2022年高考全國甲卷數(shù)學（理）真題（解析版）

絕密★啟用前

2022年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試

理科數(shù)學

注意事項：

1.答卷前，考生務必用黑色碳素筆將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號填寫在答題

卡上，并認真核準條形碼上的準考證號、姓名、考場號、座位號及科目，在規(guī)定的位置貼好

條形碼.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本

試卷上無效.

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

Z

1.若2=-1+后，則ZZ-1()

A.-1+V3iB.-1-V3ic.」+走iD.」一旦

3333

【答案】C

【解析】

【分析】由共貌復數(shù)的概念及復數(shù)的運算即可得解.

【詳解】5=—l—gi,z2=(—l+6i)(—l—?)=l+3=4.

z—1+\/3i15/3.

-----=--------=----1----1

zz-1333

故選：C

2.某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識.為了解講座效果，隨機抽取10位社區(qū)居民，讓

他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正

確率如下圖：

100%

95%

90%?……?.........................?

拗85%

每80%*講座前

田75%?講座后

70%..............*..................................

OJ/0

60%業(yè)加

cW]________I_______1________1_______1________1_______1________1_______1_______1

u

12345678910

居民編號

則()

A.講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于70%

B.講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%

C.講座前問卷答題的正確率的標準差小于講座后正確率的標準差

D.講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差

【答案】B

【解析】

【分析】由圖表信息，結合中位數(shù)、平均數(shù)、標準差、極差的概念，逐項判斷即可得解.

【詳解】講座前中位數(shù)為70%+75%.〉70%,所以A錯;

2

講座后問卷答題的正確率只有一個是80%,4個85%,剩下全部大于等于90%,所以講座后問卷答題的正確

率的平均數(shù)大于85%,所以B對；

講座前問卷答題的正確率更加分散，所以講座前問卷答題的正確率的標準差大于講座后正確率的標準差，所

以C錯；

講座后問卷答題的正確率的極差為100%-80%=20%,

講座前問卷答題的正確率的極差為95%-60%=35%>20%，所以D錯.

故選:B.

3.設全集。={一2,-1,0,1,2,3},集合A={-1,2},8={RV-4X+3=0},貝歸,(AUB)=()

A{1,3}B.{0,3}C.{-2,1}D.{-2,0}

【答案】D

【解析】

【分析】解方程求出集合B,再由集合的運算即可得解.

【詳解】由題意，B={X|X2_4X+3=0}={L3},所以AU3={-U,2,3},

所以在（Au3）={—2,0}.

故選：D.

4.如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1,則該多面體的體積為

C.16D.20

【答案】B

【解析】

【分析】由三視圖還原幾何體，再由棱柱的體積公式即可得解.

【詳解】由三視圖還原幾何體，如圖,

2+4

則該直四棱柱的體積V=——x2x2=12.

2

故選：B.

5.函數(shù)y=(3'-3r)cosx在區(qū)間一的圖象大致為()

【解析】

【分析】由函數(shù)的奇偶性結合指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的性質逐項排除即可得解.

【詳解】令/(x)=(3,-3-，)cosx,xe-py,

則/(_力=(3一，-3')cos(—x)=-(3‘一3一')cosx=-/(x),

所以/(x)為奇函數(shù)，排除BD；

又當時，3'-3'>0,cosx>0,所以〃x)>0,排除C.

故選：A.

6.當x=l時，函數(shù)/(x)=alnx+2取得最大值_2,則八2)=()

x

11

A.—1B.---C.-D.1

22

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意可知41)=-2,/(1)=0即可解得〃力，再根據(jù)/”(x)即可解出.

【詳解】因為函數(shù)/(X)定義域為(o,+8),所以依題可知，/(1)=-2,⑴=0,而r(x)=(-5，

2?

所以力=-2,a-b=0,即。=一2,/?=-2,所以/"(%)=-一+—,因此函數(shù)/(x)在(0,1)上遞增，在

(1,+8)上遞減，x=i時取最大值，滿足題意，即有r(2)=—1+；=—g.

故選：B.

7.在長方體ABCQ-A4GR中，已知與平面ABCD和平面所成的角均為30。，則()

A.AB=2ADB.AB與平面所成的角為30°

C.AC=CBtD.與平面5耳CC所成的角為45°

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)線面角的定義以及長方體的結構特征即可求出.

【詳解】如圖所示：

不妨設AB=a,AO=6,A4,=c,依題以及長方體的結構特征可知，與。與平面ABCO所成角為

cb

NBQB,與。與平面所成角為NQgA,所以sin30,即人=。，

D}UD}L)

222

BtD=2c=yla+h+c-解得a=V^c.

對于A,AB-a,AD=b,AB-41AD>A錯誤；

對于B,過8作BELA用于七，易知麻，平面ABC。，所以AB與平面ABC。所成角為㈤E，

因為tan/84E=￡=、一,所以NB4E*30，B錯誤；

a2

對于C,AC=\la2+b2=J5c，CB、=\J1^4-c2=，AC聲CB],C錯誤；

對于D,gO與平面8?CC所成角為NDgC,sin/DBC=需=￡■=，，而

0<ZDBtC<90,所以NO4C=45.D正確.

故選：D.

8.沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計算圓弧長度的“會圓術”，如圖，AB

是以。為圓心，0A為半徑的圓弧，C是48的中點，。在45上，CDLAB.“會圓術”給出43的弧

2

長的近似值s的計算公式：s=A3+'C二D.當。4=2,44。8=60。時，s=()

0A

A11-3GH-45/3C9-3739-473

RD.-----------D.

2222

【答案】B

【解析】

【分析】連接。C,分別求出AB,OC,CD,再根據(jù)題中公式即可得出答案.

【詳解】解：如圖，連接。C,

因為。是AB的中點,

所以OC_LAB,

又CD_LAB,所以O,C,。三點共線,

即QD=Q4=O3=2,

又NAO3=60°,

所以AB=Q4=O8=2,

則。。=6,故CD=2-6

9.甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側面展開圖的圓心角之和為2兀，側面積分別為s甲和S乙，體積分別為

%和%.若薩=2,則*()

A.石B.2五C.屈D.

4

【答案】C

【解析】

【分析】設母線長為/,甲圓錐底面半徑為乙圓錐底面圓半徑為弓，根據(jù)圓錐的側面積公式可得

4=2弓，再結合圓心角之和可將不與分別用/表示，再利用勾股定理分別求出兩圓錐的高，再根據(jù)圓錐的

體積公式即可得解.

【詳解】解：設母線長為/,甲圓錐底面半徑為心乙圓錐底面圓半徑為2，

則落胃=二=2,

S乙兀rjr2

所以4=2弓,

則牛=1,

21

所以

所以甲圓錐的高％=1

乙圓錐的高久=j/2-

故選：C.

10.橢圓C:0+馬=1（。＞方＞0）的左頂點為A,點P,。均在C上，且關于y軸對稱.若直線AP,AQ

的斜率之積為1，則C的離心率為（）

V2

V

【答案】A

【解析】

2［

【分析】設P（玉,y）,則Q（-內(nèi)，x）,根據(jù)斜率公式結合題意可得一＞=、,再根據(jù)

—x1+a4

工+與=1,將y用玉表示，整理，再結合離心率公式即可得解.

ab

【詳解】［方法一］:設而不求

設尸（%,y）,則Q（—M，M）

則由心心廣;得：勤“廣汽

由得心修L

所以橢圓c的離心率6=￡=、口^=且，故選A.

a\a22

［方法二］:第三定義

設右端點為B,連接PB,由橢圓的對稱性知：kpB=-k,\Q

故kAP-kAQ=kpA'-kAQ=，

由橢圓第三定義得：kPA-kA0=一一7,

a

故與

a"4

所以橢圓C的離心率《=￡=、口^=立，故選A.

a\a22

11.設函數(shù)/(幻=4111@%+1)在區(qū)間(0,兀)恰有三個極值點、兩個零點，則。的取值范圍是()

-513、「519)<138］fl319-

L36JL36J(63」(66」

【答案】C

【解析】

JT

【分析】由X的取值范圍得到+§的取值范圍，再結合正弦函數(shù)的性質得到不等式組，解得即可.

【詳解】解：依題意可得勿>0,因為xe(O,?),所以cyx+qdq。7+?),

要使函數(shù)在區(qū)間（0,乃）恰有三個極值點、兩個零點，又>=4!1》，3萬的圖象如下所示:

、冗41QQ138

則--<(O7TH—?3萬,解得—<<y<—,B|J(0G

2363~6,3

故選：C.

3111

12.已知。=一=cos—,c=4sin—,貝ij(

3244

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

【答案】A

【解析】

【分析】由］=4tan；結合三角函數(shù)的性質可得c>〃；構造函數(shù)/（%）=85了+；--1/6（0,+。）,利用

導數(shù)可得人"，即可得解.

【詳解】［方法一］:構造函數(shù)

因為當xe0,5x<tanx

c.1.

故——4tan—>1,故!>1,所以c>Z?；

b4b

12

設/(X)=COSX+QX-1,XG(0,4-00),

/r(x)=-sinx+x>0,所以f(x)在(0,+oo)單調遞增,

故/[9]>/(0)=0,所以cos』一衛(wèi)>0,

⑷432

所以b>“，所以C>力>Q,故選A

［方法二］:不等式放縮

因為當工￡。,］,sinx<x,

取工二7?得：cos—=1-2sin2—>1—2f—，故〃

848(8)32

4sin—+cos—=V17sin|—+69?,其中夕工］,且sin°=—j!=,cos/=—

44U\2)V17<17

―彳.11/TZ,1兀711

當4sin—+cos—=5/17時，—(p——,及0=------

444224

此時豆/…仁義，cosl=sin^^L

4V174V17

故cos：=］—<—=sin：<4sin：,故力<c

4V17V1744

所以6>“，所以故選A

［方法三］:泰勒展開

310252

設x=0.25,則。=衛(wèi)=1—3+些

322424!

1sin7025?0254

c=4sin^=—4一+4一,計算得c>h>a,故選A.

4

［方法四］:構造函數(shù)

因為￡=4tan,，因為當xe［0,工］,sinx<x<tanx,所以tan，>',即￡>1,所以c>b；設

h4I2)44人

1ry

f(x)-cosx+—x-1,xe(0,+oo)/'(x)=-sinx+x〉0,所以.f(x)在(0,卡功單調遞增，則

f\9］>/(0)=0,所以以《，一衛(wèi)〉0,所以人〃，所以c>Z>>a,

⑷432

故選：A.

［方法五］:【最優(yōu)解】不等式放縮

因為￡=4tan1,因為當xe（0,：],sinx<x<tanx,所以tan」〉」，即￡>1,所以c>b；因為當

b4I2J44匕

xefo,^\sinx<x,取％=，得cos，=l_2sin2，>l—=—,故內(nèi)。，所以c>8>a.

I2；848⑻32

故選：A.

【整體點評】方法4：利用函數(shù)的單調性比較大小，是常見思路，難點在于構造合適的函數(shù)，屬于通性通

法；

方法5：利用二倍角公式以及不等式xe[o,5）,sinx<x<tanx放縮，即可得出大小關系，屬于最優(yōu)解.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.設向量8的夾角的余弦值為;，且忖=1,卜|=3,貝1（2。+刀力=.

【答案】11

【解析】

【分析】設a與。的夾角為6,依題意可得cos6=；,再根據(jù)數(shù)量積的定義求出。力，最后根據(jù)數(shù)量積的

運算律計算可得.

【詳解】解：設〃與b的夾角為。，因為a與b的夾角的余弦值為：，即cos6=g,

又忖=1,1|=3,所以a-〃=H-Wcos9=lx3x；=l,

所以（2a+〃）?〃=2a?人+/?~=2a?/?+網(wǎng)=2xl+32=11.

故答案為：11.

14.若雙曲線V一二=1（m>0）的漸近線與圓工2+'2-4》+3=0相切，則加=

m

【答案】昱

3

【解析】

【分析】首先求出雙曲線的漸近線方程，再將圓的方程化為標準式，即可得到圓心坐標與半徑，依題意圓

心到直線的距離等于圓的半徑，即可得到方程，解得即可.

【詳解】解：雙曲線V—二f（機>0）的漸近線為y=±±,即了±沖=0,

nVm

不妨?。?四=0,圓/+產(chǎn)一4y+3=0,即f+(y-2)2=1,所以圓心為(0,2),半徑r=1,

/\127711

依題意圓心(0,2)到漸近線X+my=()的距離d='——L=1,

y/1+m2

解得加=走或吵.正(舍去).

33

故答案為：立.

3

15.從正方體的8個頂點中任選4個，則這4個點在同一個平面的概率為

【答案】—.

35

【解析】

【分析】根據(jù)古典概型的概率公式即可求出.

【詳解】從正方體的8個頂點中任取4個，有〃=C；=70個結果，這4個點在同一個平面的有

126

加=6+6=12個，故所求概率P=—=一=一.

n7035

故答案為：—.

AT

16.已知二ABC中，點。在邊BC上，ZADB=120°,AD^2,CD^2BD.當一上取得最小值時,

AB

BD=_________

【答案】V3-l##-l+V3

【解析】

AC2

【分析】設CE>=25￡>=2m>(),利用余弦定理表示出結合基本不等式即可得解.

AB2

【詳解】［方法一］:余弦定理

設。。=25￡>=2加>0,

則在AABD中，AB2=BD2+AD2-2BD-ADcosZADB=m2+4+2m-

在AAC。中，AC2=CD2+AD2-2CD-ADcosZADC=4m2+4-4m.

AC2_4m2+4-4加_4(m2+4+2/n)-12(l+/n)

12

A=4-----------------

所以益7-加2+4+2加加2+4+2m

(H7+1)H———

')m+1

12

>4-=4—28

V'm+1

3

當且僅當〃2+1=」一即機=百-1時，等號成立,

加+1

Ar

所以當"取最小值時，m=V3-l.

AB

故答案為：＞/3—1-

［方法二］:建系法

令BD=t,以D為原點，0C為x軸，建立平面直角坐標系.

則C(2t,0),A(1,6),B(-t,0)

2

AC_(2/1丫+3_4/4f+4_4_12

當且僅當f+l=6,即BD=VJ-1時等號成立。

［方法三］:余弦定理

設BD=x,CD=2x.由余弦定理得

c2=x2+4+2x

2c2+t>2=12+6X2>

b1=4+4x2-4x

c2=x2+4+2x

2c2+b1=12+6%2,

h2=4+4X2-4X

,AC

令——=t則2c2+&2=12+6d，

AB、

12+6x212+6x2

r+261^>6-2y/3,

3

x~+2x+4(x+l)+

X+1J

t2>4-2y/3)

3

當且僅當x+1,即X=g+1時等號成立.

x+1

［方法四］:判別式法

設89=x,則CD=2x

在△ABD中，AB2=BD2+AD2-2BDADcosZADB=x2+4+2x<

在AACD中，AC2=CD2+AD2-2CD-ADcosZADC=4%2+4-4^>

叱|、|AC~4x~+4—4x、r4x?+4—4x

所以——r--------，記t=--------,

AB2X2+4+2Xf+4+2x

貝iJ(4T)x2-(4+2f)x+(4—4/)=0

由方程有解得：A=(4+2r)2-4(4-r)(4-4r)>0

即產(chǎn)一8f+4W0,解得：4-284/44+26

所以/=4—26，止匕時％=出=6—1

4—/

所以當法取最小值時，X=百一1,即8。=百一L

三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17?21題為必考

題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(-)必考題：共60分.

2s

17.記S”為數(shù)列｛對｝的前〃項和.已知一上+〃=2an+1.

(1)證明：｛a“｝是等差數(shù)列；

(2)若可,%，。9成等比數(shù)列，求S“的最小值.

【答案】(1)證明見解析；

(2)-78.

【解析】

【分析】⑴依題意可得2S“+〃2=2%+〃，根據(jù)％?°,作差即可得到

S,,-Sn_t,n>2

an-an-\>從而得證;

(2)法一：由(1)及等比中項的性質求出％,即可得到｛凡｝的通項公式與前〃項和，再根據(jù)二次函數(shù)的

性質計算可得.

【小問1詳解】

25

因為一-+n=2an+1,即2S“++”①，

當時，2S._]+(〃_])②，

22

①一②得，2S?+n-2S?_1-(n-1)=2/?nzl+n-2(n-l)a,l_1-(n-1),

即247"+2〃-1=2陷,+1,

即2(〃-所以。“一。"_|=1,且〃eN*,

所以｛a,,｝是以1為公差的等差數(shù)列.

【小問2詳解】

[方法一]:二次函數(shù)的性質

由(1)可得%=。|+3,%=q+6,。9=%+8，

又知,%,為成等比數(shù)列，所以。7?=%?4)，

即(％+6)2=(q+3>(q+8),解得q=—12,

_1225_1

所以a.=〃-13,所以S“=-12〃+=—n----n=—

所以，當〃=12或〃=13時，(\S〃H)/mi.n=-78.

［方法二］:【最優(yōu)解】鄰項變號法

由（1）可得4=q+3,%=q+6,。9=4+8,

又。4，%，成等比數(shù)列，所以的2=4，。9，

即（4+6）2=（4+3＞（4+8）,解得q=T2,

所以?！?〃-13,即有＜42＜°，。13=0.

則當〃=12或〃=13時，（S〃）.=-78.

【整體點評】（2）法一：根據(jù)二次函數(shù)的性質求出S”的最小值，適用于可以求出S”的表達式；

法二：根據(jù)鄰項變號法求最值，計算量小，是該題的最優(yōu)解.

18.在四棱錐中，/J。_1底面48。。,。0〃43,40=。。=。5=1,43=2,0/5=百.

（1）證明：BD±PA；

（2）求PO與平面Q鉆所成的角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析：

⑵—.

5

【解析】

【分析】（1）作￡）E_LA5于E，于尸，利用勾股定理證明AO_L8D，根據(jù)線面垂直性質可

得從而可得8。，平面Q4。，再根據(jù)線面垂直的性質即可得證；

（2）以點。為原點建立空間直角坐標系，利用向量法即可得出答案.

【小問1詳解】

證明：在四邊形ABCO中，作于E,。/，48于尸，

因為CO//A8,AT)=CO=CB=LAB=2,

所以四邊形ABC。為等腰梯形,

所以AE=5F=L,

2

故DE->BD—VDE2+BE2-G，

所以402+31）2=AB）,

所以AD_L8。，

因為PD_L平面ABC。，8￡>u平面ABC。,

所以POLBQ，

又PDcAD=D,

所以8。J_平面B4。，

又因為B4u平面PAD，

所以80LB4；

【小問2詳解】

解：如圖，以點。為原點建立空間直角坐標系,

BD=6，

則A（l,0,0）,B（0,V3,0）,P（0,0,V3）,

則AP=（-1,0,G）,BP=e,一①。尸=僅,0,73）,

設平面F4B的法向量〃=（x,y,z）,

n-AP——x+V3z=0,廣、

則有｛「「，可取〃=（亞I」），

n-BP=-y/3y+y/3z=Q'

/\n-DPV5

則3〈"‘mnp"啊=與，

所以PD與平面Q43所成角的正弦值為好

5

19.甲、乙兩個學校進行體育比賽，比賽共設三個項目，每個項目勝方得10分，負方得0分，沒有平

局.三個項目比賽結束后，總得分高的學校獲得冠軍.已知甲學校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5,

0.4,0.8,各項目的比賽結果相互獨立.

（1）求甲學校獲得冠軍的概率；

（2）用X表示乙學校的總得分，求X的分布列與期望.

【答案】（1）0.6;

（2）分布列見解析，E（X）=13.

【解析】

【分析】（1）設甲在三個項目中獲勝的事件依次記為A&C,再根據(jù)甲獲得冠軍則至少獲勝兩個項目，

利用互斥事件的概率加法公式以及相互獨立事件的乘法公式即可求出；

（2）依題可知，X的可能取值為0,10,20,30,再分別計算出對應的概率，列出分布列，即可求出期望.

【小問1詳解】

設甲在三個項目中獲勝的事件依次記為A,B,C,所以甲學校獲得冠軍的概率為

P=P（ABC）+P（ABC）+P（ABC）+P（ABC）

=0.5x04x0.8+0.5x04x0.8+0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2

=0.16+0.16+0.24+0.04=0.6.

【小問2詳解】

依題可知，X的可能取值為0,10,20,30,所以，

p（X=0）=0.5x0.4x0.8=0.16,

p(x=10)=0.5X0.4X0.8+0.5X0.6X0.8+0.5X0.4X0.2=0.44,

P(X=20)=0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2+0.5x0.6x0.2=0.34,

p(X=30)=().5x0.6x0.2=0.06.

即X的分布列為

X0102030

P0.160.440.340.06

ME(X)=0x0.16+10x0.44+20x0.34+30x0.06=13.

20.設拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為尸，點過F的直線交C于歷，N兩點.當直線MC

垂直于x軸時，阿丹=3.

(1)求C的方程；

(2)設直線M2與C的另一個交點分別為A,B,記直線MN,AB的傾斜角分別為以￡.當

取得最大值時，求直線A8的方程.

【答案】(1)y2=4x；

(2)AB;x=y/2y+4.

【解析】

【分析】(1)由拋物線的定義可得|MF|=P+5,即可得解；

(2)法一：設點的坐標及直線"N:x=，”y+1,由韋達定理及斜率公式可得右?=2心8,再由差角的

正切公式及基本不等式可得心8=白，設直線48:》=夜>+〃，結合韋達定理可解.

【小問1詳解】

拋物線的準線為x=-§,當MD與x軸垂直時，點例的橫坐標為p,

此時|“丹?+卜3,所以p=2,

所以拋物線C的方程為V=4x：

【小問2詳解】

［方法一］:【最優(yōu)解】直線方程橫截式

設M住,yJ,N付,力)，4田,為,8Y，J4P直線MN:x=my+l,

x=my+1_

由〈2可得V-4my-4=0,A＞0,yty2=-4,

y=4x

k=--必=4=.一”=4

由斜率公式可得的一g_及一乂+為，八廠工—其一乂+乂，

4444

直線MO:x=至心-y+2,代入拋物線方程可得V-'XT）.,一8=0,

△>0,)1%=-8,所以％=2%，同理可得”=2y,

,44k

所以心尸.八,WN

2(%+%)

ktanof

又因為直線MMAB的傾斜角分別為4￡,所以原8=tan〃=^=^^

若要使a-4最大，則,G0,g,設kUN=2陽B=2后＞0,則

tan("Z?)=tanc-taMk

1+tancrtanp1+2公

1Jo

當且僅當7=2后即上=在時，等號成立,

k2

所以當a-4最大時，％"=#，設直線A8：x=J5y+"，

代入拋物線方程可得V-40y-4〃=0,

△>0,%%=-4〃=4yly2=-16,所以〃=4,

所以直線AB:x=y/2y+4.

［方法二］:直線方程點斜式

由題可知，直線MN的斜率存在.

設,y）,N（w，%）,4（七,%），3（*4,％），直線.：丁=一1）

由＜’2；1）得:左濘-（4公+4）x+4/=0,不々=4,同理，乂M=4

直線用。:'=三石（工一2）,代入拋物線方程可得：不芻=4，同理，X2X4=4.

代入拋物線方程可得:乂%=-8,所以％=2y2，同理可得>4=2y,

kr■一一一2（%一乂）一三一』」k

由斜率公式可得：*4一工32（々一玉）2w

X\?

（下同方法一）若要使二一￡最大，則夕

hn.,箱rtana-tan#「k_'<?—夜

設KWN=2攵八B=2%>0,則1+tanatanpi+2/1i一n4，

7+2%2,--2k

kVk

i/y

當且僅當：=2k即左=注時，等號成立，

k2

所以當a-4最大時，女"=立，設直線A8:x=&-

代入拋物線方程可得/-46y-4〃=0,A>0,y3y4=-4〃=4%必=-16,所以〃=4,所以直線

AB:x=y{2y+4.

［方法三］:三點共線

設M仔,［，喈,%），桔，%）哈,yj,

/2國「-同

設P（f,0）,若P、M,N三點共線，由，乂

\4

/2\/2\

所以空―’%=號—"M，化簡得y必=-4/,

14714）

反之，若y%=-4,可得“N過定點”,0）

因此，由M、N、/三點共線，得y%=-4,

由M、。、A三點共線，得y%=-8，

由N,D、8三點共線，得y2y4=-8,

則為”=4%%=-16,4B過定點(4,0)

(下同方法一)若要使。一夕最大，則尸

/x_tana-tanp_k_11_5/2

k-

設MN=2kAB=2k>Q,則tan(a一夕)1+tanatan/?-1+2公一1-〃"V

Ik2心2

當且僅當'=2%即上=也時，等號成立，

k2

所以當。一￡最大時，k,\B=與,所以直線4B：X=&y+4.

【整體點評】(2)法一：利用直線方程橫截式，簡化了聯(lián)立方程的運算，通過尋找直線MMA8的斜率關

系，由基本不等式即可求出直線A8的斜率，再根據(jù)韋達定理求出直線方程，是該題的最優(yōu)解，也是通性

通法；

法二：常規(guī)設直線方程點斜式，解題過程同解法一；

法三：通過設點由三點共線尋找縱坐標關系，快速找到直線AB過定點，省去聯(lián)立過程，也不失為一種簡

化運算的好方法.

21已知函數(shù)/(x)=---\nx+x-a.

(1)若f(x)20,求“的取值范圍；

(2)證明：若/(x)有兩個零點％,當，則X“2<L

【答案】(1)(一8,e+l]

(2)證明見的解析

【解析】

【分析】(1)由導數(shù)確定函數(shù)單調性及最值，即可得解；

ex■!■「iriV

(2)利用分析法，轉化要證明條件為一一xe'-2In%--x一一>0,再利用導數(shù)即可得證.

x[_2vx)

【小問1詳解】

[方法一]:常規(guī)求導

/(X)的定義域為(0,+8),則

當xe(0,1),r(x)<0,/(x)單調遞減

當xe(1,+co),/'(x)>0,/(x)單調遞增/(x)>/(l)=e+l-4Z,

若/(%)?(),則e+1-aNO,即a<e+l

所以”的取值范圍為(-8,e+l］

［方法二］:同構處理

由/(x)20得：e-lnA+A+x-ln^-iz＞0

令，=x-lnx,f21,則/(r)=d+r-aN0即awd+f

令g(，)=d，則g'(r)=e'+1＞。

故g?)=d+t在區(qū)間［l,+8)上是增函數(shù)

故gQInin=g(l)=e+l，即aVe+1

所以〃的取值范圍為(3,e+1］

【小問2詳解】

［方法一］:構造函數(shù)

由題知/(x)一個零點小于1,一個零點大于1，不妨設西＜1＜々

1

要證XX<1，即證玉<一

t2X?

1(1A

因為和一e(0,l),即證/@)〉/—

又因為/(百)=/(%),故只需證/(工2)>/［，

ex-1

印證----\nx+x-xex-Inx——>0,XG(1,+OO)

下面證明X>1時,

ec*1

設g(X)---9X>1，

X

設尹(尤)=j(x〉=〉0

xyxx)x

所以9(x)>9(l)=e,而，?

XJ_

所以〃>o,所以g'")>o

x

所以g(x)在(1,"。)單調遞增

x1

即g(x)>g(l)=o,所以幺e一xe*>0

x

令/z(x)=Inx-；

,x>1

h'(x)=-<0

X

所以力。）在（1,+0。）單調遞減

即h(x)</i(1)=0,所以Inx—<0

ex-\n

綜上，----xex—2Inx—x—>0,所以西/<L

x|_2^x)_

［方法二人對數(shù)平均不等式

由題意得：f(x)=-+\n--a

XX

令f=J>1,則/(7)=r+】nr-a,/'(r)=l+->0

所以/（t）=r+ln，-a在（1,+s）上單調遞增，故/（。=0只有1個解

又因為/（x）=J+lnJ—a有兩個零點，故f=J=J

XXX}x2

兩邊取對數(shù)得：X|-InX,=X,-Inx2,即—~?—=1

In-Inx2

又因為斥<在3六（*）,故府<1,即x也<1

下證<「一：（*）

Inxx-Inx2

X

因為J%/<—~——<?Inx,-Inx2<\——?In—<昌—R