人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊重點(diǎn)訓(xùn)練：圓切線與圓最值問題分類

7.圓切線與圓最值歸類

i.圓最值1：圓上動點(diǎn)與圓心..............................................1

2.圓最值2：直線動點(diǎn)與圓................................................4

3.圓最值3：阿波羅尼斯圓................................................6

4.圓最值4將軍飲馬型..................................................8

5.圓最值5：定角范圍...................................................11

6.圓最值6：最短總巨離...................................................14

7.切線1:入射與反射光線.................................................16

8.切線2：切點(diǎn)弦方程...................................................18

9.切線3：切點(diǎn)弦過定點(diǎn).................................................20

10.切線4：切線長最值范圍..............................................22

11.切線5：切線三角形與四邊形面積最值.................................24

12.切線6：切點(diǎn)弦最值..................................................26

13.切線7：向量范圍....................................................29

14.切線轉(zhuǎn)化綜合........................................................32

1.圓最值1：圓上動點(diǎn)與圓心

【典例分析】

已知圓G：(x—iy+(y+l)2=l,圓C2：(x-4y+(y-5『=9,點(diǎn)M、N分別是圓G、圓G上

的動點(diǎn)，點(diǎn)P為x軸上的動點(diǎn)，則|尸川-|尸陷的最大值是()

A.36+4B.9C.7D.375+2

【答案】B

【分析】分析可知(|PN|-|PM|)a=|pq-|PG|+4,設(shè)點(diǎn)G(4,5)關(guān)于X軸的對稱點(diǎn)為

C；(4,-5),可得出照|=卜司，求出,。；卜因|的最大值，即可得解.

【詳解】圓0：a-1)2+&+1)2=1的圓心為《1,—1),半徑為1,圓G：(x—4>+(尸5)2=9的

圓心為G（4,5），半徑為3.（|網(wǎng)-儼陷）皿*=|附|四一處叫,11ta，又1PMmax=|PG|+3，

:皿=陽卜1，

.?.（|9|一|加|）3=（儼6|+3）-（歸。-1）=歸0|-歸4+4.點(diǎn)G（4,5）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為

<（4,-5）,

，22

|PC2|-|PC,|=|pC2|-|PCl|<|c,C2j=7（4-l）+（-5+l）=5,所以，QPNHPMIL=5+4=9,

【變式訓(xùn)練】

1.點(diǎn)M（x,y）在曲線。:/-4》+>2-21=0上運(yùn)動，z=x2+/+12x-12y-150-a,且r的最大

值為b,若“，bwR；則---7+7的最小值為

a+]b

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】由題意曲線C為圓，r=（x+6）2+（y-6）2-222-a,旦（x+6>+"-6）?表示曲線C上

的點(diǎn)M到點(diǎn)N（-6,6）的距離的平方，結(jié)合圓的特征可得點(diǎn)用（6,-3），由此可得

富M=（6+6）2+（—3-6）2-222—。=6,于是。+。=3,故（。+1）+6=4,以此為基礎(chǔ)并由基本

不等式可得所求的最小值.

【詳解】曲線C:x2-4x+V-21=0可化為（x-2『+y2=25,表示圓心為A（2,0）,半徑為5的

2222

圓.z=x+y+12x-12^-150-a=（x+6）+（y-6）-222-?,

（x+6>+（y-6）2可以看作點(diǎn)”到點(diǎn)N（-6,6）的距離的平方，圓C上一點(diǎn)〃到N的距離的最

大值為|AN|+5,即點(diǎn)M是直線AN與圓C的離點(diǎn)N最遠(yuǎn)的交點(diǎn)，所以直線⑷V的方程為

）'=[（"-2），

，3

丁二一二（工一2）fx=6fx9=-2fx=6

由4，解得'a或，（舍去），，當(dāng)。時(shí)，，取得最大值，且

2

（A-2）+>^25卜=一3U=31"-3

'max=(6+6)~+(—3—6)~—222—a=b,ci+b—31**?(a+1)+Z?=4,

當(dāng)且僅當(dāng)一也=見，且a+人=3,即。=1,。=2時(shí)等號成立.故選A.

a+1b

2.已知點(diǎn)A(-2,0),8(2,0),C(4,3),動點(diǎn)P滿足P4_LPB，則|「。|的取值范圍為()

A.[2,5]B.[2,8]C.[3,7]D.[4,6]

【答案】C

【分析】由題設(shè)分析知產(chǎn)的軌跡為/+丁=4(尸不與A,B重合)，要求|PC|的取值范圍，只需

求出C(4,3)到圓f+y2=4匕點(diǎn)的距離范圍即可.

【詳解】由題設(shè)，戶在以|AB|為直徑的圓上，令P(x,y),則x?+y2=4(戶不與4B重合)，

所以歸。的取值范圍，即為C(4,3)到圓/+丫2=4上點(diǎn)的距離范圍，

又圓心(0,0)到C的距離d=J(4-0『+(3-(J)?=5，圓的半徑為2,

所以|PC|的取值范圍為[d-r,d+r],即[3,7].

3.已知點(diǎn)A(0,2),8(1,1),且點(diǎn)尸在圓C:(x-2f+y2=4上，C為圓心，則下列說法錯(cuò)誤的是

()

A.|「川+|「川的最小值為0B.當(dāng)々4B最大時(shí)，△/1/有的面積為2

C.倒卜伊。的最大值為2&D.|酬-|尸邳的最大值為友

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，可知當(dāng)P為線段AB與圓C的交點(diǎn)時(shí)，可求出|R1|+|P8|取得最小值，可

判斷A選項(xiàng)；當(dāng)4,與圓C相切時(shí)，NF4B最大，此時(shí)P與O重合，可求出AVB的面積，即

可判斷B選項(xiàng)：由于|PC|=r=2,當(dāng)|R4|最大時(shí)，|玄|一「。也最大，可知當(dāng)A，C,尸三點(diǎn)

共線，艮。在人，尸之間時(shí)，求出|R4|-|PC|的最大值，即可判斷C選項(xiàng)；當(dāng)尸為射線BC與

圓C的交點(diǎn)時(shí)，求得|削-|P同取得最大值|4叫=0,即可判斷D選項(xiàng).

【詳解】解：如圖，當(dāng)尸為線段AB與圓C的交點(diǎn)時(shí)，即|R4|+|PB|=|AB|=&時(shí)，

此時(shí)|網(wǎng)+「網(wǎng)取得最小值為a,故A正確：

由題可知點(diǎn)B在圓C內(nèi)，當(dāng)AP與圓C相切時(shí)，ZPAB極大,此時(shí)尸與O重合，

此時(shí)打,=3、2x1=1，故B錯(cuò)誤；

因?yàn)辄c(diǎn)尸在圓C:(x-2)2+V=4上，C為圓心，則歸q=r=2,

所以當(dāng)|PA|最大時(shí)，|PA|-|PC|也最大，

當(dāng)A,C,P三點(diǎn)共線，且C在A,尸之間時(shí)，其最大值為|AC|=2忘，故C正確;

當(dāng)戶為射線BC與圓C的交點(diǎn)時(shí)，||削-|尸網(wǎng)取得最大值|AB|=VL故D正確.

2.圓最值2：直線動點(diǎn)與圓

【典例分析】

（2022?江蘇?高郵市第一中學(xué)高二期末）已知圓C：f+y2=2,點(diǎn)A（W,〃L3）,則點(diǎn)A到圓C

上點(diǎn)的最小距離為（）

A.1B.2C.—D.逑

22

【答案】C

【分析】寫出圓c的圓心和半徑，求出距離的最小值，

再結(jié)合圓外一點(diǎn)到圓上點(diǎn)的距離最小值的方法即可求解.

【詳解】由圓C：X2+/=2,得圓C（0,0）,半徑r為血，

所以|AC|=yjm2+（w-3）'=42m。-6,"+9=不2卜”-尚）＞

所以點(diǎn)A到圓C上點(diǎn)的最小距離為逑-0=也.故選：C.

22

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?廣東深圳?高二階段練習(xí)）已知點(diǎn)尸是圓例：f+y2-8x-6y+21=°上的動點(diǎn)，直線

/辦+3丫-6=0與、軸、》軸分別交于4,8兩點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，幟A卜（）

A.娓B.2&C.V10D.713

【答案】A

【分析】求出圓心、半徑，根據(jù)直線與圓的位置可知，當(dāng)NR4B最小時(shí)，R4與圓M相切,

最后用勾股定理求|刻即可

【詳解】圓時(shí)：一+/一8尸6舛21=0化成標(biāo)準(zhǔn)形式為(》一4)2+()'-3)2=4,故圓心為M(4,3),

半徑為2,直線與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)4(3,0),點(diǎn)8(0,2),如下圖所示：

則當(dāng)N/V3最小時(shí)，R4與圓”相切，連接可知

PM1PA,\AM\=^(3-4)2+(0-3)2=VlO,|A7P|=2,

由勾股定理可得|AP|=J|AM『一|加〃『=卡,故選：A

2.若直線/：『)42—20與圓C：x2+y2_4x_2y_4=0交于A,8兩點(diǎn)，則當(dāng)A8C周長最

小時(shí)，k=()

A.!B.--C.1D.-1

22

【答案】C

【分析】由直線方程可得直線/恒過定點(diǎn)。。,2),由圓的幾何性質(zhì)可得當(dāng)時(shí)，,ABC周

長最小，由此可求％的值.

【詳解】直線/：心一共2—2=0的方程可化為y-2=A(x-l)。所以直線/恒過定點(diǎn)。(1,2),

gl^l2+22-4xl-2x4-4=-ll<0?所以點(diǎn)。在圓內(nèi),

由圓的性質(zhì)可得當(dāng)CO_L/時(shí)，|A3|最小，ABC周長最小，

又C(2,l),。(1,2)所以％=T,此時(shí)％=1.故選:C.

3.(2022?安徽?高二開學(xué)考試)已知直線/：/nr+y-3?i-2=0與圓M:(x-5>+(y-4)2=25交

于A,B兩點(diǎn)，則當(dāng)弦A8最短時(shí)，圓M與圓N:(x+2⑼?+y2=9的位置關(guān)系是()

A.內(nèi)切B.外離C.外切D.相交

【答案】B

【分析】由直線/：用+y-3m-2=0過定點(diǎn)P(3,2)且定點(diǎn)在圓“內(nèi)，當(dāng)弦AB最短時(shí)直線/垂

直尸M，根據(jù)斜率乘積為-1求出機(jī)，進(jìn)而求出圓N的方程，再根據(jù)圓心距與兩圓半徑的關(guān)系

確定答案.

【詳解】易知直線/：如c+y-3加-2=0即他(x—3)+y—2=0過定點(diǎn)P(3,2),因?yàn)?/p>

(3-5)2+(2-4)2<25,故尸(3,2)在圓M:(x-5)2+(y-4)2=25內(nèi).故弦AB最短時(shí)直線/垂直

PM，又y=3=1，所以1-（T〃）=-1,解得機(jī)=1,

5—3

此時(shí)圓N的方程是（x+2）2+），2=9.兩圓圓心之間的距離MN=J（5+2）2+（4-0）2=而，半

徑分別為5,3

乂而〉病=5+3,所以這兩圓外掰.故選：B.

3.圓最值3：阿波羅尼斯圓

【典例分析】

已知點(diǎn)A（T,0）,B（-LO）,C（43）,動點(diǎn)P,Q滿足黑=粵=2,則|CP+C@的取值范圍

|尸\QLS\1

（）

A.[LI6]B.[6,14]C.[4,16]D.[瓦,3番]

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，求出點(diǎn)尸和。的軌跡，結(jié)合平面向量的加法以及模長的計(jì)算，即可求解.

【詳解】設(shè)P（x,y），則|PA|=J（x+4y+y2,網(wǎng)=&+爐+〉2,

PA*/（x+4）~+y~

?—=2,所以，I=2,即f+y2=4,因此點(diǎn)p在以原點(diǎn)o為圓心，2為半徑

PBJ（x+l），y2

的圓上，

同理可得點(diǎn)。也在以原點(diǎn)O為圓心，2為半徑的圓上.

乂因CP+CQ=2CO+OP+O。，所以當(dāng)P和Q重合，且C、O、P三點(diǎn)共線時(shí)，|CP+C可取

得最值，

因此|CP+CQL=2（|oc|+2）=14,|CP+C<2|min=2（|OC|-2）=6.

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?全國?高二課時(shí)練習(xí)）已知邊長為2的等邊三角形ABC,。是平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，且

滿足￡>8:"=2:1,則三角形曲面積的最小值是（）

A.g51）B.*百+1）C.竽D.乎

【答案】A

【分析】建立直角坐標(biāo)系，設(shè)Q（x,y）,寫出的坐標(biāo)，利用￡>B:￡Q=2:1列式得關(guān)于x,y

的等式，可得點(diǎn)D的軌跡為以為圓心，以|■為半徑的圓，寫出直線AB的方程，"算|A3|

和點(diǎn)。距離直線AB的最小距離d-r,代入三角形面積公式計(jì)算.

【詳解】以8c的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則A（0,6）,B（T,O）,C（1,O）,

設(shè)因?yàn)椤辏〣:Z）C=2:1,所以（x+l『+y?=4（X-1Y+4y?,得卜-胃+/=為，

所以點(diǎn)。的軌跡為以［I，。］為圓心，以々為半徑的圓，當(dāng)點(diǎn)。距離直線A8距離最大時(shí)，

△ABO面積最大，已知直線AB的方程為：Bx-y+石=0,|4?|=2,點(diǎn)。距離直線A8的

5小?向

最小距離為：34464,所以△ABO面積的最小值為

d-r=-------=-----

2333

?=：>2x］竽用'GM.

2.阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，

他對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，阿波羅尼斯圓就是他的研究成果之一，指的是：已知?jiǎng)?/p>

點(diǎn)〃與兩個(gè)定點(diǎn)A,8的距離之比為2（A>0,且2#1）,那么點(diǎn)”的軌跡就是阿波羅尼

斯圓.若平面內(nèi)兩定點(diǎn)A,6間的距離為2,動點(diǎn)P滿足腎=百，則|尸A「+|P3『的最大值為

（）

A.16+8N/3B.8+4&C.7+46D.3+73

【答案】A

【分析】設(shè)A（-1,O）,B（1,O）,P（%y），由扃=6,可得點(diǎn)P的軌跡為以（2,0）為圓心，半

徑為百的圓，又附『+|冏2=2（/+9+1）,其中f+y可看作圓（x_2『+y2=3上的點(diǎn)

（x,y）到原點(diǎn)（0,0）的距離的平方，從而根據(jù)圓的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：由題意,設(shè)A（-l,0）,8（l,0）,P（x,y）,

=6,即(x-2)~+y2=3,

所以點(diǎn)尸的軌跡為以(2,0)為圓心，半徑為6的圓，

^]^\PAf+\PBf=(x+l)2+/+(x-l)2+/=2(x2+y2+1),其中爐+產(chǎn)可看作圓

(x-2)2+丁=3上的點(diǎn)(x,y)到原點(diǎn)(0,0)的距離的平方，

所以仁+力皿=(2+6丫=7+4百，

22

所以［2(/+/+1)］皿*=16+86，gp|PA|+|PB|的最大值為16+86,

3.已知兩定點(diǎn)A(-l,0),8(l,0),如果平面內(nèi)動點(diǎn)C滿足條件|C4|=W|CB|,則的最大值

是_____

【答案】抬

【解析】設(shè)動點(diǎn)C坐標(biāo)，再由幾何條件|C4|=6|C8|,可得。軌跡方程，進(jìn)一步可得所求解.

22

【詳解】設(shè)C(x,y),由|CA|=G|CB|,可得5/(x+l)+(y-O)=6小一寸+(y時(shí),

整理得：/+V-4x+1=0,即(x-2『+丁=3所以SMBC=gx|AB|x磯(磯表示，ABC中AB

邊上的高)，

顯然(感》)2=日所以50亦最大值為由.故答案為:G.

4.圓最值:4：將軍飲馬型

【典例分析】

已知圓O:d+y2=4上的動點(diǎn)M和定點(diǎn)4-1,0),8(2,2)，則21MAi+|朋8|的最小值為

A.2瓜B.2手C.4X/2D.2M

【答案】D

【分析】取點(diǎn)K(-4,0),連接。M,MK,由AMOK~AAOM,可得萼=等=2,推

MAOA

出MK=2M4,在&W8K中，MB+MKNBK，推出21M4|+可q=的最小值為怛K|

的長.

如圖，取點(diǎn)K(-4,0),連接

/MOK=ZAOM,:.AMOK?J\AOM,------=------=2,-MK=2MA,

MAOX

;.\M^+2\M^=\M^+\MK\,因?yàn)閈MB\+\MK\耳BK|,當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號成立,

:.\MB\+2\M^=\MB\+\MK\的最小值為忸毛的長，網(wǎng)2,2),儀工0),

/.\BK\=,J(-4-2)2+(O-2)2=2710.故選D.

【變式訓(xùn)練】

1.已知圓C是以點(diǎn)”(2'2碼和點(diǎn)N(6「2百)為直徑的圓，點(diǎn)尸為圓。上的動點(diǎn)，若點(diǎn)

4(2,0),點(diǎn)5(1,1),則2附一網(wǎng)的最大值為()

A.后B.4+72C.8+5應(yīng)D.應(yīng)

【答案】A

【分析】由題設(shè)可知圓C：(x-4)2+/=16,在坐標(biāo)系中找到。(-4,0),應(yīng)用三角線相似將21PH

轉(zhuǎn)化到IP。I，再利用三角形的三邊關(guān)系確定目標(biāo)式的最大值即可.

22

【詳解】由題設(shè)，知：C(4,0)H|MN|=7(-2^3-2^3)+(6-2)=8，即圓C的半徑為4,

圓C：(x-4)2+y2=[6,

—=—=即AAPC2PCD,故您；.2|胸-|PB|=|P￡)|-|P8|,在△P8Z)中

CPDC2PD21111

.?.要使IPDHPBI最大,28，。共線且最大值為|8D|的長度.

，||=J(1++1=而.故選:A

2.(2022.湖南省臨澧縣第一中學(xué)高二開學(xué)考試)阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，他對圓錐

曲線有深刻系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線論》一書，阿波羅尼斯

圓是他的研究成果之一，指的是：己知?jiǎng)狱c(diǎn)M與兩定點(diǎn)A,8的距離之比為2">0,

那么點(diǎn)M的軌跡就是阿波羅尼斯圓.下面我們來研究與此相關(guān)的一個(gè)問題，已知圓O：/十

產(chǎn)=1上的動點(diǎn)M和定點(diǎn)4(-g,0),8(1,1),則21MAi+|MB|的最小值為()

A."B.近

C.而D.而

【答案】C

【分析】討論點(diǎn)M在x軸上與不在x軸上兩種情況，若點(diǎn)M不在x軸上，構(gòu)造點(diǎn)K(—2,0),

可以根據(jù)三角形的相似性得到^^=2,進(jìn)而得到2|歷4|+|MB|=|M8|+|MK，最后

|MAI\OA\

根據(jù)三點(diǎn)共線求出答案.

【詳解】①當(dāng)點(diǎn)M在x軸上時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(一1，0)或(1,0).

若點(diǎn)M的坐標(biāo)為(一1,0),則21MAi+=2x)+J(1+1y+.=1+石;

若點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,0),則21MAi+|M8|=2x.+=4.

②當(dāng)點(diǎn)M不在x軸上時(shí)，取點(diǎn)K(-2,0),如圖,

連接。M,MK,因?yàn)閨OM=1，QA|=J,|OK|=2,所以需7=兩第=2.因?yàn)?MOK=

乙\||UM|

ZAOM,

所以AMOKs△AO/W,則二^=塔^=2,所以|M/q=2|MA|,則2\MA\+\MB\=\MB\+\MK\.

IMA\\OA|

易知IMBI+IM用之|5K，所以+的最小值為18Kl.因?yàn)锽(l,1),K(一2,0),所以⑵MA|

+|A/B|)min

==y/(-2-l)2+(O-l)2=Vio.又加＜1+石＜4,所以21MAi+|M8|的最小值為布.

3.已知?jiǎng)狱c(diǎn)尸(利〃)在圓O:x"2=i上，若點(diǎn)f),點(diǎn)3(1,1),則2附+照的最小值

為.

【答案】M

【解析】2|網(wǎng)+|尸@中兩系數(shù)不相同,需要轉(zhuǎn)化為,可作出圖形,取點(diǎn)Q(-2,0),利用相似

三角形性質(zhì)得2|網(wǎng)=|尸。，這樣有2|網(wǎng)+仍叫=P。+歸5區(qū)忸(2|,結(jié)合圖形得出結(jié)論.

【詳解】當(dāng)戶在x軸上時(shí)，有片(TO),g(l,O),2山山+山卸=24+&2+12=1+石,

2|^A|+|/>B|=2x|+l=4,當(dāng)尸不在x軸上時(shí)，在x軸上取點(diǎn)Q(-2,0),連接PQ,OP,AP,

OA1OP|PA||。4|1

則萬萬=5=石。'又NAOP=/POQ,所A以△OQP、所以場=橫=5'即

|P9=2|網(wǎng),

所以2|PA|+\PB\=\PQ\+\PB\<\BQ\=A/32+12=M,三點(diǎn)Q,P，B共線時(shí)等號成立.

綜上2|刻+|尸8|的最小值為故答案為：Vio.

5.圓最值5：定角范圍

【典例分析】

已知圓0：*2+丫2=2,48為圓。上兩個(gè)動點(diǎn)，且IA8|=2,M為弦AB的中點(diǎn)，C(石,4-1),

力(百,〃+3),當(dāng)A,B在圓O上運(yùn)動時(shí)，始終有NCMO為銳角，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.(-oo,-3)l(1,+co)B.(-00,-2)!1(0,+oo)

C.(-3,1)D.(-2,0)

【答案】A

【分析】先確定點(diǎn)"是在以。為圓心,1為半徑的圓匕根據(jù)當(dāng)48在圓O上運(yùn)動時(shí)，始

終有NCM￡>為銳角，可知點(diǎn)”應(yīng)在以C￡>的中點(diǎn)N為圓心，2為半徑的圓外，由此可列出關(guān)

于參數(shù)。的不等式,即可求得答案.【詳解】連接OM,則

=T=1,所以點(diǎn)M在以O(shè)為圓心，1為半徑的圓上，設(shè)CD的中點(diǎn)為N,則

N(區(qū)a+1),fi|CD|=4，因?yàn)楫?dāng)A,B在圓O上運(yùn)動時(shí)，始終有NCAm為銳角，

所以以O(shè)為圓心，1為半徑的圓與以N為圓心，2為半徑的圓相離，

故4+(.+1)2>]+2,解得。<_3或a>1,即ae(-8,-3)(1,-KO),故選:A.

【變式訓(xùn)練】

1.設(shè)點(diǎn)若在圓°：/+貨=1上存在點(diǎn)%,使得/0削=45。，則方的取值范圍是()

A.B.[),+<?)C.[-忘，&]D.[-1,1]

【答案】D

【分析】以。加為一邊作正方形OMPQ,然后把問題轉(zhuǎn)化為正方形的中心在圓上或圓內(nèi)，從

而求出％的取值范圍.

【詳解】以QM為一邊作正方形?！笆?。，若對角線與圓有交點(diǎn)，則滿足條件的N存在,

此時(shí)正方形的中心在圓上或圓內(nèi)，即所以所以*+41,所以

2.(2023?全國?高二專題練習(xí))已知圓C:(x-3)2+(y-4)2=l和兩點(diǎn)A(-m,0),B(〃?,0),

(/?>0).若圓C上存在點(diǎn)尸，使得NAP8=90。，則〃，的最小值為()

A.7B.6C.5D.4

【答案】D

【分析】由NAP3=90。，知?jiǎng)狱c(diǎn)尸的軌跡是以AB為直件的圓O,乂點(diǎn)尸在圓C上，故點(diǎn)尸是

圓。與圓C的交點(diǎn)，因此可得兩圓的位置關(guān)系是相切或相交.山兩圓的位置關(guān)系可以得到代數(shù)

關(guān)系，從而求出〃?的取值范圍，進(jìn)而找到，”的最小值.【詳解】

.NAPg=90。，，力P的軌跡是以AB為直徑的圓O,又點(diǎn)P在圓Cl：,故點(diǎn)P是圓O引回c

的交點(diǎn)，因此可得兩圓的位置關(guān)系是相切或相交，即帆-1區(qū)序不4機(jī)+1,解得：

4<zn<6.，機(jī)的最小值為4.故選：D.

3.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，A為直線/：y=2x上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，B（5,0）,以AB為直

徑的圓C與直線/交于另一點(diǎn)。.若NO84245。，則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)的取值范圍為

【答案】［3,物）.

【解析】由直徑所對的圓周角為^?可求得直線8。的方程，進(jìn)而解得。點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)舟A點(diǎn)

的坐標(biāo)，再利用向量的數(shù)量積即可求出點(diǎn)A的橫坐標(biāo)的取值范圍.

【詳解】解：如圖所示：

兀

4ADB=-

.點(diǎn)。在以A3為直徑的圓上，2,即5￡>J_AO,

-kAD-kRD=-\f又.A,。均在直線y=2x，.?.心〃=2,.?.原"二一；，又8（5,0），

15

——X+—

22

y=2x

x=\

聯(lián)立：15，解得:,/.D(l,2)；設(shè)A(a,2tz)(Q>0),則BD=(-4,2),

V=——x+—y=2

22

BA=(a-5,2a),

人BDBA10Jo

..cos/06A=|「=又NOMN45,-1<cosZDBA<—,

忖砌J25礦-50a+1252

即-14//°$,解得：a>3^a<-\(舍去)，

J25a2—50“+1252

故A點(diǎn)的橫坐標(biāo)取值范圍為：［3,+8).故答案為：［3,+8).

6.圓最值6：最短距離

【典例分析】

1Q

已知點(diǎn)也…八R,點(diǎn)E是圓一+丁丁上的動點(diǎn)，點(diǎn)歹是圓(一)2+(尹1)七上的動

點(diǎn)，則歸口-歸目的最大值為

5

A.2B.—C.3D.4

2

【答案】D

【分析】由于兩圓不在直線的同側(cè)，先做出圓。關(guān)于直線對稱的圓。|,把|PF|-|P￡|轉(zhuǎn)化為

|PF|-|pr|,若盧尸卜仍研最大,必須|PF|最大，|尸團(tuán)最小.【詳解】如圖:

依題意得點(diǎn):P(f,f-l)JeR在直線y=x-l|二，點(diǎn)E)<f點(diǎn)線y=x-l對稱的點(diǎn)E,

點(diǎn)￡在圓V+產(chǎn)=!關(guān)于直線卜=》_1對稱的圓o：(x+l)2+(y_l)2=!上，

則|「￡|=|尸同，設(shè)圓(x-3)2+(>,+1)2='的圓心為。2,因?yàn)殚Z「。卜舊《|,

\PF\<\PO2\+\FO2\,

所以1%-歸耳=|叩_歸?<(|PO/+但到)_(歸。卜但21)=忸。2|-歸0+2引0?|+2=4,

當(dāng)P,￡,尸,五點(diǎn)共線，￡在線段。h,。2在線段尸產(chǎn)上時(shí)"=”成立.因此，|「耳-|「耳的

最大值為4.

【變式訓(xùn)練】

1.一束光線，從點(diǎn)4-2,2)出發(fā)，經(jīng)x軸反射到圓C：(x-3)2+(y-3)?=l上的最短路徑的長

度是()

A.5a-1B.5a+1C.372+1D.3忘-1

【答案】A

【分析】求出點(diǎn)A關(guān)于x軸對稱點(diǎn)A,再求點(diǎn)A與圓C上的點(diǎn)距離最小值即可.

【詳解】依題意，圓C的圓心c（3,3）,半徑r=l,

于是得點(diǎn)A與圓C上的點(diǎn)距離最小值為A'B=A'C-r=7（-2-3）2+（-2-3）2-1=5應(yīng)-1，

在x軸上任取點(diǎn)尸，連AP,A'P,PC,尸C交圓C于點(diǎn)8'，而AO=AO,AP=AP,

AO+OB=A'O+OB=A'B=A!C-r<A'P+PC-r=AP+PB',當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P與。重合時(shí)取“=",

所以最短路徑的長度是50-1.故選：A

2.已知點(diǎn)P在直線y=x-2上運(yùn)動，點(diǎn)E是圓f+y2=］上的動點(diǎn)，點(diǎn)?是圓

（x-6>+（y+2）2=9上的動點(diǎn),則IP尸HP?的最大值為（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】C

【分析】作出爐+9=1關(guān)于直線y=x-2的對稱圓，把歸國轉(zhuǎn)化到與|"|直線y=x-2同側(cè)

的盧同，數(shù)形結(jié)合找到|P用-|PE|取最大值的位置，求出|P*-|PE|的最大值.

【詳解】如圖所示，圓（x-6）?+（y+2）2=9的圓心為“（6,-2）,

半徑為3,圓f+y=l關(guān)于直線丫=》-2的對稱圓為圓叢其中設(shè)圓心3坐標(biāo)為（利〃），則

-=-1

m

n_mhn=2

-22,解得：1〃=-2,故圓B的圓心為（2,-2）,半徑為］,由于此時(shí)圓心4與圓心8

的距離為4,等于兩圓的半徑之和，所以兩圓外切，此時(shí)"點(diǎn)的對稱點(diǎn)為鳥，且歸月|=|「同，

所以附一附=附一啕，在P點(diǎn)運(yùn)動過程中，當(dāng)尸，B,A,片，尸五點(diǎn)共線時(shí)，且片在

圓8左側(cè)，點(diǎn)尸在圓A右側(cè)時(shí)，仍尸卜忸叫最大，最大值為4尸=4B+BA+AF=l+4+3=8

7.切線1:入射與反射光線

【典例分析】

自點(diǎn)A(-2,l)發(fā)出的光線/經(jīng)過x軸反射，其反射光線所在直線正好與圓

用:犬+9_41-6)，+9=0相切，則反射光線所在直線的所有斜率之和為()

48

A.-B.2C.-D.4

33

【答案】C

【分析】求出圓心與半徑，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出直線方程，利用圓心到直線

的距離等于半徑，即可求得結(jié)論.

2

［詳解】圓M:_?+V_?-6y+9=0可化為(x-+(y-3)=4,圓心為M(2,3),半徑為r=2.

點(diǎn)A(-2,l)關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)為^(-2,-1)，所以設(shè)反射光線所在直線的方程為y+1=A(x+2),

即"-y+2"l=0.由反射光線正好與圓M相切，得.7：211=2,

\lk2+1

即女2-8%+3=0,解得k1上立居=生旦,于是勺+&,='也+生電=號.故選：C.

,33333

【變式訓(xùn)練】

1.已知圓C：(x+2)，(y-3)2=2,從點(diǎn)P(l,3)發(fā)出的光線，經(jīng)直線y=x+l反射后，光線恰

好平分圓C的周長，則入射光線所在直線的斜率為()

A.—2B.—C.-4D.—

24

【答案】C

【解析】根據(jù)光路可逆，易知圓心C(-2,3)關(guān)于直線y=x+l的對稱點(diǎn)在入射光線上，由

此可求得結(jié)果.

【詳解】圓C：(x+2Y+(y-3)2=2,圓心為C(-2,3),由已知，反射光線經(jīng)過C(-2,3),

二一1

故C點(diǎn)關(guān)于直線y=x+l的對稱點(diǎn)M在入射光線上.設(shè)M(a,b),貝『露”2「解得

------=-------+1

22

\a=2

1=T，即M(2,—1),

且光.源P(l,3),所以入射光線的斜率氏=T9=-4,故選：C.

2.一條光線從點(diǎn)尸(-2,4)射出，經(jīng)直線x-y+2=0反射后與圓工2+丫2+4》+3=0相切，則反

射光線所在直線的方程的斜率為()

A.土叵B.叵或姮C.土叵D.-晅或一叵

315315153

【答案】C

【分析】先求得尸關(guān)于直線x-y+2=0的對稱點(diǎn)Q,由此設(shè)出反射光線所在直線的方程，利

用圓心到反射光線所在直線的距離等于半徑列方程，由此求得反射光線所在直線的斜率.

【詳解】設(shè)。(2,0),kPQ=^-=-\,直線x-y+2=O的斜率為1,所以出線P。和直線

-2-2

x-y+2=0垂直；PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為即(0,2),(0,2)在直線X-y+2=0上，所

以點(diǎn)P(-2,4)關(guān)于直線x-y+2=0的對稱點(diǎn)為Q(2,0),由題可知反射光線所在直線的斜率存

在，點(diǎn)Q在反射光線所在直線上.

設(shè)反射光線所在直線方程為>=依工-2),即依-y-2%=0.

???圓的方程可化為。+2-+丁=1,圓心為(-2,0),半徑為1,

；.一目1=1,解得A=土石，即憶=士詈.故選：C

3.(2023?全國?高二專題練習(xí))過點(diǎn)A(-2,l)的直線經(jīng)x軸反射后與圓C:(x-2y+(y-3)2=4相

切，則切線的斜率為()

A.UB."C,1D.好

3333

【答案】D

【分析】由題意可知切線/的斜率存在，可設(shè)切線/的斜率為人,由點(diǎn)斜式得切線/

kx-y+2k-\=0,再根據(jù)直線與圓相切，圓心C到/的距離為d=r代入計(jì)算.

【詳解】圓C:(x-2>+(y-3)2=4的圓心C(2,3),半徑r=2

點(diǎn)A(-2,1)關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)為3(-2,-1),則過點(diǎn)8與圓C相切的直線即為所求.

由題意可知切線/的斜率存在，可設(shè)切線/的斜率為k貝ij/的方程為y+l=k(x+2)即

kx-y+2k-\=Q

解得7

圓心。到/的距離為d

8.切線2：切點(diǎn)弦方程

【典例分析】

過點(diǎn)(3,1)作圓(x-l『+y2=i的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B,則直線AB的方程為()

A.2x+y—3=0B.2x—y-3=0C.4x-y-3=0D.4x+y-3=0

【答案】A

【解析】求出以(3』)、C(L0)為直徑的圓的方程，將兩圓的方程相減可得公共弦A3的方程.

【詳解】圓(x-l)2+y2=l的圓心為C(l,()),半徑為1,以(3,1)、C(l,0)為直徑的圓的方程為

,1,5

(x-2)2+(y--)2=-,

因?yàn)檫^點(diǎn)(3,1)圓(x-1丫+丁=1的兩條切線切點(diǎn)分別為A,B,所以，A8是兩圓的公共弦，

將兩圓的方程相減可得公共弦AB的方程2x+y-3=0,故選：A.

【變式訓(xùn)練】

1.過點(diǎn)M(2,3)作圓Y+y=4的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)分別為A、B,則直線AB的方程為()

A.x+2y-2=0B.2x+3y-4=0C.2x-3y-4=0D.3x+2y-6=0

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，可知圓一+)2=4的圓心為。(0,0),半徑“2,由切線長公式求出AM的

長，進(jìn)而可得以M為圓心，M4為半徑為圓，則AB為兩圓的公共弦所在的直線，聯(lián)立兩個(gè)

圓的方程，兩方程作差后計(jì)算可得答案.

【詳解】解：根據(jù)題意，可知圓V+y2=4的圓心為0(0,0),半徑r=2,過點(diǎn)/(2,3)作圓

x2+r=4的兩條切線,設(shè)切點(diǎn)分別為A、B，而=V22+32=拒，貝\MA\=-4=3,

則以“為圓心，M4為半徑為圓為(》-2)~+(y-3)-=9,即圓x?+y?-4x-6y+4=0,

X2+y2=4

所以AB為兩圓的公共弦所在的直線，則有＜

%2+y2-4x-6y+4=0

作差變形可得：4x+6y-8=0；即直線AB的方程為2x+3y-4=0.故選：B.

2.過直線x=2上任一點(diǎn)P作圓O：/+丁=2的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B,若直線A8與

圓M：(x-f)2+(y-2)2=8恒有公共點(diǎn)，則r的取值范圍是()

A.(-1,3)B.[-1,3]C.[0,3]D.(0,3)

【答案】B

【分析】先求出切線方程，然后求出直線48方程，根據(jù)直線和圓有公共點(diǎn)解出f的取值范圍.

【詳解】解：設(shè)A(XQJ,5伍,以)，「(2M),過直線x=2上任意一點(diǎn)尸作圓O：/+爐=2

的兩條切線分別為4，%,則勺=-2，K=-—，結(jié)合x：+城=2,xJ+yJ=2,可得切線

M%

[2x.+my,=2

/|:x]x+y,y=2,切線右：&x+y2y=2,又.《鼠=尸，二<1_,'.從而直線AB的方

\2X2+fny2=2

程為2x+my=2,且過定點(diǎn)(1,0),

因?yàn)橹本€A8與圓M：(X7)2+(>-2)2=8恒有公共點(diǎn)，故有定點(diǎn)(1,0)在圓M上或是圓內(nèi)，

故可得(lT)2+(0-2)*8,解得—?jiǎng)tf的取值范圍是[-L3].

3.過直線x+y=4上一動點(diǎn)向圓0:/+丁=4引兩條切線，A、B為切點(diǎn),則圓

C:(x+3)2+(y-3)2=l的動點(diǎn)尸到直線相距離的最大值為()

A.2逐+1B.6

C.8D.2娓+T

【答案】A

【分析】根據(jù)題意設(shè)點(diǎn)尸(%與在直線x+y=4上，可得點(diǎn)A、B在以O(shè)P為直徑的圓上，求

出該圓的方程，聯(lián)立圓。的方程得出直線的方程，進(jìn)而可得直線4B恒過定點(diǎn)

將問題轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)C、N之間的距離，結(jié)合圓C的方程和兩點(diǎn)坐標(biāo)求距離公式計(jì)算即可得出

結(jié)果.

【詳解】由題意知，設(shè)點(diǎn)尸3,3在直線*+)，=4上，則a+A=4,

過點(diǎn)P作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、8,則P4LQ4,PBLOB,

所以點(diǎn)A、B在以。尸為直徑的圓上，且該圓的方程為：。-92+(y-夕=；(/+〃)，

又圓。的方程為f+y2=4,這兩個(gè)圓的方程相減，得公共弦的方程為公+刀=4,

即以+公」4=0,因?yàn)椤?b=4,所以b=4-a,所以a(x-y)+4y-4=0,

當(dāng)x=y艮4y-4=0即x=y=l時(shí)該方程恒成立，所以直線AB恒過定點(diǎn)N(L1),

所以點(diǎn)M到直線A8距離的最大值即為點(diǎn)C、N之間的距離加上圓C的半徑，

又C(-3,3),2=1,所以|C7V卜2石，即點(diǎn)M到直線AB距離的最大值為26+1.故選：A

9.切線3：切點(diǎn)弦過定點(diǎn)

【典例分析】

已知