機(jī)械工程圖學(xué)-基本立體的投影

內(nèi)容提要：本章主要介紹基本立體在三面投影體系中的投影特性、作圖方法及其表面上點(diǎn)、線的投影，并進(jìn)一步介紹平面與基本立體相交形成的截交線的性質(zhì)和作圖方法。3.1概述3.2基本平面立體的投影3.3基本回轉(zhuǎn)體的投影3基本立體的投影

3基本立體的投影工程中實(shí)際使用的工程形體，不論其形狀和結(jié)構(gòu)如何復(fù)雜，一般都可以看成是由一些簡(jiǎn)單的幾何形體按照不同的方式組合而成的，這些形狀規(guī)則、簡(jiǎn)單的幾何形體可稱為基本立體?；玖Ⅲw是構(gòu)成工程形體的基本要素，也是繪圖、讀圖時(shí)進(jìn)行形體分析的基本單元。3.1.1基本立體的分類3.1.2截交的基本概念

3.1概述3.1概述常見的基本立體平面立體回轉(zhuǎn)體柱、錐、臺(tái)、球等幾何體是組成機(jī)件的基本立體。所有表面均為平面的立體稱為平面立體，如棱柱、棱錐、棱臺(tái)等。部分或全部表面為曲面的立體，稱為曲面立體。機(jī)械工程中所用的曲面立體，絕大部分都是回轉(zhuǎn)體，如圓柱、圓錐、圓球等。3.1.1基本立體的分類

3.1概述—3.1.1基本立體的分類

（a）正三棱柱（e）正四棱錐圖3-1基本平面立體1.基本平面立體（c）正五棱柱（b）正四棱柱（d）正六棱柱（f）四棱臺(tái)

3.1概述—3.1.1基本立體的分類圖3-2回轉(zhuǎn)體的形成動(dòng)線AB稱為母線。母線在回轉(zhuǎn)面上的任意位置稱為素線。母線上任意一點(diǎn)的軌跡都是圓，稱為緯圓。比相鄰緯圓都大的圓稱為赤道圓。比相鄰緯圓都小的圓稱為喉圓。2.回轉(zhuǎn)體的形成定線OO稱為回轉(zhuǎn)軸線。

3.1概述—3.1.1基本立體的分類

3.1概述—3.1.1基本立體的分類3.基本回轉(zhuǎn)體

圖3-3基本回轉(zhuǎn)體

3.1概述—3.1.1基本立體的分類平面與立體相交（用平面截切立體）稱為截交，該平面稱為截平面，截平面與立體表面形成的交線稱為截交線，由截交線圍成的平面圖形稱為截?cái)嗝妫珊?jiǎn)稱截面或斷面）。3.1.2截交的基本概念圖3-4截交的基本概念

3.1概述—3.1.2截交的基本概念

3.1概述—3.1.2截交的基本概念

（1）共有性：截交線既在截平面上，又在立體表面上，因此，截交線一定是截平面與立體表面的共有線，截交線上的點(diǎn)一定是截平面與立體表面的共有點(diǎn)。（2）封閉性：?jiǎn)蝹€(gè)截平面與立體表面形成的截交線一定是封閉的平面圖形。截交線的性質(zhì)：

3.1概述—3.1.2截交的基本概念

3.2基本平面立體的投影3.2.1棱柱的投影3.2.2棱錐的投影1.棱柱的三面投影圖3.平面與棱柱相交2.棱柱表面上點(diǎn)和線的投影1.棱錐（棱臺(tái)）的三面投影圖3.平面與棱錐相交2.棱錐表面上點(diǎn)和線的投影

3.2基本平面立體的投影1.棱柱的三面投影（1）正六棱柱的三面投影①上、下底面水平投影重合并反映實(shí)形，正面及側(cè)面投影積聚為兩條相互平行的直線。

②前、后兩個(gè)棱面為正平面，正面投影反映實(shí)形，水平投影及側(cè)面投影積聚為一直線。

③其他四個(gè)棱面均為鉛垂面，其水平投影均積聚為直線，正面投影和側(cè)面投影均為類似形。

投影特性：3.2.1棱柱的投影

3.2基本平面立體的投影—3.2.1棱柱的投影

正六棱柱投影的作圖步驟：先畫各投影的中心線、對(duì)稱線，再畫正六棱柱的水平投影正六邊形（特征投影），最后根據(jù)投影規(guī)律畫出其他兩個(gè)投影。

3.2基本平面立體的投影—3.2.1棱柱的投影

圖3-5正六棱柱的三面投影

3.2基本平面立體的投影—3.2.1棱柱的投影

①畫基準(zhǔn)線②畫“特征投影（正六邊形）④檢查、整理、加深圖線，完成作圖③畫其他投影（2）正五棱柱的三面投影圖3-6正五棱柱的三面投影先畫前前

3.2基本平面立體的投影—3.2.1棱柱的投影

判別棱柱投影輪廓線的可見性時(shí)應(yīng)注意：（1）投影圖中所有的外形輪廓線均為可見；不可見不可見不可見可見可見（2）兩相交表面的交線，若有一個(gè)表面可見，則交線可見，若兩個(gè)表面均為不可見，則交線為不可見，應(yīng)畫成虛線。

3.2基本平面立體的投影—3.2.1棱柱的投影

2.棱柱表面上點(diǎn)和線的投影點(diǎn)的投影的可見性：若點(diǎn)所在表面的投影為可見（不可見），則點(diǎn)的投影也為可見（不可見）；若點(diǎn)所在表面（或棱線）的投影有積聚性，則認(rèn)為點(diǎn)在具有積聚性的表面（或棱線）上的投影均為可見。已知立體表面上點(diǎn)的一個(gè)投影求其他兩個(gè)投影的問(wèn)題，稱為立體的表面取點(diǎn)。求作基本平面立體表面上的點(diǎn)和線的三面投影，實(shí)際上就是求平面上點(diǎn)和線的投影，歸根結(jié)底是求平面上點(diǎn)的投影問(wèn)題。

3.2基本平面立體的投影—3.2.1棱柱的投影

【例3-1】已知正六棱柱表面上點(diǎn)A、B、C、D的一個(gè)投影，試求作其另外兩個(gè)投影。（a）題圖圖3-7正六棱柱表面上點(diǎn)的投影

3.2基本平面立體的投影—3.2.1棱柱的投影

（a）題圖圖3-7正六棱柱表面上點(diǎn)的投影（續(xù)）（b）A、B點(diǎn)的作圖結(jié)果（c）C、D點(diǎn)的作圖結(jié)果A點(diǎn)在左棱線上B點(diǎn)在前棱面上為什么D點(diǎn)不在右后棱面上？C點(diǎn)在頂面上為什么B點(diǎn)不在后棱面上？D點(diǎn)在左后棱面上

3.2基本平面立體的投影—3.2.1棱柱的投影

本節(jié)課的重點(diǎn)：棱柱的三面投影圖及表面上點(diǎn)和線的投影。本節(jié)課的難點(diǎn)：棱柱表面上點(diǎn)和線的投影。什么樣的立體稱為平面立體？常見的基本平面立體有哪幾種？什么樣的棱柱稱為直棱柱？什么樣的棱柱稱為正棱柱？所有表面都是平面的立體稱為平面立體。棱柱，其次是棱錐（棱臺(tái)）。

側(cè)棱垂直于底面的棱柱稱為直棱柱，其底面是特征面，若底面為正多邊形，則稱為正棱柱。

3.2基本平面立體的投影—3.2.1棱柱的投影

試說(shuō)明回轉(zhuǎn)體上的母線、素線、緯圓、赤道圓、喉圓的含義。什么樣的立體稱為回轉(zhuǎn)體？常見的基本回轉(zhuǎn)體有哪幾種？由回轉(zhuǎn)曲面（簡(jiǎn)稱回轉(zhuǎn)面）或由回轉(zhuǎn)曲面與平面構(gòu)成的立體稱為回轉(zhuǎn)體。主要是圓柱，其次是圓錐和圓球。動(dòng)線AB稱為母線母線在回轉(zhuǎn)面上的任意位置稱為素線母線上任意一點(diǎn)的軌跡都是圓稱為緯圓比相鄰緯圓都大的圓稱為赤道圓比相鄰緯圓都小的圓稱為喉圓

3.2基本平面立體的投影—3.2.1棱柱的投影

以正六棱柱為例，簡(jiǎn)述其棱線、側(cè)面、底面的投影特性和畫棱柱三面投影圖的步驟。求作正棱柱表面上點(diǎn)的投影時(shí)，要利用其側(cè)面的什么投影特性進(jìn)行作圖？截交線有哪些性質(zhì)共有性、封閉性畫正六棱柱三面投影的作圖步驟為：①畫基準(zhǔn)線；②先畫“特征投影”，再畫其他投影；③檢查、整理圖面，并按規(guī)定線型加深圖線。積聚性

試說(shuō)明截交和截交線的含義。平面與立體相交（即用平面截切立體）稱為截交，該平面稱為截平面，截平面與立體表面形成的交線稱為截交線。

3.2基本平面立體的投影—3.2.1棱柱的投影

作業(yè)《機(jī)械工程圖學(xué)基礎(chǔ)教程習(xí)題集》

P19、

P20

3.2基本平面立體的投影—3.2.1棱柱的投影

3.2基本平面立體的投影—3.2.1棱柱的投影

3.2基本平面立體的投影—3.2.1棱柱的投影

3.平面與棱柱相交當(dāng)截平面與平面立體的底面相交時(shí)，還要求出底面與截平面的交線，最后還應(yīng)補(bǔ)齊立體的輪廓線。（2）求出各棱線與截平面的交點(diǎn)，依次連接各個(gè)交點(diǎn)，并判斷各個(gè)投影的可見性。（1）求出各側(cè)面與截平面的交線，并判斷交線各個(gè)投影的可見性?？蓺w結(jié)為求兩平面的交線和求直線與平面交點(diǎn)的問(wèn)題，有以下兩種相應(yīng)的方法:3.2.1棱柱的投影

3.2基本平面立體的投影—3.2.1棱柱的投影

圖3-8求作正六棱柱被正垂面截切后的投影

【例3-2】如圖3-8（a）所示，已知正六棱柱被正垂面P截切（斜截）后的正面投影和水平投影，試求作其側(cè)面投影。

截平面P與正六棱柱的六個(gè)側(cè)面和六條棱線均相交，因此，只要求出六條棱線與截平面P的六個(gè)交點(diǎn)，這些交點(diǎn)的連線（六邊形）即為截交線。

六個(gè)交點(diǎn)的正面投影和水平投影為已知，只需求出其側(cè)面投影即可。

3.2基本平面立體的投影—3.2.1棱柱的投影

（a）題圖圖3-8求作正六棱柱被正垂面截切后的投影（續(xù)）

（1）畫出完整正六棱柱的側(cè)面投影。（2）給六個(gè)交點(diǎn)的正面投影和水平投影編號(hào)，求出各點(diǎn)的側(cè)面投影1″、2″、3″、4″、5″、6″，并按順序連接。（3）確定各棱線的側(cè)面投影，并判別可見性（右棱線的側(cè)面投影為不可見）。（4）檢查、整理、加深、補(bǔ)畫棱線。

3.2基本平面立體的投影—3.2.1棱柱的投影

。圖3-8求作正六棱柱被正垂面截切后的投影（續(xù)）

3.2基本平面立體的投影—3.2.1棱柱的投影

。試求作正六棱柱被正垂面P截切（截切部分頂面）后的側(cè)面投影。作圖方法及步驟:（1）求棱線與截平面

的共有點(diǎn)（2）連線（3）根據(jù)可見性補(bǔ)畫輪廓線1?2?1?2?2?2?2?7?7?5?6?5?6?12345673?4?3?4?

3.2基本平面立體的投影—3.2.1棱柱的投影

【例3-3】如圖3-9（a）所示，試求作正五棱柱被正平面P和側(cè)垂面Q截切后的三面投影圖。圖3-9求作正五棱柱被正平面和側(cè)垂面截切后的投影（a）題圖

當(dāng)立體被兩個(gè)或兩個(gè)以上的截平面截切時(shí)，不僅要求出每個(gè)截平面與立體的截交線，而且還要求出截平面之間的交線。

3.2基本平面立體的投影—3.2.1棱柱的投影

圖3-9求作正五棱柱被正平面和側(cè)垂面截切后的投影（續(xù)）

（b）作圖步驟

（1）標(biāo)出截交線上各點(diǎn)的側(cè)面投影a″、b″、c″、d″、e″、g″、f

″。（2）求出各點(diǎn)的水平投影和正面投影。（3）按順序連線，得到截平面P和Q截交線的正面投影；連接b′、g′，得到截P、Q交線BG的正面投影。（4）檢查、整理、加深、補(bǔ)畫棱線。

3.2基本平面立體的投影—3.2.1棱柱的投影

圖3-9求作正五棱柱被正平面和側(cè)垂面截切后的投影（續(xù)）

3.2基本平面立體的投影—3.2.1棱柱的投影

本節(jié)課的重點(diǎn)：平面與棱柱相交。本節(jié)課的難點(diǎn)：平面與棱柱相交的截交線的求法。簡(jiǎn)述求作平面與基本平面立體（棱柱）截交線的方法和步驟。具體的方法有以下兩種，可根據(jù)平面立體的形狀以及截平面與立體的相對(duì)位置等具體情況靈活選用。（1）求出各側(cè)面與截平面的交線，并判斷交線各個(gè)投影的可見性。（2）求出各棱線與截平面的交點(diǎn)，依次連接各個(gè)交點(diǎn)，并判斷各個(gè)投影的可見性。當(dāng)截平面與平面立體的底面相交時(shí)，還要求出底面與截平面的交線，最后還應(yīng)補(bǔ)齊立體的輪廓線。如果有兩個(gè)及以上的截平面，還要畫出截平面之間的交線。

3.2基本平面立體的投影—3.2.1棱柱的投影

作業(yè)《機(jī)械工程圖學(xué)基礎(chǔ)教程習(xí)題集》

P24～

P27課堂練習(xí)P21～

P23

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3.2基本平面立體的投影—3.2.1棱柱的投影

課堂練習(xí)

3.2基本平面立體的投影—3.2.1棱柱的投影

3.2基本平面立體的投影—3.2.1棱柱的投影

3.2基本平面立體的投影—3.2.1棱柱的投影

3.2基本平面立體的投影—3.2.1棱柱的投影

3.2基本平面立體的投影—3.2.1棱柱的投影

1.棱錐（棱臺(tái)）的三面投影圖（1）正三棱錐的三面投影投影特性：3.2.2棱錐的投影

①底面△ABC的水平投影為△abc，反映實(shí)形，其他兩個(gè)投影積聚為直線;

②后側(cè)面△SAC的側(cè)面投影積聚為直線，其他兩個(gè)投影為類似形;

③側(cè)面△SAB和△SBC的三個(gè)投影均為類似形。

3.2基本平面立體的投影—3.2.2棱錐的投影（a）正三棱錐的立體圖

3.2基本平面立體的投影①畫出棱錐底面的俯視圖、主視圖、左視圖。②作出錐頂S的三個(gè)投影。③將S點(diǎn)與底面三角形的端點(diǎn)A、B、C的同面投影連線。abcb'c'b''(c'')a''ss's''a'正三棱錐的作圖步驟：

3.2基本平面立體的投影—3.2.2棱錐的投影（2）其他正棱錐的三面投影圖圖3-11其他正棱錐的三面投影注意放置的位置對(duì)投影的影響。

3.2基本平面立體的投影—3.2.2棱錐的投影畫正四棱錐三面投影圖的方法和步驟。

3.2基本平面立體的投影—3.2.2棱錐的投影（3）一般三棱錐的三面投影圖圖3-12一般三棱錐的三面投影

與正三棱錐一樣，也是首先畫出三棱錐底面△ABC的三個(gè)投影，再畫出錐頂S的三個(gè)投影，然后連接SA、SB、SC各棱線即可。

3.2基本平面立體的投影—3.2.2棱錐的投影（4）棱臺(tái)的三面投影

3.2基本平面立體的投影—3.2.2棱錐的投影

3.2基本平面立體的投影—3.2.2棱錐的投影圖3-13四棱臺(tái)的三面投影畫棱臺(tái)三面投影的步驟2.棱錐表面上點(diǎn)和線的投影

【例3-4】已知正三棱錐表面上點(diǎn)M的正面投影m′，試求作其水平投影和側(cè)面投影。圖3-14棱錐表面上點(diǎn)的投影

3.2基本平面立體的投影—3.2.2棱錐的投影

一般位置表面上點(diǎn)的投影，可先在平面上過(guò)點(diǎn)的已知投影作輔助線，然后利用點(diǎn)從屬于線的關(guān)系，求作其他兩個(gè)投影。特殊位置表面上點(diǎn)的投影可利用平面的積聚性作圖。先作線、后求點(diǎn)

與圓柱類比

還有別的作輔助線的方法嗎？

3.2基本平面立體的投影—3.2.2棱錐的投影圖3-14棱錐表面上點(diǎn)的投影（續(xù)）過(guò)點(diǎn)M作底邊AB的平行線作為輔助線。即過(guò)m′作平行于a′b′的直線。圖3-14棱錐表面上點(diǎn)的投影（續(xù)）

3.2基本平面立體的投影—3.2.2棱錐的投影方法二常用，方法一少用、方法三基本不用。三種方法的比較：過(guò)錐頂和已知點(diǎn)作輔助線過(guò)已知點(diǎn)作任意的輔助線m''m'm（1）SAB面是一般位置平面。（2）SAC面是側(cè)垂面。

N點(diǎn)的投影如何畫？

SB線是一般位置直線嗎？nM

3.2基本平面立體的投影—3.2.2棱錐的投影

【例】求作三棱錐的三條棱線SA、SB、SC上的點(diǎn)D、E、F的另二面投影。a)題圖空間分析：

3.2基本平面立體的投影—3.2.2棱錐的投影解題過(guò)程（b）作點(diǎn)D、E、F的投影（c）運(yùn)用定比性求點(diǎn)E的投影

3.2基本平面立體的投影—3.2.2棱錐的投影

【例3-5】已知正三棱錐表面上直線KL的正面投影k′l′，試求作其水平投影和側(cè)面投影。圖3-15棱錐表面上線的投影

3.2基本平面立體的投影—3.2.2棱錐的投影分別求出兩個(gè)端點(diǎn)K、L的投影、判斷可見性并連接即可。3.平面與棱錐相交

【例3-6】試完成三棱錐被水平面截切后的投影。圖3-16求三棱錐被水平面截切后的投影

3.2基本平面立體的投影—3.2.2棱錐的投影求出各棱線與截平面交點(diǎn)的投影并順次連接即可。圖3-16求三棱錐被水平面截切后的投影（續(xù)）

3.2基本平面立體的投影—3.2.2棱錐的投影求四棱錐被截切后的三面投影。3

2

1

(4

)1

●2

●4

●3

●1●2●4●★空間問(wèn)題分析交線的形狀？3●★投影分析★求截交線★分析補(bǔ)畫棱線的投影★檢查尤其注意檢查截交線投影的類似性截平面與立體的幾個(gè)棱面相交？截交線在水平、側(cè)面投影上的形狀？

3.2基本平面立體的投影—3.2.2棱錐的投影我們采用的是哪種解題方法？棱線法！

3.2基本平面立體的投影—3.2.2棱錐的投影

【例3-7】試完成三棱錐被兩個(gè)平面截切后的投影。圖3-17求三棱錐被兩個(gè)平面截切后的投影

3.2基本平面立體的投影—3.2.2棱錐的投影分析

三棱柱被一個(gè)水平面和一個(gè)正垂面截切，但都只切割了部分三棱錐。

（1）分別求出每個(gè)截平面與立體的截交線，再求出截平面與截平面之間的交線。（2）可采用“擴(kuò)大截平面”的方法，先求出一個(gè)截平面將立體全部截切的投影，再留取截平面實(shí)際范圍內(nèi)的投影。圖3-17求三棱柱被兩個(gè)平面截切后的