2020-2021學(xué)年九江市高一年級上冊期末數(shù)學(xué)試卷(含解析)

2020-2021學(xué)年九江市高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題(本大題共12小題，共60.0分)

1.設(shè)集合4=B=0,從4到B的映射0在映射下，B中的元素為(4,2)對應(yīng)的4中元素為()

A.(4,2)B.(1,3)C.(6,2)D,(3,1)

2.如圖所示的陰影部分是由底邊長為1,高為1的等腰三角形及寬為1,

長分別為2和3的兩矩形所構(gòu)成.設(shè)函數(shù)S=S(a)(a20)是圖中陰影部J||

分介于平行線y=0及y=a之間的那一部分的面積，則E自數(shù)S(a)的圖1_________II

)—||y=a

象大致為()

aO1^23~x

MOr123a

bM

上S(a)]

0M

3.設(shè)函數(shù)網(wǎng)，網(wǎng)，若實數(shù)國、國滿足回，[3，則()

A.0B.0C.0D.0

4.已知過點,科海額的直線與圓歌,-:陰也/=豺目切，且與直線吟”人?垂直，則涵,=()

11

A.--B.1C.2D.-

&鬟

5.7.已知奇函數(shù)對任意rwR都有/("6)+/(1)=0,且/⑵=4,則〃2014)=()

A.0B.-4C.-2D._16

6.已知函數(shù)/'(X)=(2-"x<00,貝行(〃-4))+f(bg2}=()

A.|B.3C.8D.9

7.5.設(shè)喙=噴嗎題=%寓密禺=fe^a:i,則

A.盛《后?布B.您＜霜＜詼c.、《覆D.曲不聾:布螂

8.若一個底面為正三角形、側(cè)棱與底面垂直的棱柱的三視圖如圖所示，則這個棱柱的表面積為()

主視圖2/3

側(cè)視圖

A.36B.36+8V3C.3+18V3D.36+24V3

1

9.設(shè)a￡{-1:17-72.3},則使函數(shù)卜=為奇函數(shù)的所有a值為()

A.1,3B.-1,1C.—1,3D.-1,1,3

10.已知函數(shù)/(%)=2a%-1在區(qū)間［0,2］上的最大值為7,則9(%)=loga%在區(qū)間［1,4］上的最大值為

()

A.0B.1C.2D.4

11.已/(x)=a/+b/+s+d的圖象如圖所示，則有()

A.b<0

B.0<b<1

C.l<b<2

D.b>2

12.圓G：%2+y2-2久=0與圓。2：/+y2+4y=0的公共弦長為()

A.V5B.C.2D.在

555

二、單空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.若點(3,￡1)在兩條平行直線次-6)/+1=()和久-3)/-4=0之間(不在兩條直線上)，則實數(shù)a的

取值范圍是.

14.已知集合M={x\x2<4},N={x\x2-2x-3<0},則集合MCN=.

15.四面體4BCD的體積是g△4BC是斜邊ZB=2的等腰直角三角形，若點4,B,C,。都在半徑

O

為魚的同一球面上，則。與AB中點的距離是.

16.私家車具有申請報廢制度.一車主購買車輛時花費15萬，每年的保險費、路橋費、汽油費等約1.5

萬元，每年的維修費是一個公差為3000元的等差數(shù)列，第一年維修費為3000元，則該車主申請

車輛報廢的最佳年限(使用多少年的年平均費用最少)是年.

三、解答題(本大題共7小題，共84.0分)

17.已知全集U={x\x>一4},集合4={x|-1<x<3},S={x|0<x<5},求4nB,(如人)UB,

an”).

18.如圖，AC=2ED,"〃平面EDB,AC_L平面BCD,平面ACDE1平面ABC.

(I)求證：AC"ED；

(n)SBC=CD=DE=1時，求BC與平面ABE所成角的正弦值.

19.已知2,B分別為橢圓C：捻+3=l(a>b>0)在x軸正半軸，y軸正半軸上的頂點，原點。到直

線4B的距離為第，且|4B|=V7.

(1)求橢圓C的離心率;

(2)直線1：y=kx+m(-l<k<2)與圓/+y2=2相切，并與橢圓C交于M,N兩點，若|MN|=岑^,

求k的值.

20.建造一個容積為8巾3,深為27n的長方體無蓋水池，如果池底和池壁的造價每平方米分別為120元

和80元.

(I)寫出建造水池的總造價y元關(guān)于底的一邊長萬米的函數(shù)解析式y(tǒng)=/(%),并求定義域.

(n)當?shù)走呴L為多少米時總造價最低？最低總造價為多少元？

21,求函數(shù)、=1。羽(尤2—5X+4)的定義域、值域和單調(diào)區(qū)間.

3

22.已知函數(shù)f(%)=/+2a%,x6[—5,5].

(1)若y=/(x)-2%是偶函數(shù)，求/(%)的最大值和最小值；

(2)如果/(乃在[-5,5]上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)Q的取值范圍。

23.已知函數(shù)f(%)=/+2力的一個零點在(0,1)內(nèi)，另一個零點在(1,2)內(nèi)，求：

(1)三的值域；

(2)(a—1)2+9—2)2的值域.

參考答案及解析

1.答案：D

解析：試題分析：集合a=B=回，從a到B的映射0在映射下，B中的元素為回，所以網(wǎng)，

解得□，所以集合□中的元素為□故選D

考點：本題主要考查了映射的定義.

2.答案：A

解析：

先觀察原圖形面積增長的速度，然后根據(jù)增長的速度在圖形上反映出切線的斜率進行判定即可

本題主要考查了函數(shù)的圖象，同時考查了識圖能力以及分析問題和解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.

—+2a(0<a<1)

1

2a+5(1VaW2)

解:可求得S（a）="5

a+3(2VaW3)

、羨(a>3)

根據(jù)函數(shù)解析式可知，在區(qū)間［0,1］上，S（a）為開口向上的拋物線的一部分（圖象下凹），排除C,D.

在區(qū)間（1,2］上面積的增長速度恒定，在區(qū)間（2,3］上面積的增長速度恒定，其圖象均為線段，

在區(qū)間（1,2］,（2,3］上直線的斜率分別為2,1,即在區(qū)間（1,2］上面積的增長速度大于在區(qū)間（2,3］上面

積的增長速度.

故選：A.

3.答案：D

解析：試題分析：由于函數(shù)目在回上單調(diào)遞增，且叵］,國，且叵I,由零點的存在定理

知，0，同理可知□，由于函數(shù)區(qū)在網(wǎng)上單調(diào)遞增，則0

國，區(qū)，于是有0，故選D

考點：1.零點存在定理；2.比較大小

4.答案:C

解析：試題分析：設(shè)過點.韓國I的直線的斜率為1則直線方程般-罷=闔卜:-寄即

胡■一段帶罷一翻t=勵，由于和圓相切，故=、底,得藏=_工，由于直線就:一般帶罷一徽廠領(lǐng)

與直線殛制一般,外1=?,因此

—三次砌=—1,解得誦■=塞，故答案為C.

罷

考點：1、直線與圓的位置關(guān)系；2、兩條直線垂直的應(yīng)用.

5.答案：B

解析：上〃X)是瓦上的奇函數(shù),則「01=0,

且.〃x+6)+.“x)=0,/(x+12)=-/(x+6)=/(.Y),故函數(shù)|/(x)的一個周期為6,所以

7(2014)=/(335x6+4)=/(4),/(4)=/(6-2)=/(-2)=-/(2)故選B.

6.答案：C

解析：

本題考查分段函數(shù)值的求法，屬于基礎(chǔ)題.

由已知利用分段函數(shù)及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解.

解:?.?函數(shù)/(%)=｛黑：；/0

???/(-4)=24=16,

???f(H-4))=/(16)=log416=2,

lo6

/(log2i)=/(-log26)=2^=6,

???/■(/(-4))+/(log2i)=2+6=8.

故選：c.

7.答案：C

解析：解：由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得：2°、＞2°=1

由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得：

二

0=log31<log32<log33=1，log20.1<log210

所以a>b>c,故選C.

8.答案：B

解析：

本題考查由空間幾何體的三視圖求原幾何體的表面積問題，屬于基礎(chǔ)題.

由該棱柱的三視圖可知，該棱柱是正三棱柱，其中高是3,底面邊長是4,再由表面積公式即可得出

答案.

解：由該棱柱的三視圖可知，該棱柱是高是3,底面邊長是4的正三棱柱,

則棱柱的底面積是］x4x2A/3=4V3,每個側(cè)面面積是4x3=12,

所以該三棱柱的表面積為2x4V3+12x3=36+873

故選：B.

9.答案：D

解析：試題分析：經(jīng)檢驗證明可知V都是奇函數(shù),故答案選D.

考點：1.塞函數(shù)；2.奇函數(shù)；3.簡單的幕運算.

10.答案：c

解析：

本題考查函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值的求法，是基本知識的考查.

根據(jù)函數(shù)的最值，求出a,然后利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解即可.

解：函數(shù)/'(>)=2ax-1在區(qū)間［0,2］上的最大值為7,顯然a>0,4a—1=7,解得a=2,

則g(x)=logax=log2%在區(qū)間［1,4］上是增函數(shù)，

所以函數(shù)g(x)的最大值g(x)?iax=9(4)=log24=2.

故選C.

11.答案：A

解析：解：?.?函數(shù)/(%)=+b%2+c%+d的圖象與y軸交點的縱坐標為負，故d<0；

??./(%)=。爐+bx2+c%+d的圖象有兩個遞增區(qū)間，有一個遞減區(qū)間，

???/'(%)=3a/+2b%+c的圖象開口方向朝上，且于X軸有兩個交點，故a>0,

又f(x)=ax3+bx2+ex+d的圖象的極小值點和極大值點在y軸右側(cè)，

???/'(%)=3a%2+2bx+c=0的兩根%i，&滿足，

+%2>則b<0,則c>0,

綜上a>0,h<0,c>0,d<0,

故選：A.

由已知中函數(shù)〃%)=。%3+.2+5+4的圖象，根據(jù)其與y軸交點的位置，可以判斷d的符號，進

而根據(jù)其單調(diào)性和極值點的位置，可以判斷出其中導(dǎo)函數(shù)圖象的開口方向(可判斷。的符號)及對應(yīng)函

數(shù)兩個根的情況，結(jié)合韋達定理，可分析出b,。的符號，進而得到答案.

本題考查的知識點是函數(shù)的圖象與圖象變化，其中根據(jù)圖象的形狀分析其導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)是解答本題

的關(guān)鍵，同時由于本題涉及到導(dǎo)數(shù)，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)取極值的條件等

諸多難點，屬于中檔題.

12.答案：B

解析：解：因為圓Q：/+y2-2%=。與圓。2：%2+y2+4y=0,

兩式相減得，公共弦所在直線的方程％+2y=0,

因為圓心Q(l,0),半徑q=l,

所以圓心Cl到公共弦的距離為d=盤顯=

所以公共弦長為2斤二薜=卜—凈=蜉.

故選：B.

兩圓的方程相減，得公共弦所在直線的方程x+2y=0,計算出G到公共弦的距離為d,進而得公共

弦長為-潦.

本題考查兩圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

13.答案：(—黑)

71

解析：解：由題意，直線2x—6y+l=0上有點(3,9,直線x—3y—4=0上也有點(3,—?,

點(3,a)在兩條平行直線之間，顯然—§<a<

3o

故答案為：(—],().

令x=3,求出與兩直線的交點的縱坐標，進而求得結(jié)論.

本題主要考查點與直線的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

14.答案：{x[—l<x<2}

解析：解，由不等式的解法，

可得M={x\x2<4}={x|—2<x<2},

N={x\x2—2x—3<0}={x|—1<x<3},

由交集的計算方法可得，MC\N={x\-1<x<2].

由不等式的解法，解不等式可得M與N,進而由交集的意義，分析可得答案.

本題考查交集的運算，經(jīng)常與不等式、一元二次方程的解法有聯(lián)系，注意不等式和方程的正確求解.

15.答案：V2

解析：

本題考查幾何體的體積，考查球，考查學(xué)生分析解決問題的能力，圖形構(gòu)建能力，屬于中檔題.

設(shè)48的中點為E,求出。到平面ABC的距離，球心到平面28C的距離，構(gòu)建等腰三角形，即可得出結(jié)

論.

解：設(shè)4B的中點為E,則

?.?四面體4BCD的體積是gAABC是斜邊4B=2的等腰直角三角形，

。至！J平面48C的距離為。F=

???點4B,C,。都在半徑為企的同一球面上，

球心到平面ABC的距離為。E=1,

如圖所示，

取。E的中點G,則DG1OE,

DE=OD=V2.

故答案為：V2.

16.答案:10

解析：解：設(shè)這輛汽車報廢的最佳年限71年,

第九年的費用為與，

貝!Ja九=1.5+0.3n,

前踐年的總費用為：sn=15+1.5n+^(0.3+0.3n)=0.15彥+1.65n+15,

年平均費用：且=0.1571+-+1,65>20.15nX-+1.65=4.65,

nnyn

當且僅當0.15n=竺，即n=10時，年平均費用且取得最小值.

nn

這輛汽車報廢的最佳年限10年.

故答案為：10.

設(shè)這輛汽車報廢的最佳年限九年，年平均費用：^=0.15n+-+1.65,利用均值定理能求出這輛汽

nn

車報廢的最佳年限.

本題考查等差數(shù)列在生產(chǎn)生活中的實際應(yīng)用，是中檔題，解題時要認真審題，注意均值定理的合理

運用.

17.答案：解：,全集U={x\x>-4},集合4={x|-1<%<3},B={%|0<%<5),

?1.CUA={%|-4<%<-1或x>3},

CuB={x|-4<x<0或%>5],

則4nB={x|0<久W3},

(CyX)VJB={x\-4<x<-1或x>0},

AA(CuB)={x|-1<%<0].

解析：根據(jù)集合的基本運算關(guān)系即可得到結(jié)論.

本題主要考查集合的基本運算，比較基礎(chǔ).

18.答案：(I)證明：因為4C〃平面EDB,平面2CDEC平面石[

EDB=ED,7

且4CC平面ED8,所以4C〃E。.\/

(口)因為AC1平面BCD,CD,BCu平面BCD,所以AC1CD,----------------------------JL.yC.Jc

AC1CB,

因為平面2CDE1平面48C,且平面"DEC平面28C=AC,B

CDu平面"DE,

所以CD1平面ABC,

所以C為原點，為x軸，CB為y軸，CD為z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，

因為BC=CD=DE=1,所以4(2,0,0),5(0,1,0),C(0,0,0),￡(1,0,1)，

所以能=(0,—1,0)，AE=(-1,0,1),AB=(-2,1,0)，

設(shè)平面ABE的法向量為元=(a,b,c),則，亞??=-a+c=°.

取a=1,可得元=(1,2,1)，

所以BC與平面ABE所成角的正弦值為|cos(元，元>|=翻=嘉=祭

解析：(I)利用線面平行的性質(zhì)定理，即可證明4C〃ED；

(口)以。為原點，CA為x軸，CB為y軸，CD為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出BC與平

面28E所成角的正弦值.

本題主要考查線面平行的性質(zhì)定理，利用向量法求直線與平面所成角的正弦值,考查推理論證能力、

運算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

22

19.答案：解：(1)???4B分別為橢圓C：京+a=1(￡1>匕>0)在％軸正半軸，y軸正半軸上的頂點，

原點。到直線4B的距離為第，M|XB|=V7.

\AB\=Va2+b2=7,=第，a>b>0,

解得a=2,b=V3，c=y/a2—b2=1,

橢圓C的離心率e=-=

a2

(竺上亡=1

(2)由(4+3一,消去y,得：

ly=fcx+m

(3/c2+4)x2+6kmx+3m2-12=0,

36k2m2—4(31+4)(3m2—12)>0,

即3小一加2+4>o,

設(shè)MQi，%),NQ2，%)，則/+%2=一1^，"2=喋;

又直線I與圓/+y2=2相切，

=V2,即病=2(/c2+1),

\MN\=Jl+H+不/_4rl%2

Vl+fc2.,48(3.2_*+4)_Vl+fc2,J48.2+2)

3H+4=3k2+4

4V3-Vfc4+3fc2+2

3fc2+4

12V2

7

.4V3-Vfc2+3/c2+2_12>/2

=,

3k2+4-----7

5kJ31—2=0,

解得k=±1.

解析：⑴由原點。到直線AB的距離為第，且|AB|=77冽出方程組，求出a,b,c,由此能求出橢

圓C的離心率.

(2)由4+3-1,消去y,得(3k2+4)%2+6kmx+3m2-12=0,由此利用根的判別式、韋達定

vy=kx+m

理、直線與圓相切、弦長公式，結(jié)合已知條件，能求出k的值.

本題考查橢圓的離心率的求法，考查直線的低利率求法，考查等價轉(zhuǎn)化思想，考查推理論證能力，

考查直線、橢圓、圓的性質(zhì)，是中檔題.

20.答案：解：(1)?無蓋長方體的深為2m,底面一邊長xm,容積為8n13,

二另一邊長為&

X

s網(wǎng)=(2%+2x,x2=(4x+S底=4(m2),

???池底和池壁的造價分別為120元/血2和80元/徵2,

總造價y=80X(4%+y)+120x4=320(%+》+480(元)(x>0).

(2)vy=320(%+3+480>1280+480=1760(元),(當且僅當％=2時取“=”).

故該長方體的水池長、寬、高均相等，為27n時總造價最低，最低總造價為1760元.

解析：⑴依題意，底面一邊長xn另一邊長為:n利用池底和池壁的造價分別為120元/62和80元

/TH?可求得函數(shù)解析式y(tǒng)=/(%)及％的取值范圍；

(2)利用基本不等式即可給出總造價最低的設(shè)計方案.

本題考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，考查基本不等式，考查分析與解答的能力，屬于中檔題.

21.答案：解：由〃(%)=%2—5%+4>0,解得久>4或％<1,

所以尤e(-00,1)U(4,+00),

當％G(—00,1)U(4,+00),=/-5%+4}=R+,

所以函數(shù)y=log^x2-5x+4)的值域是(_8,+00).

因為函數(shù)y=，。曳-5%+4)是由y=log弟⑺與"⑺=X2_5X+4復(fù)合而成,

函數(shù)y=I。史”(%)在其定義域上是單調(diào)遞減的，

3

函數(shù)〃(%)=x2-5x+4在(-8,|)上為減函數(shù)，在E，+oo]上為增函數(shù).

考慮到函數(shù)的定義域及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，

22

y=log^x-5x+4)的增區(qū)間是定義域內(nèi)使y=(。嗚4。)為減函數(shù)、M(x)=%-5%+4也為減函

數(shù)的區(qū)間，即(一8,1);

22

y=log^x-5x+4)的減區(qū)間是定義域內(nèi)使y=/。%以乃為減函數(shù)、=x-5%+4為增函數(shù)

的區(qū)間，即(4,+8).

解析：先根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的定義域，然后在定義域內(nèi)求函數(shù)的值域，函數(shù)y=3(/—

3

5%+4)是由y=logy⑺與Mx)=x2-5x+4復(fù)合而成，根據(jù)復(fù)合的兩個函數(shù)同增則增，同減則增,

一增一減則減，即可求出函數(shù)V=logi(x2-5x+4)的單調(diào)區(qū)間.