系統(tǒng)運動的穩(wěn)定性分析

關(guān)于系統(tǒng)運動的穩(wěn)定性分析穩(wěn)定性判別方法經(jīng)典控制理論中：線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性：代數(shù)判據(jù)（勞斯判據(jù)、赫爾維茨判據(jù)）；奈奎斯特判據(jù)；對數(shù)穩(wěn)定判據(jù)等。非線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性：描述函數(shù)法：要求系統(tǒng)的線性部分具有良好的濾除諧波的性能；相平面法：僅適合于一階、二階非線性系統(tǒng)?，F(xiàn)代控制理論中：一般系統(tǒng)（包括單變量、線性、定常系統(tǒng)，以及多變量、非線性、時變系統(tǒng)）的穩(wěn)定性：李雅普諾夫穩(wěn)定性理論。第2頁,共51頁，2024年2月25日，星期天李雅普諾夫穩(wěn)定性理論。

李雅普諾夫穩(wěn)定性理論在建立了一系列關(guān)于穩(wěn)定性概念的基礎(chǔ)上，提出了判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的兩種方法：1.間接法：利用線性系統(tǒng)微分方程的解來判系統(tǒng)的穩(wěn)定性，又稱李雅普諾夫第一法；2.直接法：首先利用經(jīng)驗和技巧來構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)，然后利用李雅普諾夫函數(shù)來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，又稱李雅普諾夫第二法。

李雅普諾夫穩(wěn)定性理論是確定系統(tǒng)穩(wěn)定性的一般理論，它采用狀態(tài)空間描述，在分析一些特定的非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性時，有效地解決了其它方法所不能解決的問題。該理論比經(jīng)典控制理論中的穩(wěn)定性判據(jù)適應(yīng)范圍更廣。第3頁,共51頁，2024年2月25日，星期天4.1李雅普諾夫穩(wěn)定性定義

4.2李雅普諾夫第一法4.3李雅普諾夫第二法及其主要定理4.4線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析第4頁,共51頁，2024年2月25日，星期天4.1李雅普諾夫穩(wěn)定性定義

一.BIBO穩(wěn)定性的概念對于一個初始條件為零的系統(tǒng)，如果在有界的輸入u(t)的作用下，所產(chǎn)生的輸出y(t)也是有界的，則稱此系統(tǒng)是外部穩(wěn)定的，也即是有界輸入-有界輸出穩(wěn)定的。并簡稱為BIBO穩(wěn)定。李雅普諾夫穩(wěn)定性的物理意義是系統(tǒng)響應(yīng)是否有界。第5頁,共51頁，2024年2月25日，星期天二．平衡狀態(tài)李雅普諾夫關(guān)于穩(wěn)定性的研究均針對平衡狀態(tài)而言。1.平衡狀態(tài)的定義設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為：若對所有t，狀態(tài)x滿足，則稱該狀態(tài)x為平衡狀態(tài)，記為xe。故有下式成立：由平衡狀態(tài)在狀態(tài)空間中所確定的點，稱為平衡點。2.平衡狀態(tài)的求法由定義可見，平衡狀態(tài)將包含在這樣一個代數(shù)方程組中。對于線性定常系統(tǒng)，其平衡狀態(tài)為xe應(yīng)滿足代數(shù)方程。第6頁,共51頁，2024年2月25日，星期天

對于非線性系統(tǒng)，方程的解可能有多個，視系統(tǒng)方程而定。如：

該系統(tǒng)存在三個平衡狀態(tài)：第7頁,共51頁，2024年2月25日，星期天三．范數(shù)的概念范數(shù)的定義

n維狀態(tài)空間中，向量x的長度稱為向量x的范數(shù)，用表示，則：向量的距離長度稱為向量x與xe的距離，寫為：第8頁,共51頁，2024年2月25日，星期天

定義：對于系統(tǒng)，設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài)位于以平衡狀態(tài)xe為球心、δ為半徑的閉球域S(δ)內(nèi)，即若能使系統(tǒng)從任意初態(tài)x0出發(fā)的解在t>t0的過程中，都位于以xe為球心、任意規(guī)定的半徑ε的閉球域S(ε)內(nèi)，即：則稱系統(tǒng)的平衡狀態(tài)xe在李雅普諾夫意義下是穩(wěn)定的。四．李雅普諾夫穩(wěn)定性定義1．李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性P169第9頁,共51頁，2024年2月25日，星期天幾何意義

按李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性定義，當系統(tǒng)作不衰減的振蕩運動，將在平面描繪出一條封閉曲線，但只要不超出S(ε),則認為是穩(wěn)定的，這與經(jīng)典控制理論中線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性定義有差異。第10頁,共51頁，2024年2月25日，星期天

2．漸進穩(wěn)定性（經(jīng)典理論穩(wěn)定性）定義：如果系統(tǒng)的平衡狀態(tài)xe不僅有李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性，且對于任意小量μ>0，總有則稱平衡狀態(tài)xe是李雅普諾夫意義下漸進穩(wěn)定的。

這時，從S(δ)出發(fā)的軌跡不僅不會超出S(ε)，且當t→∞時收斂于xe，可見經(jīng)典控制理論中的穩(wěn)定性定義與漸進穩(wěn)定性對應(yīng)。第11頁,共51頁，2024年2月25日，星期天幾何意義：

第12頁,共51頁，2024年2月25日，星期天

定義：當初始狀態(tài)擴展到整個狀態(tài)空間，且平衡狀態(tài)xe均具有漸進穩(wěn)定性，稱這種平衡狀態(tài)xe是大范圍漸近穩(wěn)定的。此時，δ→∞，S(δ)→∞。當t→∞時，由狀態(tài)空間中任意一點出發(fā)的軌跡都收斂于xe。3.大范圍漸進穩(wěn)定性

對于嚴格的線性系統(tǒng)，如果它是漸近穩(wěn)定的，必定是大范圍漸進穩(wěn)定的。這是因為線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性與初始條件的大小無關(guān)。而對于非線性系統(tǒng)來說，其穩(wěn)定性往往與初始條件大小密切相關(guān)，系統(tǒng)漸進穩(wěn)定不一定是大范圍漸進穩(wěn)定。第13頁,共51頁，2024年2月25日，星期天

幾何意義：第14頁,共51頁，2024年2月25日，星期天

定義：如果對于某個實數(shù)ε>0和任一實數(shù)δ>0，不管δ這個實數(shù)多么小，在S(δ)內(nèi)總存在一個狀態(tài)x0，使得由這一狀態(tài)出發(fā)的軌跡超出S(ε)，則稱平衡狀態(tài)xe是不穩(wěn)定的。4．不穩(wěn)定性幾何意義：

第15頁,共51頁，2024年2月25日，星期天

對于不穩(wěn)定平衡狀態(tài)的軌跡，雖然超出了S(ε)，但并不意味著軌跡趨于無窮遠處。例如以下物理系統(tǒng)比喻不穩(wěn)定，軌跡趨于S(ε)以外的平衡點。當然，對于線性系統(tǒng)，從不穩(wěn)定平衡狀態(tài)出發(fā)的軌跡，理論上趨于無窮遠。第16頁,共51頁，2024年2月25日，星期天

從上述四種穩(wěn)定性定義可見，球域S(δ)限制著初始狀態(tài)x0的取值，球域S(ε)規(guī)定了系統(tǒng)自由運動響應(yīng)的邊界。簡單地說，1.如果有界，則稱xe穩(wěn)定；

2.如果不僅有界，而且當t→∞時收斂于原點，則稱xe漸進穩(wěn)定；

3.如果無界，則稱xe不穩(wěn)定；返回第17頁,共51頁，2024年2月25日，星期天4.2李雅普諾夫第一法（間接法）

一．線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定性判定基本思路：1.線性系統(tǒng)通過判斷狀態(tài)方程的解來判斷穩(wěn)定性；2.非線性和時變系統(tǒng)要通過平衡點附近的線性化處理，再根據(jù)A陣判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。第18頁,共51頁，2024年2月25日，星期天[定理4.1]線性定常系統(tǒng)（1）平衡狀態(tài)xe是漸進穩(wěn)定的充分必要條件是矩陣A的所有特征值均具有負實部；（2）平衡狀態(tài)xe是不穩(wěn)定的充分必要條件是矩陣A的有些特征值具有正實部；（3）當系統(tǒng)用傳遞函數(shù)描述時，系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定的充分必要條件為G(s）的極點具有負實部。第19頁,共51頁，2024年2月25日，星期天[例4.2.1]

設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為：

試分析系統(tǒng)平衡狀態(tài)xe=0的穩(wěn)定性與系統(tǒng)的BIBO穩(wěn)定性。解：系統(tǒng)的特征方程為A陣的特征值為+1，-1。故系統(tǒng)平衡狀態(tài)xe是不穩(wěn)定的。系統(tǒng)傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)極點位于S左半平面，故系統(tǒng)是BIBO穩(wěn)定的。第20頁,共51頁，2024年2月25日，星期天BIBO穩(wěn)定漸近穩(wěn)定

結(jié)論：

1.線性定常系統(tǒng)是內(nèi)部穩(wěn)定的，則其必是BIBO穩(wěn)定的；

2.線性定常系統(tǒng)是BIBO穩(wěn)定的，則不能保證系統(tǒng)一定是漸進穩(wěn)定的；

3.如果線性定常系統(tǒng)為能控和能觀測，則其內(nèi)部穩(wěn)定性與外部穩(wěn)定性是等價。第21頁,共51頁，2024年2月25日，星期天二．非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性判定對于可以線性化的非線性系統(tǒng)，可以在一定條件下用它的線性化模型，用定理[4.1]的方法來研究。對于非線性系統(tǒng)，設(shè)xe為其平衡點。第22頁,共51頁，2024年2月25日，星期天李雅普諾夫給出以下結(jié)論：（1）A的所有特征值均具有負實部，則平衡狀態(tài)xe是漸進穩(wěn)定的；（2）A的特征值至少有一個為正實部，則平衡狀態(tài)xe是不穩(wěn)定的。（3）A的特征值至少有一個實部為0，則不能根據(jù)A來判平衡狀態(tài)xe的穩(wěn)定性,系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)，需要由R(x)決定。第23頁,共51頁，2024年2月25日，星期天[例4.2.2]

已知非線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式，試分析系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。P173解：系統(tǒng)有2個平衡狀態(tài)：xe1=[0,0]和xe2=[1,1]在xe1=[0,0]處線性化，A1陣的特征值為+1，-1。故系統(tǒng)在xe1處是不穩(wěn)定的。在xe2=[1,1]處線性化，A2陣的特征值為+j，-j,其實部為0,不能根據(jù)A來判斷穩(wěn)定性。返回第24頁,共51頁，2024年2月25日，星期天4.3李雅普諾夫第二法及其主要定理

李雅普諾夫第二法是通過構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)V(x)來直接判斷運動穩(wěn)定性的一種定性的方法。根據(jù)經(jīng)典力學中的振動現(xiàn)象，若系統(tǒng)能量隨時間推移而衰減，系統(tǒng)遲早會達到平衡狀態(tài)，但要找到實際系統(tǒng)的能量函數(shù)表達式并非易事。

第25頁,共51頁，2024年2月25日，星期天（1）如果一個系統(tǒng)被激勵后，其儲存的能量隨時間的推移逐漸衰減，只到平衡狀態(tài)時為最小，則稱這個平衡狀態(tài)是漸進穩(wěn)定的。（2）如果一個系統(tǒng)被激勵后，其儲存的能量隨時間的推移越來越大，則稱這個平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。（3）如果一個系統(tǒng)被激勵后，其儲存的能量隨時間的推移維持不變，則稱這個平衡狀態(tài)是臨界穩(wěn)定的，在李雅普諾夫意義下也認為是穩(wěn)定的。第26頁,共51頁，2024年2月25日，星期天李雅普諾夫提出，虛構(gòu)一個能量函數(shù)，一般它與及t有關(guān)，記為V(x,t)或V(x)。V(x)是一標量函數(shù)，考慮到能量總大于0，故為正定函數(shù)。能量衰減特性用或表示。李雅普諾夫第二法利用V和的符號特征，直接對平衡狀態(tài)穩(wěn)定性作出判斷，無需求解系統(tǒng)狀態(tài)方程的解，故稱直接法。

第27頁,共51頁，2024年2月25日，星期天

直接法解決了一些其它穩(wěn)定性判據(jù)難以解決的非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題，但遺憾的是對一般非線性系統(tǒng)仍未找到構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)V(x)的通用方法。盡管如此目前它仍然是研究系統(tǒng)(包括時變、非線性)穩(wěn)定性的有力工具。對于線性系統(tǒng)，通常用二次型函數(shù)作為李雅普諾夫函數(shù)。第28頁,共51頁，2024年2月25日，星期天一．預(yù)備知識1．二次型函數(shù)的定義及其表達式①定義：設(shè)為n個變量，定義二次型標量函數(shù)為：其中，，則稱P為實對稱陣。第29頁,共51頁，2024年2月25日，星期天例如：

顯然，二次型v(x)完全由矩陣P確定。因此二次型和它的矩陣是相互唯一決定的。②二次型的標準型

只含有平方項的二次型稱為二次型的標準型，如：第30頁,共51頁，2024年2月25日，星期天

2.標量函數(shù)V(x)的符號和性質(zhì)設(shè):,且在x=0處，V(x)≡0。對于x≠0的任何向量。①V(x)>0，稱V(x)為正定的。例如：②V(x)<0，稱V(x)為負定的。例如：③V(x)≥0，稱V(x)為半正定的。例如：④V(x)≤0，稱V(x)為半負定的。例如：第31頁,共51頁，2024年2月25日，星期天設(shè)實對稱矩陣

P陣的所有各階主子行列式如下:3.賽爾維斯特(Sylvester)準則(二次型標量函數(shù)定號性判別準則))33.4(,212222111211222112112111-=D=D=DnnnnnnnppppppppppppppMMLL第32頁,共51頁，2024年2月25日，星期天矩陣P（或V(x))定號性的充要條件為：（1）（2）（3）（4）第33頁,共51頁，2024年2月25日，星期天二．李雅普諾夫第二法的判穩(wěn)主要定理①系統(tǒng)漸進穩(wěn)定的判別定理一[定理4.2]設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為:,其狀態(tài)平衡點xe=0,滿足。如果存在一個具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的標量函數(shù)V(x,t),且滿足以下條件1.V(x,t)是正定的；2.是負定的；

系統(tǒng)在原點處的平衡狀態(tài)是漸進穩(wěn)定的。1，2，3

系統(tǒng)在原點處的平衡狀態(tài)是大范圍漸進穩(wěn)定的。第34頁,共51頁，2024年2月25日，星期天[例4.3.1]

已知非線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程為:試分析其平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性.解：顯然，坐標原點xe=0（即x1=0,x2=0)是系統(tǒng)惟一的平衡狀態(tài)。選取正定標量函數(shù)為則沿任意軌跡，V(x)對時間的導(dǎo)數(shù)是負定的。說明V(x)沿任意軌跡是連續(xù)減小的，因此V(x)是一個李雅普諾夫函數(shù)。

而且，所以系統(tǒng)在原點處的平衡狀態(tài)是大范圍漸進穩(wěn)定的第35頁,共51頁，2024年2月25日，星期天②

系統(tǒng)漸進穩(wěn)定的判別定理二

[定理4.3]設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為:,其狀態(tài)平衡點xe=0,滿足。如果存在一個具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的標量函數(shù)V(x,t),且滿足以下條件1.V(x,t)是正定的；2.是半負定的；第36頁,共51頁，2024年2月25日，星期天定理的運動分析：以二維空間為例第37頁,共51頁，2024年2月25日，星期天[例4.3.2]已知非線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程為:

試分析其平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。解：顯然，坐標原點xe=0（即x1=0,x2=0)是系統(tǒng)惟一的平衡狀態(tài)。選取正定標量函數(shù)為①

②當③進一步分析的定號性：如果假設(shè)，必然要求，進一步要求。但從狀態(tài)方程可知，必滿足表明只可能在原點（x1=0,x2=0）處恒等于零。漸進穩(wěn)定

而且，當，所以系統(tǒng)在原點處的平衡狀態(tài)是大范圍漸進穩(wěn)定的第38頁,共51頁，2024年2月25日，星期天若在該例中①選取正定標量函數(shù)為負定②

而且，當，所以系統(tǒng)在原點處的平衡狀態(tài)是大范圍漸進穩(wěn)定的

由以上分析看出，選取不同的V(x)，可能使問題分析采用不同的判別定理。第39頁,共51頁，2024年2月25日，星期天③系統(tǒng)李氏穩(wěn)定的判別定理[定理4.4]設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為:,其狀態(tài)平衡點xe=0,滿足。如果存在一個具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的標量函數(shù)V(x,t),且滿足以下條件

則系統(tǒng)在原點處的平衡狀態(tài)是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的，但不是漸進穩(wěn)定的。這時系統(tǒng)可保持在一個穩(wěn)定的等幅振蕩狀態(tài)上。1.V(x,t)是正定的；2.是半負定的，且。第40頁,共51頁，2024年2月25日，星期天[例4.3.3]已知非線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程為:

試分析其平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。解：顯然，坐標原點xe=0（即x1=0,x2=0)是系統(tǒng)惟一的平衡狀態(tài)。①選取正定標量函數(shù)為②

由上式可見，，則系統(tǒng)在原點處的平衡狀態(tài)是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的，但不是漸進穩(wěn)定的。第41頁,共51頁，2024年2月25日，星期天④系統(tǒng)不穩(wěn)定的判別定理[定理4.5]設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為:,其狀態(tài)平衡點xe=0,滿足。如果存在一個具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的標量函數(shù)V(x,t),且滿足以下條件1.V(x,t)是正定的；2.是正定的；

則系統(tǒng)在原點處的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。第42頁,共51頁，2024年2月25日，星期天[例4.3.4]已知非線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程為:

試分析其平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。解：顯然，坐標原點xe=0（即x1=0,x2=0)是系統(tǒng)惟一的平衡狀態(tài)。選取正定標量函數(shù)為①

②

系統(tǒng)不穩(wěn)定第43頁,共51頁，2024年2月25日，星期天四不穩(wěn)定第44頁,共51頁，2024年2月25日，星期天定理的形式簡單而有規(guī)律，在定理的應(yīng)用中，要注意以下幾點：

(1)構(gòu)造一個合理的李雅普諾夫函數(shù)，是李氏第二法的關(guān)鍵，李氏函數(shù)具有幾個突出性質(zhì)：

1)李雅普諾夫函數(shù)是一個標量函數(shù)。

2)李雅普諾夫函數(shù)是一個正定函數(shù)，至少在原點的鄰域是如此。

3)對于一個給定的系統(tǒng)