2020-2021學(xué)年?yáng)|莞市高二年級(jí)上冊(cè)期末數(shù)學(xué)試卷(含解析)

2020-2021學(xué)年?yáng)|莞市高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分）

1-丫2

設(shè)：2：貝如是的（）

1.px-X-20>0,q―|X|―—Z<0,0

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.在A4BC中，魂=倒才:，a=駕，則邊海的長(zhǎng)為（）

A.B.［岫源C.塞的旨D.第嫡

（x,y>0

3.設(shè)x,y滿(mǎn)足約束條件》一丫2—1,則z=x—2y的最大值為（）

lx+y<3

A.2B.3C.4D.5

4.等差數(shù)列｛斯｝中，a.+a7=10,S9=63,則數(shù)列｛斯｝的公差為（）

A.4B.3C.2D.1

5.如圖，線段4B=8,點(diǎn)C在線段48上，且4C=2,P為線段CB上一動(dòng)點(diǎn)，D廠”

點(diǎn)4繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)后與點(diǎn)B繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)后重合于點(diǎn)。.設(shè)CP=久，△CPD的面積；

為/（x）.則/（久）的最大值為（）

A.2y/2B.2C.3D.38

6.過(guò)拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)尸的直線，與該拋物線交于4B兩點(diǎn)，AF=3FB，A,8在拋物

線的準(zhǔn)線上的射影分別為0,C.若梯形4BC0的面積為8百，則拋物線的方程為（）

A.y2=3V2xB.y2=|xC.y2=|xD.y2=1x

7.設(shè)a>l,定義f5）=《？+++…+會(huì)如果對(duì)任意的九EN*且九N2,不等式12/（九）+

71。9波>7/。9計(jì)/+7（。>0且。。1）恒成立，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是（）

29

A.（2,-）B.（0,1）C.（0,4）D.（L+8）

8.復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足條件|z+2|—|z—2|=4,則復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z的軌跡是（）

A.雙曲線B.雙曲線的右支C.線段D.一條射線

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分）

9.已知居、F2分別為雙曲線捻-3=1（61>0/>0）的左、右焦點(diǎn)，且a,b,c成等比數(shù)列（c為雙

曲線的半焦距），點(diǎn)P為雙曲線右支上的點(diǎn)，點(diǎn)/為APaF2的內(nèi)心.若SA/P6=SA/PB+45刈&6成

立，則下列結(jié)論正確的是（）

A.當(dāng)PF21x軸時(shí)，NP&F2=30°B.離心率e=苫恒

C.4=更二D.點(diǎn)/的橫坐標(biāo)為定值a

2

10.下列命題中，是真命題的是（）

A.若五.另=五.3則方=c

B,正數(shù)a,b,若雷HA/HF,則QHb

C.當(dāng)%o6N+，使就<x0

D.正實(shí)數(shù)％,y,貝ky=1是Egx+Igy=0的充要條件

11.若不等式a/—b%+c>0的解集是（一1,2）,則下列選項(xiàng)正確的是（）

A.b<0且c>0

B.CL-b+c>0

C.a+b+c>0

D.不等式a/+bx+c>0的解集是｛x|-2<x<1｝

12.已知數(shù)列｛斯｝的前n項(xiàng)和為%,且%=p,Sn-2Sn^=p（n>2）（p為非零常數(shù)），則下列結(jié)論中

正確的是（）

A.數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列

B.當(dāng)p=1時(shí)，S$=31

C.當(dāng)p=決寸,am-an=am+n（m,neN*）

D.Sn=2an-p

三、單空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.10.已知一雙曲線的實(shí)軸與虛軸長(zhǎng)度相同，則它的離心率是,漸近

線方程是一

14.數(shù)列1-,2-,3-,4—，…的前71項(xiàng)和為_(kāi)_.

74ft1A

15.已知正四棱錐0-4BCD的體積為土，底面邊長(zhǎng)為冷，則以。為球心，04為半徑的球的表

面積為.

16.已知直線心丫=5%+2巾(加羊0)與橢圓心卷+?=1相交于M,N兩點(diǎn)，若橢圓C上存在點(diǎn)Q,

使得麗+麗=4的(4*0),則實(shí)數(shù)；I?的取值范圍.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分)

17.已知p：|1-1<2,q：x2-2x+1-m2<0(m>0),且-)p是rq的必要而不充分條件，求

實(shí)數(shù)m的取值范圍.

18.設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的公差為d,Sn是｛即｝中從第2nt項(xiàng)開(kāi)始的連續(xù)2底1項(xiàng)的和，即：

S1—a]，

S2=+。3，

53=。4+。5+。6+。7，

n-1n

Sn=Q2九-1+Q2+l+…+Q2-1，

(1)當(dāng)4=3,d=2時(shí)，求S4

(2)若Si，S2,S3成等比數(shù)列，問(wèn)：數(shù)列｛Sn｝是否成等比數(shù)列？請(qǐng)說(shuō)明你的理由.

19.已知△2BC的三個(gè)內(nèi)角4B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且2=]cosA=g的面積S=斗.

C752

(I)求邊b和c；

(H)求角B.

20.如圖，直三棱柱ABC-AiBiG的側(cè)棱長(zhǎng)為1,AB=AC=1,BC=V2.。是BC的中點(diǎn).

(I)求證：4DJ■平面BiBCQ；

(口)求證：418〃平面ADCi；

(皿)求三棱錐名—ADC】的體積.

21.如圖，AB,CC是半徑為1的圓0的兩條弦，它們相交于48的中點(diǎn)P,若PC=三OP==,求PO的

82

長(zhǎng).

22.已知橢圓C：1+t=l(a>b>0)的離心率為多點(diǎn)M(2,l)在橢圓C上.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)直線］平行于0M,且與橢圓C交于4,B兩個(gè)不同的點(diǎn).△A&B，的重心分別為G］、G2,

若原點(diǎn)。在以線段G1G2為直徑的圓內(nèi)，求直線1在y軸上的截距m的取值范圍.

參考答案及解析

1.答案：A

解析：解：P：%2-%-20>0,解得x>5或％V-4,

q：不<0,當(dāng)x20時(shí)可化為上日<o即（XT）（X+D>o得0<%<1或%>2

1\x\-2x-2X-2

i_r2

故77Z7<0的解為：x<一2或一1<x<1或x>2,

故選A

分別解出P和q的范圍，解q時(shí)注意到不關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，只要解x20時(shí)即可.

本題考查解二次不等式、分時(shí)不等式、絕對(duì)值不等式集充要條件問(wèn)題，難度一般.

2.答案：B

解析：試題分析：解三角形問(wèn)題，一般用正余弦定理解決.本題已知兩角及一對(duì)邊，用正弦定理:

_扁,4_酬豳翻『_"顧|反

自一盜?一躺,瞰）：

考點(diǎn)：正余弦定理

3.答案：B

解析：解：由z=x-2y得y="一：，

作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖（陰影部分）：

平移直線y=

由圖象可知當(dāng)直線y=3》一看過(guò)點(diǎn)C（3,0）時(shí)，直線y

截距最小，此時(shí)z最大，

代入目標(biāo)函數(shù)z=x—2y,得z=3

.??目標(biāo)函數(shù)z=x-2y的最大值是3.

故選：B.

作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，進(jìn)行求最值即可.

本題主要考查線性規(guī)劃的基本應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，利用數(shù)形結(jié)合是

解決問(wèn)題的基本方法.

4.答案：C

解析：解：設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的公差為d,ai+a7=10,$9=63,

(2ar+6d=10

=63'解得d=2,a】=—L

則數(shù)列｛即｝的公差為2.

故選：C.

利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式即可得出.

本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式性質(zhì)及其前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

5.答案：A

解析：解：；CP=x,CP+PB=8-2=6,

:.PB=6—x=PD.

在ACPD中，vCP+CD>PD,CD+PD>CP

,??x+2>6—x,2+6—x>x,

解得2<x<4.

在ACPD中，設(shè)NOCP=0,由余弦定理可得==

2x2xxx

???sind—Vl-cos29-Jl—

113x-81------------

:./(%)=-xCPxCDxsind=-x%x2xsinO=xsinO=x1-(-----)n2=2J—2(%—3)2+2

.??當(dāng)且僅當(dāng)x=3時(shí)，/(x)取得最大值，，⑶=2迎.

故選A.

在△CPZ)中，利用CP+CD>PD,CD+PD>CP,可得2cx<4.在△CPD中，設(shè)4DCP=。，由余

弦定理可得cos。=內(nèi)之丘叨=生X利用平方關(guān)系可得sin。=Vi-cos20,利用三角形的面積計(jì)

2x2xxx

算公式可得/(久)=|xCPxCDxsine=2V-2(x-3)2+2,利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出.

本題考查了三角形三邊的大小關(guān)系、余弦定理、平方關(guān)系、三角形的面積計(jì)算公式、二次函數(shù)的單

調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于難題.

6.答案：A

解析：

本題考查拋物線的概念，突出考查拋物線定義的靈活運(yùn)用，考查了直線與拋物線的位置關(guān)系.注重

了數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化和化歸的思想的運(yùn)用.

利用拋物線的定義將曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為曲線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，借助幾何圖形可判

斷直線4B的傾斜角，設(shè)出48的坐標(biāo)，依題意表示出焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得到直線的方程，與拋物線方

程聯(lián)立消去y,利用韋達(dá)定理表示出X1+X2和X1X2,求得|X1-外1，進(jìn)而求得|%-丫2|，最后利用梯

形面積公式建立等式求得p,即可求出拋物線的方程.

解：不妨點(diǎn)4在第一象限、點(diǎn)B在第四象限，作BC14D,垂足為M,

設(shè)|而|=m，\AF\=3m，則由拋物線的定義得依。|=3m,\BC\=m,

：.IABI=4m，IAM|=2m>

^BAM=60°,于是直線2的傾斜角為60。，斜率k=百，

拋物線方程為y2=2px,設(shè)4B點(diǎn)坐標(biāo)分別為(打,光,)，(x2,y2),

???焦點(diǎn)尸坐標(biāo)為(,0),

???直線4B的方程為y=V3(x->

代入拋物線方程得3/-5px+乎=0,

"*1+*2=xlx2=?，

??-|Xi-x2l=y>

4V3

1-yi\-'P

則梯形48CD的面積為2-CAD+BC)?8=+&+P)M-”1

18473

—,—Y)'----T)=8A/3,

23r3l

??Y)=,

y2

,?.y2=3^2%.

故選：A

7.答案：D

解析：解：由7'5)=W+++???+#□，價(jià)+1)=++京…+表，

1

.?./(n+l)-/(n)=-^-+??是遞增數(shù)列.

2n+l直I=(2n+l)(2n+2)>°?/?(n)

.?.當(dāng)n>2時(shí)，/(n)的最小值是/⑵=W

要使對(duì)任意的nGN*且《>2,不等式12f(n)+7logab>7loga+1b+7恒成立,

7

則滿(mǎn)足12?石+7，。。鵬>7loga+1b+7,

即logab>loga+ib,

嚼>焉，

>0

a>1,Igb>0,即b>1.

故選D.

由不等式12/(n)+7logab>7loga+1b+7恒成立這條件轉(zhuǎn)化化為“/(n)>t”這個(gè)形式，要求3先

求/(n)的最小值，最后就是利用a與b的關(guān)系求出b的范圍.

此題考查數(shù)列的增減性，及不等式恒成立問(wèn)題的常規(guī)解法，一般都是轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值來(lái)解決.

8.答案：D

解析：解：設(shè)復(fù)數(shù)z=x+yi(x,y€R),4(2,0),8(-2,0)

由|z+2|一|z—2|=4得：+21+y2-—2)2+y2=4

=+2.+y2=’(x-2產(chǎn)+y2+4

兩邊平方整理得：x-2=J(x-2尸+y2=y=(J。22),

其軌跡是線段BA的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，即為一條射線

故選：D.

設(shè)復(fù)數(shù)z,通過(guò)|z+2|-|z-2|=4,列出方程，即可求解復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡方程

本題考查兩個(gè)復(fù)數(shù)差的絕對(duì)值的幾何意義，復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的關(guān)系，復(fù)數(shù)的模的定義，

判斷條件代表的幾何意義，是解題的關(guān)鍵

9.答案：BCD

解析：解：「a,b,c成等比數(shù)列，??.b2=ac,

對(duì)于4當(dāng)PF2，％軸時(shí)，點(diǎn)P為(C,?),

b2

/.tanz.?^F?=i顯然4PF1F2H30。，即選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

1乙切2c2ac2

對(duì)于8,vb2=ac=c2—a2,e=^>1,

e2-e-1=0,解得?;萼(舍負(fù))，即選項(xiàng)8正確；

對(duì)于C,設(shè)圓/的半徑為r,

???SA/P&=S^/p松+九5\/月七，

???》?IPF1I=1?|PF2l+，》?陽(yáng)尸2|,即|叫|=仍尸2|+2尸1初，

由雙曲線的定義知，|PF/-|PF2l=2a,

2a=A-2c,即；1=2=工=在二，故選項(xiàng)C正確;

ce2

對(duì)于D,設(shè)直線Pa，PF2和0尸2分別與圓/相切于點(diǎn)M,N,T,如圖所示，

由雙曲線的定義和切線長(zhǎng)的性質(zhì)可知，|Pa|-IPF2I=2a=|70|-|77引，

???明+\TF2\=2c,

...\TF2\=c-a,即T（a,O）,

???點(diǎn)/的橫坐標(biāo)為定值a,即選項(xiàng)。正確.

故選：BCD.

對(duì)于4求出點(diǎn)P（c,J）,再求tan4PF】F2=禺的值即可判斷；對(duì)于B,由墳=ac=c?-。2,e=￡>1,

解出e的值，即可；對(duì)于C,設(shè)圓/的半徑為r,可推出［PF/=IPF2I+4I&F2I，再結(jié)合雙曲線的定義，

即可得解；對(duì)于D,設(shè)直線PF1，P6和尸1尸2分別與圓/相切于點(diǎn)M,N,T,結(jié)合雙曲線的定義和切線

長(zhǎng)的性質(zhì)可求得ITEI的長(zhǎng)，從而確定點(diǎn)7（見(jiàn)0），進(jìn)而得解.

本題考查雙曲線的定義與幾何性質(zhì)，圓的切線性質(zhì)，考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想、邏輯推理能力和運(yùn)

算能力，屬于中檔題.

10.答案：BD

解析：解：對(duì)于4若五不=H=0,則3,乙故A錯(cuò)誤；

對(duì)于8：正數(shù)a,b,若等KVHF,整理得：a+b-=（正-乃產(chǎn)#0,則aKb,故B正確；

對(duì)于C：當(dāng)殉6N+，使得歐2與，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于￡）：正實(shí)數(shù)％,y,貝（Uy=1是Zgx+=2gxy=0的充要條件，故。正確.

故選：BD.

直接利用向量的數(shù)量積，關(guān)系式的變換，不等式的應(yīng)用，充分條件和必要條件的應(yīng)用判斷4、B、C、

。的結(jié)論.

本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：向量的數(shù)量積，關(guān)系式的變換，不等式的應(yīng)用，充分條件和必要條件，主要

考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題.

11.答案：ABD

解析：解：對(duì)于是方程-bx+c=的兩個(gè)根，所以-

4a<0,-1,2a-01+2=1=-a,-1x2=-a,

所以b=a,c=-2a,所以b<0,c>0,所以A正確；

令、=。/-6%+<:,對(duì)于B,由題意可知當(dāng)％=1時(shí)，y=a-b+c>0,所以8正確；

對(duì)于C,當(dāng)x=—1時(shí)，a+b+c=0,所以C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,把b=a,c=-2a代入不等式a/+bx+c>0化簡(jiǎn)可得：x2+x—2<0,解得一2<x<1,

所以不等式a/+bx+c>0的解集是｛x|—2<x<1｝,所以。正確.

故選：ABD.

由已知可得a<0,且一1,2是方程的兩個(gè)根，則由根與系數(shù)的關(guān)系可得出力=a,c=-2a,從而可

以判斷b,c的符號(hào)，即可判斷4是否正確，

又由解集可得1滿(mǎn)足不等式，所以代入1即可判斷B是否正確，而-1不滿(mǎn)足不等式，所以可判斷C的

正確性，把匕=。，c=-2a代入不等式化簡(jiǎn)即可求解.

本題考查了一元二次不等式的解法以及應(yīng)用，考查了學(xué)生的運(yùn)算轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題.

12.答案：ABD

解析：解：數(shù)列｛〃｝前n項(xiàng)和為無(wú),且為=p,Sn-2sli_]=p(n>2)(p為非零常數(shù))，

當(dāng)n=2時(shí),S2—2S1—p,即a2+%—2al=p,得a2=2p,

當(dāng)n>3時(shí)，Sn-1-2Sn_2=p,

兩式相減得：an-2即_1=0,

由琮=2,

所以數(shù)列｛a"是以p為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故A正確；

當(dāng)p=l時(shí)，Ss=W=3L故B正確：

m-1xxn-1m+n4

由4可知即=Px2"T,當(dāng)p=：時(shí)，am-an=|x2|2=2~,

c_nm+n-l_om+n-2

am+n-]xv4一乙9

所以.,冊(cè)。Qm+ii，故C錯(cuò)誤；

71n

Sn=)=px2—p,2an—p=px2—pf所以Sn=2an-p,故。正確.

故選：ABD.

直接利用數(shù)列的遞推關(guān)系式求出數(shù)列為等比數(shù)列，即可判斷選項(xiàng)A；利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即

可判斷選項(xiàng)B；利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可判斷選項(xiàng)C；利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前"項(xiàng)和公式

即可判斷選項(xiàng)D.

本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：數(shù)列遞推式，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，考查學(xué)生的邏輯推理能力

和運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

13.答案:；;

72

解析：雙曲線的實(shí)軸與虛軸長(zhǎng)度相等，則a=b,

y=±x

因?yàn)槭堑容S雙曲線，無(wú)論焦點(diǎn)在x軸上還是在y軸上，其漸近線方程為故填

c=Ja2+.2=e=-y=+—x=+x^

14.答案：3衿+1-蠢a

解析：設(shè)所求的前幾項(xiàng)和為Sn,則6=（1+2+…+ri）+（；+丁---^城）=二^~^+1—城,

15.答案：247r

解析：設(shè)正四棱錐的高為心則工X（6）2h=三色，解得高h(yuǎn)=殛.則底面正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為

3;'S怎

履x幣=顯,所以04=層以/理'=戰(zhàn)，S京=4兀（祈）2=2鈕.

『篝I2J

16.答案:（0,4）

解析：解析：設(shè)MN中點(diǎn)為P（xo，yo）,則兩+麗=4的，OQ=\OP,

所以XQ=齊0，、（2=，0，代入橢圓方程：M=￡+y,=G+*）以+4%0+4-，

將直線方程y=Lx+2?n,代入橢圓方程三+”=1得：（1+W）X2+8X+8M2-8=0,

m84m”

所以△=64-4（1+壹）（8m2-8）>0,解得0<巾2<2

且%。=T（/+*2）=一黑7，所以萬(wàn)=怒^=2（式產(chǎn)寸故36（0,4）.

故答案為：（0,4）.

將直線方程y=2x+2ni，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理及向量運(yùn)算可求解.

本題考查橢圓存在性問(wèn)題的處理方法，注意運(yùn)用聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，屬于中

檔題.

17.答案：解：由題意知：命題：若是的必要而不充分條件的等價(jià)命題即逆否命題為：p是q的

充分不必要條件.

p：|x-3|<4,-1<%<7.

q：%2—2%+1—m2<0=>[x—(1—ni)][x—(1+m)]<0(*).

又rm>0,

?,?不等式(*)的解集為｛%|1-m<x<1+m].

???p是q的充分不必要條件，

m>0

1-m<-1,解得m>6.

.1+m>7

:?實(shí)數(shù)m的取值范圍是[6,+8).

解析：分別求出p，q,由p是q的充分不必要條件，解不等式從而求出m的范圍.

題主要考查不等式的解法，充分條件、必要條件、充要條件的定義，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，

屬于中檔題.

18.答案：解：(1)當(dāng)%=3,d=2時(shí)，Q〃=2n+1,

nn-1n

Sn=a2t+Q2+i+…+Q2-i?

c...8(17+31)

???S4=a84-a9d-Ka15=——-——=192；

(2)???Si，S2,S3成等比數(shù)列，

**,S、=a1H0,S1S3=S：,

???+18d)=(2%+3d)2,

???d=0或％=

d=0時(shí)，$=2,數(shù)列｛S"成等比數(shù)列；

3oil-1\Q

=nn-1nn

Qiyd時(shí),Sn=Q2t+Q2+i+…+Q2-1=2,1Q2-1----------2--------d=&d?4"1。0,

???2=4,數(shù)列｛S.｝成等比數(shù)列.

解析：(1)求出Qn=2n4-1,再求S4

(2)根據(jù)Si，S2,S3成等比數(shù)列，求出d=0或%=|d,再分別判斷數(shù)列｛Sn｝是否成等比數(shù)列

本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查等比數(shù)列的判斷，正確求和是關(guān)鍵.

19.答案：解：（I）在三角形中，因?yàn)镃OS4=￡所以sim4=7'-cos2A=I，

所以S△謝=沏$譏力=§,而g=1

所以可得b=5,c=7；

（n）由余弦定理可得Q=“72+c2-2bccosA=J25+49-2x5x7x，=3或V/?Vc,所以4<

B<C,

由正弦定理可得，=一、，所以sin8=%譏4=2,之="，

sinBsinAa3v252

所以B=%

4

解析：（I）由4的余弦值可得4的正弦值，由面積公式及c,b的關(guān)系求出b,c的值；

（口）由余弦定理可得a邊，再由正弦定理可得8的正弦值，由a<b<c可得B為銳角，進(jìn)而求出B的

值.

本題考查同角的基本關(guān)系即三角形的正余弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

20.答案：（I）證明：???三棱柱ABC-aB1G是直三棱柱，

AByB1底面ABC,

又???4。u平面4BC,

B[B1AD,

又AB=AC=l.BC=V2,即三角形ABC是以A為直角的等腰直角三角形.

。是BC的中點(diǎn)，

二AD_LBC,而B(niǎo)Cn=B,B】B、BCu平面BiBCC1，

?.AD_L平面B1BCC1；

（口）證明：連接41c交4cl于。，連接OD,

???點(diǎn)。是矩形4遇CG對(duì)角線的交點(diǎn)，

???。是41c的中點(diǎn)，

又：。是BC的中點(diǎn)，

???OD"A[B,

???ODu平面ADC；,ArBC平面4%,

???&B〃平面ADC1；

(W)解：由(I)知，2D1平面/BCC1，

AC為三棱錐4一B1GD的高，

又「48=40=1,BC=近，D是BC的中點(diǎn)，

???AD——,

2

SABIQD=]X1XV2—

貝加B]_40G=匕-81QD=|xyxy-^-

解析：本題考查空間中直線與平面平行、直線與平面垂直的判定，考查空間想象能力和思維能力，

訓(xùn)練了利用等積法求多面體的體積，是中檔題.

(I)由三棱柱ABC-ABiG是直三棱柱，得B1BJ■底面4BC,則為81/1。，再由4B=AC,。是BC的

中點(diǎn)，可得4D_L8C,貝IJ4D1平面/BCC1；

(口)連接4停交"1于0,連接。。，可得。0〃&B,再由線面平行的判定可得