用向量方法研究立體幾何中的度量關(guān)系 高二下學(xué)期數(shù)學(xué)湘教版（2019）選擇性必修第二冊(cè)

用向量方法研究立體幾何中的度量關(guān)系（3課時(shí)，含習(xí)題課）

湘教版選擇性必修二4.3用向量方法研究立體幾何中的度量關(guān)系第1課時(shí)兩條直線所成的角、直線與平面所成的角

求空間角與距離是立體幾何的一類重要的問題，也是高考的熱點(diǎn)之一.本節(jié)課主要是討論怎么樣用向量的辦法解決空間角問題.在必修課程中，我們學(xué)習(xí)過異面直線所成的角，直線與平面相交所成的角，以及兩個(gè)平面相交所成的二面角.那么，在空間中怎樣描述這些角呢？這些角的大小與直線的方向向量、平面的法向量有何關(guān)系？1.會(huì)用向量方法求兩直線所成角.2.理解直線與平面所成角與直線方向向量和平面法向量夾角之間的關(guān)系,會(huì)用向量方法求直線與平面所成角.3.理解二面角大小與兩個(gè)面法向量夾角之間的關(guān)系,會(huì)用向量方法求二面角的大小.會(huì)用向量的方法求兩直線的夾角、直線與面所成的角，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力以及直觀想象.課標(biāo)要求素養(yǎng)要求探究點(diǎn)1兩條直線所成的角

特別地：當(dāng)兩條直線平行時(shí),規(guī)定它們所成的角為0；2.異面直線a與b所成的角

當(dāng)兩條直線a與b是異面直線時(shí)，在空間任取一點(diǎn)O,過點(diǎn)O作直線a'和b'使得a'//a,b'//b,把a(bǔ)',b'所成的角叫作異面直線a與b所成的角(如圖3－40(2)).

cosθ=|cos<a,b>|例1

如圖3－41,在空間直角坐標(biāo)系中有長(zhǎng)方體ABCD－A'B'C'D',AB=2,BC=1,AA'=3.求AC'與A'D所成角的余弦值.

例8如圖3－41,在空間直角坐標(biāo)系中有長(zhǎng)方體ABCD－A'B'C'D',AB=2,BC=1,AA'=3.求AC'與A'D所成角的余弦值.探究點(diǎn)2直線與平面所成的角1.直線與這個(gè)平面所成的角

平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的投影所成的銳角就是這條直線與這個(gè)平面所成的角.

sinθ=|cos<l,n>|

3.直線與這個(gè)平面所成的角

平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的投影所成的銳角就是這條直線與這個(gè)平面所成的角.

P132練習(xí)1.如圖,在空間直角坐標(biāo)系中有單位正方體ABCD－A'B'C'D',點(diǎn)E是A'D'的中點(diǎn),求直線A'B與直線CE夾角的余弦值.2.如圖,在空間直角坐標(biāo)系中有長(zhǎng)方體ABCD－A'B'C'D',AB=2,AD=2,AA'=1,求異面直線A'B

與C'D夾角的余弦值.BEB'O(A)zxyDCC'A'D'第1題BB'O(A)zxyDCC'A'D'第2題3.如圖,在空間直角坐標(biāo)系中有長(zhǎng)方體

ABCD－A'B'C'D',AB=1,BC=2,AA'=2,求直線B'C與平面B'BDD'夾角的正弦值.4.如圖,在空間直角坐標(biāo)系中有單位正方體ABCD－A'B'C'D',點(diǎn)E,F分別是B'C'和A'D'的中點(diǎn),求直線AC與平面ABEF夾角的正弦值.BFB'O(A)zxyDCC'A'D'第4題EBB'O(A)zxyDCC'A'D'第3題課時(shí)典例精析講義[目標(biāo)導(dǎo)航]新知導(dǎo)學(xué)·素養(yǎng)啟迪新知梳理

小試身手1.如圖,平面PAD⊥平面ABCD,ABCD為正方形,∠PAD=90°,且PA=AD=2,E,F分別是線段PA,CD的中點(diǎn),則異面直線EF與BD所成角的余弦值為

.

3.如圖,在正四棱錐S-ABCD中,O為頂點(diǎn)在底面上的射影,P為側(cè)棱SD的中點(diǎn),且SO=OD,則直線BC與平面PAC所成角為

.

答案:30°探究點(diǎn)一課堂探究·素養(yǎng)培育異面直線所成的角[例1]如圖,在三棱錐P-ABC中,△ABC為等邊三角形,△PAC為等腰直角三角形,PA=PC=4,平面PAC⊥平面ABC,D為AB的中點(diǎn),則異面直線AC與PD所成角的余弦值為(

)變式訓(xùn)練1-1:本例中條件不變,求異面直線AB與PC所成角的余弦值.變式訓(xùn)練1-2:本例中條件不變,求平面PAB的一個(gè)法向量與BC所成角的余弦值.用向量法求異面直線所成角的一般步驟(1)選擇三條兩兩垂直的直線建立空間直角坐標(biāo)系.(2)確定異面直線上兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),從而確定異面直線的方向向量.(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值.(4)兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角余弦值的絕對(duì)值.方法總結(jié)探究點(diǎn)二求直線與平面所成的角[例2]如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面為直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M,N分別為PC,PB的中點(diǎn).(1)求證:PB⊥DM;[例2]如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面為直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M,N分別為PC,PB的中點(diǎn).(2)求BD與平面ADMN所成的角.用向量法求直線與平面的夾角的基本步驟(1)建立空間直角坐標(biāo)系;方法總結(jié)即時(shí)訓(xùn)練2-1:如圖所示,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.(1)證明:AB⊥A1C.(1)證明:如圖所示,取AB的中點(diǎn)O,連接OC,OA1,A1B.因?yàn)镃A=CB,所以O(shè)C⊥AB.由于AB=AA1,∠BAA1=60°,故△AA1B為等邊三角形,所以O(shè)A1⊥AB.因?yàn)镺C∩OA1=O,所以AB⊥平面OA1C.又A1C?平面OA1C,故AB⊥A1C.(2)解:由(1)知OC⊥AB,OA1⊥AB.又平面ABC⊥平面AA1B1B,交線為AB,OC?平面ABC,所以O(shè)C⊥平面AA1B1B,故OA,OA1,OC兩兩垂直.如圖所示,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OA,OA1,OC所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.即時(shí)訓(xùn)練2-1:如圖所示,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.(2)求A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值.數(shù)學(xué)窗函數(shù)思想在立體幾何中的運(yùn)用立體幾何中有關(guān)線段的長(zhǎng)、面積、體積的計(jì)算,經(jīng)常需要運(yùn)用列方程或建立函數(shù)表達(dá)式的方法加以解決.[典例]如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)棱AA1⊥平面ABC,△ABC為等腰直角三角形,∠BAC=90°,且AB=AA1=2,E,F分別是CC1,BC的中點(diǎn).(1)若D是AA1的中點(diǎn),求證:BD∥平面AEF.(1)證明:連接DC1,BC1,因?yàn)槿庵鵄BC-A1B1C1中,D,E分別是AA1,CC1的中點(diǎn),所以AD∥C1E,AD=C1E,所以四邊形ADC1E是平行四邊形,所以AE∥DC1.因?yàn)镋,F分別是CC1,BC的中點(diǎn),所以EF∥BC1,又AE∩EF=E,DC1∩BC1=C1,所以平面AEF∥平面BDC1,又BD?平面BDC1,所以BD∥平面AEF.[典例]如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)棱AA1⊥平面ABC,△ABC為等腰直角三角形,∠BAC=90°,且AB=AA1=2,E,F分別是CC1,BC的中點(diǎn).(2)若M是線段AE上的任意一點(diǎn),求直線B1M與平面AEF所成角正弦的最大值.1.理解二面角大小與兩個(gè)面法向量夾角之間的關(guān)系,會(huì)用向量方法求二面角的大小.2.能用向量方法解決點(diǎn)到平面、點(diǎn)到直線的距離問題.課標(biāo)要求會(huì)用向量的方法求面與面所成的二面角、點(diǎn)到平面的距離、點(diǎn)到直線的距離培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力以及直觀想象.素養(yǎng)要求第2課時(shí)兩平面所成的角、空間中的距離問題

求空間角與距離是立體幾何的一類重要的問題，也是高考的熱點(diǎn)之一.本節(jié)課主要是討論怎么樣用向量的辦法解決空間角問題.在必修課程中，我們學(xué)習(xí)過異面直線所成的角，直線與平面相交所成的角，以及兩個(gè)平面相交所成的二面角.那么，在空間中怎樣描述這些角呢？這些角的大小與直線的方向向量、平面的法向量有何關(guān)系？某人在一片丘陵上開墾了一塊田地,在丘陵的上方架有一條直的水渠,此人想從水渠上選擇一個(gè)點(diǎn),通過一條管道把水引到田地中的一個(gè)點(diǎn)P處,要想使這個(gè)管道的長(zhǎng)度理論上最短,應(yīng)該如何設(shè)計(jì)?

探究點(diǎn)1用向量求兩個(gè)平面所成的角

一般地,已知n1,n2分別為平面α,β的法向量,則二面角α?l?β的平面角與兩法向量所成角<n1,n2>相等(如圖3?47(1))或互補(bǔ)(如圖3?47(2)).

如右圖,平面α,β相交,形成四個(gè)二面角,我們把這四個(gè)角中不大于900的二面角稱為平面α與平面β的夾角,設(shè)平面α與平面β的夾角為θ,則

例10

如圖3?48,在空間直角坐標(biāo)系中有單位正方體ABCD?A'B'C'D',求二面角A'?DC?A的平面角.圖3?48

例10如圖3?48,在空間直角坐標(biāo)系中有單位正方體ABCD?A'B'C'D',求二面角A'?DC?A的平面角.圖3?48

BB'O(A)zxyDCC'A'D'第4題SCDBA第5題典例精析講義[目標(biāo)導(dǎo)航]新知導(dǎo)學(xué)·素養(yǎng)啟迪新知梳理(2)一般地,已知n1,n2分別為平面α,β的法向量,則二面角α-l-β的平面角與兩法向量所成角n1,n2相等[如圖(1)]或互補(bǔ)[如圖(2)].小試身手1.已知兩平面的法向量分別為m=(0,1,0),n=(0,1,1),則兩平面所成的二面角為

.

答案:45°或135°3.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)E為BB1的中點(diǎn),則平面A1ED與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為

.

4.如圖所示,正方形A1BCD折成直二面角A-BD-C,則二面角A-CD-B的余弦值是

.

解析:因?yàn)橐哉叫蜛1BCD的對(duì)角線BD為棱折成直二面角,所以平面ABD⊥平面BCD,如圖所示,連接A1C交BD于O,則AO⊥BD.因?yàn)槠矫鍭BD∩平面BCD=BD,AO?平面ABD,所以AO⊥平面BCD,則OC,OA,OD兩兩互相垂直.以O(shè)為原點(diǎn),OC,OD,OA,分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.課堂探究·素養(yǎng)培育探究點(diǎn)求二面角或二面角的三角函數(shù)值[例題]

如圖所示,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱長(zhǎng)都相等,AC∩BD=O,A1C1∩B1D1=O1,四邊形ACC1A1和四邊形BDD1B1均為矩形.(1)證明:O1O⊥底面ABCD.(1)證明:因?yàn)樗倪呅蜛CC1A1和四邊形BDD1B1均為矩形,所以CC1⊥AC,DD1⊥BD,又CC1∥DD1∥OO1,所以O(shè)O1⊥AC,OO1⊥BD,因?yàn)锳C∩BD=O,所以O(shè)1O⊥底面ABCD.(2)若∠CBA=60°,求二面角C1-OB1-D的余弦值.(2)解:因?yàn)樗睦庵乃欣忾L(zhǎng)都相等,所以四邊形ABCD為菱形,AC⊥BD,又因?yàn)镺1O⊥底面ABCD,所以O(shè)B,OC,OO1兩兩垂直.如圖所示,以O(shè)為原點(diǎn),OB,OC,OO1所在直線分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系.[例題]如圖所示,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱長(zhǎng)都相等,AC∩BD=O,A1C1∩B1D1=O1,四邊形ACC1A1和四邊形BDD1B1均為矩形.變式訓(xùn)練1:(變?cè)O(shè)問)本例條件不變,求二面角B-A1C-D的余弦值.變式訓(xùn)練2:(變條件、變?cè)O(shè)問)本例四棱柱中,∠CBA=60°改為∠CBA=90°,設(shè)E,F分別是棱BC,CD的中點(diǎn),求平面AB1E與平面AD1F所成銳二面角的余弦值.向量法求二面角(或其某個(gè)三角函數(shù)值)的四個(gè)步驟(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo);(2)求出兩個(gè)半平面的法向量n1,n2;(3)設(shè)二面角的平面角為θ,則|cosθ|=|cos<n1,n2>|;(4)根據(jù)圖形判斷θ為鈍角還是銳角,從而求出θ(或其三角函數(shù)值).方法總結(jié)利用平面的法向量求二面角的大小時(shí),當(dāng)求出兩半平面α,β的法向量n1,n2時(shí),要根據(jù)向量坐標(biāo)在圖形中觀察法向量的方向,從而確定二面角與向量n1,n2的夾角是相等,還是互補(bǔ),這是利用向量求二面角的難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn).易錯(cuò)警示數(shù)學(xué)窗向量法求解空間中的探求性問題[典例]如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,平面PDC⊥平ABCD,AB∥CD,AD=AB=PD=1,CD=2,∠PDC=∠ADC=90°,點(diǎn)M在棱PB上,且BM=λBP.(1)證明:BC⊥DM.[典例]

如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,平面PDC⊥平面ABCD,AB∥CD,AD=AB=PD=1,CD=2,∠PDC=∠ADC=90°,點(diǎn)M在棱PB上,且BM=λBP.思路分析:(2)通過建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz,利用向量法即可得出λ的值.與空間角有關(guān)的探索性問題的解題策略與空間角有關(guān)的探索性問題主要為與兩異面直線所成的角、直線與平面所成的角和二面角有關(guān)的存在性問題,常利用空間向量法求解.求解時(shí),一般把“是否存在”問題轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)的坐標(biāo)是否有解,是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解”等問題,并注意準(zhǔn)確理解和熟練應(yīng)用夾角公式.規(guī)律方法探究點(diǎn)2用向量研究空間中的距離問題

幾何學(xué)中,經(jīng)常需要計(jì)算兩個(gè)圖形間的距離.一個(gè)圖形內(nèi)任一點(diǎn)與另一個(gè)圖形內(nèi)任一點(diǎn)的距離中的最小值,通常叫作這兩個(gè)圖形的距離.

空間中常見的距離有:兩點(diǎn)間的距離、點(diǎn)到直線的距離、點(diǎn)到平面的距離、相互平行的直線之間的距離、相互平行的平面之間的距離等.計(jì)算距離是空間度量最基本的問題,如何用向量方法求解這些距離呢？

圖

3?50

回顧平面內(nèi)直線l外一點(diǎn)P到直線l距離的幾種求解方法.方法如下：1.綜合幾何方法:如圖3?50(1),過點(diǎn)P作直線l的垂線,垂足為點(diǎn)D1,一般轉(zhuǎn)化為求三角形的高,即PD1的長(zhǎng)度.圖

3?50

幾種距離

①點(diǎn)到直線的距離就等于過這點(diǎn)向直線所引垂線段的長(zhǎng)度;

②點(diǎn)到平面的距離就等于過這

點(diǎn)向平面所作垂線段的長(zhǎng)度；

③如果一條直線和一個(gè)平面平行,它們之間的距離就等于過這條直線上任意一點(diǎn)向該平面所作垂線段的長(zhǎng)度;

④兩個(gè)平行平面間的距離就等于這兩個(gè)平面的垂線夾在兩個(gè)平行平面間的線段的長(zhǎng)度.

垂直反映了距離的本質(zhì).用向量方法求解距離,也要抓住這一點(diǎn).無論是對(duì)于平面還是直線,法向量都是反映垂直方向的最為直觀的表達(dá)形式,因此可以通過一個(gè)向量在法向量方向上作投影向量的方法來求解距離.圖3?511.點(diǎn)到平面的距離

圖3?51

例13:在單位正方體ABCD?A'B'C'D'中,點(diǎn)M是側(cè)面ABB'A'的中心.判斷直線C'M與平面ACD'是否平行.若平行,請(qǐng)證明你的結(jié)論,并求直線C'M到平面ACD'的距離;若不平行,請(qǐng)說明理由.

用向量方法求解點(diǎn)到平面的距離問題的一般步驟是：(1)確定一個(gè)法向量；(2)選擇參考向量；(3)確定參考向量在法向量方向上的投影向量；(4)求投影向量的長(zhǎng)度.P138練習(xí)1.與已知平面距離等于1的點(diǎn)的軌跡是什么圖形?2.已知直線l上有兩點(diǎn)到一個(gè)平面α的距離都為1,那么這條直線l與平面α的位置關(guān)系是怎樣的?3.已知點(diǎn)M(－1,1,－2),平面α經(jīng)過原點(diǎn)O,且垂直于向量n=(1,－2,2),求點(diǎn)M到平面α的距離.

1.點(diǎn)到直線的距離

如圖3?55,設(shè)點(diǎn)P是直線l外一點(diǎn)l0是直線l的單位方向向量,過點(diǎn)P作直線l的垂

線,垂足為點(diǎn)P',則垂線段PP'的長(zhǎng)度就是點(diǎn)P到直線l的距離.如何求這個(gè)距離呢？

若點(diǎn)P是直線l外一點(diǎn),l0是直線l的單位方向向量,點(diǎn)A是直線l上任意一點(diǎn),則點(diǎn)P

到直線l的距離為

例15

如圖3?57,在空間直角坐標(biāo)系中有長(zhǎng)方體ABCD?A'B'C'D',AB=1,BC=2,AA'=3.用向量的方法求點(diǎn)B到直線A'C的距離.

第3課時(shí)點(diǎn)到平面的距離與點(diǎn)到直線的距離[目標(biāo)導(dǎo)航]新知導(dǎo)學(xué)·素養(yǎng)啟迪1.空間中常見的距離有：兩點(diǎn)間的距離、點(diǎn)到直線的距離、點(diǎn)到平面的距離、相互平行的直線間的距離、相互平行的平面之間的距離2.直線l外一點(diǎn)P到直線l的距離若點(diǎn)P是直線l外一點(diǎn),l0是直線l的單位方向向量,點(diǎn)A是直線l上任意一點(diǎn),則點(diǎn)P到直線l的距離為新知梳理3.點(diǎn)到平面的距離

小試身手1.已知點(diǎn)A(1?t,1?t,t),B(2,t,t),則A,B兩點(diǎn)的距離的最小值為

.

2.在空間直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)P(0,0,1)為平面ABC外一點(diǎn),其中A(1,1,0),B(0,2,3),若平面ABC的一個(gè)法向量為(1,