中學(xué)數(shù)學(xué)公式

因整數(shù)自然數(shù))

整數(shù)舂

〔負(fù)整數(shù)

有理數(shù)'

實(shí)數(shù)的分類(lèi)】實(shí)數(shù)，分?jǐn)?shù)匹鱉?”無(wú)限循環(huán)小數(shù)

［負(fù)無(wú)理數(shù)J

無(wú)理數(shù)［氏胃k限不循環(huán)小數(shù)

、［負(fù)無(wú)理數(shù)j

【自然數(shù)】表示物體個(gè)數(shù)的1、2、3、4…等都稱(chēng)為自然數(shù)

一個(gè)大于1的整數(shù)，如果除了它本身和1以外不能被其它正整數(shù)所整除，那么這個(gè)

【質(zhì)數(shù)與合數(shù)】數(shù)稱(chēng)為質(zhì)數(shù)。一個(gè)大于1的數(shù)，如果除了它本身和1以外還能被其它正整數(shù)所整除,

那么這個(gè)數(shù)知名人士為合數(shù)，1既不是質(zhì)數(shù)又不是合數(shù)。

【相反數(shù)】只有符號(hào)不同的兩個(gè)實(shí)數(shù)，其中一個(gè)叫做另一個(gè)的相反數(shù)。零的相反數(shù)是零。

一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身，一個(gè)負(fù)數(shù)絕對(duì)值是它的相反數(shù)，零的絕對(duì)值為零。

若&是實(shí)數(shù)，則：

fa(a>0)

【絕對(duì)值】

|a|=sO(a=0)

、a(a<0)

從數(shù)軸上看，一個(gè)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)離開(kāi)原點(diǎn)距離。

【倒數(shù)】1除以一個(gè)非零實(shí)數(shù)的商叫這個(gè)實(shí)數(shù)的倒數(shù)。零沒(méi)有倒數(shù)。

【完全平方數(shù)】如果一個(gè)有理數(shù)a的平方等于有理數(shù)b,那么這個(gè)有理數(shù)b叫做完全平方數(shù)。

【方根】如果一個(gè)數(shù)的n次方(n是大于1的整數(shù))等于a,這個(gè)數(shù)叫做a的n次方根。

【開(kāi)方】求一數(shù)的方根的運(yùn)算叫做開(kāi)方。

【算術(shù)根】正數(shù)a的正的n次方根叫做a的n次算術(shù)根，零的算術(shù)根是零，負(fù)數(shù)沒(méi)有算術(shù)根。

用有限次運(yùn)算符號(hào)(加、減、乘、除、乘方、開(kāi)方)把數(shù)或表示數(shù)的字母連結(jié)所得

【代數(shù)式】

的式子，叫做代數(shù)式。

用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，計(jì)算后所得的結(jié)果，叫做當(dāng)這個(gè)字母取這個(gè)數(shù)值時(shí)的

【代數(shù)式的值】

代數(shù)式的值。

代數(shù)式卜理式｛分式

【代數(shù)式的分類(lèi)】

無(wú)理式

【有理式】只含有加、減、乘、除和乘方運(yùn)算的代數(shù)式叫有理式

【無(wú)理式】根號(hào)下含有字母的代數(shù)式叫做無(wú)理式

【整式】沒(méi)有除法運(yùn)算或者雖有除法運(yùn)算而除式中不含字母的有理式叫整式

【分式】除式中含字母的有理式叫分式

加法交換律：&+b=b+a

＜卜加法結(jié)合律：(。+與+c=a+(b+c)

乘法交換律：ab=ba

【有理數(shù)的運(yùn)算律】

乘法交換律：ba

乘法對(duì)加法的分配律：a(b+c)=岫+4c

若貝1］口±c=b±c

【等式的性質(zhì)】若&=b貝必c=be

若&=b且c#0則&L=5.L

cC

平方差公式:g+妨（"3=>->

【乘法公式】立方和(差)公式@士頒JTab+b2')=a3±b3

完全平方公式Q土歹"2±2海+廿

提取公因式法：ma+mb-mc=m(a+b-c)

應(yīng)用公式法：

(a+&)(a-b)=a2-b2

(a土以『鈾8+七2)=1±63

(a±b)2=a2±2ab+b2

十字相乘法：

【因式分解】x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)

求根公式法：

ax+bx+c=&(K-XD(K->2)

-b+yb^—4ac

Xi=-------------------

其中超______

-4ac

x2二--------------------------------

22a

方程含有未知數(shù)的等式叫做方程。

【方程】方程的解在未知數(shù)允許值范圍內(nèi)，能使方程兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解。

解方程在指定范圍內(nèi)求出方程所有解，或者確定方程無(wú)解的過(guò)程，叫做解方程。

一元一次方程：只含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的次數(shù)是一次的整式方程叫做一元一次方

【無(wú)次方程】程它的標(biāo)準(zhǔn)形式是：&>+b=0(a#0)

一元二次方程：ax2+bx+c=03*0)

求根公式：x=「±'￥@2-4ac>0)

2a

根的判別式：A=b2-4ac

/當(dāng)A>0B寸，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

［當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

【一元二次方程】A=0

［當(dāng)時(shí)，沒(méi)有實(shí)數(shù)根

根與系數(shù)的關(guān)系：設(shè)勺、心為一元二次方程：

ax2+bx+c=0(a工0)的兩個(gè)根，貝U：

bc

勺+與=一一勺?n=一

aa

【集合】指定的某一對(duì)象的全體叫集合。集合的元素具有確定性、無(wú)序性和不重復(fù)性。

J有限集：含有有限個(gè)元素的集合

【集合的分類(lèi)】［無(wú)限集：含有無(wú)限個(gè)元素的集合

［列舉法：把集合中的元素一一列舉，馬在在括號(hào)內(nèi)表示集合的方法

【耒”的表小萬(wàn)法】［描述法：把集合中元素的公共屬性描述出來(lái)，寫(xiě)在大括號(hào)內(nèi)的方法

性質(zhì)

(r)A^A

⑵中?

(3)若4=8

BQC

則AcC

(1沖uA

真(人為非空子集)

/￡5至少有beB

子(2)若H￡B

b交A^Ac:B

集BgC

則AcC

(I)A^A=A

父AcB={x\x€AS.X€E\(2)J4c中=中

集(3)Ar.BQA

J4c8cB

(Y)A^>A=A

并(2)J4U中=A

A^JB={x\x^A^x€E}

集(3)A^B^A

(1)/DN=A

補(bǔ)A={x\xeI^,xeA,Q)J4CN=B

集R6(3)Ar.B=A^B

(4)不7§=Nc百

函數(shù)的性質(zhì)定義判定方法

①利用定義

函如果對(duì)一函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意一個(gè)X,Q)用等價(jià)例題：

都有f(-x)=-f(x),那么函數(shù)f(x)叫做奇函數(shù)；是奇函數(shù)o

函數(shù)的奇偶性

函如果對(duì)一函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意一個(gè)x,/(*)+/(-*)=0

都有f(-x)=f(x),那么函數(shù)f(x)叫做偶函數(shù)/③是偶函數(shù)o

對(duì)于給定的區(qū)間上的函數(shù)f(x):

(1)如果對(duì)干屬于這個(gè)區(qū)間的任意兩個(gè)

自變的值*卜孫,當(dāng)為<》2時(shí)，都有(1)利用定義

f</(心),則/'(力在這個(gè)區(qū)間是增(2)利用己知函數(shù)的單調(diào)性

函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)(3)利用函數(shù)圖象

①如果對(duì)于屬干這個(gè)區(qū)間的任意兩個(gè)(4)根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的有

自變的值為、心，當(dāng)、1<彳2時(shí)，都有關(guān)結(jié)論

/(%1)>“心)，則/。)在這個(gè)區(qū)間是減

函數(shù)

對(duì)于函數(shù)f(x),如果存在一個(gè)不為零的常(1)利用定義

數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，

函數(shù)的周期性f(x+T)=f(x)都成立，那么就把函數(shù)y=f(x)(2)利用己知函數(shù)的周期

叫做周期函數(shù)。不為零的常數(shù)T叫做這個(gè)

函數(shù)的周期。的有關(guān)定理。

函數(shù)

解析式定義域值域奇偶性單調(diào)性

名稱(chēng)

正比

兀>0增函數(shù)

例函y=從然#0)RR奇函數(shù)

比<0減函數(shù)

數(shù)

k>0Bt?在

(-oo,o),(0,+co)

反比

J=2(無(wú)*0)上減函數(shù)；

例函(-8,0)D(0,4€O)(-8,0)U(0,E)奇函數(shù)

X尢<0B寸，在

數(shù)

(-co,o),(0(+co)

上減函數(shù)。

b=0,時(shí)

&>O0t

奇函數(shù)

一次增函數(shù)

y=手0)RRb#。,時(shí)

函數(shù)&<0時(shí)

非奇非

減函數(shù)

偶函數(shù)

a>0吐在

(-8,一芻上

2a

是減函數(shù)

a>OBt,u

&=0,時(shí)在［--,+aS)

2/4ac-b'、2a

y=ax+bx+c(--7—，內(nèi))奇函數(shù)

二次4a上增函數(shù)

(0、b、c為常量Rb#。,時(shí)

函數(shù)a<。時(shí)，a<0吐在

其中a#0)非奇非

,4ac-b'

S，—：——]偶函數(shù)

4a

是增函數(shù)

上減函數(shù)

不等式用不等號(hào)把兩個(gè)解析式連結(jié)起來(lái)的式r叫做不等式

⑴對(duì)稱(chēng)性：a>b<^>b<a

(2)傳遞性：a>b,b>c^>a>c

(3)加法單調(diào)性：a>b=>a+c>b+c

(4)乘法單調(diào)性：a>b,c>Q=>ac>be

a>b.c<0ac<bc

不等式

，/一(5)不等式相加：a>bfc>d+c>b+d

"JllJ"⑹不等式相乘：a>b>Q,c>d>Q>bd

(7)乘方法則：a>b>0=>an>bK(M€Mfiw>1)

G)開(kāi)方法貝人a>b>U=痂>紙(n€NS-n>1)

(9)倒數(shù)法則：a>bfab>0^—<-

ab

含絕對(duì)值不等式的性質(zhì)

(1)1昨。⑵10”

(3)||&|-田依&+》國(guó)口|+2|(4)M-網(wǎng)兇。-5國(guó)。1+網(wǎng)

(5)\a\<b^>-b<a<b。>0)(6)\a\>b<^a>b或a<-b(b>0)

幾個(gè)重要的不等式

(1)?2>0(2)a2+b2>2abR)

(3)若>寂9、b€R+)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，取“=”號(hào)

(4)-+->2(ab>0)當(dāng)且僅當(dāng)a="寸，取“=”號(hào)

ab

(5)&+；+:2弘訪c(a、b、6€尺當(dāng)且僅當(dāng)&=匕時(shí)，取“=”號(hào)

&]+。2+???+&xJ-------------.

(6)±―----------------2母&1&2…4(01、電、…、aneR

M€NKM>1)當(dāng)且僅當(dāng)。1=與=-，=%時(shí)，取"=”號(hào)

形式解集

元

>0{”x>-)

a

次

*<3

不a<Q

a

等ax>b

式b<QR

的

a=Q

解d>0中

法

一x\x<勺或r＞彳外

元1

ax+bx+c>0x\xeR^_x#-^-)

A=0

Q>0)

次

其中X「X?是一元二

不A<0R

次方程ax'+bx+c=。

等

A>031>1<xvx?}的兩個(gè)根,且X1＜與

式

2

的ax+bx+c>0

A=0

解(a<6

法A<0

絕

a>。時(shí){x\x<-a或x>a}

對(duì)

|x\>aa=OBt{x|x€R￡X#0}

值

a<口時(shí){x\xeR}

不

等

式

a>0時(shí){x\-a<x<a}

的|x\<a0時(shí)中

解a<0時(shí)

法

無(wú)%>o

0x)2。H

理質(zhì)5>g(x))rg(x)>0或

W<o

不i/?>ts?)2

等

式

%)>0'

的

x[.

解

If?<[§?)2

法

名

定義通項(xiàng)公式前n項(xiàng)的和公式其它

稱(chēng)

數(shù)按照一定次序排成一列的如果一個(gè)數(shù)列

列數(shù)叫做數(shù)列，記為{%}{aj的第n項(xiàng)3n

與n之間的關(guān)系

可以用一個(gè)公式

來(lái)表示，這個(gè)公

式就叫這個(gè)數(shù)列

的通項(xiàng)公式

等

&X一為常?*+%)

5及--等差中項(xiàng)

差2

數(shù)，Me2)4叫&怨=+(?-1)^a+b

數(shù)A=

做這個(gè)數(shù)列的公差=+----------d2

列2

等

為常數(shù)i-q

aa等比中項(xiàng)

比&-1l~~nQ/二八

4=生胃"Sx=?_Mqwi)

數(shù)n€N且x>2)q叫1-qG=

列這個(gè)數(shù)列的公比=1)

to

數(shù)列前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系:

川16=1)

無(wú)窮等比數(shù)列所有項(xiàng)的和:s=

1-g

適用范圍證明步驟注意事項(xiàng)

數(shù)

學(xué)設(shè)P(n)是關(guān)于自然n的一個(gè)命題，如果(1)

(1)第一步是遞推的基礎(chǔ)，第二步的推理根據(jù),

歸當(dāng)n取第一個(gè)值n<)(例如：n=l或n=2)時(shí),命

只適用于證明與自然數(shù)n有兩步缺一不可

題成立(2)假設(shè)n=k時(shí)，命題成立，由此推出

納關(guān)的數(shù)學(xué)命題

n=k+l時(shí)成立。那么P(n)對(duì)于一切自然數(shù)n

法(2)第二步的證明過(guò)程中必須使用歸納假設(shè)。

都成立。

?條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的圖形叫做角。旋轉(zhuǎn)開(kāi)始時(shí)的射線叫角的始邊，旋轉(zhuǎn)終止時(shí)的射線叫角的終

角

邊，射線的端點(diǎn)叫做角的頂點(diǎn)。

角的單位制關(guān)系弧長(zhǎng)公式扇形面積公式

1。=事弧度,nnr

角度制1801=----S

180南攙360

=0.01745弧度

疑度MS燃羚=前村戶(hù)

弧度制i=\a\r

?57°18'

2

角位置角的集合

的在X軸正半軸上{a\a=nw%

終在X軸負(fù)半軸上{a|a=2月代+%月wN}

邊在X軸上{a\a=€W)

江

在y軸上{a\a=M?-+y,M€N}

rr

在第一象限內(nèi){a\2Mrr<a<2nrr+y,?€Z}

衣

在第二象限內(nèi){a\2nrr+-<a<2Mrr€2}

3

在第三象限內(nèi){a|2月江+江<a<2wrr+—?：,?€Z)

3

在第四象限內(nèi){a|2wrr+—+2}

■一江江廬江3歷

函數(shù)/角0——

特643iT

1點(diǎn)

sina0———10-10

殊222

.若虎1

cosa1————-0-101

222

角

忑

「不存

tana0—?175,o不存在o

3在

的

三

角

二§0不存在0不存在

cota不存在V51

函

數(shù)

fl'L

函數(shù)定義域值域奇偶性周期性單調(diào)性

i5[2kff-1,2fcrr+y]

三(尢€Z)上是增函數(shù)

［

y=sinxR-1』奇函數(shù)T=2點(diǎn)

角i3t[2krr+y,2k^+y]

（）上是減函數(shù)

函AeZ

在[2年加-€Z)

數(shù)

上是增函數(shù)

R17』偶函數(shù)

y=cosxT=2丸

在［2上%,2兀江+充］（上€Z）

的

上是減函數(shù)

性

在（從江一］,上"）

{x\KKXR+y

y=tanx%R奇函數(shù)T=北

質(zhì)k/r+y,fc€/?)（A€Z）上是增函數(shù)

{x\X€夫且K關(guān)在（無(wú)明kn+廬）（小€Z）

y=cotxR奇函數(shù)

krr,比w?}上是減函數(shù)

角/函數(shù)正弦余弦正切余切

-a-sinacosa-tana-cota

90°acosasinacotatana

900+acosa-sina-cota-tana

180°-asina-cosa-tana-cota

180°+a-sina-cosatanacota

270°-a-cosa-sinacotatana

2700+a-cosasina-cota-tana

360°-a-sinacosa-tana-cota

葭360°+&

sinacosatanacota

(fc€Z)

倒數(shù)關(guān)

sina-csca=1cosasec。=1tanacota=1

系

商數(shù)關(guān)sin￡3cosa

tana=-------cota=-------

同角公式系cosasina

平方關(guān)sinn+cosa=11+tan2a=sec2a

2

系1+cot2a=esca

和差角公式

sin24=2sinacosa

cos2a=cosa-sina=2cosa-1=1-2sina

倍角公式

_2tana

tan2g=------—

1-tan2a

2

2tan-1-tan^2tan—

F■臺(tái)匕/X#2

1+tan—1+tan—1-tan2—

222

.a,|1-cosa

sin-=±.--------

272

a[14-COSa

半角公式cos—-±V2

2

a,/l-cosa1-cosdasina

tan―-土

2VI+cosasina1+cosa

sinacos尸=—[sin(a+0+sin(a-/5)]

cosasin?=，[sin(a+為-sin(4-/?)]

積化和差公

式cosacosF=；[cos(i?+⑶+cos(a-創(chuàng)

sin￡2sin?=-；[cosQ+Q)-cosQ-JJ)]

sina+sinp=2sin--——cos---

-雙+?.a-P

sina-sinQa=2Qcos--——sin---

和差化

積公式--2+/a-0

cosa+cosp-2cos--——cos---

cosa-cosp=-2sin--——sin―--

引入虛數(shù)單位i,規(guī)定『=l,i可以和實(shí)數(shù)一起進(jìn)行通常的四則運(yùn)算，運(yùn)算時(shí)原有加乘運(yùn)算仍

復(fù)數(shù)的定義

然成立。形如：a+bi(a,b為實(shí)數(shù))a—實(shí)部b--虛部

代

數(shù)

z=a+bi(a,beR)

形

式

笑數(shù)的表示形式

角z=r(cosa+isina)r='Ja2+b2

形模a—-輻角

式

(a+bi)土(c+di)=(a±c)+(h土切，

代(a+bi)(c-di)=(ac-bd)+(ad+bc)i

數(shù)a+友—(a+b1)(c-di)ac+bdbe-ad

式c+di(c+di)(c-di)

(c、林同時(shí)為彎：)

rj(cos8]+?sin向)?^(cos62+，sin%)

復(fù)數(shù)的運(yùn)算=7?[cos*1+%)+isin(6+8?)]

ri(cos8[+isin&)力

其='[COS?-&2)+"遮母-呢]

勺1(co:s/%+i.s.in%)r

角2

[r(cos^+isin5)]R=rn(cosn6+isinw0

式

r(cos8+，sin的的衿次方根是：

乳廣，8+2上方.8+2k北、八一.、

w(cos------+Jsin------)(兒=1,2,-,M-1)

分類(lèi)計(jì)數(shù)原理分步計(jì)數(shù)原理

做一件事，完成它有n類(lèi)不同的辦法。第一類(lèi)辦

做一件事，完成它需要分成n個(gè)步驟。第一步中有時(shí)

法中有g(shù)種方法，第二類(lèi)辦法中有m2種方

種方法，第二步中有m2種方法……，第n步中有小種

法……，第n類(lèi)辦法中有m0種方法，則完成這件

方法，則完成這件事共有：N=m1.m2.…?m”種方法。

事共有：N=mi+rri2+…+m”種方法。

注意：處理實(shí)際問(wèn)題時(shí)，要善于區(qū)分是用分類(lèi)計(jì)數(shù)原理還是分步計(jì)數(shù)原理，這兩個(gè)原理的標(biāo)志是“分類(lèi)”還

是“分步驟”。

排歹U

組合

從n個(gè)不同的元素中取m(mWn)個(gè)元素，按照一

從n個(gè)不同的元素中，任取m(mWn)個(gè)元素并成一組,

定的順序排成一排，叫做從n個(gè)不同的元素中

叫做從n個(gè)不同的元素中取m個(gè)元素的組合。

取m個(gè)元素的排列。

排列數(shù)

組合數(shù)

從n個(gè)不同的元素中取m(mWn)個(gè)元素的所有從n個(gè)不同的元素中取m(mWn)個(gè)元素的所有組合的

排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù),

元素的排列數(shù)，記為PJ