0.10+2a×0.05=1.1925a.因此,續(xù)保人本年度平均保費的估計值為1.1925a.(12分)19.解析(Ⅰ)證明:由已知得AC⊥BD,AD=CD.又由AE=CF得AEAD=CFCD,故AC∥EF.(2由此得EF⊥HD,EF⊥HD',所以AC⊥HD'.(4分)(Ⅱ)由EF∥AC得OHDO=AEAD=14由AB=5,AC=6得DO=BO=AB所以OH=1,D'H=DH=3.于是OD'2+OH2=(22)2+12=9=D'H2,故OD'⊥OH.由(Ⅰ)知AC⊥HD',又AC⊥BD,BD∩HD'=H,所以AC⊥平面BHD',于是AC⊥OD'.又由OD'⊥OH,AC∩OH=O,所以OD'⊥平面ABC.(8分)又由EFAC=DHDO得EF=五邊形ABCFE的面積S=12×6×8-12×92×3=69所以五棱錐D'-ABCFE的體積V=13×694×22=23220.解析(Ⅰ)f(x)的定義域為(0,+∞).當a=4時,f(x)=(x+1)lnx-4(x-1),f'(x)=lnx+1x-3,f'(1)=-2,f(1)=0.曲線y=f(x)在(1,f(1))處的切線方程為2x+y-2=0.(3分)(Ⅱ)當x∈(1,+∞)時,f(x)>0等價于lnx-a(x-設g(x)=lnx-a(xg'(x)=1x-2a(x+1(i)當a≤2,x∈(1,+∞)時,x2+2(1-a)x+1≥x2-2x+1>0,故g'(x)>0,g(x)在(1,+∞)單調(diào)遞增,因此g(x)>0;(8分)(ii)當a>2時,令g'(x)=0得x1=a-1-(a-1)2-1由x2>1和x1x2=1得x1<1,故當x∈(1,x2)時,g'(x)<0,g(x)在(1,x2)單調(diào)遞減,因此g(x)<0.(11分)綜上,a的取值范圍是(-∞,2].(12分)21.解析(Ⅰ)設M(x1,y1),則由題意知y1>0.由已知及橢圓的對稱性知,直線AM的傾斜角為π4又A(-2,0),因此直線AM的方程為y=x+2.(2分)將x=y-2代入x24+y23=1解得y=0或y=127,所以y1=12因此△AMN的面積S△AMN=2×12×127×127=144(Ⅱ)將直線AM的方程y=k(x+2)(k>0)代入x24+y(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0.由x1·(-2)=16k2-123+4k故|AM|=|x1+2|1+k2=由題設,直線AN的方程為y=-1k故同理可得|AN|=12k1+k由2|AM|=|AN|得23+4k2=k3k2+4,即設f(t)=4t3-6t2+3t-8,則k是f(t)的零點,f'(t)=12t2-12t+3=3(2t-1)2≥0,所以f(t)在(0,+∞)單調(diào)遞增.又f(3)=153-26<0,f(2)=6>0,因此f(t)在(0,+∞)有唯一的零點,且零點k在(3,2)內(nèi),所以3<k<2.(12分)22.解析(Ⅰ)證明:因為DF⊥EC,所以△DEF∽△CDF,則有∠GDF=∠DEF=∠FCB,DFCF=DECD=所以△DGF∽△CBF,由此可得∠DGF=