人教版八年級數(shù)學(xué)上冊講義(全冊)

八年級數(shù)學(xué)講義

第11章三角形

一、三角形的概念

1.三角形的定義由不在同一直線上的三條線段首尾順次連結(jié)所組成的圖形叫做三角形

要點(diǎn)：①三條線段；②不在同一直線上；③首尾順次相接.

△ABC中，邊：AB,BC,AC或c,a,b,

頂點(diǎn)：A,B,C.

內(nèi)角：4A,乙B,ZC..

二、三角形的邊

1.三角形的三邊關(guān)系：（證明所有幾何不等式的唯一方法）

⑴三角形任意兩邊之和大于第三邊:b+c>a

⑵三角形任意兩邊之差小于第三邊:b-c<a

1.1判斷三條已知線段a、b、c能否組成三角形.

當(dāng)a最長，且有b+c>a時(shí)，就可構(gòu)成三角形.

L2確定三角形第三邊的取值范圍:兩邊之差（第三邊〈兩邊之和.

2.三角形的主要線段

2.1三角形的高線

從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對邊所在直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高線.

A

①銳角三角形三條高線交于三角形內(nèi)部一點(diǎn)；

②直角三角形三條高線交于直角頂點(diǎn)；

③鈍角三角形三條高線所在直線交于三角形外部一點(diǎn)

2.2三角形的角平分線

三角形一個(gè)角的平分線與它的對邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線。

A

2.3三角形的中線

連結(jié)三角形一個(gè)頂點(diǎn)與它對邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線。

三角形的三條中線交于三角形內(nèi)部一點(diǎn).

三、三角形的角

1三角形內(nèi)角和定理

結(jié)論1：AABC中：4A+2B+乙C=180。*三角形中至少有2個(gè)銳角

A

結(jié)論2:在直角三角形中，兩個(gè)銳角互余.※三角形

中至多有1個(gè)鈍角

注意：①在三角形中，已知兩個(gè)內(nèi)角可以求出第三個(gè)內(nèi)角

如：在AABC中，ZC=180°-(ZA+ZB)

②在三角形中，已知三個(gè)內(nèi)角和的比或它們之間的關(guān)系，求各內(nèi)角.

如：4ABC中，已知4A：ZB：乙C=2：3：4,求乙A、ZB.ZC的度數(shù)

2三角形外角和定理

2.1外角：三角形一邊與另一邊的延長線組成的角叫做三

2.2性質(zhì)：

①三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.

②三角形的一個(gè)外角大于與它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角.

③三角形的一個(gè)外角與與之相鄰的內(nèi)角互補(bǔ)

2.3外角個(gè)數(shù)：

過三角形的一個(gè)頂點(diǎn)有兩個(gè)外角，這兩個(gè)角為對頂角(相等)，可見一個(gè)三角形共有6個(gè)外角

四、三角形的分類

(1)按角分：①銳角三角形②直角三角形③鈍角三角形

⑵按邊分：①不等邊三角形②底與腰不等的等腰三角形③等邊三角形

五多邊形及其內(nèi)角

1、多邊形的定義：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形.

2、正多邊形:各個(gè)角都相等、各個(gè)邊都相等的多邊形叫做正多邊形。

3、多邊形的對角線

(1)從n邊形一個(gè)頂點(diǎn)可以引(n-3)條對角線，將多邊形分成(n-2)個(gè)三角形。

(2)n邊形共有2條對角線。

4、n邊形的內(nèi)角和等于(n-2)18(T(nN3,n是正整數(shù))。任意凸形多邊形的外角和等于360。

*多邊形外角和恒等于360。，與邊數(shù)的多少無關(guān).

*多邊形最多有3個(gè)內(nèi)角為銳角，最少?zèng)]有銳角(如矩形)；

*多邊形的外角中最多有3個(gè)鈍角，最少?zèng)]有鈍角.

5、實(shí)現(xiàn)鑲嵌的條件：拼接在同一點(diǎn)的各個(gè)角的和恰好等于360。；相鄰的多邊形有公共邊。

【考點(diǎn)三】判斷三角形的形狀

8、若AABC的三邊a、b、c滿足(a-b)(b-c)(c-a)=0,試判斷AABC的形狀。

9、已知a,b,c是aABC的三邊，且滿足a+b+c=ab+bc+ca,試判斷AABC的形狀。

10、若4ABC的三邊為a、b、c(a與b不相等)，且滿足a-ab+ab-ac+bc-b=O,試判斷AABC的形

狀。

二、三角形角有關(guān)計(jì)算

1.如圖4ABC中AD是高,AE、BF是角平分線,它們相交于點(diǎn)0,如A=50°,CC=70°求4DAC/AOB

c

解：AD是4ABC的高/C=70。

ZDAC=180°-90o-70o=20°

?/ABAC=50°

ZABC=180o-50°-70o=60°

AE和BF是角平分線

/.乙BA。=25°,4ABO=30°

ZAOB=180o-25°-30o=125°

2.如圖，AABC中，D是BC邊上一點(diǎn),Zl=Z2,Z3=Z.4,ZBAC=63°,求乙DAC的度數(shù)

B

解設(shè)Nl=x'

???/I=Z2,.\Z2=x0

.?./3=/l+/2=2x°

又???/3=/4

Z4=2x°

又?:/2+/4+/BAC=180"

Ajr+2x+630=180°

Ax=39°

/.ZD/4C=63°-39°=24°

解:更長BP史AC于,AD

?；/BPCEZiPDC的外角

；.ZBPC>ZPOC

同及彳#NPDO/A

是ACi!上的高

；./BPC>ZA

3.已知：P是AABC內(nèi)任意一點(diǎn).求證：NBPC>4A

4.如圖，乙1=42,23=44,ZA=100°,求x的值

A

M:VZ1=Z2Z3=Z4

AZABC=2Z2ZACB=2Z4

?△ABC中ZA+ZABC+ZACB=180*

AZA+2(Z2+Z4)=180o

VZA=100°

AZ2+Z4=40°

VZ2+Z4+x=180°

:,x=140°

汪明：：BO、CO是NB、/C的平分慢

ZI-Z2Z5-Z4

&△BOC中/BOC+/2+/37X。*

AZ2*Z3-ilf-ZB<M

在△\HC中/A+/ZM'?/ACR-IXO

:./人+2(/2+/3尸1潮了

/.ZA+2(1XO,-ZBOC>>1W*

ZIMX-90*?ZA

5.已知aABC的乙B、乙C的平分線交于點(diǎn)0。求證：NB0C=9（T+乙A（角平分線模型）

6.已知：BP、CP是aABC的外角的平分線，交于點(diǎn)P。求證：NP=90。-4A（角平分線模型）

A

證明：；BP、CP是外角平分錢

:.ZI=Z2Z3=Z4

7/EBC是△ABC的外H△PBC中/P+N1+/A180。

，/EBC=NA+NACB.,.Zi+Z3=l?0*?NP

=/A+(18(r-Z3-Z4).'.ZA+180*-2(180*-ZP)

；?ZEBC=Z1+Z2

2Z1=ZA+<180o-2Z3)；?NP=90°-ZA

2Z1+2Z3=ZA+18O°

7.AABC中，4ABC的平分線BD和AABC的外角平分線CD交于D,求證：NA=24D（角平分線模

型）

證明：YBD、CD是角平分線

:.Z1=Z2Z3=Z4

在△BDC中Z4=Z2+ZD

，N3=N2+ND

在△ABC中NACE=NA+NABC

A2Z3=ZA4-2Z2

2(Z2+ZD)=NA+2N2

AZA=2ZD

8ZA0B中，NAOB=90o/OAB的平分線和AABC的外角aOBD平分線交于P,求乙P的度數(shù)

X：；AP、BP是向平分線

二N1=N2Z3=Z4

在Z\ABP中N4=/2+/P

在AABO中ZOBD=ZO+ZOAB

.*.2Z3=ZCX2Z2

；?2(/2+/P尸ZO+2Z2

，/O=2ZP

/.ZP=45*

0

9.如圖：求證：Z_A+4B+4C=4ADC（飛鏢模型）

證明:連接BD并延長到E

VZADE=ZABD+ZA

ZCDE=ZCBD+ZC

VZAD€=Z/\BD+ZCBD

ZABC=ZABD+ZA

:.ZA+ZABC+ZC=ZAD€

第12章全等三角形

一、全等三角形的概念與性質(zhì)

1、概念：能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。

(1)表示方法：兩個(gè)三角形全等用符號來表示，記作<8<40/402、性質(zhì)：(1)

對應(yīng)邊相等(2)對應(yīng)角相等(3)周長相等(4)面積相等

二、全等三角形的判定

1全等三角形的判定方法：(SAS),(SSS),(ASA),(AAS),(HL

邊邊邊(SSS)邊角邊(SAS)角邊角(ASA)角角邊AAS直角邊和

斜邊

(HL)

A

AA△

B

△\

三邊對應(yīng)相等的兩三角形有兩邊和它們的夾角對有兩角和它兩角和及其有一條斜

全等應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全們的夾邊對中一個(gè)角所邊和一條

等應(yīng)相等的兩對的邊對應(yīng)直角邊對

個(gè)三角形全相等的兩個(gè)應(yīng)相等的

等.三角形全等.兩個(gè)直角

三角形全

等(HL)

2.全等三角形證題的思路:

找夾角（S4S）

①已知兩邊＜找直角（〃〃）

找第三邊（S55）

’若邊為角的對邊，則找任意角（/MS）

找己知角的另一邊（S4S）

②已知一邊一角，

邊為角的鄰邊?找已知邊的對角（/MS）

找夾已知邊的另一角04s4）

［找兩角的夾邊（AS4）

③已知兩角〈

找任意一邊G4AS）

3全等三角形的隱含條件：①公共邊（或公共角）相等②對頂角相等

③利用等邊（等角）加（或減）等邊（等角），其和（或差）仍相等

④利用平行線的性質(zhì)得出同位角、內(nèi)錯(cuò)角相等

人等三龜形（SAS）

【知識(shí)要點(diǎn)】

兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡寫成“邊角邊”或“SAS”，幾何表示