2022-2023學(xué)年廣東省珠海市高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2廣東省珠海市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知向量，，且，則（）A.9 B.3 C.6 D.5〖答案〗C〖解析〗因為，，且，所以，解得.故選：C.2.已知是第四象限角，且，則（）A. B. C. D.7〖答案〗A〖解析〗由得：，即，而是第四象限角，則有，，所以.故選：A.3.已知平面向量，，若，則（）A. B.0 C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，所以，即，所以.故選：A.4.已知，且，則向量的夾角為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由可得，，所以，所以，又因為，所以.故選：A.5.下列函數(shù)中，以為周期且在上單調(diào)遞增的是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗A：因為，則，由，得，所以單調(diào)遞增，故正確；B：，則，由，得，所以不單調(diào)，故錯誤；C：，其圖象如圖所示：由圖象知：，由，得，因為不單調(diào)，故錯誤；D：，其圖象如圖所示：由圖象知：，由，得，因為不單調(diào)，故錯誤.故選：A.6.已知，，是一次函數(shù)圖像上一點，則的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)，則，由，，得，則，當(dāng)時，取得最小值.故選：C.7.在中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，若，，則等于（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗∵，∴，結(jié)合即可求得，由余弦定理可得，又∵，∴．故選：D.8.如圖，在正方形中，，E為的中點，點P是以為直徑的圓弧上任一點．則的最大值為（）A.4 B.5 C. D.〖答案〗D〖解析〗建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，，，其中，.故選：D.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列三角式中，值為1的是（）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗A選項，，故正確；B選項，，故正確；C選項，，故正確；D選項，，故錯誤.故選：ABC.10.下列說法中錯誤的為（）A.已知，且與夾角為銳角，則λ的取值范圍是B.已知，不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底C.若與平行，則在方向上的投影數(shù)量為D.若非零，滿足，則與的夾角是60°〖答案〗ACD〖解析〗對于A，，因為與的夾角為銳角，所以，若與同向，則（），所以，解得，所以當(dāng)與的夾角為銳角時，的取值范圍為，故A錯誤；對于B，因為，所以向量，即共線，故不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底，故B正確；對于C，與平行，則與的夾角為或，則在方向上的投影數(shù)量為或，即在方向上的投影數(shù)量為，故C錯誤；對于D，因為，兩邊平方得，，，，故，而向量的夾角范圍為，得與的夾角為，故D錯誤.故選：ACD.11.的內(nèi)角的對邊分別為、，則下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則有兩解C.若為鈍角三角形，則D.若三角形為斜三角形，則〖答案〗ABD〖解析〗對于A中，由，可得，由正弦定理得，所以A正確；對于B中，因為，由正弦定理，可得，因為且，所以，所以有兩解，即有兩解，所以B正確；對于C中，若為鈍角三角形，當(dāng)為鈍角時，由余弦定理可得，所以C錯誤；對于D中，因為，可得，又因為，可得，所以，所以D正確.故選：ABD.12.已知函數(shù)，（）的部分圖象如圖所示，將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模v坐標(biāo)不變，再將所得函數(shù)圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則下列關(guān)于函數(shù)的說法正確的是（）A.的最小正周期為B.在區(qū)間上單調(diào)遞增C.的圖象關(guān)于直線對稱D.的圖象關(guān)于點成中心對稱〖答案〗AC〖解析〗根據(jù)函數(shù)的圖象：，解得，根據(jù)圖象的最低點可得：，當(dāng)時，，由于，所以，則，函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，得到；縱坐標(biāo)不變，再將所得函數(shù)圖像向右平移個單位長度，得到，對于A：函數(shù)的最小正周期為，故A正確；對于B，由于，所以，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故B錯誤；對于C：令（），解得（），即為的對稱軸，當(dāng)，，故C選項正確；對于D：令（），解得（），即為的對稱中心為（），令，解得，故不是其對稱中心，D選項錯誤.故選：AC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若向量，則在方向上的投影向量坐標(biāo)為________.〖答案〗〖解析〗由已知得在方向上的投影向量坐標(biāo)為：.故〖答案〗為：.14.函數(shù)的最大值為________.〖答案〗〖解析〗由，其中，當(dāng)時，即，函數(shù)取得最大值.故〖答案〗：.15.已知，，且，記與的夾角為θ，則__________．〖答案〗〖解析〗依題意，，，，，由于，所以.故〖答案〗為：.16.在希臘數(shù)學(xué)家海倫的著作《測地術(shù)》中記載了著名的海倫公式，利用三角形的三條邊長求三角形面積，若三角形的三邊長為，，，其面積，這里．已知在中，，，則面積的最大值為__________．〖答案〗〖解析〗由題意可知，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時，，且，符合題意.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.如圖，在菱形中，.（1）若，求的值；（2）若，，求.解：（1）因為在菱形中，，故，故，所以.（2）顯然，所以①，因為菱形，且，，故，，所以，故①式，故.18.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以軸為始邊做兩個銳角，它們的終邊分別與單位圓相交于A，B兩點，已知A，B的橫坐標(biāo)分別為.（1）求的值；（2）求的值．解：由條件得cosα＝，cosβ＝，∵α，β為銳角，∴sinα＝，sinβ＝，因此tanα＝7，tanβ＝，（1）tan(α＋β)＝＝＝－3.（2）∵tan2β＝＝＝，∴tan(α＋2β)＝＝＝－1.∵α，β為銳角，∴0<α＋2β<，∴α＋2β＝.19.已知向量，.設(shè)函數(shù).（1）求的最小正周期；（2）當(dāng)時，求函數(shù)的最小值及取到最小值時的值.解：（1）由向量，，可得，所以函數(shù)的最小正周期為.（2）由（1）知，當(dāng)時，可得，所以當(dāng)時，即，函數(shù)的最小值為.20.在中，內(nèi)角、、所對邊分別是、、，且.（1）求角；（2）若，，求的面積.解：（1）因為，由正弦定理得，因為，所以，所以，因為，所以，所以，所以，因為所以，.（2）因為，，由余弦定理得：，即，因為，所以，所以，所以.21.如圖所示，我國黃海某處的一個圓形海域上有四個小島，小島與小島、小島相距都為5公里，與小島相距為公里．已知角為鈍角，且．（1）求小島與小島之間的距離；（2）記為，為，求的值．解：（1）由題意可知：，，因為角為鈍角，，所以，在中，由余弦定理得，，所以，解得或（舍），所以小島與小島之間的距離為2．（2）在中，由正弦定理，因為，所以，則，因為，所以為銳角，所以，因為，，所以．22.如圖，設(shè)，是平面內(nèi)相交成角的兩條數(shù)軸，，分別是軸與軸正方向同向的單位向量，若向量，則把有序數(shù)對叫做向量在斜坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記為.（1）在斜坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，已知，求；（2）在斜坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，已知，，求的最大值.解：（1）由題意可知：，，，∴.（2）由題意可知，∴，由（1）可得：，令，又因為，且，所以，，∴，又因為函數(shù)在單調(diào)遞增，即：時，函數(shù)取到最大值3，即，則有，∴當(dāng)時，的最大值為.廣東省珠海市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知向量，，且，則（）A.9 B.3 C.6 D.5〖答案〗C〖解析〗因為，，且，所以，解得.故選：C.2.已知是第四象限角，且，則（）A. B. C. D.7〖答案〗A〖解析〗由得：，即，而是第四象限角，則有，，所以.故選：A.3.已知平面向量，，若，則（）A. B.0 C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，所以，即，所以.故選：A.4.已知，且，則向量的夾角為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由可得，，所以，所以，又因為，所以.故選：A.5.下列函數(shù)中，以為周期且在上單調(diào)遞增的是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗A：因為，則，由，得，所以單調(diào)遞增，故正確；B：，則，由，得，所以不單調(diào)，故錯誤；C：，其圖象如圖所示：由圖象知：，由，得，因為不單調(diào)，故錯誤；D：，其圖象如圖所示：由圖象知：，由，得，因為不單調(diào)，故錯誤.故選：A.6.已知，，是一次函數(shù)圖像上一點，則的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)，則，由，，得，則，當(dāng)時，取得最小值.故選：C.7.在中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，若，，則等于（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗∵，∴，結(jié)合即可求得，由余弦定理可得，又∵，∴．故選：D.8.如圖，在正方形中，，E為的中點，點P是以為直徑的圓弧上任一點．則的最大值為（）A.4 B.5 C. D.〖答案〗D〖解析〗建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，，，其中，.故選：D.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列三角式中，值為1的是（）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗A選項，，故正確；B選項，，故正確；C選項，，故正確；D選項，，故錯誤.故選：ABC.10.下列說法中錯誤的為（）A.已知，且與夾角為銳角，則λ的取值范圍是B.已知，不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底C.若與平行，則在方向上的投影數(shù)量為D.若非零，滿足，則與的夾角是60°〖答案〗ACD〖解析〗對于A，，因為與的夾角為銳角，所以，若與同向，則（），所以，解得，所以當(dāng)與的夾角為銳角時，的取值范圍為，故A錯誤；對于B，因為，所以向量，即共線，故不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底，故B正確；對于C，與平行，則與的夾角為或，則在方向上的投影數(shù)量為或，即在方向上的投影數(shù)量為，故C錯誤；對于D，因為，兩邊平方得，，，，故，而向量的夾角范圍為，得與的夾角為，故D錯誤.故選：ACD.11.的內(nèi)角的對邊分別為、，則下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則有兩解C.若為鈍角三角形，則D.若三角形為斜三角形，則〖答案〗ABD〖解析〗對于A中，由，可得，由正弦定理得，所以A正確；對于B中，因為，由正弦定理，可得，因為且，所以，所以有兩解，即有兩解，所以B正確；對于C中，若為鈍角三角形，當(dāng)為鈍角時，由余弦定理可得，所以C錯誤；對于D中，因為，可得，又因為，可得，所以，所以D正確.故選：ABD.12.已知函數(shù)，（）的部分圖象如圖所示，將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，縱坐標(biāo)不變，再將所得函數(shù)圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則下列關(guān)于函數(shù)的說法正確的是（）A.的最小正周期為B.在區(qū)間上單調(diào)遞增C.的圖象關(guān)于直線對稱D.的圖象關(guān)于點成中心對稱〖答案〗AC〖解析〗根據(jù)函數(shù)的圖象：，解得，根據(jù)圖象的最低點可得：，當(dāng)時，，由于，所以，則，函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，得到；縱坐標(biāo)不變，再將所得函數(shù)圖像向右平移個單位長度，得到，對于A：函數(shù)的最小正周期為，故A正確；對于B，由于，所以，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故B錯誤；對于C：令（），解得（），即為的對稱軸，當(dāng)，，故C選項正確；對于D：令（），解得（），即為的對稱中心為（），令，解得，故不是其對稱中心，D選項錯誤.故選：AC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若向量，則在方向上的投影向量坐標(biāo)為________.〖答案〗〖解析〗由已知得在方向上的投影向量坐標(biāo)為：.故〖答案〗為：.14.函數(shù)的最大值為________.〖答案〗〖解析〗由，其中，當(dāng)時，即，函數(shù)取得最大值.故〖答案〗：.15.已知，，且，記與的夾角為θ，則__________．〖答案〗〖解析〗依題意，，，，，由于，所以.故〖答案〗為：.16.在希臘數(shù)學(xué)家海倫的著作《測地術(shù)》中記載了著名的海倫公式，利用三角形的三條邊長求三角形面積，若三角形的三邊長為，，，其面積，這里．已知在中，，，則面積的最大值為__________．〖答案〗〖解析〗由題意可知，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時，，且，符合題意.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.如圖，在菱形中，.（1）若，求的值；（2）若，，求.解：（1）因為在菱形中，，故，故，所以.（2）顯然，所以①，因為菱形，且，，故，，所以，故①式，故.18.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以軸為始邊做兩個銳角，它們的終邊分別與單位圓相交于A，B兩點，已知A，B的橫坐標(biāo)分別為.（1）求的值；（2）求的值．解：由條件得cosα＝，cosβ＝，∵α，β為銳角，∴sinα＝，sinβ＝，因此tanα＝7，tanβ＝，（1）tan(α＋β)＝＝＝－3.（2）∵tan2β＝＝＝，∴tan(α＋2β)＝＝＝－1.∵