機(jī)械工程圖學(xué)-投影理論的基礎(chǔ)知識(shí)

內(nèi)容提要：本章主要介紹正投影法及其投影特性，三面投影圖的形成及其投影規(guī)律，求作點(diǎn)、直線(xiàn)和平面的三面投影的相關(guān)知識(shí)和方法，此外，還簡(jiǎn)要介紹了軸測(cè)圖及其他投影圖的基礎(chǔ)知識(shí)。2.1投影法2投影理論的基礎(chǔ)知識(shí)2.2三投影面體系2.3點(diǎn)、直線(xiàn)和平面的投影2.4軸測(cè)圖及其他投影圖簡(jiǎn)介

2投影理論的基礎(chǔ)知識(shí)

光源投影面光線(xiàn)物體影子投射中心S投射線(xiàn)投影面形體圖2-1投影法（b）形體的投影（中心投影法）投影(圖)（a）物體的影子（自然界）2.1投影法2.1.1投影法及其分類(lèi)

2.1投影法—2.1.1投影法及其分類(lèi)

投影法的分類(lèi)

2.1投影法—2.1.1投影法及其分類(lèi)

圖2-2投影法分類(lèi)表1.中心投影法

投射線(xiàn)匯交于一點(diǎn)的投影法（投射中心位于有限遠(yuǎn)處）稱(chēng)為中心投影法。采用中心投影法繪制的投影圖，立體感較強(qiáng)，但可度量性較差。2.平行投影法

投射線(xiàn)相互平行的投影法（投射中心位于無(wú)限遠(yuǎn)處）稱(chēng)為平行投影法。投射中心S投射線(xiàn)投影面形體中心投影法投影(圖)

2.1投影法—2.1.1投影法及其分類(lèi)

形體投影面投射方向投射線(xiàn)投影(圖)投射方向形體投影面投射線(xiàn)投影(圖)（a）斜投影法（b）正投影法圖2-3平行投影法投影法中心投影法平行投影法斜投影法（投射線(xiàn)傾斜于投影面）正投影法（投射線(xiàn)垂直于投影面）利用中心投影法和斜投影法都只能得到單面投影圖，而利用正投影法既能得到單面正投影圖（正軸測(cè)圖和標(biāo)高圖），又能得到多面正投影圖。

2.1投影法—2.1.1投影法及其分類(lèi)

投影形成的三要素

形體、投射方向（或投射中心）、投影面。投影（圖）形成的三要素：投射中心S投射線(xiàn)投影面形體投影(圖)投射方向形體投影面投射線(xiàn)投影(圖)正投影（圖）形成的要素需要幾個(gè)？

2.1投影法—2.1.1投影法及其分類(lèi)

2.1.2正投影法的投影特性

2.1投影法—2.1.2正投影法的投影特性

其表2-1

正投影法的投影特性

類(lèi)似形：與原平面圖形類(lèi)似，保持定比性不變，即邊數(shù)相等，凹凸、曲直狀態(tài)相同，平行關(guān)系不變。

空間的點(diǎn)、直線(xiàn)、面用大寫(xiě)字母表示，其投影用相應(yīng)的小寫(xiě)字母表示。表2-1

正投影法的投影特性（續(xù)）

2.1投影法—2.1.2正投影法的投影特性

平行投影法只具有“平行性”、“從屬性”和“定比性”。2.2三面投影體系

2.2三面投影體系單面正投影無(wú)法完整地表示空間形體。

將空間形體用正投影法投射到多個(gè)互相垂直的投影面上，可得到多面正投影（圖）。

圖2-4分角

第一角投影（第一角畫(huà)法）

第三角投影（第三角畫(huà)法）

由三個(gè)互相垂直的平面組成的投影面體系稱(chēng)為三面投影體系。XOZ面：稱(chēng)為正投影面，也稱(chēng)V面。XOY面：稱(chēng)為水平投影面，也稱(chēng)H面。

YOZ面：稱(chēng)為側(cè)投影面，也稱(chēng)W面。（a）三面投影體系的立體圖（b）三面投影體系的展開(kāi)圖（c）三面投影體系展開(kāi)去掉投影面邊框

2.2三面投影體系—2.2.1三面投影體系的建立

2.2.1三面投影體系的建立圖2-5三面投影體系的建立三面投影圖的形成2.2.2三面投影圖的形成及投影規(guī)律

2.2三面投影體系—2.2.2三面投影圖的形成及投影規(guī)律

（a）三面投影圖的立體圖（b）三面投影圖的展開(kāi)圖（c）三面投影圖V面投影：即從前往后投射，在V面上所得的投影，反映長(zhǎng)和高（x、z）；H面投影：即從上往下投射，在H面上所得的投影，反映長(zhǎng)和寬（x、y）；W面投影：即從左往右投射，在W面上所得的投影，反映寬和高（y、z）。

2.2三面投影體系—2.2.2三面投影圖的形成及投影規(guī)律

1.三面投影圖的形成

展開(kāi)

去掉投影軸圖2-6三面投影圖的形成及投影規(guī)律三面投影圖的投影規(guī)律：（d）坐標(biāo)及方位（e）三面投影圖的方位（f）投影規(guī)律正面投影與水平投影都表示形體的長(zhǎng)（即具有相同的x坐標(biāo)），稱(chēng)為長(zhǎng)對(duì)正；正面投影與側(cè)面投影都表示形體的高（即具有相同的z坐標(biāo)），稱(chēng)為高平齊；水平投影與側(cè)面投影都表示形體的寬（即具有相同的y坐標(biāo)），稱(chēng)為寬相等。左右左右長(zhǎng)對(duì)正xxyyzz下上下上高平齊后前后前寬相等

2.2三面投影體系—2.2.2三面投影圖的形成及投影規(guī)律

2.三面投影圖的投影規(guī)律是工程圖學(xué)中最基本的原理！圖2-6三面投影圖的形成及投影規(guī)律（續(xù)）作立體的三面投影圖舉例（a）立體圖（b）三面投影圖

2.2三面投影體系—2.2.2三面投影圖的形成及投影規(guī)律

。本節(jié)課的重點(diǎn)：正投影法的投影特性；三面投影圖的投影規(guī)律（長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等）。本節(jié)課的難點(diǎn)：

正確判斷三面投影圖中的左右、上下、前后方位。

2.2三面投影體系—2.2.2三面投影圖的形成及投影規(guī)律

形成投影的三要素是哪三個(gè)？在正投影法中哪兩個(gè)要素合并成了一個(gè)？在正投影法中，由于投射方向垂直于投影面，這兩個(gè)投影形成的要素就合并成了一個(gè)。

形體、投射方向和投影面是投影形成的三要素。簡(jiǎn)述平行投影法和正投影法的投影特性。工程圖樣主要采用什么投影法？

2.2三面投影體系—2.2.2三面投影圖的形成及投影規(guī)律

平行投影法:“平行性”、“從屬性”、“定比性”。

平行性：空間相互平行的直線(xiàn)（平面），其投影（積聚性投影）一定相互平行。

從屬性：直線(xiàn)（平面）或曲線(xiàn)上點(diǎn)（點(diǎn)、線(xiàn)）的投影必在該直線(xiàn)（平面）或曲線(xiàn)的投影上。

定比性：點(diǎn)分直線(xiàn)的比（空間兩平行直線(xiàn)長(zhǎng)度的比），投影后保持不變。簡(jiǎn)述平行投影法和正投影法的投影特性。工程圖樣主要采用什么投影法？

2.2三面投影體系—2.2.2三面投影圖的形成及投影規(guī)律

正投影法：還有“實(shí)形性”、“積聚性”、“類(lèi)似性”。正投影法

實(shí)形性：直線(xiàn)（平面圖形）平行于投影面，其投影反映直線(xiàn)的實(shí)長(zhǎng)（反映平面圖形的實(shí)形）。

積聚性：直線(xiàn)、平面、柱面垂直于投影面，則其投影分別積聚為點(diǎn)、直線(xiàn)、曲線(xiàn)。

類(lèi)似性：當(dāng)直線(xiàn)、平面傾斜于投影面時(shí)，直線(xiàn)投影的長(zhǎng)度縮短；平面的投影為平面圖形的類(lèi)似形（投影圖，與原平面圖形保持定比性不變，表現(xiàn)為邊數(shù)相等，凸凹、曲直狀態(tài)相同，平行關(guān)系不變）。

2.2三面投影體系—2.2.2三面投影圖的形成及投影規(guī)律

什么叫分角？什么叫第一角畫(huà)法？

簡(jiǎn)述三面投影體系中三個(gè)投影面的名稱(chēng)和將其展開(kāi)到一個(gè)平面上的方法。用水平和鉛垂的兩投影面將空間分成的四個(gè)區(qū)域，并按順序編號(hào)，稱(chēng)為分角。將物體置于第一分角內(nèi)，即物體處于觀(guān)察者與投影面之間進(jìn)行投射，然后按規(guī)定展開(kāi)投影面，稱(chēng)為第一角投影，也稱(chēng)為第一角畫(huà)法（簡(jiǎn)稱(chēng)E法）。正投影面（V面）、水平投影面（H面）、側(cè)投影面（W面）。

V面保持不動(dòng)，使H面繞OX軸向下旋轉(zhuǎn)90°，W面繞OZ軸向右旋轉(zhuǎn)90°。

2.2三面投影體系—2.2.2三面投影圖的形成及投影規(guī)律

正面投影與水平投影都表示形體的長(zhǎng)（即具有相同的X坐標(biāo)），稱(chēng)為“長(zhǎng)對(duì)正”；

投影規(guī)律：長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等（簡(jiǎn)稱(chēng)“三等規(guī)律”）。

正面投影與側(cè)面投影都表示形體的高（即具有相同的Z坐標(biāo)），稱(chēng)為“高平齊”；簡(jiǎn)述三面投影圖的形成、名稱(chēng)及投影規(guī)律。

形成：將空間形體置于三面投影體系中并向三個(gè)投影面投射，就可以得到形體的三面投影圖。

名稱(chēng)：形體在V面上的投影（圖）稱(chēng)為正面（V面）投影，在H面上的投影（圖）稱(chēng)為水平（H面）投影，在W面上的投影（圖）稱(chēng)為側(cè)面（W面）投影。

水平投影與側(cè)面投影都表示形體的寬（即具有相同的Y坐標(biāo)），稱(chēng)為“寬相等”。

2.2三面投影體系—2.2.2三面投影圖的形成及投影規(guī)律

不畫(huà)投影軸和45°斜線(xiàn)。在實(shí)際的三面投影圖中畫(huà)不畫(huà)投影軸和45°斜線(xiàn)？為什么？三面投影圖與三根投影軸之間的距離只是表示形體與三個(gè)投影面之間的距離，而改變形體與三個(gè)投影面之間的距離，并不會(huì)影響三個(gè)投影圖的形狀、大小及其相互之間的投影關(guān)系。

45°斜線(xiàn)是為了畫(huà)Y坐標(biāo)即保證“寬相等”、便于初學(xué)者作圖而設(shè)置的，待作圖熟練后即可用直尺或分規(guī)直接量取。

2.2三面投影體系—2.2.2三面投影圖的形成及投影規(guī)律

左右左右長(zhǎng)對(duì)正xxyyzz下上下上高平齊后前后前寬相等在哪兩個(gè)投影圖中可以表示空間形體的“前、后”方位？圖中的哪一邊表示“前”？在水平投影圖與側(cè)面投影圖可以表示空間形體的“前、后”方位；水平投影圖中的下邊、側(cè)面投影圖的右邊表示“前”。作業(yè)《機(jī)械工程圖學(xué)基礎(chǔ)教程習(xí)題集》

P7、

P8

2.2三面投影體系—2.2.2三面投影圖的形成及投影規(guī)律

。作業(yè)《機(jī)械工程圖學(xué)基礎(chǔ)教程習(xí)題集》

P7、

P8

2.2三面投影體系—2.2.2三面投影圖的形成及投影規(guī)律

。作業(yè)《機(jī)械工程圖學(xué)基礎(chǔ)教程習(xí)題集》

P7、

P8

2.2三面投影體系—2.2.2三面投影圖的形成及投影規(guī)律

1.點(diǎn)的三面投影WVHOXZYHaxaza

ayayaa″YWXVAYOWZaaYaZaXa″a′H

2.3點(diǎn)、直線(xiàn)和平面的投影—2.3.1點(diǎn)的投影2.3點(diǎn)、直線(xiàn)和平面的投影2.3.1點(diǎn)的投影

空間點(diǎn)的位置，可由直角坐標(biāo)值來(lái)確定，一般采用以下的書(shū)寫(xiě)形式：A(x、y、z)。x、y、z即為點(diǎn)到各投影面的距離。

空間的點(diǎn)用大寫(xiě)字母表示，如Α；其投影用相應(yīng)的小寫(xiě)字母表示，如a表示點(diǎn)A的水平（H）投影;a′表示點(diǎn)A的正面（V）投影;a″表示點(diǎn)A的側(cè)面（W）投影。

2.3點(diǎn)、直線(xiàn)和平面的投影—2.3.1點(diǎn)的投影圖2-7點(diǎn)的三面投影XVYOWZaaYaZaXa″a′HZAYAXAA

Aa′=aax=a

az=ay0=yA——A點(diǎn)到V面的距離

Aa=a

ax=a

ay=az0=zA——A點(diǎn)到H面的距離

Aa″=aay=a

az=ax0=xA——A點(diǎn)到W面的距離

2.點(diǎn)的投影規(guī)律（1）點(diǎn)的各投影連線(xiàn)分別垂直于相應(yīng)的投影軸。

（2）點(diǎn)的每一個(gè)投影到投影軸的距離，均反映空間點(diǎn)到相鄰?fù)队懊娴木嚯x。

2.3點(diǎn)、直線(xiàn)和平面的投影—2.3.1點(diǎn)的投影即a′a

⊥OX，

a′a″⊥OZ，

aaYH⊥OYH，a″aYW⊥OYW

2.3點(diǎn)、直線(xiàn)和平面的投影—2.3.1點(diǎn)的投影

【例2-1】根據(jù)空間點(diǎn)C的兩個(gè)投影c′，c″，試求作其水平投影c。（a）題圖（b）作圖過(guò)程

圖2-8作點(diǎn)的投影圖3．投影面和投影軸上的點(diǎn)的投影

點(diǎn)的一個(gè)坐標(biāo)為零，則點(diǎn)在投影面上，如圖中的A點(diǎn)在V面上，B點(diǎn)在H

面上。

點(diǎn)的兩個(gè)坐標(biāo)為零，則點(diǎn)在投影軸上，如圖中的C點(diǎn)在OX軸上。

2.3點(diǎn)、直線(xiàn)和平面的投影—2.3.1點(diǎn)的投影

圖2-9投影面和投影軸上的點(diǎn)的投影

2.3點(diǎn)、直線(xiàn)和平面的投影—2.3.1點(diǎn)的投影

2.3點(diǎn)、直線(xiàn)和平面的投影—2.3.1點(diǎn)的投影

【例2-2】如圖2-10所示，根據(jù)空間點(diǎn)A、B、C、D的兩個(gè)投影，試求其第三面投影。

2.3點(diǎn)、直線(xiàn)和平面的投影—2.3.1點(diǎn)的投影圖2-10根據(jù)點(diǎn)的兩面投影求其第三面投影4．兩點(diǎn)的相對(duì)位置

兩點(diǎn)在空間具有上下、前后、左右的位置關(guān)系。判斷方法：X坐標(biāo)大的在左；Y坐標(biāo)大的在前；Z坐標(biāo)大的在上。

2.3點(diǎn)、直線(xiàn)和平面的投影—2.3.1點(diǎn)的投影圖2-11兩點(diǎn)的相對(duì)位置

（1）b′在a′之左（b在a之左），說(shuō)明B點(diǎn)在A點(diǎn)之左。（2）b′在a′之下（b″在a″之下），說(shuō)明B點(diǎn)在A點(diǎn)之下。

（3）b″在a″之前（b在a之前），說(shuō)明B點(diǎn)在A點(diǎn)之前。

2.3點(diǎn)、直線(xiàn)和平面的投影—2.3.1點(diǎn)的投影圖2-11兩點(diǎn)的相對(duì)位置5.重影點(diǎn)當(dāng)空間兩點(diǎn)位于某投影面的同一條投射線(xiàn)上（即某兩個(gè)坐標(biāo)相同）時(shí)，這兩點(diǎn)在該投影面上的投影就重合成一點(diǎn)，稱(chēng)為對(duì)該投影面的重影點(diǎn)。

2.3點(diǎn)、直線(xiàn)和平面的投影—2.3.1點(diǎn)的投影本節(jié)課的重點(diǎn)：點(diǎn)的投影規(guī)律、相對(duì)位置

。

本節(jié)課的難點(diǎn)：重影點(diǎn)的判定

。

2.3點(diǎn)、直線(xiàn)和平面的投影—2.3.1點(diǎn)的投影若空間的點(diǎn)用某個(gè)大寫(xiě)字母表示，則其三個(gè)投影分別用什么符號(hào)表示？簡(jiǎn)述點(diǎn)的投影規(guī)律。

（1）點(diǎn)的各投影連線(xiàn)分別垂直于相應(yīng)的投影軸，即

a′a⊥OX，a′a″⊥OZ，aaYH⊥OYH，a″aYW⊥OYW若空間的點(diǎn)用大寫(xiě)字母A、B、C、……表示，則其水平投影用a、b、c、……表示；正面投影用a′、b′、c′、……表示；側(cè)面投影用a″、b″、c″、……表示

。（2）點(diǎn)的每一個(gè)投影到投影軸的距離，均反映空間點(diǎn)到相鄰?fù)队懊娴木嚯x。

2.3點(diǎn)、直線(xiàn)和平面的投影—2.3.1點(diǎn)的投影

（c）對(duì)于空間的A、B兩點(diǎn)，若xA＞xB、yA＜yB、zA

＜zB，則A點(diǎn)在B點(diǎn)對(duì)V面的重影點(diǎn)的哪兩個(gè)坐標(biāo)相同？若A、B兩點(diǎn)的W面投影為b″（a″），則A點(diǎn)在B點(diǎn)的哪一方？?jī)牲c(diǎn)位于V面的同一條投射線(xiàn)上，X坐標(biāo)和Z坐標(biāo)分別相同（xA=

xB，zA=

zB），只有Y坐標(biāo)不同。

（a）之左、前、下。（b）之右、后、上。（c）之左、后、下。（d）之右、前、上。A點(diǎn)在B點(diǎn)的右方。作業(yè)《機(jī)械工程圖學(xué)基礎(chǔ)教程習(xí)題集》P9

2.3點(diǎn)、直線(xiàn)和平面的投影—2.3.1點(diǎn)的投影

2.3點(diǎn)、直線(xiàn)和平面的投影—2.3.1點(diǎn)的投影2.3.2直線(xiàn)的投影

2.3點(diǎn)、直線(xiàn)和平面的投影—2.3.2直線(xiàn)的投影（a）兩個(gè)端點(diǎn)的投影圖只要能作出直線(xiàn)上任意兩個(gè)不重合的點(diǎn)（通常是直線(xiàn)的兩個(gè)端點(diǎn)）的三面投影，那么連接兩點(diǎn)的同面投影，就可得到直線(xiàn)的三面投影。（b）直線(xiàn)的投影圖圖2-12直線(xiàn)的投影投影面傾斜線(xiàn)與三個(gè)投影面都傾斜的直線(xiàn)對(duì)H面的傾角α

對(duì)V面的傾角β

對(duì)W面的傾角γ投影面平行線(xiàn)平行于某一投影面而與其余兩投影面傾斜投影面垂直線(xiàn)側(cè)平線(xiàn)（平行于Ｗ面）水平線(xiàn)（平行于Ｈ面）正垂線(xiàn)（垂直于Ｖ面）側(cè)垂線(xiàn)（垂直于Ｗ面）垂直于某一投影面而與其余兩投影面平行正平線(xiàn)（平行于Ｖ面）鉛垂線(xiàn)（垂直于Ｈ面）特殊位置直線(xiàn)1.各種位置直線(xiàn)的投影特性

2.3點(diǎn)、直線(xiàn)和平面的投影—2.3.2直線(xiàn)的投影

2.3點(diǎn)、直線(xiàn)和平面的投影—2.3.2直線(xiàn)的投影直線(xiàn)與投影面傾斜的程度，可用直線(xiàn)與投影面之間的傾角表示。圖2-13直線(xiàn)的投影及直線(xiàn)與投影面的夾角對(duì)H面的傾角α

對(duì)V面的傾角β

對(duì)W面的傾角γ若直線(xiàn)平行（垂直）于投影面，則傾角為0°（90°）。只平行于某一投影面的直線(xiàn)。（1）投影面平行線(xiàn)正平線(xiàn)實(shí)長(zhǎng)水平線(xiàn)實(shí)長(zhǎng)側(cè)平線(xiàn)實(shí)長(zhǎng)水平線(xiàn)側(cè)平線(xiàn)正平線(xiàn)

2.3點(diǎn)、直線(xiàn)和平面的投影—2.3.2直線(xiàn)的投影圖2-14投影面平行線(xiàn)投影面平行線(xiàn)的投影特性：

（1）在所平行的投影面上，投影反映實(shí)長(zhǎng)。（投影與投影軸之間的夾角表示直線(xiàn)與另外兩個(gè)投影面之間的實(shí)際傾角）

（2）在另外兩個(gè)投影面上，投影均平行于相應(yīng)的投影軸，呈水平或鉛垂?fàn)顟B(tài)。正平線(xiàn)實(shí)長(zhǎng)水平線(xiàn)實(shí)長(zhǎng)側(cè)平線(xiàn)實(shí)長(zhǎng)可簡(jiǎn)單地記為一實(shí)長(zhǎng)、二平行。

2.3點(diǎn)、直線(xiàn)和平面的投影—2.3.2直線(xiàn)的投影

2.3點(diǎn)、直線(xiàn)和平面的投影—2.3.2直線(xiàn)的投影

2.3點(diǎn)、直線(xiàn)和平面的投影—2.3.2直線(xiàn)的投影（2）投影面垂直線(xiàn)垂直于一個(gè)投影面的直線(xiàn)。投影特性:

（1）在所垂直的投影面上，投影積聚成一點(diǎn)。如直線(xiàn)AB的水平面投影a（b）。

（2）在另外兩個(gè)投影面上，投影均垂直于相應(yīng)的投影軸，呈鉛垂或水平狀態(tài)，且反映實(shí)長(zhǎng)。如直線(xiàn)AB的正面投影a′b′⊥OX,側(cè)面投影a″b″⊥OY?！瘛瘛駛?cè)垂線(xiàn)正垂線(xiàn)鉛垂線(xiàn)一積聚、二垂直。必平行于另外兩個(gè)投影面。

2.3點(diǎn)、直線(xiàn)和平面的投影—2.3.2直線(xiàn)的投影圖2-15投影面垂直線(xiàn)

2.3點(diǎn)、直線(xiàn)和平面的投影—2.3.2直線(xiàn)的投影

2.3點(diǎn)、直線(xiàn)和平面的投影—2.3.2直線(xiàn)的投影Z

YHaOXabbaYWb

（2）三個(gè)投影的長(zhǎng)度都小于實(shí)長(zhǎng)。投影特性:HaγaAb

VBbWβa

b

ZXOY（3）投影面傾斜線(xiàn)與三個(gè)投影面都傾斜的直線(xiàn)。（1）三個(gè)投影都傾斜于投影軸。（3）投影與投影軸的夾角不反映直線(xiàn)與投影面的實(shí)際傾角。

2.3點(diǎn)、直線(xiàn)和平面的投影—2.3.2直線(xiàn)的投影也稱(chēng)為“一般位置直線(xiàn)”。（a）立體圖圖2-16投影面傾斜線(xiàn)（一般位置直線(xiàn)）

2.3點(diǎn)、直線(xiàn)和平面的投影—2.3.2直線(xiàn)的投影（b）投影圖

【例2-3】如圖2-17（a）、（c）所示，已知直線(xiàn)AB和CD的兩面投影，試求作第三面投影，并指出直線(xiàn)AB、CD各屬于哪一種位置的直線(xiàn)。（c）題圖（d）作圖結(jié)果（a）題圖（b）作圖結(jié)果

先求出a″和b″，連接a″、b″，即為直線(xiàn)AB的第三面投影。AB為正平線(xiàn)。

作出CD的側(cè)面投影c″（d″），由于c″（d″）積聚成一點(diǎn)，可知CD是側(cè)垂線(xiàn)。

2.3點(diǎn)、直線(xiàn)和平面的投影—2.3.2直線(xiàn)的投影圖2-17根據(jù)直線(xiàn)的兩面投影求其第三面投影2.投影面傾斜線(xiàn)的實(shí)長(zhǎng)及其對(duì)投影面的傾角直角三角形法

在直角三角形ABB0中，一條直角邊AB0=ab（直線(xiàn)的投影），

2.3點(diǎn)、直線(xiàn)和平面的投影—2.3.2直線(xiàn)的投影空間問(wèn)題分析斜邊AB即為其實(shí)長(zhǎng)，AB與AB0的夾角即為AB對(duì)H面的傾角α。

另一條直角邊BB0為兩端點(diǎn)A、B的Z坐標(biāo)之差（zB-

zA），【例2-4】試求投影面傾斜線(xiàn)AB的實(shí)長(zhǎng)和對(duì)H面的傾角α。

方法1：以水平投影為直角邊，過(guò)b（或a）作ab的垂線(xiàn)，在此垂線(xiàn)上量取bb0=zB-zA，則ab0即為投影面傾斜線(xiàn)AB的實(shí)長(zhǎng)，∠b0ab即為α角。

2.3點(diǎn)、直線(xiàn)和平面的投影—2.3.2直線(xiàn)的投影圖2-18求作投影面傾斜線(xiàn)的實(shí)長(zhǎng)及其對(duì)H面的傾角α方法2：過(guò)a′作OX軸的平行線(xiàn)與b′b

相交于b0′（b′b0′=zB-zA

），量取b0′a0′=ab，則b′a0′也是所求直線(xiàn)AB的實(shí)長(zhǎng)，∠b′a0′

b0′即為α角。

2.3點(diǎn)、直線(xiàn)和平面的投影—2.3.2直線(xiàn)的投影圖2-18求作投影面傾斜線(xiàn)的實(shí)長(zhǎng)及其對(duì)H面的傾角α

【例2-5】試求投影面傾斜線(xiàn)AB對(duì)V面、W面的傾角β、γ。

以正面投影為直角邊，過(guò)a′（或b′）作a′b′的垂線(xiàn)，在此垂線(xiàn)上量取a′a0′=

yA-

yB，則b′a0′即為投影面傾斜線(xiàn)AB的實(shí)長(zhǎng),∠a0′

b′a′即為β角。

2.3點(diǎn)、直線(xiàn)和平面的投影—2.3.2直線(xiàn)的投影圖2-19求作投影面傾斜線(xiàn)對(duì)V面、W面的傾角β、γ按照同樣的分析和作圖過(guò)程，還可求出AB對(duì)W面的傾角γ。

2.3點(diǎn)、直線(xiàn)和平面的投影—2.3.2直線(xiàn)的投影只要掌握了直角三角形各元素表示的空間關(guān)系，就能根據(jù)直線(xiàn)的實(shí)長(zhǎng)、傾角、投影長(zhǎng)度和端點(diǎn)的坐標(biāo)差這四個(gè)元素中的任意兩個(gè)已知元素，作出直角三角形，求出其余的兩個(gè)未知元素。由上述作圖過(guò)程可以總結(jié)出直角三角形法的作圖規(guī)律。利用直角三角形法，不僅可以由直線(xiàn)的已知投影求出其實(shí)長(zhǎng)和傾角，也可反過(guò)來(lái)運(yùn)用，由已知的直線(xiàn)的實(shí)長(zhǎng)或傾角求出其投影。

【例2-6】已知直線(xiàn)AB的水平投影ab和A點(diǎn)的正面投影a′，α角為30o，試求作直線(xiàn)的正面投影a′b′。

2.3點(diǎn)、直線(xiàn)和平面的投影—2.3.2直線(xiàn)的投影圖2-20求作直線(xiàn)AB的正面投影在H面投影中作直角三角形abb0，則直角邊bb0反映AB兩端點(diǎn)至H面的距離差，即Z坐標(biāo)之差，將其量到V面投影中，即可作出a′b1′（有兩個(gè)解，另一個(gè)為a′b2′）。

【例2-7】已知直線(xiàn)CD的水平投影cd

和實(shí)長(zhǎng)（22mm）以及C點(diǎn)的正面投影c′，試求作直線(xiàn)CD的正面投影。

2.3點(diǎn)、直線(xiàn)和平面的投影—2.3.2直線(xiàn)的投影圖2-21求作直線(xiàn)CD的正面投影作出直角三角形cdd0，其中斜邊cd0=22mm，直角邊dd0即為所求的Z坐標(biāo)之差，將其量到V面投影中，即可求得D點(diǎn)的正面投影d1′、d2′（有兩個(gè)解），從而作出直線(xiàn)CD的正面投影。3.直線(xiàn)上點(diǎn)的投影直線(xiàn)上點(diǎn)的投影特性即：AK:KB=ak:kb=a′k′:k′b′=a″k″:k″b″“從屬性”：直線(xiàn)上的點(diǎn)的三面投影，必在該直線(xiàn)的同面投影上?！岸ū刃浴保狐c(diǎn)分直線(xiàn)的比，投影后保持不變。

2.3點(diǎn)、直線(xiàn)和平面的投影—2.3.2直線(xiàn)的投影圖2-22直線(xiàn)上點(diǎn)的投影

點(diǎn)S的三面投影中，有一個(gè)（s″）不在直線(xiàn)AB的同名投影（a″b″）上，則點(diǎn)S肯定不在直線(xiàn)AB上。【例2-8】判斷點(diǎn)S是否在直線(xiàn)AB上。（a）題圖（b）判斷方法1（c）判斷方法2

2.3點(diǎn)、直線(xiàn)和平面的投影—2.3.2直線(xiàn)的投影用定比性作出第三面投影圖2-23判斷點(diǎn)S是否在直線(xiàn)AB上本節(jié)課的重點(diǎn)：各種位置直線(xiàn)的投影特性及作圖。

直線(xiàn)上點(diǎn)的投影特性及其判定與作圖。本節(jié)課的難點(diǎn)：

利用直線(xiàn)的投影求其實(shí)長(zhǎng)及真實(shí)傾角的直角三角形法。

2.3點(diǎn)、直線(xiàn)和平面的投影—2.3.2直線(xiàn)的投影

特殊位置直線(xiàn)有哪幾種？各有什么投影特性？一般位置直線(xiàn)又有什么投影特性？

1.投影面平行線(xiàn)：水平線(xiàn)、正平線(xiàn)、側(cè)平線(xiàn)在所平行的投影面上，投影反映實(shí)長(zhǎng)，投影與投影軸之間的夾角表示直線(xiàn)與另外兩個(gè)投影面之間的實(shí)際傾角；在另外兩個(gè)投影面上，投影均平行于相應(yīng)的投影軸。一實(shí)長(zhǎng)、二平行

2.3點(diǎn)、直線(xiàn)和平面的投影—2.3.2直線(xiàn)的投影特殊位置直線(xiàn)有哪幾種？各有什么投影特性？一般位置直線(xiàn)又有什么投影特性？

2.投影面垂直線(xiàn)：正垂線(xiàn)、鉛垂線(xiàn)、側(cè)垂線(xiàn)在所垂直的投影面上，投影積聚成一點(diǎn)；在另外兩個(gè)投影面上，投影均垂直于相應(yīng)的投影軸，且反映實(shí)長(zhǎng)。一積聚、二垂直一般位置直線(xiàn)又叫投影面傾斜線(xiàn)三個(gè)投影都傾斜于投影軸，其長(zhǎng)度均小于實(shí)長(zhǎng)；投影與投影軸的夾角不反映直線(xiàn)與投影面的實(shí)際傾角。三類(lèi)似

2.3點(diǎn)、直線(xiàn)和平面的投影—2.3.2直線(xiàn)的投影該直線(xiàn)是水平線(xiàn)，其側(cè)面投影應(yīng)該平行于OYW軸。若直線(xiàn)平行于某一投影面，則它在該投影面上的投影一直線(xiàn)的正面投影平行于OX軸，水平投影傾斜于OX軸，那么該直線(xiàn)是哪一種特殊位置直線(xiàn)？其側(cè)面投影應(yīng)該有什么特征？

a.反映實(shí)長(zhǎng)且平行于相應(yīng)的坐標(biāo)軸。

b.小于實(shí)長(zhǎng)且平行于相應(yīng)的坐標(biāo)軸。

c.反映實(shí)長(zhǎng)且傾斜于相應(yīng)的坐標(biāo)軸。

d.小于實(shí)長(zhǎng)且傾斜于相應(yīng)的坐標(biāo)軸。C.反映實(shí)長(zhǎng)且傾斜于相應(yīng)的坐標(biāo)軸。

2.3點(diǎn)、直線(xiàn)和平面的投影—2.3.2直線(xiàn)的投影（a）X坐標(biāo)差。（b）Y坐標(biāo)差。（c）Z坐標(biāo)差。（d）正面投影a′b′。已知一般位置直線(xiàn)AB的水平投影ab

和正面投影a′b′，用直角三角形法求其實(shí)長(zhǎng)時(shí)，（1）若以ab為一直角邊，則另一直角邊應(yīng)為端點(diǎn)A、B的（2）若以a′b′為一直角邊，則（可多選）

（a）另一直角邊為端點(diǎn)A、B的Y坐標(biāo)差。（b）X坐標(biāo)差。（c）斜邊為AB的實(shí)長(zhǎng)。（d）斜邊與a′b′的夾角為AB對(duì)V面的傾角β

。簡(jiǎn)述直線(xiàn)上點(diǎn)的投影特性。

（1）直線(xiàn)上的點(diǎn)的三面投影，必在該直線(xiàn)的同面投影上。（2）點(diǎn)分割直線(xiàn)成定比。（c）（d）（b）（a）作業(yè)《機(jī)械工程圖學(xué)基礎(chǔ)教程習(xí)題集》

P10

～P13

2.3點(diǎn)、直線(xiàn)和平面的投影—2.3.2直線(xiàn)的投影作業(yè)《機(jī)械工程圖學(xué)基礎(chǔ)教程習(xí)題集》

P10

～P13

2.3點(diǎn)、直線(xiàn)和平面的投影—2.3.2直線(xiàn)的投影作業(yè)《機(jī)械工程圖學(xué)基礎(chǔ)教程習(xí)題集》

P10

～P13

2.3點(diǎn)、直線(xiàn)和平面的投影—2.3.2直線(xiàn)的投影作業(yè)《機(jī)械工程圖學(xué)基礎(chǔ)教程習(xí)題集》

P10

～P13

2.3點(diǎn)、直線(xiàn)和平面的投影—2.3.2直線(xiàn)的投影

2.3點(diǎn)、直線(xiàn)和平面的投影—2.3.2直線(xiàn)的投影不在同一直線(xiàn)上的三點(diǎn)直線(xiàn)及線(xiàn)外一點(diǎn)abca

b

c

●●●●●●d●d

●平行兩直線(xiàn)abca

b

c

●●●●●●相交兩直線(xiàn)平面圖形c

●●●abca

b

●●●c●●●●●●aba

b

c

b●●●●●●aca

b

c

XXXXX用幾何要素表示平面2.3.3平面的投影

2.3點(diǎn)、直線(xiàn)和平面的投影—2.3.3平面的投影圖2-24平面的表示方法

正面跡線(xiàn)(V面跡線(xiàn)）PV：平面P與V面的交線(xiàn)

水平跡線(xiàn)(H面跡線(xiàn)）PH：平面P與H面的交線(xiàn)

側(cè)面跡線(xiàn)(W面跡線(xiàn)）PW：平面P與W面的交線(xiàn)用平面的跡線(xiàn)表示平面

WHVOpVXZYHYWpHpwpxpypzpyP

pH

pVpw平面與投影面的交線(xiàn)，稱(chēng)為平面的跡線(xiàn)。

2.3點(diǎn)、直線(xiàn)和平面的投影—2.3.3平面的投影對(duì)于一般位置的平面展開(kāi)用平面的跡線(xiàn)表示平面對(duì)于特殊位置的平面

2.3點(diǎn)、直線(xiàn)和平面的投影—2.3.3平面的投影（a）水平面（b）正垂面（c）鉛垂面圖2-24平面的表示方法（續(xù)）1.各種位置平面的投影特性垂直傾斜投影特性平面平行于投影面——投影即平面實(shí)形平面垂直于投影面——投影積聚成直線(xiàn)平面傾斜于投影面——投影類(lèi)似原平面實(shí)形性類(lèi)似性積聚性平面對(duì)一個(gè)投影面的投影特性平行

2.3點(diǎn)、直線(xiàn)和平面的投影—2.3.3平面的投影平面在三投影面體系中的投影特性平面對(duì)于三個(gè)投影面的位置可分為三類(lèi)：投影面垂直面

投影面平行面投影面傾斜面（一般位置平面）特殊位置平面垂直于某一投影面，傾斜于另兩個(gè)投影面平行于某一投影面，垂直于另兩個(gè)投影面與三個(gè)投影面都傾斜鉛垂面正垂面?zhèn)却姑嫠矫嬲矫鎮(zhèn)绕矫?/p>

2.3點(diǎn)、直線(xiàn)和平面的投影—2.3.3平面的投影（1）投影面垂直面

垂直于一個(gè)投影面而與其余兩個(gè)投影面皆?xún)A斜的平面。

2.3點(diǎn)、直線(xiàn)和平面的投影—2.3.3平面的投影

圖2-25投影面垂直面的立體圖

垂直于水平面的平面稱(chēng)為鉛垂面。XYYWYHOa(d)c(b)d’b’a’c’b”a”c”d”ABCDa(d)b(c)d’b’a’c’b”a”c”d”

鉛垂面

2.3點(diǎn)、直線(xiàn)和平面的投影—2.3.3平面的投影

垂直于正面的平面稱(chēng)為正垂面。

正垂面ABCDd’(a’)c’(d’)abcdc″b″d″a″X(qián)YYWYHOd′

(a′

)c′

(d′)abcdc″b″d″a″

2.3點(diǎn)、直線(xiàn)和平面的投影—2.3.3平面的投影ABCDabcdd′b′a′c′a″(b″)

d″(c″)

側(cè)垂面

垂直于側(cè)面的平面稱(chēng)為側(cè)垂面。XYYWYHOd″(c″)abcda″(b″)d′

b′a′

c′

2.3點(diǎn)、直線(xiàn)和平面的投影—2.3.3平面的投影c

c

投影面垂直面的投影特性abca

b

b

a

類(lèi)似性類(lèi)似性積聚性鉛垂面γβ投影特性：

在所垂直的投影面上的投影積聚成直線(xiàn)。該直線(xiàn)與投影軸的夾角就是平面與另外兩投影面的夾角。在另外兩個(gè)投影面上的投影為類(lèi)似形。（一積聚、二類(lèi)似）

2.3點(diǎn)、直線(xiàn)和平面的投影—2.3.3平面的投影投影面垂直面投影特性的小結(jié)

2.3點(diǎn)、直線(xiàn)和平面的投影—2.3.3平面的投影

一積聚、二類(lèi)似（2）投影面平行面

平行于一個(gè)投影面的平面。必然同時(shí)垂直于另外兩個(gè)投影面！

2.3點(diǎn)、直線(xiàn)和平面的投影—2.3.3平面的投影

圖2-26投影面平行面的立體圖

①水平投影反映平面的實(shí)形。②正面投影和側(cè)面投影積聚為一條與相應(yīng)軸平行的直線(xiàn)。平行于H

面的稱(chēng)為水平面，其投影特性為：水平面的投影特性

2.3點(diǎn)、直線(xiàn)和平面的投影—2.3.3平面的投影

①正面投影反映平面的實(shí)形。

②水平投影和側(cè)面投影積聚為一條與相應(yīng)軸平行的直線(xiàn)。正平面的投影平行于V面的稱(chēng)為正平面，其投影特性為：

2.3點(diǎn)、直線(xiàn)和平面的投影—2.3.3平面的投影①側(cè)面投影反映平面的實(shí)形。

②正面投影和水平投影積聚為一條與相應(yīng)軸平行的直線(xiàn)。側(cè)平面的投影特性平行于W面的稱(chēng)為側(cè)平面，其投影特性為：

2.3點(diǎn)、直線(xiàn)和平面的投影—2.3.3平面的投影a

b

c

a

b

c

abc積聚性積聚性實(shí)形性水平面投影特性：在它所平行的投影面上的投影反映實(shí)形。

另兩個(gè)投影面上的投影分別積聚成與相應(yīng)的投影軸平行的直線(xiàn)。投影面平行面的投影特性（一實(shí)形、二積聚）

2.3點(diǎn)、直線(xiàn)和平面的投影—2.3.3平面的投影投影面平行面投影特性的小結(jié)

2.3點(diǎn)、直線(xiàn)和平面的投影—2.3.3平面的投影

一實(shí)形、二積聚

對(duì)三個(gè)投影面都傾斜的平面稱(chēng)為投影面傾斜面。

投影面傾斜面的三個(gè)投影都是小于實(shí)形的類(lèi)似形，也不能反映該平面與投影面的夾角。（3）投影面傾斜面（一般位置平面）

2.3點(diǎn)、直線(xiàn)和平面的投影—2.3.3平面的投影圖2-27投影面傾斜面（一般位置平面）2.平面內(nèi)的直線(xiàn)和點(diǎn)的投影位于平面上的直線(xiàn)應(yīng)滿(mǎn)足的條件：（1）平面內(nèi)的直線(xiàn)的投影●●MNAB●M

若一直線(xiàn)過(guò)平面上的兩點(diǎn)，則此直線(xiàn)必在該平面內(nèi)。

若一直線(xiàn)過(guò)平面上的一點(diǎn)且平行于該平面上的另一直線(xiàn)，則此直線(xiàn)在該平面內(nèi)。

2.3點(diǎn)、直線(xiàn)和平面的投影—2.3.3平面的投影在已知平面△ABC內(nèi)求作任意一直線(xiàn)的方法：方法一是在直線(xiàn)AB上任取一點(diǎn)E（e、e′），在直線(xiàn)AC上任取一點(diǎn)F（f、f

′），連接E、F兩點(diǎn)的同面投影e、f和e′、f

′即可。

2.3點(diǎn)、直線(xiàn)和平面的投影—2.3.3平面的投影

方法二是先在直線(xiàn)AB上任取一點(diǎn)G（g、g′），再過(guò)點(diǎn)G作直線(xiàn)GH平行于已知直線(xiàn)BC（即gh∥bc、g′h′∥b′c′）即可。圖2-28在平面上取直線(xiàn)的方法（a）題圖（b）作圖過(guò)程及結(jié)果

【例2-9】試由△ABC的頂點(diǎn)A作出其中線(xiàn)AD的投影。先利用“定比性”在bc上作出中點(diǎn)d，并由d作投影連線(xiàn)求出d′；再連接同面投影即可。

2.3點(diǎn)、直線(xiàn)和平面的投影—2.3.3平面的投影圖2-29求作三角形中線(xiàn)的投影（2）平面內(nèi)的點(diǎn)的投影

先找出過(guò)此點(diǎn)且在平面內(nèi)的一條直線(xiàn)作為輔助線(xiàn)，然后再在該直線(xiàn)上確定點(diǎn)的位置?！纠恳阎c(diǎn)K在平面ABC上，試求其水平投影。baca

k

b

●①c

平面內(nèi)取點(diǎn)的方法：利用平面的積聚性求解通過(guò)在平面內(nèi)作輔助線(xiàn)求解首先在面上取線(xiàn)k●d

d②●abca

b

k

c

k●

2.3點(diǎn)、直線(xiàn)和平面的投影—2.3.3平面的投影

【例2-10】已知△ABC上點(diǎn)M的水平投影m，試求其正面投影m′。

先在H面投影中連接a、m并延長(zhǎng)交bc于d。再過(guò)d作投影連線(xiàn)求得d′，連接a′d′，則m′一定在a′d′上，過(guò)m作投影連線(xiàn)，與a′d′的交點(diǎn)即為點(diǎn)M的正面投影m′。

2.3點(diǎn)、直線(xiàn)和平面的投影—2.3.3平面的投影思路：先在平面內(nèi)作線(xiàn)，再在線(xiàn)上求點(diǎn)。圖2-30求平面內(nèi)點(diǎn)的投影圓平面的投影特性（1）圓平面為投影面平行面時(shí)，在所平行的投影面上的投影為圓，另外兩個(gè)投影分別積聚為直線(xiàn)，其長(zhǎng)度就等于圓的直徑。（一實(shí)形二積聚

）（2）圓平面為投影面垂直面時(shí)，在所垂直的投影面上的投影積聚成一直線(xiàn)，另外兩個(gè)投影均為橢圓，其長(zhǎng)軸均等于圓的直徑。（一積聚二類(lèi)似）（3）圓平面為一般位置平面時(shí)，其三個(gè)投影均為橢圓。（三類(lèi)似

）3.圓平面的投影

2.3點(diǎn)、直線(xiàn)和平面的投影—2.3.3平面的投影

【例2-11】

已知圓平面為鉛垂面，對(duì)V面的傾角為β，直徑為D，圓心O1的兩個(gè)投影為o1、o1′，試求作該圓平面的兩面投影。（a）立體圖

2.3點(diǎn)、直線(xiàn)和平面的投影—2.3.3平面的投影圖2-31圓平面的投影

過(guò)O1作長(zhǎng)度為D的直線(xiàn)ab與OX軸成β角，且O1位于ab的中點(diǎn)。作出橢圓，即為圓的正面投影。

先過(guò)O1′作長(zhǎng)度為直徑D的鉛垂線(xiàn)c′d′，再過(guò)O1′作水平線(xiàn)a′b′（=cosβ）；c′d′、a′b′即分別為橢圓的長(zhǎng)、短軸。

2.3點(diǎn)、直線(xiàn)和平面的投影—2.3.3平面的投影圖2-31圓平面的投影4.多邊形平面的投影多邊形由一些點(diǎn)和線(xiàn)（主要是直線(xiàn)）構(gòu)成，因此，作多邊形的投影圖，就要用到點(diǎn)、直線(xiàn)的投影特性以及在平面內(nèi)作點(diǎn)和直線(xiàn)的方法。

【例2-12】

如圖2-32所示，在平行四邊形平面ABCD上有一燕尾形缺口ⅠⅡⅢⅣ，已知其正面投影，試求作其水平投影。

2.3點(diǎn)、直線(xiàn)和平面的投影—2.3.3平面的投影圖2-32求平面上燕尾形缺口的水平投影圖2-32求平面上燕尾形缺口的水平投影由1′、4′可直接在ab上求出Ⅰ、Ⅳ兩點(diǎn)的水平投影1、4。延長(zhǎng)1′2′與c′d′相交于5′，求出5，連接1、5，再由2′求出2。過(guò)2作cd

的平行線(xiàn)，與從3′作的投影連線(xiàn)相交，可求得3。連接1、2、3、4，即得到燕尾形缺口的水平投影。

2.3點(diǎn)、直線(xiàn)和平面的投影—2.3.3平面的投影

【例2-13】

如圖2-33（a）所示，結(jié)合立體圖看懂三面投影圖，并完成以下內(nèi)容：（3）分析平面