2024屆重慶西南大學附屬中學高三最后一模數學試題含解析

2024屆重慶西南大學附屬中學高三最后一模數學試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．胡夫金字塔是底面為正方形的錐體，四個側面都是相同的等腰三角形．研究發(fā)現，該金字塔底面周長除以倍的塔高，恰好為祖沖之發(fā)現的密率．設胡夫金字塔的高為，假如對胡夫金字塔進行亮化，沿其側棱和底邊布設單條燈帶，則需要燈帶的總長度約為A． B．C． D．2．設復數滿足，在復平面內對應的點為，則不可能為（）A． B． C． D．3．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的，則輸出的()A．9 B．31 C．15 D．634．若sin(α+3π2A．-12 B．-135．下列說法正確的是（）A．“若，則”的否命題是“若，則”B．“若，則”的逆命題為真命題C．，使成立D．“若，則”是真命題6．設命題p:>1,n2>2n,則p為（）A． B．C． D．7．將函數的圖像向左平移個單位得到函數的圖像，則的最小值為（）A． B． C． D．8．大衍數列，米源于我國古代文獻《乾坤譜》中對易傳“大衍之數五十”的推論，主要用于解釋我國傳統文化中的太極衍生原理，數列中的每一項，都代表太極衍生過程中，曾經經歷過的兩儀數量總和.已知該數列前10項是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，則大衍數列中奇數項的通項公式為（）A． B． C． D．9．函數（）的圖像可以是（）A． B．C． D．10．過雙曲線左焦點的直線交的左支于兩點，直線（是坐標原點）交的右支于點，若，且，則的離心率是（）A． B． C． D．11．已知向量，（其中為實數），則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件12．已知復數，為的共軛復數，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數，若，則的取值范圍是__14．設，若關于的方程有實數解，則實數的取值范圍_____．15．已知復數（為虛數單位），則的模為____．16．已知實數、滿足，且可行域表示的區(qū)域為三角形，則實數的取值范圍為______，若目標函數的最小值為-1，則實數等于______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在三棱錐中，，，，平面平面，、分別為、中點．（1）求證：；（2）求二面角的大小．18．（12分）已知函數，其中e為自然對數的底數.（1）討論函數的單調性；（2）用表示中較大者，記函數.若函數在上恰有2個零點，求實數a的取值范圍.19．（12分）如圖，已知橢圓的右焦點為，，為橢圓上的兩個動點，周長的最大值為8.（Ⅰ）求橢圓的標準方程；（Ⅱ）直線經過，交橢圓于點，，直線與直線的傾斜角互補，且交橢圓于點，，，求證：直線與直線的交點在定直線上.20．（12分）已知橢圓：的離心率為，右焦點為拋物線的焦點.（1）求橢圓的標準方程；（2）為坐標原點，過作兩條射線，分別交橢圓于、兩點，若、斜率之積為，求證：的面積為定值.21．（12分）已知函數.（1）討論的單調性；（2）曲線在點處的切線斜率為.（i）求；（ii）若，求整數的最大值.22．（10分）已知正數x，y，z滿足xyzt（t為常數），且的最小值為，求實數t的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

設胡夫金字塔的底面邊長為，由題可得，所以，該金字塔的側棱長為，所以需要燈帶的總長度約為，故選D．2、D【解析】

依題意，設，由，得，再一一驗證.【詳解】設，因為，所以，經驗證不滿足，故選：D.【點睛】本題主要考查了復數的概念、復數的幾何意義，還考查了推理論證能力，屬于基礎題.3、B【解析】

根據程序框圖中的循環(huán)結構的運算，直至滿足條件退出循環(huán)體，即可得出結果.【詳解】執(zhí)行程序框；；；；；，滿足，退出循環(huán)，因此輸出，故選:B.【點睛】本題考查循環(huán)結構輸出結果，模擬程序運行是解題的關鍵，屬于基礎題.4、B【解析】

由三角函數的誘導公式和倍角公式化簡即可.【詳解】因為sinα+3π2=3故選B【點睛】本題考查了三角函數的誘導公式和倍角公式，靈活掌握公式是關鍵，屬于基礎題.5、D【解析】選項A，否命題為“若，則”，故A不正確．選項B，逆命題為“若，則”，為假命題，故B不正確．選項C，由題意知對，都有，故C不正確．選項D，命題的逆否命題“若，則”為真命題，故“若，則”是真命題，所以D正確．選D．6、C【解析】根據命題的否定，可以寫出：，所以選C.7、B【解析】

根據三角函數的平移求出函數的解析式，結合三角函數的性質進行求解即可．【詳解】將函數的圖象向左平移個單位，得到，此時與函數的圖象重合，則，即，，當時，取得最小值為，故選：．【點睛】本題主要考查三角函數的圖象和性質，利用三角函數的平移關系求出解析式是解決本題的關鍵．8、B【解析】

直接代入檢驗，排除其中三個即可．【詳解】由題意，排除D，，排除A，C．同時B也滿足，，，故選：B．【點睛】本題考查由數列的項選擇通項公式，解題時可代入檢驗，利用排除法求解．9、B【解析】

根據，可排除，然后采用導數，判斷原函數的單調性，可得結果.【詳解】由題可知：，所以當時，，又，令，則令，則所以函數在單調遞減在單調遞增，故選：B【點睛】本題考查函數的圖像，可從以下指標進行觀察：（1）定義域；（2）奇偶性；（3）特殊值；（4）單調性；（5）值域，屬基礎題.10、D【解析】

如圖，設雙曲線的右焦點為，連接并延長交右支于，連接，設，利用雙曲線的幾何性質可以得到，，結合、可求離心率.【詳解】如圖，設雙曲線的右焦點為，連接，連接并延長交右支于.因為，故四邊形為平行四邊形，故.又雙曲線為中心對稱圖形，故.設，則，故，故.因為為直角三角形，故，解得.在中，有，所以.故選：D.【點睛】本題考查雙曲線離心率，注意利用雙曲線的對稱性（中心對稱、軸對稱）以及雙曲線的定義來構造關于的方程，本題屬于難題.11、A【解析】

結合向量垂直的坐標表示，將兩個條件相互推導，根據能否推導的情況判斷出充分、必要條件.【詳解】由，則，所以；而當，則，解得或.所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A【點睛】本小題考查平面向量的運算，向量垂直，充要條件等基礎知識；考查運算求解能力，推理論證能力，應用意識.12、C【解析】

求出，直接由復數的代數形式的乘除運算化簡復數.【詳解】.故選：C【點睛】本題考查復數的代數形式的四則運算，共軛復數，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據分段函數的性質，即可求出的取值范圍.【詳解】當時，，，當時，，所以，故的取值范圍是.故答案為：.【點睛】本題考查分段函數的性質，已知分段函數解析式求參數范圍，還涉及對數和指數的運算，屬于基礎題.14、【解析】

先求出，從而得函數在區(qū)間上為增函數；在區(qū)間為減函數．即可得的最大值為，令，得函數取得最小值，由有實數解，，進而得實數的取值范圍．【詳解】解：，當時，；當時，；函數在區(qū)間上為增函數；在區(qū)間為減函數．所以的最大值為，令，所以當時，函數取得最小值，又因為方程有實數解，那么，即，所以實數的取值范圍是：．故答案為：【點睛】本題考查了函數的單調性，函數的最值問題，導數的應用，屬于中檔題.15、【解析】，所以．16、【解析】

作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用目標函數的幾何意義，結合目標函數的最小值，利用數形結合即可得到結論.【詳解】作出可行域如圖，則要為三角形需滿足在直線下方，即，；目標函數可視為，則為斜率為1的直線縱截距的相反數，該直線截距最大在過點時，此時，直線：，與：的交點為，該點也在直線：上，故，故答案為：；.【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應用，利用目標函數的幾何意義，結合數形結合的數學思想是解決此類問題的基本方法，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析；(2)60°.【解析】試題分析：（1）連結PD，由題意可得,則AB⊥平面PDE，；（2）法一：結合幾何關系做出二面角的平面角，計算可得其正切值為，故二面角的大小為；法二：以D為原點建立空間直角坐標系，計算可得平面PBE的法向量．平面PAB的法向量為．據此計算可得二面角的大小為.試題解析：（1）連結PD，PA=PB，PDAB．，BCAB，DEAB．又，AB平面PDE，PE平面PDE，∴ABPE．（2）法一：平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABC=AB，PDAB，PD平面ABC．則DEPD,又EDAB，PD平面AB=D，DE平面PAB,過D做DF垂直PB與F，連接EF，則EFPB，∠DFE為所求二面角的平面角，則：DE=，DF=，則，故二面角的大小為法二：平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABC=AB，PDAB，PD平面ABC．如圖，以D為原點建立空間直角坐標系，B(1，0，0)，P(0，0，)，E(0，，0)，=(1，0，)，=(0，，）．設平面PBE的法向量，令，得．DE平面PAB，平面PAB的法向量為．設二面角的大小為，由圖知，，所以即二面角的大小為.18、（1）函數的單調遞增區(qū)間為和，單調遞減區(qū)間為；（2）.【解析】

（1）由題可得,結合的范圍判斷的正負,即可求解；（2）結合導數及函數的零點的判定定理,分類討論進行求解【詳解】（1）,①當時,,∴函數在內單調遞增；②當時,令,解得或,當或時,,則單調遞增,當時,,則單調遞減,∴函數的單調遞增區(qū)間為和,單調遞減區(qū)間為（2）（Ⅰ）當時,所以在上無零點；（Ⅱ）當時,,①若,即,則是的一個零點；②若,即,則不是的零點（Ⅲ）當時,,所以此時只需考慮函數在上零點的情況,因為,所以①當時,在上單調遞增。又，所以（?。┊敃r,在上無零點；（ⅱ）當時,,又,所以此時在上恰有一個零點；②當時,令,得,由,得；由,得,所以在上單調遞減,在上單調遞增,因為,,所以此時在上恰有一個零點,綜上,【點睛】本題考查利用導數求函數單調區(qū)間,考查利用導數處理零點個數問題,考查運算能力,考查分類討論思想19、（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析.【解析】

（Ⅰ）由橢圓的定義可得，周長取最大值時，線段過點，可求出，從而求出橢圓的標準方程；（Ⅱ）設直線，直線，，，，.把直線與直線的方程分別代入橢圓的方程，利用韋達定理和弦長公式求出和，根據求出的值.最后直線與直線的方程聯立，求兩直線的交點即得結論.【詳解】（Ⅰ）設的周長為，則，當且僅當線段過點時“”成立.，，又，，橢圓的標準方程為.（Ⅱ）若直線的斜率不存在，則直線的斜率也不存在，這與直線與直線相交于點矛盾，所以直線的斜率存在.設，，，，，.將直線的方程代入橢圓方程得：.，,.同理，.由得，此時.直線，聯立直線與直線的方程得，即點在定直線.【點睛】本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查學生的邏輯推理能力和運算能力，屬于難題.20、（1）；（2）見解析【解析】

（1）由條件可得，再根據離心率可求得，則可得橢圓方程；（2）當與軸垂直時，設直線的方程為：，與橢圓聯立求得的坐標，通過、斜率之積為列方程可得的值，進而可得的面積；當與軸不垂直時，設，，的方程為，與橢圓方程聯立，利用韋達定理和、斜率之積為可得，再利用弦長公式求出，以及到的距離，通過三角形的面積公式求解.【詳解】（1）拋物線的焦點為，，，，，，橢圓方程為；（2）（?。┊斉c軸垂直時，設直線的方程為：代入得：，，，解得：，；（ⅱ）當與軸不垂直時，設，，的方程為由，由①，，，即整理得：代入①得：到的距離綜上：為定值.【點睛】本題考查橢圓方程的求解，考查直線和橢圓的位置關系，考查韋達定理的應用，考查了學生的計算能力，是中檔題.21、（1）在上增；在上減；（2）（i）；（ii）2【解析】

（1）求導求出，對分類討論，求出的解，即可得出結論；（2）（i）由，求出的值；（ii）由（i）得所求問題轉化為，恒成立，設，，只需，根據的單調性，即可求解.【詳解】（1）當時，，即在上增；當時，，，，，即在上增；在上減；（2）（i），.（ⅱ），即，即，