2023人教版新教材高中數(shù)學(xué)B選擇性必修第一冊(cè)同步練習(xí)-2 . 7 拋物線及其方程

2023人教版新教材高中數(shù)學(xué)B選擇性必修第一冊(cè)

第二章平面解析幾何

2.7拋物線及其方程

2.7.1拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

題組一拋物線的定義及應(yīng)用

L（2020山西臨汾一中月考）在平面內(nèi)，“點(diǎn)P到某定點(diǎn)的距離等于其到某條定直

線的距離”是“點(diǎn)P的軌跡為拋物線”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

2.（2022江西新余檢測(cè)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)M的坐標(biāo)滿(mǎn)足方程產(chǎn)"+r2|,則動(dòng)點(diǎn)M

的軌跡是（）

A.橢圓B.雙曲線C.拋物線D.圓

3.已知拋物線C:y?=x的焦點(diǎn)為F,A（xo,y°）是C上一點(diǎn)，IAF|=常則x（）=（）

A.1B.2C.4D.8

4.（2020黑龍江哈爾濱六中期中）過(guò)焦點(diǎn)為F的拋物線y2=12x上一點(diǎn)M向其準(zhǔn)線

作垂線,垂足為N,若|NF|=10,則|MF|=（）

A.學(xué)B.《C.《D.春

3333

題組二拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和準(zhǔn)線方程

22

5.（2021遼寧阜新模擬）若拋物線x2=2py（p〉0）的焦點(diǎn)與橢圓的上焦點(diǎn)重

合,則該拋物線的準(zhǔn)線方程為（）

A.y=-lB.y=lC.y=-2D.y=2

6.（2020山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)期中）已知d為拋物線y=2px2（p>0）的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距

離，則Pd的值等于（）

12211

PRPC

一-

2-2D.4

7.（2021山東青島平度一中月考）已知點(diǎn)A（0,-2）,直線l:y=2,則過(guò)點(diǎn)A且與1相

切的圓的圓心的軌跡方程為.

22

8.（2022浙江溫州檢測(cè)）橢圓白5=1的左焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為,以F為焦點(diǎn),

qD

坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)的拋物線方程為.

9.（2021山東淄博張店模擬）如圖所示，一隧道內(nèi)設(shè)雙行線公路，其截面由矩形的

三條邊和拋物線的一段構(gòu)成,為保證安全,要求行駛車(chē)輛頂部（設(shè)為平頂）與隧道

頂部在豎直方向上高度之差至少要有0.5m.

⑴以?huà)佄锞€的頂點(diǎn)為原點(diǎn),對(duì)稱(chēng)軸為y軸建立平面直角坐標(biāo)系（如圖），求該拋物

線的方程；

（2）若行車(chē)道總寬度AB為7m,車(chē)輛禁止跨越道路中心線,請(qǐng)計(jì)算通過(guò)隧道的車(chē)輛

限制高度為多少米（精確到0.1m）.

能力提升練

題組一拋物線定義的應(yīng)用

1.（2021山東濱州濱城高新一中模擬）若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3,2）,F是拋物線y2=2x的

焦點(diǎn)，點(diǎn)M在拋物線上移動(dòng)時(shí)，使MA|+1MF|取得最小值的M的坐標(biāo)為（）

A.（0,0）B.g,l）C.（1,V2）D.（2,2）

2.（2020四J11成都外國(guó)語(yǔ)學(xué)校期中）拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為1,P是1

上一點(diǎn),連接PF并延長(zhǎng)，交拋物線C于點(diǎn)Q,若|PF|胃|PQ|,則|QF|=（）

A.3B.4C.5D.6

3.（2020吉林通化一中月考）設(shè)P是拋物線y2=4x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),F為拋物線的焦

點(diǎn)

⑴若點(diǎn)P到直線x=-l的距離為d,A（-1,1）,求|PA|+d的最小值；

（2）若B（3,2）,求|PB|+1PF|的最小值.

題組二拋物線的方程及應(yīng)用

4.（2022北京第十二中學(xué)檢測(cè)）設(shè)拋物線C:y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P在拋物

線C上，|FP|=10,若以FP為直徑的圓過(guò)點(diǎn)（0,3）,則p的值為（）

A.4或9B.4或18

C.2或18D.2或9

5.（2020安徽蚌埠月考）已知拋物線x2=4y的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為1,P為拋物線上一

點(diǎn)，過(guò)P作PA_L1于點(diǎn)A,當(dāng)NAF0=30°（0為坐標(biāo)原點(diǎn)）時(shí)，|PF|=（）

AR

A.-B.-C.2D.3

33

6.（多選）（2020山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)月考）已知拋物線C:x?=3y的焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)F的

直線1交拋物線C于A,B兩點(diǎn),其中點(diǎn)A在第一象限若弦AB的長(zhǎng)為4,則（）

A.直線1的傾斜角為30°或150°

B.|AF|-|BF|=4

C.黑的值為5或3

|BF|3

9

D.SAAOB=~

7.（2021山東煙臺(tái)期末）汽車(chē)前照燈的反射鏡為一個(gè)拋物面，它由拋物線沿它的對(duì)

稱(chēng)軸旋轉(zhuǎn)一周形成.通常前照燈主要是由燈泡、反射鏡和透鏡三部分組成,其中

燈泡位于拋物面的焦點(diǎn)上,由燈泡發(fā)出的光經(jīng)反射鏡反射后形成平行光束,再經(jīng)

過(guò)透鏡的折射等作用達(dá)到照亮路面的效果.如圖,從燈泡發(fā)出的光線FP經(jīng)拋物線

y2=2px(p>0)反射后,沿PN平行射出，ZFPN的平分線PM交x軸于點(diǎn)M,直線PM的

方程為2x+y-12=0,則拋物線的方程為

答案與分層梯度式解析

第二章平面解析幾何

2.7拋物線及其方程

2.7.1拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

1.8若點(diǎn)P的軌跡為拋物線,則點(diǎn)P到某定點(diǎn)的距離等于其到某條定直線的距

離,但若點(diǎn)P到某定點(diǎn)的距離等于其到某條定直線的距離,且該定點(diǎn)在該定直線

上,則點(diǎn)P的軌跡就不是拋物線,故應(yīng)為必要不充分條件.

2.C方程尸了=史受烏表示動(dòng)點(diǎn)M(x,y)與定點(diǎn)(0,0)間的距離等于動(dòng)點(diǎn)M到

定直線3x+4y-12=0的距離,且定點(diǎn)不在定直線上,根據(jù)拋物線的定義可知,動(dòng)點(diǎn)M

的軌跡是以定點(diǎn)(0,0)為焦點(diǎn),定直線3x+4y-12=0為準(zhǔn)線的一條拋物線.

2

3.A由拋物線C的方程y=x可得p=j,/.|AF|=|xo=xo+|=xo+i,解得x0=l.

4.8記準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為A,易知|AF|=6,因?yàn)閨NF|=10,所以|AN|=8,即點(diǎn)M

的縱坐標(biāo)為8或-8,設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為xM,則X、考哼故［MF|甘+3卷

5.C?.?橢圓白學(xué)1的上焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2)，.二拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0.2)，，拋物

線的準(zhǔn)線方程為y=-2,故選C.

6.D拋物線方程可化Zp為所以d4=P±,故pd=p-4P±=41

7.答案x2=-8y

解析由題意知，圓心在以A(0,-2)為焦點(diǎn),直線y=2為準(zhǔn)線的拋物線上,其方程

可設(shè)為x2=-2py(p〉0),則歲2,.5=4,.,.所求圓心的軌跡方程為x2=-8y.

8.答案(-1,0);y=-4x

解析由橢圓方程可得c2=a2-b2=4-3=l,所以F(T,0),故所求拋物線的焦點(diǎn)為

F(-l,0),設(shè)拋物線方程為y2=-2px(p>0),則占1,所以p=2,故所求拋物線的方程為

y2=-4x.

9.信息提取①拋物線與矩形的組合截面;②隧道高7叫寬10%矩形高2m;③

每條行車(chē)道的寬度為3.5m.

數(shù)學(xué)模型以隧道截面為情境，構(gòu)建與拋物線相關(guān)的數(shù)學(xué)模型.(1)根據(jù)建立的平

面直角坐標(biāo)系,設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,由圖中數(shù)據(jù)找到拋物線上的點(diǎn)的坐標(biāo)，代

入求出方程；⑵設(shè)限高為hm,用h表示臨界點(diǎn)D的坐標(biāo)，代入拋物線方程求參數(shù)

解析(1)依題意,設(shè)該拋物線的方程為x2-2py(p>0).

如圖,因?yàn)辄c(diǎn)C(5,-5)在拋物線上，

所以52=-2pX(-5),所以p=|,

所以該拋物線的方程為x2=-5y.

⑵設(shè)車(chē)輛的限制高度為hm,則|DB|=h+0.5,故D(3.5,h-6.5),代入方程x2=-5y,

解得h=4.05.所以通過(guò)隧道的車(chē)輛限制高度為4.0m.

方法點(diǎn)睛考查拋物線方程的實(shí)際應(yīng)用,解題時(shí)注意結(jié)合圖形,將實(shí)際問(wèn)題抽象為

數(shù)學(xué)問(wèn)題,最后結(jié)果取近似值時(shí),要結(jié)合實(shí)際情況(如本題中車(chē)輛高度不能超過(guò)

4.05m),否則容易出錯(cuò).

能力提升練

1.P如圖所示,過(guò)M作拋物線準(zhǔn)線的垂線,垂足為B,過(guò)A作拋物線準(zhǔn)線的垂線,

垂足為B',交拋物線于M'.由拋物線的定義得|MF|+|MA|=IMB|+1MA|,所以當(dāng)

M,B,A三點(diǎn)共線,即M運(yùn)動(dòng)到M'時(shí)，|MB|+|MA|的值最小,此時(shí)M(2,2),故選D.

2.C設(shè)Q到1的距離為d,則由拋物線的定義可得，IQF|=d.

V|PF|=i|PQ|,A|PQ|=5|QF|=5d,

不妨設(shè)Q在第四象限，

則直線PF的斜率為-媽次=-2遍.

易知F(2,0)，，直線PF的方程為y=-2V6(x-2),與y2=8x聯(lián)立可得3x2-13x+12=0,

解得x=3或x=g,由題意可得點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)大于2,故x=3,

二|QF|=d=3+2=5.故選C.

3.解析(1)依題意,拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0),準(zhǔn)線方程為x=-l.由已知及拋物線

的定義,可知PF|=d,于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求IPA|+1PF|的最小值.由平面幾何知識(shí)知，

當(dāng)F,P,A三點(diǎn)共線時(shí)，|PA|+1PF|取得最小值最小值為IAF|=圾即|PA|+d的最小

值為遮.

(2)把點(diǎn)B的橫坐標(biāo)代入y2=4x中,得y=±2V3,因?yàn)?遮>2,所以點(diǎn)B在拋物線的

內(nèi)部.過(guò)B作BQ垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)Q,交拋物線于點(diǎn)P,(如圖所示).由拋物線的定義，

可知|P0=|PF|,則|PB|+|PF|》EB|+|PQ|=|BQ|=3+1=4,所以|PB|+|PF|的最小

值為4.

4.C拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為信0),設(shè)P(x,y),由拋物線的定義

知|PF|=x+>10,解得x=10-*

又以FP為直徑的圓的圓心是FP的中點(diǎn)，

所以圓心的橫坐標(biāo)為空=5.

因?yàn)镮FP|=10,所以圓的半徑為5,又以FP為直徑的圓過(guò)點(diǎn)(0,3),

所以該圓與y軸相切于點(diǎn)(0,3),故圓心的縱坐標(biāo)為3,則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為6.

2

即P(io/6),將其代入拋物線方程得p-20p+36=0,解得p=2或P=18.

5.A設(shè)1與y軸交于點(diǎn)B,在RtZiABF中，NAFB=30°,|BF|=2,所以|AB|=等.

設(shè)P(xo,y°),則x°=土竽,于是y。帶,從而|PF|=|PA|=y0+l=^.

6.AC由題意知故可設(shè)直線1的方程為y=kx+](kWO),A(xby),B(x2,y2),

2

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