函數(shù)的極值凸性

25.04.2024福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院1關(guān)于函數(shù)的極值凸性25.04.2024福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院21.求

;2.求的點(diǎn)和不存在的點(diǎn):3.計(jì)算4.比較上述值的大小,有:第2頁,共32頁，2024年2月25日，星期天25.04.2024福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院3例1解計(jì)算比較得第3頁,共32頁，2024年2月25日，星期天25.04.2024福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院4最大值,最小值的特殊情形:第4頁,共32頁，2024年2月25日，星期天25.04.2024福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院5例2設(shè)有一塊邊長為a的正方形鐵皮,從其各個角截去同樣的小正方形,做成一個無蓋的方盒,問截去多少，才能使做成的盒子容積最大？解設(shè)截去的小正方形邊長x，盒子的容積為第5頁,共32頁，2024年2月25日，星期天25.04.2024福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院6（唯一駐點(diǎn)）故截去為邊長的小正方形時,所做盒子容積最大。第6頁,共32頁，2024年2月25日，星期天25.04.2024福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院7第7頁,共32頁，2024年2月25日，星期天25.04.2024福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院8就是最小點(diǎn)，此時所以唯一駐點(diǎn)

32pVd=第8頁,共32頁，2024年2月25日，星期天25.04.2024福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院9實(shí)際問題求最值應(yīng)注意:(1)建立目標(biāo)函數(shù);(2)求最值;第9頁,共32頁，2024年2月25日，星期天25.04.2024福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院102、利用最大、小值證明不等式第10頁,共32頁，2024年2月25日，星期天25.04.2024福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院11第11頁,共32頁，2024年2月25日，星期天25.04.2024福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院12小結(jié)注意最值與極值的區(qū)別.最值是整體概念而極值是局部概念.實(shí)際問題求最值的步驟.利用最大、小值證明不等式第12頁,共32頁，2024年2月25日，星期天25.04.2024福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院13思考題第13頁,共32頁，2024年2月25日，星期天25.04.2024福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院14思考題解答結(jié)論不成立.因?yàn)樽钪迭c(diǎn)不一定是內(nèi)點(diǎn).例在有最小值，但第14頁,共32頁，2024年2月25日，星期天25.04.2024福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院15四、函數(shù)的凸性1.函數(shù)凹凸的定義2.函數(shù)凹凸的判定3.函數(shù)的拐點(diǎn)及其求法4.利用凹凸性證明不等式第15頁,共32頁，2024年2月25日，星期天25.04.2024福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院161.函數(shù)凹凸的定義問題:如何研究曲線的彎曲方向?圖形上任意弧段位于所張弦的上方圖形上任意弧段位于所張弦的下方第16頁,共32頁，2024年2月25日，星期天25.04.2024福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院17此時,圖形上任意弧段位于所張弦的下方定義:第17頁,共32頁，2024年2月25日，星期天25.04.2024福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院18此時,圖形上任意弧段位于所張弦的上方定義中的區(qū)間也可以是無窮區(qū)間第18頁,共32頁，2024年2月25日，星期天25.04.2024福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院192.函數(shù)凹凸的判定第19頁,共32頁，2024年2月25日，星期天25.04.2024福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院20定理4(判別法2)判別法1第20頁,共32頁，2024年2月25日，星期天25.04.2024福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院21例1解注意到,第21頁,共32頁，2024年2月25日，星期天25.04.2024福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院223、函數(shù)的拐點(diǎn)及其求法1)定義第22頁,共32頁，2024年2月25日，星期天25.04.2024福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院23證第23頁,共32頁，2024年2月25日，星期天25.04.2024福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院24求拐點(diǎn)的步驟：1

求二階導(dǎo)數(shù)等于零和不存在的點(diǎn)2

判斷二階導(dǎo)數(shù)在這些點(diǎn)的左右兩側(cè)是否異號3

寫出拐點(diǎn)

.第24頁,共32頁，2024年2月25日，星期天25.04.2024福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院25例2解

拐點(diǎn)拐點(diǎn)第25頁,共32頁，2024年2月25日，星期天25.04.2024福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院26第26頁,共32頁，2024年2月25日，星期天25.04.2024福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院27例3解注意:第27頁,共32頁，2024年2月25日，星期天25.04.2024福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院28方法2:例3解第28頁,共32頁，2024年2月25日，星期天25.04.2024福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院29第29頁,共32頁，2024年2月25日，星期天25.04.2024福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院30證4、利用凸性證明不等式第30頁,共32頁