北師大版年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)《同步考點(diǎn)解讀專題訓(xùn)練》(培優(yōu)特訓(xùn))專項(xiàng)3.1圖形的平移旋轉(zhuǎn)綜合運(yùn)用高分必刷(原卷版+解析)

培優(yōu)特訓(xùn)專項(xiàng)3.1圖形的平移旋轉(zhuǎn)綜合運(yùn)用高分必刷【考點(diǎn)1：圖形的平移】1．（2022春?海滄區(qū)校級(jí)期末）如圖，將直角三角形ABC沿AB方向平移得到直角三角形DEF．已知AD＝4，AE＝13，則DB長(zhǎng)為（）A．4 B．5 C．9 D．132．（2022春?上蔡縣期末）如圖，將三角形ABC沿BC方向平移3cm得到三角形DEF，若四邊形ABFD的周長(zhǎng)為20cm，則三角形ABC的周長(zhǎng)是（）A．14cm B．17cm C．1lcm D．8cm3．（2022春?孝南區(qū)期末）如圖，把△ABC沿AC方向平移得到△FDE，AF＝8，EC＝2，則平移的距離為（）A．3 B．4 C．5 D．64．（2021秋?任城區(qū)校級(jí)期末）如圖，∠C＝90°，將直角三角形ABC沿著射線BC方向平移5cm，得三角形A'B'C'，已知BC＝3cm，AC＝4cm，則陰影部分的周長(zhǎng)為（）A．16cm B．18cm C．20cm D．22cm5．（2021春?叢臺(tái)區(qū)校級(jí)期中）下列選項(xiàng)中的圖形，周長(zhǎng)最長(zhǎng)的是（）A． B． C． D．6．（2021春?方城縣期末）如圖所示，將直角三角形ABC（∠C＝90°）沿CB方向平移CF的長(zhǎng)度后，得到直角三角形DEF．已知DG＝4，CF＝6，AC＝10，則圖中陰影部分的面積是（）A．60 B．50 C．40 D．307．（2021春?廈門期末）如圖，將三角形ABC平移得到三角形DEF，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)D，則線段BC的對(duì)應(yīng)線段是（）A．EF B．DE C．BE D．CF8．（2022秋?東平縣校級(jí)期末）如圖，將線段AB平移到線段CD的位置，則a+b的值為（）A．4 B．0 C．3 D．﹣59．（2022秋?萊州市期末）如圖，△ABC的邊長(zhǎng)AB＝3cm，BC＝4cm，AC＝2cm，將△ABC沿BC方向平移acm（a＜4），得到△DEF，連接AD，則陰影部分的周長(zhǎng)為cm．10．（2021秋?芝罘區(qū)期末）如圖，已知△ABC的面積為12，將△ABC沿BC平移到△A'B'C'，使B'和C重合，連接AC'交A'C于D，則△C'DC的面積為11．（2022春?左權(quán)縣期中）如圖所示，直角三角形ABO的周長(zhǎng)為100，在其內(nèi)部的n個(gè)小直角三角形周長(zhǎng)之和為．12．（2022春?前郭縣月考）如圖，已知三角形ABC的面積為12，將三角形ABC沿BC平移到三角形A′B′C′，使B′和C重合，連接AC′交A′C于D，D是A′C的中點(diǎn)，則三角形C′DC的面積為．（2021春?龍湖區(qū)期末）如圖，將長(zhǎng)為5cm，寬為3cm的長(zhǎng)方形ABCD先向右平移2cm，再向下平移1cm，得到長(zhǎng)方形A'B'C'D'，則陰影部分的面積為cm2．14．（2021春?澧縣校級(jí)期末）大正方形的邊長(zhǎng)為4厘米，小正方形的邊長(zhǎng)為2厘米，起始狀態(tài)如圖所示，現(xiàn)把小正方形以1厘米/秒的速度向右沿直線平移，同時(shí)大正方形以1厘米/秒的速度向左沿直線平移，設(shè)平移的時(shí)間為t秒，兩個(gè)正方形重疊部分的面積為S平方厘米．當(dāng)S＝2時(shí)，平移的時(shí)間為秒．15．（2020春?叢臺(tái)區(qū)校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，AB＝4cm，BC＝3cm，AC＝3cm，將△ABC沿著與AB垂直的方向向上平移2cm，得到△FDE，則陰影部分的面積．16．（2020春?大石橋市期末）如圖所示，在長(zhǎng)為50m，寬為25m的草坪上修了一條恒為1m寬的彎曲小路，則余下草坪的面積為m2．17．（2020春?邗江區(qū)期末）如圖是某公園里一處矩形風(fēng)景欣賞區(qū)ABCD，長(zhǎng)AB＝50米，寬BC＝30米，為方便游人觀賞，公園特意修建了如圖所示的小路（圖中非陰影部分），小路的寬均為1米，那么小明沿著小路的中間出口A到出口B所走的路線（圖中虛線）長(zhǎng)為米．18．如圖，直線l上擺放著直角三角形紙板DCE，∠DCE＝90°，將三角板ECD沿直線l向左平移到圖中的三角板E'C'D'位置，P為EC與E'D'的交點(diǎn)．（1）求證：∠CPD'＝∠E；（2）E'C'＝8，C'C＝2，EP＝1.5，求陰影部分的面積．19．（2022春?海南期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠E＝55°，將△ABC沿AB方向向右平移得到△DEF．（1）求∠A的度數(shù)；（2）若AE＝8cm，DB＝2cm，請(qǐng)求出AD的長(zhǎng)度．20．（2021秋?薩爾圖區(qū)校級(jí)期末）某酒店在重新裝修后，準(zhǔn)備在大廳的主樓梯上鋪設(shè)某種紅色地毯，已知這種地毯每平方米的售價(jià)為40元，主樓梯道寬為3米，其側(cè)面如圖所示；鋪設(shè)梯子的紅地毯至少需要多長(zhǎng)？花費(fèi)至少多少元？21．（2022春?彌勒市校級(jí)月考）如圖，把直角梯形ABCD沿AD方向平移到梯形EFGH，HG＝24cm，WG＝8cm，CW＝6cm，求陰影部分面積．22．（2020春?瀍河區(qū)月考）如圖所示，一塊長(zhǎng)為18m，寬為12m的草地上有一條寬為2m的曲折的小路，求這塊草地的綠地面積．23．（2021秋?撫州期末）如圖，已知直線AB∥CD，∠A＝∠C＝100°，點(diǎn)E，F(xiàn)在CD上，且滿足∠DBF＝∠ABD，BE平分∠CBF．（1）直線AD與BC有何位置關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）求∠DBE的度數(shù)；（3）若平行移動(dòng)AD，在平行移動(dòng)AD的過(guò)程中是否存在∠BEC＝∠ADB？若存在，求出∠BEC的度數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【考點(diǎn)2：圖形的旋轉(zhuǎn)】24．（2022春?高州市期末）如圖，在△ABC中，AB＝8，將△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)30°后得到△A1BC1，則陰影部分面積為．25．（2022秋?福州期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△ADE，連接BE，則BE的長(zhǎng)是．26.（2021秋?驛城區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，三角板的直角頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，2），一條直角邊與x軸的正半軸交于點(diǎn)A，另一直角邊與y軸交于點(diǎn)B，三角板繞點(diǎn)P在坐標(biāo)平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)△POA為等腰三角形時(shí)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是．27．（2021秋?信豐縣期末）如圖，將矩形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到AB′C′D′的位置，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜90°）．若∠1＝120°，則∠α＝．28．（2020秋?贛榆區(qū)期末）如圖，點(diǎn)P是等邊△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，PA＝6，PB＝8，PC＝10．若點(diǎn)P′是△ABC外的一點(diǎn)，且△P′AB≌△PAC，則∠APB的度數(shù)為．29．（2021?江西模擬）如圖，P是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，PA＝4，PB＝2，PC＝2，則△ABC的邊長(zhǎng)為．30．（2021?鎮(zhèn)雄縣一模）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，且AC在直線l上，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到①，可得到點(diǎn)P1，此時(shí)AP1＝2；將位置①的三角形繞點(diǎn)P1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到位置②，可得到點(diǎn)P2，此時(shí)AP2＝2+；將位置②的三角形繞點(diǎn)P2順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到位置③，可得到點(diǎn)P3，此時(shí)AP3＝3+；…按此規(guī)律繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，直到點(diǎn)P2020為止，則AP2020等于．31．（2022秋?恩施市期末）如圖，點(diǎn)O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，將CO繞點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得到CD，連接AD，OD．（1）當(dāng)α＝150°時(shí)，求證：△AOD為直角三角形；（2）求∠DAO的度數(shù)；（3）請(qǐng)你探究：當(dāng)α為多少度時(shí)，△AOD是等腰三角形？32．（2022秋?青山湖區(qū)期末）如圖，△ABC和△AMN均為等邊三角形，將△AMN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)（△AMN在直線AC的右側(cè)）．（1）求證：△BAM≌△CAN；（2）若點(diǎn)C，M，N在同一條直線上，①求∠BMC的度數(shù)；②點(diǎn)M是CN的中點(diǎn)，求證：BM⊥AC．33．（2022?三穗縣校級(jí)模擬）如圖，P是等邊△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，若將△PAC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到△P'AB，（1）求點(diǎn)P與P'之間的距離；（2）求∠APB的度數(shù)．34．（2021秋?平泉市期末）如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為4cm的等邊三角形，邊AB在射線OM上，且OA＝6cm，點(diǎn)D從O點(diǎn)出發(fā)，沿OM方向以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．當(dāng)點(diǎn)D不與點(diǎn)A重合時(shí)，將△ACD繞點(diǎn)C逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得到△BCE，連接DE．（1）求證：△CDE是等邊三角形．（2）當(dāng)△BCD為直角三角形時(shí)，求t的值．35．（2022秋?思明區(qū)校級(jí)月考）如圖，在銳角△ABC中，∠A＝60°，點(diǎn)D，E分別是邊AB，AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接BE交直線CD于點(diǎn)F．（1）如圖1，若AB＞AC，且BD＝CE，∠BCD＝∠CBE，求∠CFE的度數(shù)；（2）如圖2，若AB＝AC，且BD＝AE，在平面內(nèi)將線段AC繞點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得到線段CM，連接MF，點(diǎn)N是MF的中點(diǎn)，連接CN．在點(diǎn)D，E運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，猜想線段BF，CF，CN之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．36．（2022秋?竹山縣期中）如圖所示，把一個(gè)直角三角尺ACB繞著30°角的頂點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)A與CB的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)E重合．（1）三角尺旋轉(zhuǎn)了多少度？（2）連接CD，試判斷△CBD的形狀．（3）求∠BDC的度數(shù)．37．（2022?黃岡模擬）（1）如圖1，O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接OA、OB、OC，且OA＝3，OB＝4，OC＝5，將△BAO繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到△BCD，連接OD．求：①旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)；②線段OD的長(zhǎng)；③求∠BDC的度數(shù)．（2）如圖2所示，O是等腰直角△ABC（∠ABC＝90°）內(nèi)一點(diǎn)，連接OA、OB、OC，將△BAO繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到△BCD，連接OD．當(dāng)OA、OB、OC滿足什么條件時(shí)，∠ODC＝90°？請(qǐng)給出證明．38．（2022春?蘭州期中）（1）如圖1，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D、E在BC上，∠DAE＝45°，為了探究BD、DE、CE之間的等量關(guān)系，現(xiàn)將△AEC繞A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后成△AFB，連接DF，經(jīng)探究，你所得到的BD、DE、CE之間的等量關(guān)系式是．（無(wú)需證明）（2）如圖2，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，D、E在BC上，∠DAE＝60°、∠ADE＝45°，試仿照（1）的方法，利用圖形的旋轉(zhuǎn)變換，探究BD、DE、CE之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．培優(yōu)特訓(xùn)專項(xiàng)3.1圖形的平移旋轉(zhuǎn)綜合運(yùn)用高分必刷【考點(diǎn)1：圖形的平移】1．（2022春?海滄區(qū)校級(jí)期末）如圖，將直角三角形ABC沿AB方向平移得到直角三角形DEF．已知AD＝4，AE＝13，則DB長(zhǎng)為（）A．4 B．5 C．9 D．13【答案】B【解答】解：∵AB＝DE，∴AD＝BE＝4，∵AE＝13，∴BD＝13﹣4﹣4＝5，故選：B．2．（2022春?上蔡縣期末）如圖，將三角形ABC沿BC方向平移3cm得到三角形DEF，若四邊形ABFD的周長(zhǎng)為20cm，則三角形ABC的周長(zhǎng)是（）A．14cm B．17cm C．1lcm D．8cm【答案】A【解答】解：由平移的性質(zhì)可知，AC＝DF，BC＝EF，AD＝CF＝BE＝3cm，∵四邊形ABFD的周長(zhǎng)為20cm，即AB+BC+CF+DF+AD＝20cm，∴AB+BC+AC+CF+AD＝20cm，∴AB+BC+AC＝20﹣3﹣3＝14（cm），即三角形ABC的周長(zhǎng)是14cm，故選：A．3．（2022春?孝南區(qū)期末）如圖，把△ABC沿AC方向平移得到△FDE，AF＝8，EC＝2，則平移的距離為（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【解答】解：由平移變換的性質(zhì)可知，AE＝CF＝（AF﹣EC）＝×（8﹣2）＝3，故選：A．4．（2021秋?任城區(qū)校級(jí)期末）如圖，∠C＝90°，將直角三角形ABC沿著射線BC方向平移5cm，得三角形A'B'C'，已知BC＝3cm，AC＝4cm，則陰影部分的周長(zhǎng)為（）A．16cm B．18cm C．20cm D．22cm【答案】A【解答】解：在Rt△ACB中，AB＝＝＝5（cm），∵AA′＝BB′＝5cm，∴CB′＝BB′﹣BC＝5﹣3＝2（cm），∴陰影部分的周長(zhǎng)＝AC+CB′+A′B′+AA′＝4+2+5+5＝16（cm）．故選：A．5．（2021春?叢臺(tái)區(qū)校級(jí)期中）下列選項(xiàng)中的圖形，周長(zhǎng)最長(zhǎng)的是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：選項(xiàng)B，C，D中的周長(zhǎng)都是12cm，選項(xiàng)A的周長(zhǎng)大于12cm，故選：A．6．（2021春?方城縣期末）如圖所示，將直角三角形ABC（∠C＝90°）沿CB方向平移CF的長(zhǎng)度后，得到直角三角形DEF．已知DG＝4，CF＝6，AC＝10，則圖中陰影部分的面積是（）A．60 B．50 C．40 D．30【答案】A【解答】解：∵將△ABC沿CB向右平移得到△DEF，CF＝6，∴AD∥BE，AD＝BE＝6，∴四邊形ABED是平行四邊形，∴四邊形ABED的面積＝BE×AC＝6×10＝60．故選：A．7．（2021春?廈門期末）如圖，將三角形ABC平移得到三角形DEF，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)D，則線段BC的對(duì)應(yīng)線段是（）A．EF B．DE C．BE D．CF【答案】A【解答】解：由平移的性質(zhì)可知，BC的對(duì)應(yīng)線段是EF，故選：A．8．（2022秋?東平縣校級(jí)期末）如圖，將線段AB平移到線段CD的位置，則a+b的值為（）A．4 B．0 C．3 D．﹣5【答案】A【解答】解：由題意，線段AB向左平移3個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位得到線段CD，∴a＝5﹣3＝2，b＝﹣2+4＝2，∴a+b＝4，故選：A．9．（2022秋?萊州市期末）如圖，△ABC的邊長(zhǎng)AB＝3cm，BC＝4cm，AC＝2cm，將△ABC沿BC方向平移acm（a＜4），得到△DEF，連接AD，則陰影部分的周長(zhǎng)為cm．【答案】9【解答】解：∵將△ABC沿BC方向平移acm（a＜4cm），得到△DEF，∴AD＝BE，AB＝DE，AC＝DF，∴陰影部分的周長(zhǎng)＝AD+EC+DE+AC＝BE+EC+AC+AB＝AB+AC+BC＝3+4+2＝9cm，故答案為：9．10．（2021秋?芝罘區(qū)期末）如圖，已知△ABC的面積為12，將△ABC沿BC平移到△A'B'C'，使B'和C重合，連接AC'交A'C于D，則△C'DC的面積為【答案】6【解答】解：根據(jù)題意得，∠B＝∠A′CC′，BC＝B′C′，∴CD∥AB，CD＝AB（三角形的中位線），∵點(diǎn)C′到A′C的距離等于點(diǎn)C到AB的距離，∴△C′DC的面積＝△ABC的面積＝×12＝6．故答案為：6．11．（2022春?左權(quán)縣期中）如圖所示，直角三角形ABO的周長(zhǎng)為100，在其內(nèi)部的n個(gè)小直角三角形周長(zhǎng)之和為．【答案】100【解答】解：由平移的性質(zhì)可得，n個(gè)小直角三角形較長(zhǎng)的直角邊平移后等于AO邊，較短的直角邊平移后等于BO邊，斜邊之和等于AB邊長(zhǎng)，∴n個(gè)小直角三角形的周長(zhǎng)之和＝Rt△AOB的周長(zhǎng)，∵直角三角形AOB的周長(zhǎng)為100，∴這n個(gè)小直角三角形的周長(zhǎng)之和＝100．故答案為：100．12．（2022春?前郭縣月考）如圖，已知三角形ABC的面積為12，將三角形ABC沿BC平移到三角形A′B′C′，使B′和C重合，連接AC′交A′C于D，D是A′C的中點(diǎn)，則三角形C′DC的面積為．【答案】6【解答】解：根據(jù)題意得，∠B＝∠A′CC′，BC＝B′C′，∴CD∥AB，CD＝AB（三角形的中位線），∵點(diǎn)C′到A′C的距離等于點(diǎn)C到AB的距離，∴△C′DC的面積＝△ABC的面積＝×12＝6．故答案為：6．（2021春?龍湖區(qū)期末）如圖，將長(zhǎng)為5cm，寬為3cm的長(zhǎng)方形ABCD先向右平移2cm，再向下平移1cm，得到長(zhǎng)方形A'B'C'D'，則陰影部分的面積為cm2．【答案】6【解答】解：由題意，陰影部分是矩形，長(zhǎng)為5﹣2＝3（cm），寬為3﹣1＝2（cm），∴陰影部分的面積＝2×3＝6（cm2），故答案為6．14．（2021春?澧縣校級(jí)期末）大正方形的邊長(zhǎng)為4厘米，小正方形的邊長(zhǎng)為2厘米，起始狀態(tài)如圖所示，現(xiàn)把小正方形以1厘米/秒的速度向右沿直線平移，同時(shí)大正方形以1厘米/秒的速度向左沿直線平移，設(shè)平移的時(shí)間為t秒，兩個(gè)正方形重疊部分的面積為S平方厘米．當(dāng)S＝2時(shí)，平移的時(shí)間為秒．【答案】0.5秒或2.5．【解答】解：當(dāng)S＝2時(shí)，重疊部分長(zhǎng)方形的寬＝2÷2＝1cm，重疊部分在大正方形的左邊時(shí)，t＝1÷2＝0.5秒，重疊部分在大正方形的右邊時(shí)，t＝（4+2﹣1）÷2＝2.5秒，綜上所述，小正方形平移的時(shí)間為0.5或2.5秒；故答案為：0.5秒或2.5．15．（2020春?叢臺(tái)區(qū)校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，AB＝4cm，BC＝3cm，AC＝3cm，將△ABC沿著與AB垂直的方向向上平移2cm，得到△FDE，則陰影部分的面積．【答案】8cm2【解答】解：由平移可得，DF＝AB，DF∥AB，∴四邊形ABDF是平行四邊形，又由平移的方向可得，∠ABD＝90°，∴四邊形ABDF是矩形；由平移可得，△ABC≌△FDE，BD＝2cm，∴S△ABC＝S△FDE，∴陰影部分的面積＝矩形ABDF的面積＝AB?BD＝4×2＝8cm2．故答案為：8cm2．16．（2020春?大石橋市期末）如圖所示，在長(zhǎng)為50m，寬為25m的草坪上修了一條恒為1m寬的彎曲小路，則余下草坪的面積為m2．【答案】1200【解答】解：∵把寬度為1m的彎曲小路分割成若干個(gè)四邊形，這些四邊形等于一個(gè)寬度為1m的矩形，如圖矩形ABCD，∴小路為寬恒為1m的彎曲小路，∴面積為50×1＝50（m2），∴余下草坪的面積為50×25﹣50＝1200（m2），故答案為：1200．17．（2020春?邗江區(qū)期末）如圖是某公園里一處矩形風(fēng)景欣賞區(qū)ABCD，長(zhǎng)AB＝50米，寬BC＝30米，為方便游人觀賞，公園特意修建了如圖所示的小路（圖中非陰影部分），小路的寬均為1米，那么小明沿著小路的中間出口A到出口B所走的路線（圖中虛線）長(zhǎng)為米．【答案】108【解答】解：利用已知可以得出此圖形可以分為橫向與縱向分析，橫向距離等于AB，縱向距離等于（AD﹣1）×2，∴圖是某公園里一處矩形風(fēng)景欣賞區(qū)ABCD，長(zhǎng)AB＝50米，寬BC＝30米，為50+（30﹣1）×2＝108米，故答案為：108．18．如圖，直線l上擺放著直角三角形紙板DCE，∠DCE＝90°，將三角板ECD沿直線l向左平移到圖中的三角板E'C'D'位置，P為EC與E'D'的交點(diǎn)．（1）求證：∠CPD'＝∠E；（2）E'C'＝8，C'C＝2，EP＝1.5，求陰影部分的面積．【解答】（1）證明：由平移的性質(zhì)得CE∥C′E′，CC＝′EE′＝DD′，∴四邊形CC′E′E是平行四邊形，∴EE′∥CC′，∴DD′∥EE′∴四邊形DD′E′E是平行四邊形，∴DE∥DD′，∴∠CPD'＝∠E；（2）解：∵將三角板ECD沿直線l向左平移到圖中的三角板E'C'D'位置，∴CE＝C′E′＝8，∵EP＝1.5，∴CP＝6.5，∴陰影部分的面積＝S四邊形C′E′PC＝（6.5+8）×2＝14.5．19．（2022春?海南期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠E＝55°，將△ABC沿AB方向向右平移得到△DEF．（1）求∠A的度數(shù)；（2）若AE＝8cm，DB＝2cm，請(qǐng)求出AD的長(zhǎng)度．【解答】解：（1）∵BC∥EF，∴∠ABC＝∠E＝55°，∵∠ACB＝90°，∴∠A＝90°﹣55°＝35°；（2）由平移得，AD＝BE＝CF，∵AE＝8cm，DB＝2cm，∴AD＝BE＝×（8﹣2）＝3（cm）．20．（2021秋?薩爾圖區(qū)校級(jí)期末）某酒店在重新裝修后，準(zhǔn)備在大廳的主樓梯上鋪設(shè)某種紅色地毯，已知這種地毯每平方米的售價(jià)為40元，主樓梯道寬為3米，其側(cè)面如圖所示；鋪設(shè)梯子的紅地毯至少需要多長(zhǎng)？花費(fèi)至少多少元？【解答】解：地毯的長(zhǎng)度至少為：2.6+5.8＝8.4米；8.4×3×40＝1008（元）．答：鋪設(shè)梯子的紅地毯至少需要8.4米，花費(fèi)至少1008元．21．（2022春?彌勒市校級(jí)月考）如圖，把直角梯形ABCD沿AD方向平移到梯形EFGH，HG＝24cm，WG＝8cm，CW＝6cm，求陰影部分面積．【解答】解：由平移的性質(zhì)，梯形ABCD的面積＝梯形EFGH的面積，CD＝HG＝24cm，∴陰影部分的面積＝梯形DWGH的面積，∵CW＝6cm，∴DW＝CD﹣CW＝24﹣6＝18cm，∴陰影部分的面積＝（DW+HG）?WG＝（18+24）×8＝168cm2．答：陰影部分面積是168cm2．22．（2020春?瀍河區(qū)月考）如圖所示，一塊長(zhǎng)為18m，寬為12m的草地上有一條寬為2m的曲折的小路，求這塊草地的綠地面積．【解答】解：綠地的面積為：（18﹣2）×（12﹣2）＝160（m2），答：這塊草地的綠地面積是160m2．23．（2021秋?撫州期末）如圖，已知直線AB∥CD，∠A＝∠C＝100°，點(diǎn)E，F(xiàn)在CD上，且滿足∠DBF＝∠ABD，BE平分∠CBF．（1）直線AD與BC有何位置關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）求∠DBE的度數(shù)；（3）若平行移動(dòng)AD，在平行移動(dòng)AD的過(guò)程中是否存在∠BEC＝∠ADB？若存在，求出∠BEC的度數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】（1）AD∥BC．證明：∵AB∥CD，∴∠A+∠ADC＝180°，又∵∠A＝∠C∴∠ADC+∠C＝180°，∴AD∥BC；（2）解：∵AB∥CD，∴∠ABC＝180°﹣∠C＝80°，∵∠DBF＝∠ABD，BE平分∠CBF，∴∠DBE＝∠ABF+∠CBF＝∠ABC＝40°；（3）存在．解：設(shè)∠ABD＝∠DBF＝∠BDC＝x°．∵AB∥CD，∴∠BEC＝∠ABE＝x°+40°；∵AB∥CD，∴∠ADC＝180°﹣∠A＝80°，∴∠ADB＝80°﹣x°．若∠BEC＝∠ADB，則x°+40°＝80°﹣x°，得x°＝20°．∴∠BEC＝∠ADB＝60°．【考點(diǎn)2：圖形的旋轉(zhuǎn)】24．（2022春?高州市期末）如圖，在△ABC中，AB＝8，將△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)30°后得到△A1BC1，則陰影部分面積為．【答案】16【解答】解：過(guò)A作AD⊥A1B于D，如圖：在△ABC中，AB＝8，將△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)30°后得到△A1BC1，∴△ABC≌△A1BC1，∴A1B＝AB＝8，∴△A1BA是等腰三角形，∠A1BA＝30°，∵AD⊥A1B，∴AD＝AB＝4，∴S△A1BA＝×8×4＝16，又∵S陰影＝S△A1BA+S△A1BC1﹣S△ABC，且S△A1BC1＝S△ABC，∴S陰影＝S△A1BA＝16，故答案為：16．25．（2022秋?福州期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△ADE，連接BE，則BE的長(zhǎng)是．【答案】2+2【解答】解：連接CE，設(shè)BE與AC相交于點(diǎn)F，如下圖所示，∵Rt△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°∴∠BCA＝∠BAC＝45°∵Rt△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°與Rt△ADE重合，∴∠BAC＝∠DAE＝45°，AC＝AE又∵旋轉(zhuǎn)角為60°∴∠BAD＝∠CAE＝60°，∴△ACE是等邊三角形∴AC＝CE＝AE＝4在△ABE與△CBE中，，∴△ABE≌△CBE（SSS）∴∠ABE＝∠CBE＝45°，∠CEB＝∠AEB＝30°∴在△ABF中，∠BFA＝180°﹣45°﹣45°＝90°∴∠AFB＝∠AFE＝90°在Rt△ABF中，由勾股定理得，BF＝AF＝＝2又在Rt△AFE中，∠AEF＝30°，∠AFE＝90°，可得FE＝AF＝2∴BE＝BF+FE＝2+2故答案為2+226.（2021秋?驛城區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，三角板的直角頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，2），一條直角邊與x軸的正半軸交于點(diǎn)A，另一直角邊與y軸交于點(diǎn)B，三角板繞點(diǎn)P在坐標(biāo)平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)△POA為等腰三角形時(shí)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是．【答案】（0，2）或（0，0）或（0，4﹣2）【解答】解：①當(dāng)OA＝AP時(shí)，如圖：∵P的坐標(biāo)為（2，2），∴此時(shí)A（2，0），∵∠APB＝90°，∴B（0，2）；②當(dāng)AP＝OP時(shí)，如圖：∵P的坐標(biāo)為（2，2），∴∠POA＝∠PAO＝45°，∴∠P＝90°，∴此時(shí)B與O重合，即B（0，0）；③當(dāng)OP＝OA＝2時(shí)，過(guò)P作PM⊥x軸于M，作PN⊥y軸于N，如圖：∵∠APB＝90°，∴∠NPB＝90°﹣∠BPM＝∠MPA，∵NP＝MP＝2，∠PNB＝∠PMA，∴△PNB≌△PMA（ASA），∴BN＝AM＝2﹣2，∴OB＝NO﹣BN＝2﹣（2﹣2）＝4﹣2，∴B（0，4﹣2），綜上所述，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，2）或（0，0）或（0，4﹣2）．27．（2021秋?信豐縣期末）如圖，將矩形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到AB′C′D′的位置，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜90°）．若∠1＝120°，則∠α＝．【答案】30°【解答】解：如圖，由對(duì)頂角相等得，∠2＝∠1＝120°，在四邊形中，∠BAD′＝360°﹣90°×2﹣∠2＝360°﹣180°﹣120°＝60°，所以，∠DAD′＝90°﹣60°＝30°，即旋轉(zhuǎn)角∠α＝∠DAD′＝30°．故答案為：30°．28．（2020秋?贛榆區(qū)期末）如圖，點(diǎn)P是等邊△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，PA＝6，PB＝8，PC＝10．若點(diǎn)P′是△ABC外的一點(diǎn)，且△P′AB≌△PAC，則∠APB的度數(shù)為．【答案】150°【解答】解：連接PP′，由旋轉(zhuǎn)可知，△PAC≌△P′AB，∴PA＝P′A，∠P′AB＝∠PAC，∴∠P′AP＝∠BAC＝60°，∴△APP′為等邊三角形，∴PP′＝AP＝AP′＝6；∵PP′2+BP2＝BP′2，∴△BPP′為直角三角形，且∠BPP′＝90°，∴∠APB＝90°+60°＝150°．故答案為：150°．29．（2021?江西模擬）如圖，P是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，PA＝4，PB＝2，PC＝2，則△ABC的邊長(zhǎng)為．【答案】2【解答】解：作BH⊥PC于H，如圖，∵△ABC為等邊三角形，∴BA＝BC，∠ABC＝60°，∴把△ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△CBD，連接PD，如圖，∴CD＝AP＝4，BD＝BP＝2，∠PBD＝60°，∴△PBD為等邊三角形，∴PD＝PB＝2，∠BPD＝60°，在△PDC中，PC＝2，PD＝2，CD＝4，∴PC2+PD2＝CD2，∴△PCD為直角三角形，∠CPD＝90°，∴∠BPC＝∠BPD+∠CPD＝150°，∴∠BPH＝30°，在Rt△PBH中，∠BPH＝30°，PB＝2，∴BH＝PB＝，PH＝BH＝3，∴CH＝PC+PH＝2+3＝5，在Rt△BCH中，BC2＝BH2+CH2＝（）2+52＝28，∴BC＝2，故答案為：230．（2021?鎮(zhèn)雄縣一模）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，且AC在直線l上，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到①，可得到點(diǎn)P1，此時(shí)AP1＝2；將位置①的三角形繞點(diǎn)P1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到位置②，可得到點(diǎn)P2，此時(shí)AP2＝2+；將位置②的三角形繞點(diǎn)P2順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到位置③，可得到點(diǎn)P3，此時(shí)AP3＝3+；…按此規(guī)律繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，直到點(diǎn)P2020為止，則AP2020等于．【答案】2021+673【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，∴AB＝2，BC＝，∴將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到①，可得到點(diǎn)P1，此時(shí)AP1＝2；將位置①的三角形繞點(diǎn)P1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到位置②可得到點(diǎn)P2，此時(shí)AP2＝2+；將位置②的三角形繞點(diǎn)P2順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到位置③，可得到點(diǎn)P3，此時(shí)AP3＝3+；…∵2020÷3＝673…1∴AP2020＝673（3+）+2＝2021+673，故答案為：2021+67331．（2022秋?恩施市期末）如圖，點(diǎn)O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，將CO繞點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得到CD，連接AD，OD．（1）當(dāng)α＝150°時(shí)，求證：△AOD為直角三角形；（2）求∠DAO的度數(shù)；（3）請(qǐng)你探究：當(dāng)α為多少度時(shí)，△AOD是等腰三角形？【解答】（1）證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：OC＝CD，∠DCO＝60°，∴△COD是等邊三角形，∴∠CDO＝60°，∵△ABC是等邊三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝60°，∴∠ACD＝∠BCO，∴△BOC≌△ADC（SAS），∴∠ADC＝∠BOC＝150°，∴∠ADO＝90°，即△AOD是直角三角形；（2）解：∵△COD是等邊三角形，∴∠COD＝60°，∵∠AOB＝110°，∠BOC＝α，∴∠AOD＝360°﹣110°﹣60°﹣α＝190°﹣α，由（1）知：△ADC≌△BOC，∴∠ADC＝∠BOC＝α，∴∠ADO＝α﹣60°，△ADO中，∠DAO＝180°﹣∠ADO﹣∠AOD＝180°﹣（α﹣60°）﹣（190°﹣α）＝50°；（3）解：分三種情況：①當(dāng)AO＝AD時(shí)，∠AOD＝∠ADO．∵∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠COD﹣α＝360°﹣110°﹣60°﹣α＝190°﹣α，∠ADO＝α﹣60°，∴190°﹣α＝α﹣60°，∴α＝125°；②當(dāng)OA＝OD時(shí)，∠OAD＝∠ADO．∵∠AOD＝190°﹣α，∠ADO＝α﹣60°，∴∠OAD＝180°﹣（∠AOD+∠ADO）＝50°，∴α﹣60°＝50°，∴α＝110°；③當(dāng)OD＝AD時(shí)，∠OAD＝∠AOD．∵190°﹣α＝50°，∴α＝140°，綜上所述：當(dāng)α的度數(shù)為125°或110°或140°時(shí)，△AOD是等腰三角形．32．（2022秋?青山湖區(qū)期末）如圖，△ABC和△AMN均為等邊三角形，將△AMN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)（△AMN在直線AC的右側(cè)）．（1）求證：△BAM≌△CAN；（2）若點(diǎn)C，M，N在同一條直線上，①求∠BMC的度數(shù)；②點(diǎn)M是CN的中點(diǎn)，求證：BM⊥AC．【解答】（1）證明：∵△ABC和△AMN是等邊三角形，∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，∴∠BAC+∠MAC＝∠MAN+∠MAC，即∠BAM＝∠CAN，在△BAM和△CAN中，，∴△BAM≌△CAN；（2）①解：∵△AMN為等邊三角形，∴∠AMN＝∠NAM＝∠AMN＝60°，∵△BAM≌△CAN，∴∠AMB＝∠MNA＝60°，∴∠BMC＝180°﹣∠AMN﹣∠AMB＝60°；②證明：∵點(diǎn)M是CN的中點(diǎn)，∴MN＝CM，∵△AMN是等邊三角形，∴AM＝MN＝CM，∵△ABC為等邊三角形，∴AB＝CB，∴MB是AC的垂直平分線，∴BM⊥AC．33．（2022?三穗縣校級(jí)模擬）如圖，P是等邊△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，若將△PAC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到△P'AB，（1）求點(diǎn)P與P'之間的距離；（2）求∠APB的度數(shù)．【解答】解：（1）由題意可知BP′＝PC＝5，AP′＝AP，∠PAC＝∠P′AB，而∠PAC+∠BAP＝60°，所以∠PAP′＝60度．故△APP′為等邊三角形，所以PP′＝AP＝AP′＝3；（2）利用勾股定理的逆定理可知：PP′2+BP2＝BP′2，所以△BPP′為直角三角形，且∠BPP′＝90°可求∠APB＝90°+60°＝150°．34．（2021秋?平泉市期末）如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為4cm的等邊三角形，邊AB在射線OM上，且OA＝6cm，點(diǎn)D從O點(diǎn)出發(fā)，沿OM方向以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．當(dāng)點(diǎn)D不與點(diǎn)A重合時(shí)，將△ACD繞點(diǎn)C逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得到△BCE，連接DE．（1）求證：△CDE是等邊三角形．（2）當(dāng)△BCD為直角三角形時(shí)，求t的值．【解答】（1）證明：∵將△ACD繞點(diǎn)C逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得到△BCE，∴△ADC≌△BEC，∴CD＝CE，∠DCA＝∠ECB，∴∠DCA+∠ACE＝∠ECB+∠ACE＝∠ABC＝60°∴∠DCE＝60°，DC＝EC，∴△CDE是等邊三角形；（2）解：①當(dāng)∠BCD＝90°時(shí)，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝60°，∴∠BDC＝90°﹣60°＝30°，∴BD＝2BC＝8cm，∵OB＝OA+AB＝6+4＝10cm，∴OD＝OB﹣BD＝10﹣8＝2cm，∴t＝2s．②當(dāng)∠CDB＝90°時(shí)，AD＝DB＝2cm，∴OD＝OA+AD＝8cm，∴t＝8s．綜上所述：當(dāng)t＝2s或8s時(shí)，△BDC是直角三角形．35．（2022秋?思明區(qū)校級(jí)月考）如圖，在銳角△ABC中，∠A＝60°，點(diǎn)D，E分別是邊AB，AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接BE交直線CD于點(diǎn)F．（1）如圖1，若AB＞AC，且BD＝CE，∠BCD＝∠CBE，求∠CFE的度數(shù)；（2）如圖2，若AB＝AC，且BD＝AE，在平面內(nèi)將線段AC繞點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得到線段CM，連接MF，點(diǎn)N是MF的中點(diǎn)，連接CN．在點(diǎn)D，E運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，猜想線段BF，CF，CN之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．【解答】解：（1）如圖1中，在射線CD上取一點(diǎn)K，使得CK＝BE，在△BCE和△CBK中，，∴△BCE≌△CBK（SAS），∴BK＝CE，∠BEC＝∠BKD，∵CE＝BD，∴BD＝BK，∴∠BKD＝∠BDK＝∠ADC＝∠CEB，∵∠BEC+∠AEF＝180°，∴∠ADF+∠AEF＝180°，∴∠A+∠EFD＝180°，∵∠A＝60°，∴∠EFD＝120°，∴∠CFE＝180°﹣120°＝60°；（2）結(jié)論：BF+CF＝2CN．理由：如圖2中，∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AB＝CB，∠A＝∠CBD＝60°，∵AE＝BD，∴△ABE≌△BCD（SAS），∴∠BCF＝∠ABE，∴∠FBC+∠BCF＝60°，∴∠BFC＝120°，如圖2中，延長(zhǎng)CN到Q，使得NQ＝CN，連接FQ，∵NM＝NF，∠CNM＝∠FNQ，CN＝NQ，∴△CNM≌△QNF（SAS），∴FQ＝CM＝BC，延長(zhǎng)CF到P，使得PF＝BF，則△PBF是等邊三角形，∴∠PBC+∠PCB＝∠PCB+∠FCM＝120°，∴∠PFQ＝∠FCM＝∠PBC，∵PB＝PF，∴△PFQ≌△PBC（SAS），∴PQ＝PC，∠CPB＝∠QPF＝60°，∴△PCQ是等邊三角形，∴BF+CF＝PC＝QC＝2CN．36．（2022秋?竹山縣期中）如圖所示，把一個(gè)直角三角尺ACB繞著30°角的頂點(diǎn)B順