2021年中考數(shù)學壓軸難題押題附答案解析

2021年中考數(shù)學壓軸題

1.四邊形力5C。中，AB=AD,PE、0尸分別是邊8C、CQ的中垂線，連接以，PB,PC,

PD,延長NP交3C于點〃，延長CP交相于點G,若AD〃BP,CG±AB.

(1)判斷四邊形23尸。的形狀，并加以證明；

(2)求N/H3的度數(shù)；

(3)若BH=6,CH=29求的長度.

、：PE、尸尸分別是邊8C、CQ的中垂線,

:?PB=PC,PC=PD,

:?PB=PD,

在△43P與△4/)產(chǎn)中，

(AB=AD

\PB=PD.

14P=AP

：./XABP^AADP(SSS).

.??NBAP=ND4P.

*：AD〃BP,

：./DAP=NAPB.

:?/BAP=/APB.

:.AB=BP.

:?AB=BP=PD=AD,

???四邊形是菱形；

(2)設NCP〃=a,NPCB=B，

：.ZAPG=ZCPH=a.

〈PE垂直平分8C,

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???NPBC=NPCB=B.

：.ZGPB=NPBC+/PCB=2B.

：.ZAPB=N"G+NGPB=a+2B.

???ZAPD=ZAPB=a+2^.

：./GPD=N力0G+N/PO=2a+2a

*：AD〃BP,CGL4B,

：.ZGPD=90Q.

???2a+2B=90°.

/.a+p=45°.

'/NN〃B=a+G，

AZAHB=45°；

(3)?：BH=6,CH=2,

:?BC=BH+CH=8.

〈PE垂直平分4C,

：.BE=CE=/C=4.

:.EH=CE-CH=4-2=2.

在直角△PE，中，?:NPEH=90°,ZPHE=45°,EH=2,

：.PE=2.

在直角APEB中，,:NPEB=9Q°,BE=4,PE=2,

：.BP=y/BE2+PE2=V42+22=2A/5.

：.AB=BP=2V5,即AB的長度為2遍.

2.定義：三角形一邊上的點將該邊分為兩條線段，且這兩條線段的積等于這個點到該邊所

對頂點連線的平方，則稱這個點為三角形該邊的“好點”.如圖1,/\ABC中，點。是

BC邊上一點，連結ZO,若AE^BD。,則稱點。是△48C中8C邊上的“好點”.

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圖1圖2圖3

(1)如圖2,△Z8C的頂點是4X3網(wǎng)格圖的格點，請僅用直尺畫出N8邊上的一個“好

點”.

(2)△23C中,8c=9,tanS=$tanC=|,點。是8c邊上的“好點”，求線段2。的

長.

(3)如圖3,△Z8C是。。的內接三角形，OH_L<B于點H,連結C77并延長交OO于

點D.

①求證：點”是△88中C。邊上的“好點”.

CH

②若。。的半徑為9,NABD=90°,0H=6,請直接寫出其的值.

DH

解：(1)如答圖1,當CDL/B或點。是的中點是，CD2=AD'BD；

(2)作4EJLBC于點E,由比tanC=：可設NE=4x,

則8E=3x,CE=6x,

:?BC=9x=9,.\x=1,

:.BE=3,CE=6,AE=4,

設OE=a,

①如答圖2,若點D在點E左側，

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上

由點。是8c邊上的“好點”知，AD2=BD?CD,

.*.tz2+42=（3-。）（6+。），B|J2a2+3a-2=0,

解得=；，42=-2（舍去）,

/.BD=3-Q=3-3=?.

②如答圖3,若點。在點E右側,

由點。是8C邊上的“好點”知，A0=BD?CD,

.*.tz2+42=（3+。）（6-a）,BP2a2-3a-2=0,

解得41=2,。2=-；（舍去）

???80=3+。=3+2=5.

/.BD—5或5.

（5）①如答圖4,連接力。，BD,

?:/CHA=/BHD,/ACH=/DBH

：.△AHCsXDHB,

AHCHg

J—=—，即AH?BH=CH*DH,

DHBH

〈OH工AB,

:?AH=BH,

:.BFF=CH、DH

?,?點〃是△BCD中CO邊上的“好點”.

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^CH5

②---=—?

~DH21

理由如下：如答圖4,

?；NABD=90°,

???4。是直徑，

工力0=18.

又?：0HLAB,

：.OH//BD.

丁點。是線段/。的中點,

????！ㄊ恰?80的中位線,

：.BD=2OH=\2.

在直角△力8。中，由勾股定理知：AB=\/AD2-BD2=V182-122=6>/5.

二由垂徑定理得到：BH=：AB=3底

在直角△8。”中，由勾股定理知：DH=7BH2+BD2=，45+144=3g.

又由①知，B