人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)同步壓軸題專題09幾何旋轉(zhuǎn)綜合問題（原卷版+解析）

專題09幾何旋轉(zhuǎn)綜合問題類型一、三角形中的旋轉(zhuǎn)問題例．如圖，已知等邊中，點(diǎn)D、E、F分別為邊、、的中點(diǎn)，M為直線上一動(dòng)點(diǎn)，為等邊三角形(點(diǎn)M的位置改變時(shí)，也隨之整體移動(dòng))．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，請(qǐng)你連結(jié)，并判斷與有怎樣的數(shù)量關(guān)系？點(diǎn)F是否在直線上？請(qǐng)寫出結(jié)論，并說明理由；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)M在上時(shí)，其它條件不變，(1)的結(jié)論中與的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請(qǐng)利用圖2證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；(3)如圖3，若點(diǎn)M在點(diǎn)C右側(cè)時(shí)，請(qǐng)你判斷(1)的結(jié)論中與的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請(qǐng)直接寫出結(jié)論：若不成立，請(qǐng)說明理由．【變式訓(xùn)練1】如圖1，在等腰直角三角形中，．點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，為線段上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)，重合)，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，連接，．(1)證明：；(2)如圖2，連接，，交于點(diǎn)．①證明：在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，總有；②若，當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度為多少時(shí)，為等腰三角形？【變式訓(xùn)練2】如圖1，將兩個(gè)完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°．若固定△ABC，將△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)．(1)當(dāng)△DEC統(tǒng)點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)D恰好落在AB邊上時(shí)，如圖2．①當(dāng)∠B=∠E=30°時(shí)，此時(shí)旋轉(zhuǎn)角的大小為；②當(dāng)∠B=∠E=α?xí)r，此時(shí)旋轉(zhuǎn)角的大小為(用含a的式子表示)．(2)當(dāng)△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置時(shí)，小楊同學(xué)猜想：△BDC的面積與△AEC的面積相等，試判斷小楊同學(xué)的猜想是否正確，若正確，請(qǐng)你證明小楊同學(xué)的猜想．若不正確，請(qǐng)說明理由．【變式訓(xùn)練3】如圖1，已知∠DAC=90°，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)P為射線AD上任意一點(diǎn)(點(diǎn)P與點(diǎn)A不重合)，連結(jié)CP，將線段CP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段CQ，連結(jié)QB并延長(zhǎng)交直線AD于點(diǎn)E．(1)如圖1，猜想∠QEP=°；(2)如圖2，3，若當(dāng)∠DAC是銳角或鈍角時(shí)，其它條件不變，猜想∠QEP的度數(shù)，選取一種情況加以證明；(3)如圖3，若∠DAC=135°，∠ACP=15°，且AC=4，求BQ的長(zhǎng)．【變式訓(xùn)練4】?jī)蓧K等腰直角三角板△ABC和△DEC如圖擺放，其中∠ACB=∠DCE=90°，F(xiàn)是DE的中點(diǎn)，H是AE的中點(diǎn)，G是BD的中點(diǎn)．(1)如圖1，若點(diǎn)D、E分別在AC、BC的延長(zhǎng)線上，通過觀察和測(cè)量，猜想FH和FG的數(shù)量關(guān)系為______和位置關(guān)系為______；(2)如圖2，若將三角板△DEC繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至ACE在一條直線上時(shí)，其余條件均不變，則(1)中的猜想是否還成立，若成立，請(qǐng)證明，不成立請(qǐng)說明理由；(3)如圖3，將圖1中的△DEC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角，得到圖3，(1)中的猜想還成立嗎？直接寫出結(jié)論，不用證明．【變式訓(xùn)練5】在△ABC中，AB=AC，將線段AC繞著點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段CD，旋轉(zhuǎn)角為，且，連接AD、BD．(1)如圖1，當(dāng)∠BAC=100°，時(shí)，∠CBD的大小為_________；(2)如圖2，當(dāng)∠BAC=100°，時(shí)，求∠CBD的大?。?3)已知∠BAC的大小為m()，若∠CBD的大小與(2)中的結(jié)果相同，請(qǐng)直接寫出的大?。愋投?、四邊形中的旋轉(zhuǎn)問題例．如圖1，在ABC中，∠ACB為銳角，點(diǎn)D為射線BC上一點(diǎn)，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF．(1)如果AB＝AC，∠BAC＝90°．①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)(與點(diǎn)B不重合)，如圖2，線段CF、BD所在直線的位置關(guān)系為，線段CF、BD的數(shù)量關(guān)系為．②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖3，①中的結(jié)論是否仍然成立？并說明理由；(2)如圖4，如果AB≠AC，∠BAC是銳角，點(diǎn)D在線段BC上，當(dāng)∠ACB滿足什么條件時(shí)，CF⊥BC(點(diǎn)C、F不重合)，并說明理由．【變式訓(xùn)練1】在正方形的邊上任取一點(diǎn)，作交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接、，如圖，易證

且．將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如圖，則線段和有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的猜想．將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如圖，則線段和又有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，并加以證明．【變式訓(xùn)練2】如圖1，點(diǎn)O是正方形ABCD兩對(duì)角線的交點(diǎn).分別延長(zhǎng)OD到點(diǎn)G，OC到點(diǎn)E，使OG=2OD，OE=2OC，然后以O(shè)G、OE為鄰邊作正方形OEFG，連接AG，DE．(1)求證：DE⊥AG；(2)正方形ABCD固定，將正方形OEFG繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角(0°<<360°)得到正方形，如圖2．①在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)∠是直角時(shí)，求的度數(shù)；(注明：當(dāng)直角邊為斜邊一半時(shí)，這條直角邊所對(duì)的銳角為30度)②若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，在旋轉(zhuǎn)過程中，求長(zhǎng)的最大值和此時(shí)的度數(shù)，直接寫出結(jié)果不必說明理由．【變式訓(xùn)練3】在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，且∠EAF=∠CEF=45°(1)將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABG(如圖1)，求證：BE+DF=EF；(2)若直線EF與AB、AD的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)M、N(如圖2)，求證：(3)將正方形改為長(zhǎng)與寬不相等的矩形，其余條件不變(如圖3)，直接寫出線段EF、BE、DF之間的數(shù)量關(guān)系．【變式訓(xùn)練4】在?ABCD中，∠BAD的平分線交直線BC于點(diǎn)E，交直線DC于點(diǎn)F(1)在圖1中證明CE=CF；(2)若∠ABC=90°，G是EF的中點(diǎn)(如圖2)，直接寫出∠BDG的度數(shù)；(3)若∠ABC=120°，F(xiàn)GCE，F(xiàn)G=CE，分別連接DB、DG(如圖3)，求∠BDG的度數(shù)．專題09幾何旋轉(zhuǎn)綜合問題類型一、三角形中的旋轉(zhuǎn)問題例．如圖，已知等邊中，點(diǎn)D、E、F分別為邊、、的中點(diǎn)，M為直線上一動(dòng)點(diǎn)，為等邊三角形(點(diǎn)M的位置改變時(shí)，也隨之整體移動(dòng))．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，請(qǐng)你連結(jié)，并判斷與有怎樣的數(shù)量關(guān)系？點(diǎn)F是否在直線上？請(qǐng)寫出結(jié)論，并說明理由；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)M在上時(shí)，其它條件不變，(1)的結(jié)論中與的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請(qǐng)利用圖2證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；(3)如圖3，若點(diǎn)M在點(diǎn)C右側(cè)時(shí)，請(qǐng)你判斷(1)的結(jié)論中與的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請(qǐng)直接寫出結(jié)論：若不成立，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)相等，在，理由見解析；(2)成立，證明見解析；(3)成立．【詳解】解：(1)EN=MF，點(diǎn)F在直線NE上，理由如下：如圖1，連接DE、DF、EF，NF，∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC=BC，，又∵點(diǎn)D、E、F分別為邊、、的中點(diǎn)，∴DE、DF、EF為等邊△ABC的中位線，，∴DE=DF=EF，∴∠FDE=∠DFE=60°∵D、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，∴，∴△DBF是等邊三角形，∴∠BDF=60°，∵△DMN是等邊三角形，∴∠MDN=60°，DM=DN，∴∠MDN=∠BDF=60°，DB=DF，∴∠MDN-∠BDN=∠BDF-∠BDN，即∠MDB=∠NDF，在△DMB和△DNF中，∵DM=DN，∠MDB=∠NDF，DB=DF，∴△DMB≌△DNF，∴∠DBM=∠DFN，∵∠ABC=60°，∴∠DBM=120°，∴∠NFD=120°，∴∠NFD+∠DFE=120°+60°=180°，∴N、F、E三點(diǎn)共線，∴F在直線NE上；∵△DMN是等邊三角形，∴∠MDN=60°，DM=DN，∴∠FDE+∠NDF=∠MDN+∠NDF，∴∠MDF=∠NDE，在△DMF和△DNE中，∵DF=DE，∠MDF=∠NDE，DM=DN，∴△DMF≌△DNE，∴MF=NE，(2)成立，理由如下：如圖2，連接DF，NF，EF，∵△ABC是等邊三角形且D、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，∴，，∴△DBF是等邊三角形，∴∠BDF=∠DBF=60°，∵△DMN是等邊三角形，∴∠MDN=60°，DM=DN，∴∠MDN=∠BDF=60°，DB=DF，∴∠MDN-∠FDM=∠BDF-∠FDM，即∠MDB=∠NDF，在△DMB和△DNF中，∵DM=DN，∠MDB=∠NDF，DB=DF，∴△DMB≌△DNF，∴∠DBM=∠DFN=60°，BM=FN，∴∠DFN=∠FDB=60°，∴NF∥BD，∵E，F(xiàn)分別為邊AC，BC的中點(diǎn)，∴EF是△ABC的中位線，，∴EF∥BD，，∴F在直線NE上，BF=EF，∴MF=EN；(3)MF與EN相等的結(jié)論仍然成立，理由如下：如圖3，連接DF、DE，EF，∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC=BC，又∵點(diǎn)D、E、F分別為邊、、的中點(diǎn)，∴DE、DF、EF為等邊△ABC的中位線，，∴DE=DF=EF，∴△DEF是等邊三角形，∴∠FDE=60°，∵△DMN是等邊三角形，∴∠MDN=∠FDE=60°，DM=DN，∴∠EDM+∠NDE=∠EDM+∠FDM，∴∠NDE=∠FDM，在△DNE和△DMF中，∵DE=DF，∠NDE=∠FDM，DN=DM，△DNE≌△DMF，∴MF=NE．【變式訓(xùn)練1】如圖1，在等腰直角三角形中，．點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，為線段上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)，重合)，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，連接，．(1)證明：；(2)如圖2，連接，，交于點(diǎn)．①證明：在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，總有；②若，當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度為多少時(shí)，為等腰三角形？【答案】(1)見詳解；(2)①見詳解；②當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度為2或時(shí)，為等腰三角形【詳解】解：(1)∵線段繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，∴AH=AG，∠HAG=90°，∵在等腰直角三角形中，，AB=AC，∴∠BAH=90°-∠CAH=∠CAG，∴；(2)①∵在等腰直角三角形中，AB=AC，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，∴AE=AF，是等腰直角三角形，∵AH=AG，∠BAH=∠CAG，∴，∴∠AEH=∠AFG=45°，∴∠HFG=∠AFG+∠AFE=45°+45°=90°，即：；②∵，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，∴AE=AF=2，∵∠AGH=45°，為等腰三角形，分3種情況：(a)當(dāng)∠QAG=∠QGA=45°時(shí)，如圖，則∠HAF=90°-45°=45°，∴AH平分∠EAF，∴點(diǎn)H是EF的中點(diǎn)，∴EH=；(b)當(dāng)∠GAQ=∠GQA=(180°-45°)÷2=67.5°時(shí)，如圖，則∠EAH=∠GAQ=67.5°，∴∠EHA=180°-45°-67.5°=67.5°，∴∠EHA=∠EAH，∴EH=EA=2；(c)當(dāng)∠AQG=∠AGQ=45°時(shí)，點(diǎn)H與點(diǎn)F重合，不符合題意，舍去，綜上所述：當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度為2或時(shí)，為等腰三角形．【變式訓(xùn)練2】如圖1，將兩個(gè)完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°．若固定△ABC，將△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)．(1)當(dāng)△DEC統(tǒng)點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)D恰好落在AB邊上時(shí)，如圖2．①當(dāng)∠B=∠E=30°時(shí)，此時(shí)旋轉(zhuǎn)角的大小為；②當(dāng)∠B=∠E=α?xí)r，此時(shí)旋轉(zhuǎn)角的大小為(用含a的式子表示)．(2)當(dāng)△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置時(shí)，小楊同學(xué)猜想：△BDC的面積與△AEC的面積相等，試判斷小楊同學(xué)的猜想是否正確，若正確，請(qǐng)你證明小楊同學(xué)的猜想．若不正確，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)①60°；②2α；(2)小楊同學(xué)猜想是正確的．證明見解析．【詳解】解：(1)①∵∠B=30°，∠ACB=90°，∴∠CAD=90°﹣30°=60°．∵CA=CD，∴△ACD是等邊三角形，∴∠ACD=60°，∴旋轉(zhuǎn)角為60°．故答案為：60°．②如圖2中，作CH⊥AD于H．∵CA=CD，CH⊥AD，∴∠ACH=∠DCH．∵∠ACH+∠CAB=90°，∠CAB+∠B=90°，∴∠ACH=∠B，∴∠ACD=2∠ACH=2∠B=2α，∴旋轉(zhuǎn)角為2α．故答案為：2α．(2)小楊同學(xué)猜想是正確的．證明如下：過B作BN⊥CD于N，過E作EM⊥AC于M，如圖3，∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，∴∠1=∠3．∵BN⊥CD于N，EM⊥AC于M，∴∠BNC=∠EMC=90°．∵△ACB≌△DCE，∴BC=EC，在△CBN和△CEM中，∠BNC=∠EMC，∠1=∠3，BC=EC，∴△CBN≌△CEM(AAS)，∴BN=EM．∵S△BDC?CD?BN，S△ACE?AC?EM．∵CD=AC，∴S△BDC=S△ACE．【變式訓(xùn)練3】如圖1，已知∠DAC=90°，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)P為射線AD上任意一點(diǎn)(點(diǎn)P與點(diǎn)A不重合)，連結(jié)CP，將線段CP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段CQ，連結(jié)QB并延長(zhǎng)交直線AD于點(diǎn)E．(1)如圖1，猜想∠QEP=°；(2)如圖2，3，若當(dāng)∠DAC是銳角或鈍角時(shí)，其它條件不變，猜想∠QEP的度數(shù)，選取一種情況加以證明；(3)如圖3，若∠DAC=135°，∠ACP=15°，且AC=4，求BQ的長(zhǎng)．【答案】(1)∠QEP=60°；(2)∠QEP=60°，證明詳見解析；(3)【詳解】解：(1)∠QEP=60°；證明：連接PQ，如圖1，由題意得：PC=CQ，且∠PCQ=60°，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB=60°，∴∠PCA=∠QCB，則在△CPA和△CQB中，，∴△CQB≌△CPA(SAS)，∴∠CQB=∠CPA，又因?yàn)椤鱌EM和△CQM中，∠EMP=∠CMQ，∴∠QEP=∠QCP=60°.故答案為60；(2)∠QEP=60°.以∠DAC是銳角為例.證明：如圖2，∵△ABC是等邊三角形，∴AC=BC，∠ACB=60°，∵線段CP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段CQ，∴CP=CQ，∠PCQ=60°，∴∠ACB+∠BCP=∠BCP+∠PCQ，即∠ACP=∠BCQ，在△ACP和△BCQ中，，∴△ACP≌△BCQ(SAS)，∴∠APC=∠Q，∵∠1=∠2，∴∠QEP=∠PCQ=60°；

(3)連結(jié)CQ，作CH⊥AD于H，如圖3，與(2)一樣可證明△ACP≌△BCQ，∴AP=BQ，∵∠DAC=135°，∠ACP=15°，∴∠APC=30°，∠CAH=45°，∴△ACH為等腰直角三角形，∴AH=CH=AC=×4=，在Rt△PHC中，PH=CH=，∴PA=PH?AH=－，∴BQ=?.【變式訓(xùn)練4】?jī)蓧K等腰直角三角板△ABC和△DEC如圖擺放，其中∠ACB=∠DCE=90°，F(xiàn)是DE的中點(diǎn)，H是AE的中點(diǎn)，G是BD的中點(diǎn)．(1)如圖1，若點(diǎn)D、E分別在AC、BC的延長(zhǎng)線上，通過觀察和測(cè)量，猜想FH和FG的數(shù)量關(guān)系為______和位置關(guān)系為______；(2)如圖2，若將三角板△DEC繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至ACE在一條直線上時(shí)，其余條件均不變，則(1)中的猜想是否還成立，若成立，請(qǐng)證明，不成立請(qǐng)說明理由；(3)如圖3，將圖1中的△DEC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角，得到圖3，(1)中的猜想還成立嗎？直接寫出結(jié)論，不用證明．【答案】(1)相等，垂直．(2)成立，證明見解析；(3)成立，結(jié)論是FH=FG，F(xiàn)H⊥FG．【詳解】解：(1)∵CE=CD，AC=BC，∠ECA=∠DCB=90°，∴BE=AD，∵F是DE的中點(diǎn)，H是AE的中點(diǎn)，G是BD的中點(diǎn)，∴FH=AD，F(xiàn)H∥AD，F(xiàn)G=BE，F(xiàn)G∥BE，∴FH=FG，∵AD⊥BE，∴FH⊥FG，故答案為相等，垂直．(2)答：成立，證明：∵CE=CD，∠ECD=∠ACD=90°，AC=BC，∴△ACD≌△BCE，∴AD=BE，由(1)知：FH=AD，F(xiàn)H∥AD，F(xiàn)G=BE，F(xiàn)G∥BE，∴FH=FG，F(xiàn)H⊥FG，∴(1)中的猜想還成立．(3)答：成立，結(jié)論是FH=FG，F(xiàn)H⊥FG．連接AD，BE，兩線交于Z，AD交BC于X，同(1)可證，∴FH=AD，F(xiàn)H∥AD，F(xiàn)G=BE，F(xiàn)G∥BE，∵三角形ECD、ACB是等腰直角三角形，∴CE=CD，AC=BC，∠ECD=∠ACB=90°，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE，∴AD=BE，∠EBC=∠DAC，∵∠DAC+∠CXA=90°，∠CXA=∠DXB，∴∠DXB+∠EBC=90°，∴∠EZA=180°﹣90°=90°，即AD⊥BE，∵FH∥AD，F(xiàn)G∥BE，∴FH⊥FG，即FH=FG，F(xiàn)H⊥FG，結(jié)論是FH=FG，F(xiàn)H⊥FG.【變式訓(xùn)練5】在△ABC中，AB=AC，將線段AC繞著點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段CD，旋轉(zhuǎn)角為，且，連接AD、BD．(1)如圖1，當(dāng)∠BAC=100°，時(shí)，∠CBD的大小為_________；(2)如圖2，當(dāng)∠BAC=100°，時(shí)，求∠CBD的大??；(3)已知∠BAC的大小為m()，若∠CBD的大小與(2)中的結(jié)果相同，請(qǐng)直接寫出的大?。敬鸢浮?1)30°；(2)30°；(3)為或或．【詳解】解：(1)解(1)∵，，∴，∵，，∴為等邊三角形，∴．又∵，∴為等腰三角形，，∴．(2)方法1：如圖作等邊，連接、．，．，，．，．．①，，．②，③；由①②③，得，，．，，．，，．．．④，，．⑤，⑥；由④⑤⑥，得．．．．．方法2如下圖所示，構(gòu)造等邊三角形ADE，連接CE．∵在等腰三角形ACD中，，∴，∵，∴．可證．結(jié)合角度，可得，．在和中，，∴，∴．∵，∴．方法3如下圖所示，平移CD至AE，連接ED，EB，則四邊形ACDE是平行四邊形．∵，∴四邊形ACDE是菱形，∴，．∴，∴，∴是等邊三角形，是等腰三角形，∴，，∴．∴．(3)由(1)知道，若，時(shí)，則；①由(1)可知，設(shè)時(shí)可得，，，．②由(2)可知，翻折到△，則此時(shí)，，，③以為圓心為半徑畫圓弧交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，，，．綜上所述，為或或時(shí)，．類型二、四邊形中的旋轉(zhuǎn)問題例．如圖1，在ABC中，∠ACB為銳角，點(diǎn)D為射線BC上一點(diǎn)，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF．(1)如果AB＝AC，∠BAC＝90°．①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)(與點(diǎn)B不重合)，如圖2，線段CF、BD所在直線的位置關(guān)系為，線段CF、BD的數(shù)量關(guān)系為．②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖3，①中的結(jié)論是否仍然成立？并說明理由；(2)如圖4，如果AB≠AC，∠BAC是銳角，點(diǎn)D在線段BC上，當(dāng)∠ACB滿足什么條件時(shí)，CF⊥BC(點(diǎn)C、F不重合)，并說明理由．【答案】(1)①垂直，相等；②成立，理由見解析；(2)45°，理由見解析【詳解】解：(1)①CF與BD位置關(guān)系是垂直，數(shù)量關(guān)系是相等，理由是：如圖2，∵四邊形ADEF是正方形，∴AD＝AF，∠DAF＝90°，∴∠DAC+∠CAF＝90°，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠DAC＝90°，且∠B＝∠ACB＝45°，∴∠CAF＝∠BAD，∴△BAD≌△CAF，∴BD＝CF，∠B＝∠ACF＝45°，∴∠ACB+∠ACF＝45°+45°＝90°，即∠BCF＝90°，∴BC⊥CF，即BD⊥CF；故答案為：垂直，相等；②當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，①的結(jié)論仍成立，理由是：如圖3，由正方形ADEF得AD＝AF，∠DAF＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠DAF＝∠BAC，∴∠DAB＝∠FAC，又∵AB＝AC，∴△DAB≌△FAC，∴CF＝BD，∠ACF＝∠ABD，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝45°，∴∠ACF＝∠ABC＝45°∴∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°，即CF⊥BD；(2)當(dāng)∠BCA＝45°時(shí)，CF⊥BD，理由是：如圖4，過點(diǎn)A作AQ⊥AC，交BC于點(diǎn)Q，∵∠BCA＝45°，∴∠AQC＝45°，∴∠AQC＝∠BCA，∴AC＝AQ，∵AD＝AF，∠QAC＝∠DAF＝90°，∴∠QAC﹣∠DAC＝∠DAF﹣∠DAC，∴∠QAD＝∠CAF，∴△QAD≌△CAF，∴∠ACF＝∠AQD＝45°，∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°，即CF⊥BD．【變式訓(xùn)練1】在正方形的邊上任取一點(diǎn)，作交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接、，如圖，易證

且．將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如圖，則線段和有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的猜想．將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如圖，則線段和又有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，并加以證明．【答案】，；，．

【詳解】解：，．，．證明：延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于，連．∵，，，∴四邊形是矩形．∴，，由圖可知，∵平分，，∴，又∵，∴為等腰直角三角形，∴，．∴．∵，，∴．∵，，∴．∵，∴，又∵，，∴．∵在與中，，∴．∴，．

∵，，，∴，∴，∴，即，∴．【變式訓(xùn)練2】如圖1，點(diǎn)O是正方形ABCD兩對(duì)角線的交點(diǎn).分別延長(zhǎng)OD到點(diǎn)G，OC到點(diǎn)E，使OG=2OD，OE=2OC，然后以O(shè)G、OE為鄰邊作正方形OEFG，連接AG，DE．(1)求證：DE⊥AG；(2)正方形ABCD固定，將正方形OEFG繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角(0°<<360°)得到正方形，如圖2．①在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)∠是直角時(shí)，求的度數(shù)；(注明：當(dāng)直角邊為斜邊一半時(shí)，這條直角邊所對(duì)的銳角為30度)②若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，在旋轉(zhuǎn)過程中，求長(zhǎng)的最大值和此時(shí)的度數(shù)，直接寫出結(jié)果不必說明理由．【答案】(1)DE⊥AG(2)①當(dāng)∠為直角時(shí)，α=30°或150°.②315°【詳解】如圖1，延長(zhǎng)ED交AG于點(diǎn)H，點(diǎn)O是正方形ABCD兩對(duì)角線的交點(diǎn)，，，在和中，，≌，，，，，即；在旋轉(zhuǎn)過程中，成為直角有兩種情況：Ⅰ由增大到過程中，當(dāng)時(shí)，，在中，sin∠AGO=，，，，，即；Ⅱ由增大到過程中，當(dāng)時(shí)，同理可求，．綜上所述，當(dāng)時(shí)，或．如圖3，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到A、O、在一條直線上時(shí)，的長(zhǎng)最大，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，，，，，，，此時(shí)．【變式訓(xùn)練3】在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，且∠EAF=∠CEF=45°(1)將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABG(如圖1)，求證：BE+DF=EF；(2)若直線EF與AB、AD的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)M、N(如圖2)，求證：(3)將正方形改為長(zhǎng)與寬不相等的矩形，其余條件不變(如圖3)，直接寫出線段EF、BE、DF之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)=2．【詳解】(1)證明：∵△ADF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABG，∴AF=AG，∠FAG=90°，∵∠EAF=45°，∴∠GAE=45°，在△AGE與△AFE中，，∴△AGE≌△AFE(SAS)；(2)證明：設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a．將△ADF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABG，連結(jié)GM．則△ADF≌△ABG，DF=BG．由(1)知△AEG≌△AEF，∴EG=EF．∵∠CEF=45°，∴△BME、△DNF、△CEF均為等腰直角三角形，∴CE=CF，BE=BM，NF=DF，∴a-BE=a-DF，∴BE=DF，∴BE=BM=DF=BG，∴∠BMG=45°，∴∠GME=45°+45°=90°，∴EG2=ME2+MG2，∵EG=EF，MG=BM=DF=NF，∴EF2=ME2