蘇教版數(shù)學(xué)高二-【新學(xué)案】-選修1-1教學(xué)案-曲線上一點處的切線

打印版本高中數(shù)學(xué)3.1.2曲線上一點處的切線教學(xué)過程一、問題情境平均變化率近似地刻畫了曲線在某個區(qū)間上的變化趨勢,提出問題:如何精確地刻畫曲線上某一點處的變化趨勢呢?(點P附近的曲線的研究)提出“放大圖形”的樸素方法,如下圖:(圖1)二、數(shù)學(xué)建構(gòu)問題1觀察“點P附近的曲線”,隨著圖形放大,你看到了怎樣的現(xiàn)象?(圖2)解曲線在點P附近看上去幾乎成了一條直線;繼續(xù)放大,曲線在點P附近將逼近一條確定的直線l,這條直線是過點P的所有直線中最逼近曲線的一條直線.問題2“幾乎成了一條直線”,這么一條特殊的直線有明確位置嗎?又為什么說是“幾乎”?解點P附近可以用這條直線l代替曲線,用直線l的斜率來刻畫曲線經(jīng)過P點時的變化趨勢.問題3怎樣找到經(jīng)過曲線上一點P處最逼近曲線的直線l呢?以圖3為例.解隨著點Q沿曲線向點P運動,直線PQ在點P附近越來越逼近曲線.概念生成動畫演示,觀察點Q的運動、直線PQ的運動、直線PQ斜率的變化,生成概念.(圖3)(圖4)Q為曲線上不同于點P的一點,這時,直線PQ稱為曲線的割線;當(dāng)點Q無限逼近點P時,直線PQ最終就成為在點P處最逼近曲線的直線l,這條直線l就稱為曲線在點P處的切線.問題4對比平均變化率這一近似刻畫曲線在某個區(qū)間上的變化趨勢的數(shù)學(xué)模型,在這里平均變化率表現(xiàn)為什么?我們又用怎樣的數(shù)學(xué)模型來刻畫曲線上P點處的變化趨勢呢?由切線的概念來求切線斜率,割線斜率無限逼近即為切線斜率.當(dāng)Δx無限趨近于0時,QUOTE無限趨近于點P(x,f(x))處切線的斜率.三、數(shù)學(xué)運用【例1】用割線逼近切線的方法作出下列曲線在點P處的切線. (見學(xué)生用書P43)(例1圖(1))(例1圖(2))(1)初中平面幾何中圓的切線的定義是什么?(2)圖(1)中和圖(2)中切線與曲線公共點的個數(shù)分別是多少?公共點的個數(shù)是否適用于一般曲線的切線的定義的討論?你能否用函數(shù)曲線的切線舉出反例?讓學(xué)生親自作圖,從圖形觀察出問題的答案,體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想.解(1)與圓只有一個公共點的直線稱為圓的切線.(2)圖(1)中1個.圖(2)中2個.不適用.強調(diào)曲線上一點處切線的斜率的定義,圓上一點處的切線只是曲線上一點處切線的特殊情況.變式曲線y=x3在點(1,1)處的切線與曲線有幾個交點?解2個.【例2】(教材第71頁例1)已知f(x)=x2,求曲線y=f(x)在x=2處的切線的斜率. (見學(xué)生用書P44)為求得在點(2,4)處的切線斜率,我們從經(jīng)過點(2,4)的任意一條直線(割線)入手.解設(shè)P(2,4),Q(2+Δx,(2+Δx)2),則割線PQ的斜率為kPQ=QUOTE=4+Δx,當(dāng)Δx無限趨近于0時,kPQ無限趨近于常數(shù)4,從而曲線y=f(x)在點P(2,4)處的切線斜率為4.本題教學(xué)手法可以多樣化,比如作出圖象加強直觀,還可取Δx<0進行比較.如有條件,可利用計算機分別演示數(shù)值逼近和圖形逼近的過程,使數(shù)形結(jié)合更加緊密.變式已知f(x)=x-1,求曲線y=f(x)在x=-1處的切線斜率.解設(shè)P(-1,-1),Q-1+Δx,QUOTE,則割線PQ的斜率為kPQ=QUOTE=QUOTE,當(dāng)Δx無限趨近于0時,kPQ無限趨近于常數(shù)-1,從而曲線y=f(x)在點P(-1,-1)處的切線斜率為-1.【例3】已知曲線y=QUOTE在點(1,4)處的切線與直線l平行,且與l的距離等于QUOTE,求直線l的方程. (見學(xué)生用書P44)應(yīng)用平行直線的斜率關(guān)系和距離公式.解QUOTE=QUOTE=-QUOTE.當(dāng)Δx無限趨近于0時,QUOTE無限趨近于-4,所以曲線在點(1,4)處的切線的斜率為-4,故切線方程為y-4=-4(x-1),即4x+y-8=0.設(shè)直線l的方程為4x+y+c=0,由題得QUOTE=QUOTE,解得c1=9,c2=-25,所以直線l的方程為4x+y+9=0或4x+y-25=0.進一步讓學(xué)生體會割線斜率無限逼近于切線斜率,熟悉求曲線y=f(x)上一點P(x0,y0)處的切線的步驟:(1)求差商QUOTE;(2)當(dāng)Δx(Δx可正,也可負)無限趨近于0時,QUOTE趨近于某個常數(shù)k;(3)曲線y=f(x)上一點P(x0,y0)處的切線方程為y-y0=k(x-x0).變式若直線y=3x+1是曲線y=ax2的切線,求a的值.本題需注意切點既滿足曲線方程,又滿足切線方程.解設(shè)切點為(x,ax2),QUOTE=QUOTE=2ax+aΔx.當(dāng)Δx無限趨近于0時,QUOTE無限趨近于2ax,所以曲線在切點處的切線的斜率為2ax.由QUOTE可求得a=-QUOTE.【例4】試求過點P(3,5)且與曲線y=x2相切的直線方程.本題應(yīng)設(shè)出切點(x0,QUOTE),求出相應(yīng)的切線方程,再根據(jù)此方程過點P(3,5),利用待定系數(shù)法求出x0.解設(shè)所求切線的切點坐標(biāo)為(x0,QUOTE),QUOTE=QUOTE=2x0+Δx,當(dāng)Δx無限趨近于0時,QUOTE無限趨近于2x0,所以曲線在切點處的切線的斜率為2x0,則所求切線方程可表示為y-QUOTE=2x0(x-x0),因為切線過點P(3,5),所以5-QUOTE=2x0(3-x0),解得x0=1或5,即所求的切線有兩條,方程分別是y=2x-1和y=10x-25.學(xué)生解答本題時會誤以為點P(3,5)是切點,導(dǎo)致過點P(3,5)處的切線斜率為6.變式求曲線y=x3的過點(-1,-1)的切線方程.解設(shè)所求切線的切點坐標(biāo)為(x0,QUOTE),QUOTE=QUOTE=3QUOTE+3x0Δx+Δx2,當(dāng)Δx無限趨近于0時,QUOTE無限趨近于3QUOTE,所以曲線在切點處的切線的斜率為3QUOTE,則所求切線方程可表示為y-QUOTE=3QUOTE(x-x0),因為切線過點(-1,-1),所以-1-QUOTE=3QUOTE(-1-x0),解得x0=-1或QUOTE,即所求的切線有兩條,方程分別是y=3x+2和y=QUOTEx-QUOTE.學(xué)生解答本題時會誤以為點(-1,-1)一定是切點,沒有討論點(-1,-1)是切點和不是切點兩種情況.四、課堂練習(xí)1.在下列曲線中,可以用割線逼近切線的方法作出點P處的切線的有②④.(填序號)

(第1題)2.求曲線y=QUOTE在點(1,QUOTE)處的切線的斜率.解設(shè)P(1,QUOTE),Q(1+Δx,QUOTE),則割線PQ的斜率為kPQ=QUOTE=QUOTE.當(dāng)Δx無限趨近于0時,kPQ無限趨近于常數(shù)QUOTE,從而曲線y=f(x)在點(1,QUOTE)處的切線斜率為QUOTE.3.已知拋物線y=ax2+bx-7過點(1,1),且過點(1,1)的拋物線的切線方程為y=4x-3,求a,b的