兩類發(fā)展方程全離散非協(xié)調(diào)元逼近與收斂性分析的開題報(bào)告

兩類發(fā)展方程全離散非協(xié)調(diào)元逼近與收斂性分析的開題報(bào)告開題報(bào)告1.研究背景和意義近年來，求解偏微分方程的數(shù)值方法是科學(xué)計(jì)算中的一個(gè)重要領(lǐng)域。應(yīng)用數(shù)值方法可以將偏微分方程離散化為一組代數(shù)方程，用計(jì)算機(jī)進(jìn)行求解。其中，全離散化方法是一種常見的數(shù)值方法，該方法先對(duì)時(shí)間變量進(jìn)行離散化，然后對(duì)空間變量進(jìn)行離散化。全離散化方法的一大優(yōu)勢(shì)是時(shí)間步長(zhǎng)可以根據(jù)需要選擇，從而更好地控制數(shù)值方法的精度和穩(wěn)定性。然而，在實(shí)際應(yīng)用中，通常需要考慮非協(xié)調(diào)元的情況，也就是說，在時(shí)間和空間上使用不同的離散化元素。這種情況出現(xiàn)在計(jì)算領(lǐng)域中經(jīng)常使用的自適應(yīng)算法中，因?yàn)椴煌木W(wǎng)格元素可能具有不同的尺寸和形狀，從而導(dǎo)致非協(xié)調(diào)元的存在。因此，研究全離散非協(xié)調(diào)元逼近和收斂性的數(shù)值方法具有重要的理論和實(shí)際意義。對(duì)于這類問題，目前的研究主要集中在更加特殊的情形，例如線性問題、平坦邊界條件以及一些具有特殊結(jié)構(gòu)的偏微分方程。而對(duì)于更加普遍的情況，研究相對(duì)較少，需要進(jìn)一步深入探索。2.研究目的和內(nèi)容本文的主要目的是對(duì)全離散非協(xié)調(diào)元逼近和收斂性進(jìn)行研究。具體內(nèi)容如下：(1)分析全離散非協(xié)調(diào)元的數(shù)值逼近特性，推導(dǎo)相應(yīng)的誤差界，研究和比較不同的離散化方法。(2)研究非協(xié)調(diào)元離散化的收斂性，探討網(wǎng)格元素的形狀和尺寸對(duì)數(shù)值方法的精度和穩(wěn)定性的影響。(3)基于數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證相關(guān)理論分析，并與已有的數(shù)值方法進(jìn)行比較和評(píng)價(jià)。3.研究方法和步驟(1)閱讀相關(guān)文獻(xiàn)，了解全離散非協(xié)調(diào)元逼近和收斂性的研究現(xiàn)狀，研究正交多項(xiàng)式方法和基于格點(diǎn)平滑技術(shù)的數(shù)值方法。(2)提出適合于非協(xié)調(diào)元離散化的數(shù)值方法。通過構(gòu)造非協(xié)調(diào)元逼近的適當(dāng)正交多項(xiàng)式，設(shè)計(jì)全離散化公式，推導(dǎo)誤差界和性質(zhì)。(3)分析和比較誤差界和性質(zhì)，研究非協(xié)調(diào)元離散化的收斂性和穩(wěn)定性，討論網(wǎng)格元素的重要影響因素。(4)利用不同的數(shù)值程序驗(yàn)證提出的數(shù)值方法和理論分析，并與其他已有的數(shù)值方法進(jìn)行比較和評(píng)價(jià)。4.研究進(jìn)度安排第一階段(2周)：繼續(xù)深入閱讀相關(guān)文獻(xiàn)，并掌握正交多項(xiàng)式方法和基于格點(diǎn)平滑技術(shù)的數(shù)值方法。第二階段(4周)：研究非協(xié)調(diào)元離散化的數(shù)值方法，提出理論分析和誤差界的推導(dǎo)。第三階段(6周)：分析非協(xié)調(diào)元離散化的數(shù)值方法的收斂性和穩(wěn)定性，探討網(wǎng)格元素的形狀和尺寸對(duì)數(shù)值方法的影響。第四階段(4周)：通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證提出的數(shù)值方法和理論分析，并與已有的數(shù)值方法進(jìn)行比較和評(píng)價(jià)。第五階段(2周)：整理和撰寫論文。5.參考文獻(xiàn)[1]李錚,孫思邈,馬宏波.偏微分方程數(shù)值解法[M].北京:科學(xué)出版社,2006.[2]StrangG,FixGJ.Ananalysisofthefiniteelementmethod[M].EnglewoodCliffs,NJ:Prentice-Hall,1973.[3]LiuGR,GuYT.Anintroductiontomeshfreemethodsandtheirprogramming[M].Berlin:Springer,2005.[4]XuK.Somerecentadvancesinmultiscalemethodsandadaptivemeshrefinementalgorithmsforellipticproblems[J].CommunicationsinComputationalPhysics,2011,10(2):507-544.[5]WilcoxCH,LassilaTS.Convectiveheattransferenhancementusinganonuniformgrids