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一、選擇題(本大題共7小題,每小題5分,共35分)
1.用S表示圖中陰影部分的面積,貝氏的值是()
第8度圖
【答案】D
【解析】
b
試題分析:先將陰影部分的面積用定積分表示/Jf(x)dx-/Bf(x)dx,然后根據(jù)定積分
的意義進(jìn)行選擇即可.
詳解:
由定積分的幾何意義知
區(qū)域內(nèi)的曲線與X軸的面積代數(shù)和.
h
即JJf(x)dx-faf(x)dx
選項(xiàng)D正確.
故選:D.
點(diǎn)睛:本題考查定積分在求面積中的應(yīng)用,解題是要注意分割,關(guān)健是要注意在x軸下方的
部分積分為負(fù)(積分的幾何意義強(qiáng)調(diào)代數(shù)和),屬于基礎(chǔ)題.注意積分并不等于面積,當(dāng)被積
函數(shù)為正時(shí)積分和面積相等,當(dāng)被積函數(shù)為負(fù)時(shí)積分等于面積的相反數(shù).
2.一物體以速度2t(y的單位:m/s)做直線運(yùn)動(dòng),則它在t與s到力4s時(shí)間段內(nèi)的位移
是()
A.31mB.36m
C.38mD.40m
【答案】B
【解析】
【分析】
利用定積分的物理意義解答即可.
3
【詳解】由題意物體在t=0s到t=3s時(shí)間段內(nèi)的位移是:J(3t2+2t)dt=(t3+1510=36.
o
故選:B.
【點(diǎn)睛】本題考查了定積分的物理意義;變速直線運(yùn)動(dòng)的物體在時(shí)間段內(nèi)的位移可以利用定
積分計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.
3.以初速度40m/s豎直向上拋一物體,t秒時(shí)刻的速度v=40—lOt',則此物體達(dá)到最高時(shí)的
高度為().
160804020
A.—mB.—mC.—mD.-m
3333
【答案】A
【解析】
試題分析:物體達(dá)到最高時(shí)速度為o,^v=40-10t2=0.貝I」t=2,則所求高度應(yīng)該為J(40T0t2)dt.
o
考點(diǎn):積分的意義.
4.如圖陰影部分的面積是()
【答案】C
【解析】
試題分析:陰影部分的面積為
—e~~底=[exdx—e~xdx=ex|Q+e~x|Q=e—1+——l=e+——2.
考點(diǎn):定積分的應(yīng)用.
5.做直線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)在任意位置x處,所受的力尸(x)=l+e',則質(zhì)點(diǎn)沿著與Mx)相同的方向,
從點(diǎn)為=0處運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)吊=1處,力尸(x)所做的功是()
A.1+eB.e
C.-D.e-1
p
【答案】B
【解析】
d^^d+eO(x+e?1=(1+e)—l=e.選B.
6.由曲線y=*和直線y=x+2圍成的封閉圖形的面積是()
107913
A.—B.-C.—D.—
3626
【答案】c
【解析】
【分析】
首先求出曲線與直線的交點(diǎn),然后利用定積分表示圍成封閉圖形的面積,最后計(jì)算定積分.
【詳解】由題意,曲線y=I和直線y=x+2的交點(diǎn)為(-1,1),(2,4),如圖
所以圍成封閉圖形的面積為:J(x+2-x2)dx=(;x2+2x」x3)|;=;.
-1
故選:C.
【點(diǎn)睛】利用定積分求平面圖形面積的步驟
(1)根據(jù)題意畫(huà)出圖形;(2)借助圖形確定出被積函數(shù),求出交點(diǎn)坐標(biāo),確定積分的上、下限;
(3)把平面圖形的面積表示成若干個(gè)定積分的和或差;(4)計(jì)算定積分得出答案.
7.直線1過(guò)拋物線c:x?=4y的焦點(diǎn)且與y軸垂直,貝Ui與C所圍成的圖形的面積等于().
4816企
A.-B.2C.-D.
333
【答案】C
【解析】
試題分析:拋物線C的焦點(diǎn)為(0,1),直線l:y=l與拋物線的交點(diǎn)為(±2,1),因此
2,
S=Jf(l-x--)dx=(x-1-x3)|2^=-8.
-2
考點(diǎn):積分的幾何意義.
視頻一
二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分)
8.如圖所示,f(x)=1抬inx,則陰影部分的面積是
【答案】五十2
【解析】
【分析】
71
由圖象可得S=J(1+sinx)dx,再根據(jù)定積分的計(jì)算法則計(jì)算即可.
0
兀
【詳解】由圖象可得S=J(1+sinx)dx=(x-cosx)-cosn-(0-cosO)="+2,
o
故答案為:貝+2.
【點(diǎn)睛】利用定積分求平面圖形面積的步驟
(1)根據(jù)題意畫(huà)出圖形;(2)借助圖形確定出被積函數(shù),求出交點(diǎn)坐標(biāo),確定積分的上、下限;
(3)把平面圖形的面積表示成若干個(gè)定積分的和或差;(4)計(jì)算定積分得出答案.
9.汽車(chē)以每小時(shí)32km的速度行駛,到某處需要減速停車(chē),設(shè)汽車(chē)以加速度a=-1.8m/s?剎
車(chē),則從開(kāi)始剎車(chē)到停車(chē),汽車(chē)所走的路程約為.(保留小數(shù)點(diǎn)后兩位)
【答案】21.95m
【解析】
1=0時(shí),%=32km/h=—~吧%)/s=%/s,剎車(chē)后減速行駛,v(t)=K)+at=——1.8^.停
360099
一/、吊0,口400
止時(shí),。(£)=0,則一一1.8£=0,得£=——s,
981
所以從剎車(chē)到停車(chē),汽車(chē)所走過(guò)的路程為
4.944.X
s=Jv(t)dt=J(8.89-1.8t)dt=j8.89t-1.8x^t2j|4^~21.95m.
oo
故答案為為:21.95m.
10.設(shè)a>\,若曲線y4■與直線y=0,x=\,x=a所圍成的封閉圖形的面積為2,則a=__.
X
【答案】e2
【解析】
【分析】
根據(jù)定積分的幾何意義表示出區(qū)域的面積,根據(jù)定積分公式解之即可.
【詳解】;a>l.若曲線y=1與直線y=0,x=l,x=a,所圍成封閉圖形的面積為2,
X
a
.fl―
??I-dx—2?
1
(Inx)|J=2,
lna=2,??a=e'.
故答案為:/
【點(diǎn)睛】利用定積分求平面圖形面積的步驟
(1)根據(jù)題意畫(huà)出圖形;(2)借助圖形確定出被積函數(shù),求出交點(diǎn)坐標(biāo),確定積分的上、下限;
(3)把平面圖形的面積表示成若干個(gè)定積分的和或差;(4)計(jì)算定積分得出答案.
11.如圖所示,則陰影部分的面積是
【解析】
試題分析:由題意得,直線y=2x與拋物線y=3-2,解得交點(diǎn)分別為(-3,W)和(1,2),拋物線
10
y=3-x)與x軸負(fù)半軸交點(diǎn)(-而,0),設(shè)陰影部分的面積為S,則S=J(3-x2-2x)dx+J(3-xbdx
o-#
0百532
—J2xdx+J(3-xbdx=-+2有+9-2招=一.
-3-3
考點(diǎn):定積分在求面積中的應(yīng)用.
【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了定積分求解曲邊形的面積中的應(yīng)用,其中解答中根據(jù)直線方程
與曲線方程的交點(diǎn)坐標(biāo),確定積分的上、下限,確定被積函數(shù)是解答此類問(wèn)題的關(guān)鍵,同時(shí)
解答中注意圖形的分割,在X軸下方的部分積分為負(fù)(積分的幾何意義強(qiáng)調(diào)代數(shù)和),著重考查
了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力,屬于中檔試題.
三、解答題(本大題共2小題,共25分)
12.已知曲線G:/之x與Gjlf在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為A
2
(1)求過(guò)點(diǎn)。且與曲線C相切的直線方程;
(2)求兩條曲線所圍圖形(如圖所示的陰影部分)的面積S
4
【答案】(1)2x丁-2=0.(2)-
3
【解析】
【分析】
(1)先通過(guò)解方程組求交點(diǎn)P的坐標(biāo),再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的兒何意義求出函數(shù)在x=2處的導(dǎo)數(shù),從
而得到切線的斜率,再利用點(diǎn)斜式方程寫(xiě)出切線方程即可.
(2)先確定積分區(qū)間,再確定被積函數(shù),從而可求由兩條曲線曲線G:/=2x與Cz:y=/x2所
圍圖形的面積.
【詳解】解:(1)曲線G:/2x與G:y」就在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為?(2,2),
2
片/2的導(dǎo)數(shù)為y,=x,則?之,而切點(diǎn)的坐標(biāo)為⑵2),
?:曲線在=2處的切線方程為p-2之(才-2),即2x-y-2=Q.
2x
(2)由曲線與C:片32可得,兩曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0),(2,2),
.:兩條曲線所圍圖形的面積
S父(夜手2"=(0拉#)|o4
【點(diǎn)睛】利用定積分求平面圖形面積的步驟
(1)根據(jù)題意畫(huà)出圖形;(2)借助圖形確定出被積函數(shù),求出交點(diǎn)坐標(biāo),確定積分的上、下限;
(3)把平面圖形的面積表示成若干個(gè)定積分的和或差;(4)計(jì)算定積分得出答案.
13.有一動(dòng)點(diǎn)尸沿x軸運(yùn)動(dòng),在時(shí)刻力的速度為Mt)3)2次速度的正方向與x軸正方向一致).
(1)一從原點(diǎn)出發(fā),當(dāng)tW時(shí),求點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程;
(2)夕從原點(diǎn)出發(fā),經(jīng)過(guò)時(shí)間£后又返回原點(diǎn),求力的值.
122
【答案】(1)—(2)6
3
【解析】
【分析】
(1)利用定積分的物理意義解答即可;
(2)由定積分的值為。可得解.
【詳解】解:⑴由O=852/20,得0WtW4,
即當(dāng)0W時(shí),尸點(diǎn)向*軸正方向運(yùn)動(dòng),
當(dāng)t>\時(shí),P點(diǎn)向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng).
故t=Q時(shí),點(diǎn)?運(yùn)動(dòng)的路程s父(8i-212)dt-J^(8i-212)dt=(4t2-#)IX%叫洋
(2)依題意知,(②-2的d片0,即4/-,丸
解得1-0或t3,所以t的值為6.
【點(diǎn)睛】本題考查了定積分的物理意義;變速直線運(yùn)動(dòng)的物體在時(shí)間段內(nèi)的位移可以利用定
積分計(jì)算.
14.一列車(chē)沿直線軌道前進(jìn),剎車(chē)后列車(chē)速度r1)=27—0.93則列車(chē)剎車(chē)后前進(jìn)多少米才能
停車(chē)()
A.405B.540
C.810I).945
【答案】A
【解析】
停車(chē)時(shí)y(e)=0,由27-0.9Q0,得t=30,
3030
所以s=Jv(t)dt=J(27—0.9t)dt=(27t—0.9t2)|^=405.
oo
故選A.
4
15.已知拋物線y=f-2x及直線x=0,x=a,y=0圍成的平面圖形的面積為-,求a的值.
3
【答案】a=-1,或d=2.
【解析】
【試題分析】先作出y=x?-2x的圖像,根據(jù)圖像分析可知,要將a分成三類討論圍成區(qū)域.當(dāng)avo
aa2a2
時(shí),S=J(x2-2x)dx;當(dāng)0<aW2時(shí),S=-J(x2
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