第四章等可能條件下的概率（知識歸納題型突破）（原卷版）

第四章等可能條件下的概率（知識歸納+題型突破）知道試驗(yàn)的結(jié)果具有等可能性的含義。會求等可能條件下的概率。能夠運(yùn)用列表法和樹狀圖法計(jì)算簡單事件發(fā)生的概率。等可能性：一般的，設(shè)一個(gè)試驗(yàn)的所有可能發(fā)生的結(jié)果有n個(gè)。它們都是隨機(jī)事件，每次試驗(yàn)有且只有其中的一個(gè)結(jié)果出現(xiàn)。如果每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的機(jī)會均等，那么我們說這n個(gè)事件的發(fā)生是等可能的，也稱這個(gè)試驗(yàn)的結(jié)果具有等可能性。等可能條件下的概率：等可能條件下的概率計(jì)算方法和步驟是列出所有的可能結(jié)果，并判定每個(gè)結(jié)果發(fā)生的可能性相等。確定所有可能發(fā)生的結(jié)果個(gè)數(shù)n和其中出現(xiàn)所求事件的結(jié)果個(gè)數(shù)m。計(jì)算所求事件發(fā)生的可能性：P（所求事件）=m用列舉法計(jì)算概率常見的列舉法有兩種：列舉法和畫樹狀圖法題型一判斷事件發(fā)生的可能性大小【例1】一份粽子禮盒中裝有豆沙、咸蛋黃、鮮肉三種不同口味的粽子，從這個(gè)禮盒中隨機(jī)取出一個(gè)粽子，則取出鮮肉粽子的可能性最大的是（

）A．有1個(gè)豆沙、2個(gè)咸蛋黃和5個(gè)鮮肉的禮盒B．有2個(gè)豆沙、3個(gè)咸蛋黃和3個(gè)鮮肉的禮盒C．有3個(gè)豆沙、3個(gè)咸蛋黃和2個(gè)鮮肉的禮盒D．有4個(gè)豆沙、3個(gè)咸蛋黃和1個(gè)鮮肉的禮盒【例2】彤彤拋五次硬幣，次正面朝上，次反面朝上，她拋第次時(shí)，下面說法正確的是哪一個(gè)？（

）A．一定正面朝上 B．一定反面朝上C．不可能正面朝上 D．有可能正面朝上也有可能反面朝上【例3】一只不透明的袋子中裝有10個(gè)白球、20個(gè)黃球和30個(gè)紅球，每個(gè)球除顏色外都相同，將球攪勻，從中任意摸出一個(gè)球，則下列事件：（1）該球是白球；（2）該球是黃球；（3）該球是紅球；則發(fā)生的可能性最大的為：（只填寫序號）．【例4】在一副撲克牌中，任意抽取一張，則下列事件：①抽到“紅桃”；②抽到“黑桃”；③抽到“”；④抽到“紅色的”，則事件發(fā)生的可能性最大的是．（填序號）鞏固訓(xùn)練1．轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時(shí)，指針落在紅色區(qū)域的可能性最大的是（

）A．

B．

C．

D．

2．一只不透明的口袋中裝有3只黃色乒乓球和5只白色乒乓球（除顏色外都相同），攪勻后從中任意摸出一只乒乓球，摸到（填寫“黃”或“白”）色乒乓球的可能性大．3．一只不透明的袋子中裝有1個(gè)白球、2個(gè)黃球和3個(gè)紅球，每個(gè)球除顏色外都相同，從中任意摸出一個(gè)球，①該球是白球；②該球是黃球；③該球是紅球．將這些事件的序號按發(fā)生的可能性從小到大排列為．4．有4根小棒，長度分別是1，6，7，8，從中任取3根，能圍成三角形的可能性比不能圍成三角形的可能性()．（填“大”或“小”）題型二根據(jù)概率公式計(jì)算概率【例5】實(shí)驗(yàn)室的試管架上有三個(gè)沒有標(biāo)簽的試管，試管內(nèi)分別裝有，，三種溶液，小明同學(xué)將酚酞試劑隨機(jī)滴入其中一個(gè)試管，則試管中溶液變紅的概率是（

）A．0 B．1 C． D．【例6】小明的書包里只裝有外觀相同的作業(yè)本，其中語文作業(yè)本4本，數(shù)學(xué)作業(yè)本5本，英語作業(yè)本3本．小明從書包中隨機(jī)抽出一本，不是數(shù)學(xué)作業(yè)本的概率是（）A． B． C． D．鞏固訓(xùn)練5．袋子里有8個(gè)紅球，m個(gè)黑球，每個(gè)球除顏色外都相同，從中任意摸出一個(gè)球，若摸到紅球的可能性比摸到黑球的可能性大，則m的值不可能是（）A．10 B．5 C．3 D．16．小明參加了一個(gè)抽獎游戲：一個(gè)不透明的布袋里裝有1個(gè)紅球，2個(gè)藍(lán)球，4個(gè)黃球，8個(gè)白球，這些小球除顏色外完全相同．從布袋里摸出1球，摸到紅球、藍(lán)球、黃球、白球可分別得到獎金30元、20元、5元和0元，則小明摸一次球得到的平均收益是元．題型三幾何概率【例7】如圖，點(diǎn)C、D在線段上，且．以點(diǎn)A為圓心，分別以線段為半徑畫同心圓，記以為半徑的圓為區(qū)域Ⅰ，所在的圓環(huán)為區(qū)域Ⅱ，所在的圓環(huán)為區(qū)域Ⅲ．現(xiàn)在此圖形中隨機(jī)撒一把豆子，統(tǒng)計(jì)落在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三個(gè)區(qū)域內(nèi)的豆子數(shù)．若大量重復(fù)此實(shí)驗(yàn)，則（

）A．豆子落在區(qū)域Ⅰ的概率最小 B．豆子落在區(qū)域Ⅱ的概率最小C．豆子落在區(qū)域Ⅲ的概率最小 D．豆子落在區(qū)域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率相同【例8】如圖，正方形，點(diǎn)在對角線上，，分別交、于點(diǎn)、，若隨機(jī)向正方形內(nèi)投一粒米，則落在陰影部分的概率是（

）A． B． C． D．【例9】小華在如圖所示的正方形網(wǎng)格紙板上玩飛鏢游戲（每次飛鏢均落在紙板上，且落在紙板的任何一個(gè)點(diǎn)的機(jī)會都相等），則飛鏢落在陰影區(qū)域的概率是．鞏固訓(xùn)練7．如圖，桌面上有3張卡片，1張正面朝上．任意將其中1張卡片正反面對調(diào)一次后，這3張卡片中出現(xiàn)2張正面朝上的概率是（）．A．1 B． C． D．8．《周髀算經(jīng)》中提出了“方屬地，圓屬天”，也就是人們常說的“天圓地方”．我國古代銅錢的鑄造也蘊(yùn)含了這種“外圓內(nèi)方”“天地合一”的哲學(xué)思想，現(xiàn)將銅錢抽象成如圖所示的圖形，其中圓的半徑為r，正方形的邊長為，若在圓內(nèi)隨機(jī)取點(diǎn)，得到點(diǎn)取自陰影部分的概率為P，則圓周率π的值為（用所給字母表示．）9．一個(gè)小球在如圖所示的方格地磚上任意滾動，并隨機(jī)停留在某塊地磚上，每塊地磚的大小、質(zhì)地完全相同，那么該小球停留在黑色區(qū)域的概率是．題型四列表法或樹狀圖法求概率【例10】某校對初一新生隨機(jī)搖號分班，一共分4個(gè)班，班號分別為1班、2班、3班、4班，甲、乙兩人是該校的初一新生．(1)甲恰好被分在1班的概率為______；(2)用畫樹狀圖或列表方法求甲、乙被分在班號連續(xù)的兩個(gè)班級的概率．【例11】有4張撲克牌，牌面數(shù)字分別為2、3、4、4，其余都相同．小明隨機(jī)從中摸出一張牌，記錄牌面數(shù)字后放回；洗勻后再從中摸出一張牌，記錄牌面數(shù)字后又放回．小明摸了100次，結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下：牌面數(shù)字2344次數(shù)26243020(1)上述試驗(yàn)中，小明摸出牌面數(shù)字為3的頻率是；小明摸一張牌，摸到牌面數(shù)字為3的概率是；(2)若小明一次摸出兩張牌，求小明摸出的兩張牌的牌面數(shù)字之和為6的概率．【例12】2023年5月30日，神舟十六號飛船發(fā)射成功，我國航天事業(yè)開啟新篇章．某校舉行“筑夢天宮，探秘蒼穹”主題知識競答活動，共有10道必答選擇題，每道選擇題都有A，B，C三個(gè)選項(xiàng)，有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的．小明已答對前8題，最后這兩道題小明只能從所有選項(xiàng)中隨機(jī)選擇一個(gè)．(1)小明第9題答對的概率是________；(2)請計(jì)算余下兩題中，小明至少答對一題的概率．【例13】如圖，是一個(gè)豎直放置的釘板，其中，黑色圓面表示釘板上的釘子，分別表示相鄰兩顆釘子之間的空隙，這些空隙大小均相等，從入口處投放一個(gè)直徑略小于兩顆釘子之間空隙的圓球，圓球下落過程中，總是碰到空隙正下方的釘子，且沿該釘子左右兩個(gè)相鄰空隙繼續(xù)下落的機(jī)會相等，直至圓球落入下面的某個(gè)槽內(nèi)．用畫樹狀圖的方法，求圓球落入③號槽內(nèi)的概率．鞏固訓(xùn)練10．小華、小玲一起到淮安西游樂園游玩，他們決定在三個(gè)熱門項(xiàng)目（A：智取芭蕉扇、B：三打白骨精、C：盤絲洞）中各自隨機(jī)選擇一個(gè)項(xiàng)目游玩．(1)小華選擇C項(xiàng)目的概率是_________；(2)用畫樹狀圖或列表等方法求小華、小玲選擇不同游玩項(xiàng)目的概率．11．由于疫情原因，我校在校門口建立兩個(gè)體溫檢測通道，九（3）班甲乙兩位同學(xué)上午從兩個(gè)通道中任意一個(gè)通道進(jìn)入校園，求下列事件發(fā)生的概率．(1)甲同學(xué)從通道進(jìn)入的概率是；(2)求甲乙兩位同學(xué)都從通道進(jìn)入的概率．（請寫出分析過程）12．李老師帶領(lǐng)甲、乙、丙三名同學(xué)乘飛機(jī)去北京參加活動，若航班售票系統(tǒng)隨機(jī)分配座位，且系統(tǒng)已將4人分配到同一排，如圖所示是飛機(jī)內(nèi)同一排座位A，B，C，D的排列示意圖：窗AB過道CD窗(1)利用樹狀圖或表格，求甲乙兩同學(xué)被分配到相鄰座位的概率（過道兩側(cè)座位B、C不算相鄰）；(2)為方便管理，若李老師首先選擇過道左側(cè)座位B，讓甲、乙、丙三名同學(xué)隨機(jī)選擇座位，甲同學(xué)認(rèn)為：座位不在過道左側(cè)，就在過道右側(cè)，所以他自己也在過道左側(cè)的概率為．請判斷甲同學(xué)的觀點(diǎn)是否正確，并簡述理由．題型五概率的應(yīng)用【例14】林業(yè)部門要考察某種幼樹在一定條件下的移植成活率，下表是這種幼樹在移植過程中的一組數(shù)據(jù)：移植的棵數(shù)10001500250040008000150002000030000成活的棵數(shù)8651356222035007056131701758026430成活的頻率（精確到）(1)________，________；(2)估計(jì)該種幼樹在此條件下移植成活的概率的估計(jì)值是多少？（精確到）(3)若要成活26400棵樹苗，需要移植多少棵樹苗？【例15】商場在國慶期間舉行部分商品優(yōu)惠促銷活動，顧客只能從以下兩種方案中選擇一種：方案一：購物每滿200元減66元；方案二：顧客購物達(dá)到200元可抽獎一次．具體規(guī)則是：在一個(gè)箱子內(nèi)裝有四張一樣的卡片，四張卡片中有2張寫著數(shù)字1，2張寫著數(shù)字5．顧客隨機(jī)從箱子內(nèi)抽出兩張卡片，兩張卡片上的數(shù)字和記為，的值和享受的優(yōu)惠如表所示．的值2610實(shí)際付款8折7折6折(1)若按方案二的抽獎方式，利用樹形圖（或列表法）求一次抽獎獲得7折優(yōu)惠的概率；(2)若某顧客的購物金額為元（），請用所學(xué)統(tǒng)計(jì)與概率的知識，求出選擇方案二更優(yōu)惠時(shí)的取值范圍．鞏固訓(xùn)練13．菲爾茲獎是數(shù)學(xué)領(lǐng)域的一項(xiàng)國際大獎，每四年頒發(fā)一次，被視為數(shù)學(xué)界的諾貝爾獎，截至2022年，世界上共有65位數(shù)學(xué)家獲得過菲爾茲獎，獲獎?wù)攉@獎時(shí)的年齡分別如下表：年齡/歲27293132333435363738394045人數(shù)1354446599771通過上表數(shù)據(jù)，某同學(xué)繪制了如圖頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖（不完整）：菲爾茲獎獲得者獲獎時(shí)的年齡頻數(shù)分布表年齡x/歲人數(shù)（頻數(shù)）112m321請根據(jù)圖表中提供的信息，解答下列問題：(1)填空：；(2)將頻數(shù)分布直方圖補(bǔ)充完整；(3)在34歲的四位獲獎?wù)咧杏袃晌坏膰且獯罄?，另外兩位的國籍分別是比利時(shí)和英國，若從這四位數(shù)學(xué)家中隨機(jī)抽取兩位，請用列表或畫樹狀圖的