2022年高中數(shù)學(xué)人教A版必修第一冊教案：第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)

第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)

3.3寨函數(shù)

［目標(biāo)］1.記住福函數(shù)的定義，熟悉a=l,2,3,—1時得函數(shù)的圖象及性質(zhì)；2.記住薛

函數(shù)的性質(zhì)，并會用性質(zhì)解決有關(guān)問題.

［重點(diǎn)］能函數(shù)的定義、圖象和性質(zhì).

［難點(diǎn)］利用暴函數(shù)的性質(zhì)解決有關(guān)問題.

《要點(diǎn)整合夯基礎(chǔ)】本欄目通過課前自主學(xué)習(xí)，整合知識，梳理主干，夯基固本

知識點(diǎn)一幕函數(shù)的概念

［填一填］

一般地，函數(shù)y=Y叫做幕函數(shù),其中工是自變量，區(qū)是常數(shù).

［答一答］

1.下列函數(shù)：①y=2%3；②了=%2+1；③y=（尤+1戶是幕函數(shù)嗎？

提示：它們都不滿足氟函數(shù)的定義，所以都不是賽函數(shù).

知識點(diǎn)二幕函數(shù)的圖象

［填一填］

五種常見幕函數(shù)的圖象

T

幕函數(shù)y=x,y=x1,y=x,,y=x^x,y='的圖象如下圖.

［答一答］

2.幕函數(shù)y=犬的圖象在第一象限內(nèi)有何特征？

提示：圖象過點(diǎn)(0,0),(1,1),下凸遞增，如y=N.

1

⑵0<a<l,圖象過點(diǎn)(0,0),(1,1),上凸遞增，如y=L.

(3)a<0,圖象過點(diǎn)(1』)，以兩坐標(biāo)軸為漸近線，如y=x”.

3.為什么嘉函數(shù)在第四象限內(nèi)不存在圖象？

提示：當(dāng)x>0時，>=^>0,不可能出現(xiàn)y<0的情形，所以森函數(shù)在第四象限不存在圖

知識點(diǎn)三寨函數(shù)的性質(zhì)

［填一填］

五類幕函數(shù)的性質(zhì)

2y=x31

哥函數(shù)y—xy=y=4丁y=x-

定義域RRR[0,+8)(-8,0)U(0,+8)

值域R[0,+8)R[0,+8)|y1yGR且

奇偶性奇偶奇非奇非偶奇

A-￡[0,+8),擅%￡(0,+8),減

單調(diào)性增增增

XG(-8,0],逋XG(-8,0)遮

公共點(diǎn)都經(jīng)過點(diǎn)(1,1)

［答一答］

4.對于基函數(shù)y=y(a是常數(shù)，x是自變量)其在第一象限內(nèi)的單調(diào)性是怎樣的？

提示：a>0時，>=產(chǎn)在(0,+8)上是增函數(shù)；

a<0時，>=十在(0,+8)上是減函數(shù).

《典例講練破題型/-----本-欄-目通過課堂講練互動，聚焦重點(diǎn)，剖析難點(diǎn)，全線突破

類型一幕函數(shù)的概念

［例1］下列函數(shù)：①y=R;②y=］2+2x；③y=4N；@y=x5+l；⑤y=(x—l)2；@y

=x.其中幕函數(shù)的個數(shù)為(B)

A.1B.2

C.3D.4

［解析］②為二次函數(shù)，③中系數(shù)不是1,④中解析式為多項式，⑤中底數(shù)不是自變量

本身，所以只有①⑥是尿函數(shù)，故選B.

通法提煉

嘉函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征：(1)解析式是單項式；(2)倦指數(shù)為常數(shù)，底數(shù)為自變量，系

數(shù)為1.

［變式訓(xùn)練1］(1)已知鬲函數(shù)<x)=A的圖象過點(diǎn)(；，堂)，貝1Jk+a=(C)

A.；B.1

3

C，2D.2

(2)已知函數(shù)y=(m2+2加-2)—+2+2〃-3是事函數(shù)，則上=一3或1,〃=一3或1.

解析：⑴由氟函數(shù)定義知女=1,把(，孝j代入尸公得a=T，3

?,?%+［=］.選C.

(2)因為函數(shù)y=(m2+2m—2)/+2+2?—3是恭函數(shù)，由氟函數(shù)的定義得

m2+2m-2=1,

2n—3=0,

3

解得加=—3或1,n=2,

類型二幕函數(shù)的圖象

［例2］下圖是幕函數(shù)y=/、>=都與1在第一象限內(nèi)的圖象，貝！J(B)

A.—l<n<0<m<l

B.n<—l,0<m<l

C.—l<n<0,m>l

D.n<-1,m>l

［解析］由y=/的圖象是橫臥拋物線形，知0<m<l;

由y=V的圖象是雙曲線，知〃<0.作直線X=XO(O<M)<1),與

y=x\y=;T1的圖象分別交于點(diǎn)A、B,由“點(diǎn)低指數(shù)大”知〃<—1.故選B.

通法提煉

在區(qū)間(0,1)上，寡函數(shù)的指數(shù)越大，圖象越靠近尤軸；在區(qū)間(1,+8)上，得函數(shù)的指

數(shù)越大，圖象越遠(yuǎn)離無軸.

［變式訓(xùn)練2］幕函數(shù)y=/i及直線y=x,y=l,x=l將平面直角坐標(biāo)系的第一象限分成

1

廣

八個區(qū)域，分別標(biāo)記為①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧(如圖所示)，那么幕函數(shù)y=

的圖象經(jīng)過的區(qū)域?qū)?yīng)的序號有(D)

A.④⑦B.④⑧C.③⑧D.①⑤

角旱析：x—y［x=yfx(y［x—1),當(dāng)0<x〈l時，x—y［x<Of即#vl,

需函數(shù)y=的圖象經(jīng)過區(qū)域①；當(dāng)x>l時，x—也>0,即；.需函數(shù)y=x^

的圖象經(jīng)過區(qū)域⑤.

類型三幕函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用

［例3］比較下列各組中三個數(shù)的大小.

332

(1)1.1^,1.4^,1.1^；

(2)0.16-^,0.5"^,6.25士

［分析］本題考查需函數(shù).

［解］(1)1.#與1.4亨同指不同底，幕函數(shù)y=X+在

［0,+8)上是增函數(shù)，

町=1.1，化2=1-4,孫<冗2，

33

TT

力=1.1<y2=L4.

指數(shù)函數(shù)y=1.1，在R上是增函數(shù),.?.1.#>1.代.

故1.4今>1.#>1.1亍.

(2)0.16-^=(罌)7=6.25等，

0.5凸=27=4凈,6.25高=2.5年，

函數(shù)y=尤全在［0,+8)上遞增，

/.2.5；<47<6.25丁，

即6.25京<0.5、<0.16-^.

通法提煉

比較寨值大小的方法

分類比較對象方法

￥與瑞

指數(shù)相同，底數(shù)不同利用幕函數(shù)的單調(diào)性

底數(shù)相同，指數(shù)不同ax,與aX7利用不等式性質(zhì)

底數(shù)、指數(shù)都不同ax'與b*尋找“中間量”*或八或1或0等

［變式訓(xùn)練3］比較下列各組中兩個值的大?。?/p>

（1）1.5/與1.6^；（2）0.613與0.713；

（3）3.5片與5.3-/；（4）0.1843與0.匕一吃

解：（1）;賽函數(shù)y二工卷在。18）上單調(diào)遞增，且1.5

<1.6,/.1.5T<1.6T.

（2）V幕函數(shù)y=J3在（0,+oo）上單調(diào)遞增，且0.6<

0.7,.\0.61-3<073.

（3）v號函數(shù)y=工一等在（0,+8）上單調(diào)遞減，且3.5<

22

5.3,/.3.5~~>5.3-工

（4）v幕函數(shù)y=x-0-3在（0,+8）上單調(diào)遞減，且0.18

>0.15,.-.0.18-°-3<0.15-0-3.

本欄目通過課堂自主達(dá)標(biāo)，巧練經(jīng)典，強(qiáng)基提能，全面提升

1.下列所給出的函數(shù)中，是累函數(shù)的是（B）

A.y=~xiB.產(chǎn)1一3

C.y=2/D.y=x3~1

2.如果累函數(shù)加0的圖象過點(diǎn)（4,￡）,那么J

的值為（D）

AiB.2

C.1D.4

解析：設(shè)?=北;加:）的圖象過點(diǎn)（4n11

2）,工2=中，解得a=-2.?'?危）=

1

解析：:函數(shù)y二?是第函數(shù)，幕函數(shù)在第一^限內(nèi)恒過點(diǎn)(1,1),排除A,D.當(dāng)x>l,O<oc<l

時，)=犬在直線y=x下方，由&除C,選B.

4.幕函數(shù))=%T在［―4,—2］上的最小值為——J.

.解析：：y=%一1在(-8,0)上單調(diào)遞減，y=在［―4,—2］上遞減，<y=在

［-4,—2］上的最小值是一g.

5.比較下列各題中兩個幕的值的大小：

3

(1)1.1i,0.■；⑵L「+,0.9-+;(3)3+,田4?

解：（1）:y=/■為［0,+8）上的增函數(shù)，又1.1>0.9,

1.12>0.92.

（2）?.?y=%、為（0,+8）上的減函數(shù)，

又1.1>0.9.

???1.<0.9、.

3

（3）,.?3一不=（g~）4,函數(shù)y二”為［0,+8）上的增函數(shù),

畤〈卜田‘<（。，即產(chǎn)〈（4

課堂小結(jié)

——本課須掌握的三大問題

1.幕函數(shù)>=f的底數(shù)是自變量，指數(shù)是常數(shù).

2.幕函數(shù)在第一象限內(nèi)指數(shù)變化規(guī)律

在第一象限內(nèi)直線x=l的右側(cè)，圖象從上到下，相應(yīng)的指數(shù)由大變?。辉谥本€x=l的

左側(cè)，圖象從下到上，相應(yīng)的指數(shù)由大變小.

3.簡單幕函數(shù)的性質(zhì)

(1)所有幕函數(shù)在(0，+8)上都有定義，并且當(dāng)自變量為1時，函數(shù)值為1,即11)=1.

(2)如果a>0,幕函數(shù)在［0,+8)上有意義，且是增函數(shù).

⑶如果a<0,累函數(shù)在x=0處無意義，在(0,+8)上是減函數(shù).

塞函數(shù)課時作業(yè)

基礎(chǔ)通關(guān)一水平一》

（15分鐘30分）

1.下列結(jié)論正確的是（）

A.幕函數(shù)圖象一定過原點(diǎn)

B.當(dāng)a〈0時，幕函數(shù)y=x"是減函數(shù)

C.當(dāng)a>1時，幕函數(shù)y=xa是增函數(shù)

D.函數(shù)y=x2既是二次函數(shù)，也是幕函數(shù)

【解析】選D.函數(shù)y=x-1的圖象不過原點(diǎn)，故A不正確；y=x-i在（-8,

0）及（0,+8）上是減函數(shù)，故B不正確；函數(shù)y=x?在（-8,0）上是減

函數(shù)，在（0,+8）上是增函數(shù)，故C不正確.

2.已知幕函數(shù)f（x）=kx"的圖象過點(diǎn)C，&）,則k+a等于（）

1T32

-H--

2B.C.2D.

【解析】選A.因為球函數(shù)f（x）=kx0（k￡R,a￡R）的圖象過點(diǎn)6八泛）,

所以k1f（|）=（0a=v2,

11

即a所以k+a=-.

1

3.在下列四個圖形中，y=%?的圖象大致是（）

【解析】選D.函數(shù)y=%W的定義域為（0,+8）,是減函數(shù).

4.幕函數(shù)的圖象過點(diǎn)（3,V3）,則它的單調(diào)遞增區(qū)間是（）

A.[-1,+°°)B.[0,+°°)

C.(-8,+oo)D.(-8,o)

【解析】選B.設(shè)纂函數(shù)為f(x)=xa,因為球函數(shù)的圖象過點(diǎn)(3,1)，

/—I11

所以f⑶=3。=百=3"解得a=|,所以f(x)=%5,所以球函數(shù)的單調(diào)

遞增區(qū)間為

[0,+8).

5.(2020?北京高一檢測)如果幕函數(shù)f(x)=x，的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2,4),

則f(x)在定義域內(nèi)()

A.為增函數(shù)B.為減函數(shù)

C.有最小值D.有最大值

【解析】選C.因為賽函數(shù)千(x)=x，的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2,4),

所以手(2)=2三4,解得a=2,所以f(x)=x2,

所以f(x)在定義域先遞減再遞增，有最小值.

【補(bǔ)償訓(xùn)練】

已知2.4O2.5",則a的取值范圍是.

【解析】因為0<2.4<2.5,而2.4。>2.5。，

所以y=x。在(0,+8)上為減函數(shù)，故a<0.

答案：(-8,0)

6.已知幕函數(shù)f(x)=%=2「m+3m￡Z)滿足:

①在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增；

②對任意的xWR,都有f(-x)-f(x)=0.

求幕函數(shù)f(x)的解析式，并求當(dāng)x￡[0,4的寸,f(x)的值域.

【解析】因為函數(shù)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以-m2-2m+3>0,解得：.

因為-2<m<2,m￡Z,所以m=T或m=0.

又因為千(-x)=f(x),所以f(x)是偶函數(shù)，所以-ir|2-2m+3為偶數(shù).

當(dāng)m=_1時，_m2_2m+3=4滿足題意，

當(dāng)m=0時，-m2-2m+3=3不滿足題意，

所以f(x)=x\所以千(x)在［0,4］上遞增,

所以千(x)min=f(0)=0,f(x)max=f(4)=256,

所以值域是［0,256］.

?能力進(jìn)階一水平二》

(20分鐘40分)

一、單選題(每小題5分，共15分)

1.(2020竦海高一檢測)若函數(shù)f(x)=(m2-6m+9)熄2加+1是幕函數(shù)且

為奇函

數(shù)，則m的值為()

A.2B.3C.4D.2或4

【解析】選D.因為函數(shù)f(x)=(m2-6m+9)%Tn2-37n+i為賽函數(shù),所以

m2-6m+9=l,所以m=2或m=4,當(dāng)m=4時，flxhx，是奇函數(shù)，滿足題

意，當(dāng)m=2時，f(x)=xT是奇函數(shù)，滿足題意；所以m=2或4.

2.下列命題中，不正確的是()

A.幕函數(shù)y=x-i是奇函數(shù)

B.幕函數(shù)y=x?是偶函數(shù)

C.幕函數(shù)y=x既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)

1

D.y=%5既不是奇函數(shù)，又不是偶函數(shù)

【解析】選C.因為

X-XX

所以A正確；

1

(-x)2=x2,所以B正確；-x=x不恒成立，所以C不正確；y=%5定義域

為［0,+8),不關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以D正確.

3.給出幕函數(shù)：①f(x)=x；②f(x)=x*③f(x)=x1(4)f(x)=V%;

⑤f(x)J.其中滿足條件

X

f(詈)>四野(x>X2>0)的函數(shù)的個數(shù)是()

A.1個B.2個C.3個D.4個

【解題指南】解決該題的關(guān)鍵是正確理解

(安少(冷)(xLO)的含義.

【解析】選A.①函數(shù)f(x)=x的圖象是一條直線，故當(dāng)x>X2>0時，

②函數(shù)千(x)=x?的圖象是凹形曲線，故當(dāng)X1>X2>O時，

rfx+x'\f(x)+f(x)

f(丁12戶/一12一2；

③在第一象限，函數(shù)千(x)=x?的圖象是凹形曲線，故當(dāng)x>X2>0時，

rfx+X'\f(X)+f(X)

千(1丁2產(chǎn)/一12一2；

④函數(shù)千(x)=y的圖象是凸形曲線，故當(dāng)Xl>x2>0時，

千(牝+%2)〉/久1)+/、2).

1

⑤在第一象限，函數(shù)f(X)』的圖象是一條凹形曲線，故當(dāng)>X>O時，

XX12

f/xT+x2\yf(x1)+f(x2)

22

故僅有函數(shù)f(X)=y滿足當(dāng)xi>x2>o時,

+x2'\yf(x1)+f(x2)

272

、多選題(共5分，全部選對得5分，選對但不全的得3分，有選

錯的得0分)

4.下列函數(shù)中，其定義域和值域相同的函數(shù)是()

1152

A.y=%3B.y=%-2C.y=%3D.y=%3

ii1

【解析】選A、B、C.A中定義域、值域都為R;B中y=%-2=—

■y/x