高考數(shù)學(xué)（理）高分計劃一輪狂刷練第8章平面解析幾何87a

[重點保分兩級優(yōu)選練]A級一、選擇題1．(2017·皖北協(xié)作區(qū)聯(lián)考)已知拋物線C：x2＝2py(p>0)，若直線y＝2x被拋物線所截弦長為4eq\r(5)，則拋物線C的方程為()A．x2＝8y B．x2＝4yC．x2＝2y D．x2＝y(tǒng)答案C解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝2py，,y＝2x，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4p，,y＝8p，))即兩交點坐標(biāo)為(0,0)和(4p,8p)，則eq\r(4p2＋8p2)＝4eq\r(5)，得p＝1(舍去負(fù)值)，故拋物線C的方程為x2＝2y.故選C.2．(2014·全國卷Ⅱ)設(shè)F為拋物線C：y2＝3x的焦點，過F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點，則|AB|＝()A.eq\f(\r(30),3) B．6C．12 D．7eq\r(3)答案C解析拋物線C：y2＝3x的焦點為Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，0))，所以AB所在的直線方程為y＝eq\f(\r(3),3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))，將y＝eq\f(\r(3),3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))代入y2＝3x，消去y整理得x2－eq\f(21,2)x＋eq\f(9,16)＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根與系數(shù)的關(guān)系得x1＋x2＝eq\f(21,2)，由拋物線的定義可得|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(21,2)＋eq\f(3,2)＝12.故選C.3．(2018·廣東廣州模擬)如果P1，P2，…，Pn是拋物線C：y2＝4x上的點，它們的橫坐標(biāo)依次為x1，x2，…，xn，F(xiàn)是拋物線C的焦點，若x1＋x2＋…＋xn＝10，則|P1F|＋|P2F|＋…＋|PnF|＝()A．n＋10 B．n＋20C．2n＋10 D．2n＋20答案A解析由拋物線的方程y2＝4x可知其焦點為(1,0)，準(zhǔn)線為x＝－1，由拋物線的定義可知|P1F|＝x1＋1，|P2F|＝x2＋1，…，|PnF|＝xn＋1，所以|P1F|＋|P2F|＋…＋|PnF|＝x1＋1＋x2＋1＋…＋xn＋1＝(x1＋x2＋…＋xn)＋n＝n＋10.故選A.4．(2017·江西贛州二模)拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，A是拋物線上一點，若A到F的距離是A到y(tǒng)軸距離的兩倍，且三角形OAF的面積為1，O為坐標(biāo)原點，則p的值為()A．1 B．2C．3 D．4答案B解析不妨設(shè)A(x0，y0)在第一象限，由題意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＋\f(p,2)＝2x0，,S△OAF＝\f(1,2)·\f(p,2)·y0＝1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝\f(p,2)，,y0＝\f(4,p)，))∴Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，\f(4,p)))，又∵點A的拋物線y2＝2px上，∴eq\f(16,p2)＝2p×eq\f(p,2)，即p4＝16，又∵p>0，∴p＝2，故選B.5．過拋物線y2＝8x的焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，交拋物線的準(zhǔn)線于點C，若|AF|＝6，eq\o(BC,\s\up6(→))＝λeq\o(FB,\s\up6(→))(λ>0)，則λ的值為()A.eq\f(3,4) B.eq\f(3,2)C.eq\r(3) D．3答案D解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(－2，y3)，則x1＋2＝6，解得x1＝4，y1＝±4eq\r(2)，點A(4,4eq\r(2))，則直線AB的方程為y＝2eq\r(2)(x－2)，令x＝－2，得C(－2，－8eq\r(2))，聯(lián)立方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝8x，,y＝2\r(2)x－2，))解得B(1，－2eq\r(2))，所以|BF|＝1＋2＝3，|BC|＝9，所以λ＝3.故選D.6．(2017·撫順一模)已知點P是拋物線y2＝－4x上的動點，設(shè)點P到此拋物線的準(zhǔn)線的距離為d1，到直線x＋y－4＝0的距離為d2，則d1＋d2的最小值為()A．2 B.eq\r(2)C.eq\f(5,2) D.eq\f(5\r(2),2)答案D解析點P到準(zhǔn)線的距離等于點P到焦點F的距離，過焦點F作直線x＋y－4＝0的垂線，此時d1＋d2最小，∵F(－1,0)，則d1＋d2＝eq\f(|－1＋0－4|,\r(2))＝eq\f(5\r(2),2).故選D.7．(2018·北京東城區(qū)期末)已知拋物線C1：y＝eq\f(1,2p)x2(p>0)的焦點與雙曲線C2：eq\f(x2,3)－y2＝1的右焦點的連線交C1于第一象限的點M，若C1在點M處的切線平行于C2的一條漸近線，則p＝()A.eq\f(\r(3),16) B.eq\f(\r(3),8)C.eq\f(2\r(3),3) D.eq\f(4\r(3),3)答案D解析由題意可知，拋物線開口向上且焦點坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))，雙曲線焦點坐標(biāo)為(2,0)，所以兩個焦點連線的直線方程為y＝－eq\f(p,4)(x－2)．設(shè)M(x0，y0)，則有y′＝eq\f(1,p)x0＝eq\f(\r(3),3)?x0＝eq\f(\r(3),3)p.因為y0＝eq\f(1,2p)xeq\o\al(2,0)，所以y0＝eq\f(p,6).又M點在直線y＝－eq\f(p,4)(x－2)上，即有eq\f(p,6)＝－eq\f(p,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)p－2))?p＝eq\f(4\r(3),3)，故選D.8．(2018·河北邯鄲調(diào)研)已知M(x0，y0)是曲線C：eq\f(x2,2)－y＝0上的一點，F(xiàn)是曲線C的焦點，過M作x軸的垂線，垂足為N，若eq\o(MF,\s\up6(→))·eq\o(MN,\s\up6(→))＜0，則x0的取值范圍是()A．(－1,0)∪(0,1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(－1,1)答案A解析由題意知曲線C為拋物線，其方程為x2＝2y，所以Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，根據(jù)題意可知，N(x0,0)，x0≠0，eq\o(MF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x0，\f(1,2)－y0))，eq\o(MN,\s\up6(→))＝(0，－y0)，所以eq\o(MF,\s\up6(→))·eq\o(MN,\s\up6(→))＝－y0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－y0))＜0，即0＜y0＜eq\f(1,2)，因為點M在拋物線上，所以有0＜eq\f(x\o\al(2,0),2)＜eq\f(1,2)，又x0≠0，解得－1＜x0＜0或0＜x0＜1，故選A.9．(2017·山西五校聯(lián)考)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)上一點(5，m)到焦點的距離為6，P，Q分別為拋物線C與圓M：(x－6)2＋y2＝1上的動點，當(dāng)|PQ|取得最小值時，向量eq\o(PQ,\s\up6(→))在x軸正方向上的投影為()A．2－eq\f(\r(5),5) B．2eq\r(5)－1C．1－eq\f(\r(21),21) D.eq\r(21)－1答案A解析因為6＝eq\f(p,2)＋5，所以p＝2，所以拋物線C的方程為y2＝4x.設(shè)P(x，y)，則|PM|＝eq\r(x－62＋y2)＝eq\r(x－62＋4x)＝eq\r(x－42＋20)，可知當(dāng)x＝4時，|PQ|取得最小值，最小值為eq\r(20)－1＝2eq\r(5)－1，此時不妨取P點的坐標(biāo)為(4，－4)，則直線PM的斜率為2，即tan∠PMO＝2，所以cos∠PMO＝eq\f(1,\r(5))，故當(dāng)|PQ|取得最小值時，向量eq\o(PQ,\s\up6(→))在x軸正方向上的投影為(2eq\r(5)－1)·cos∠PMO＝2－eq\f(\r(5),5).故選A.10．(2018·湖北七市聯(lián)考)過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F的直線與雙曲線x2－eq\f(y2,3)＝1的一條漸近線平行，并交拋物線于A，B兩點，若|AF|>|BF|，且|AF|＝2，則拋物線的方程為()A．y2＝2x B．y2＝3xC．y2＝4x D．y2＝x答案A解析由雙曲線方程x2－eq\f(y2,3)＝1知其漸近線方程為y＝±eq\r(3)x，∴過拋物線焦點F且與漸近線平行的直線AB的斜率為±eq\r(3)，不妨取kAB＝eq\r(3)，則其傾斜角為60°，即∠AFx＝60°.過A作AN⊥x軸，垂足為N.由|AF|＝2，得|FN|＝1.過A作AM⊥準(zhǔn)線l，垂足為M，則|AM|＝p＋1.由拋物線的定義知，|AM|＝|AF|，∴p＋1＝2，∴p＝1，∴拋物線的方程為y2＝2x，故選A.二、填空題11．(2017·河南新鄉(xiāng)二模)已知點A(1，y1)，B(9，y2)是拋物線y2＝2px(p>0)上的兩點，y2>y1>0，點F是拋物線的焦點，若|BF|＝5|AF|，則yeq\o\al(2,1)＋y2的值為________．答案10解析由拋物線的定義可知，9＋eq\f(p,2)＝5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(p,2)))，解得p＝2，∴拋物線方程為y2＝4x，又∵A，B兩點在拋物線上，∴y1＝2，y2＝6，∴yeq\o\al(2,1)＋y2＝22＋6＝10.12．(2017·湖南岳陽二模)直線3x－4y＋4＝0與拋物線x2＝4y和圓x2＋(y－1)2＝1從左至右的交點依次為A，B，C，D，則eq\f(|CD|,|AB|)的值為________．答案16解析如圖所示，拋物線x2＝4y的焦點為F(0,1)，直線3x－4y＋4＝0過點(0,1)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝4y，,3x－4y＋4＝0，))得4y2－17y＋4＝0，設(shè)A(x1，y1)，D(x2，y2)，則y1＋y2＝eq\f(17,4)，y1y2＝1，解得y1＝eq\f(1,4)，y2＝4，則eq\f(|CD|,|AB|)＝eq\f(|FD|－1,|AF|－1)＝eq\f(y2＋1－1,y1＋1－1)＝16.13．(2017·河南安陽二模)已知拋物線C1：y＝ax2(a>0)的焦點F也是橢圓C2：eq\f(y2,4)＋eq\f(x2,b2)＝1(b>0)的一個焦點，點M，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，1))分別為曲線C1，C2上的點，則|MP|＋|MF|的最小值為________．答案2解析將Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，1))代入eq\f(y2,4)＋eq\f(x2,b2)＝1，可得eq\f(1,4)＋eq\f(9,4b2)＝1，∴b＝eq\r(3)，c＝1，∴拋物線的焦點F為(0,1)，∴拋物線C1的方程為x2＝4y，準(zhǔn)線為直線y＝－1，設(shè)點M在準(zhǔn)線上的射影為D，根據(jù)拋物線的定義可知|MF|＝|MD|，∴要求|MP|＋|MF|的最小值，即求|MP|＋|MD|的最小值，易知當(dāng)D，M，P三點共線時，|MP|＋|MD|最小，最小值為1－(－1)＝2.14．(2017·河北衡水中學(xué)調(diào)研)已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，過F的直線l與拋物線交于A，B兩點，且|AF|＝4|FB|，O為坐標(biāo)原點，若△AOB的面積為eq\f(5,8)，則p＝________.答案1解析易知拋物線y2＝2px的焦點F的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，準(zhǔn)線為x＝－eq\f(p,2)，不妨設(shè)點A在x軸上方，如圖，過A，B作準(zhǔn)線的垂線AA′，BB′，垂足分別為A′，B′，過點B作BH⊥AA′，交AA′于H，則|BB′|＝|A′H|，設(shè)|FB|＝t，則|AF|＝|AA′|＝4t，∴|AH|＝|AA′|－|A′H|＝3t，又|AB|＝5t，∴在Rt△ABH中，cos∠HAB＝eq\f(3,5)，∴tan∠HAB＝eq\f(4,3)，則可得直線AB的方程為y＝eq\f(4,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2))).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(4,3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))，,y2＝2px，))得8x2－17px＋2p2＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(17,8)p＋p＝eq\f(25,8)p，易知點O到直線AB的距離為d＝|OF|·sin∠A′AB＝eq\f(p,2)×eq\f(4,5)＝eq\f(2,5)p.∴S△AOB＝eq\f(1,2)×eq\f(25,8)p×eq\f(2,5)p＝eq\f(5p2,8)＝eq\f(5,8)，∴p2＝1，又p>0，∴p＝1.B級三、解答題15．(2017·泰安模擬)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，拋物線C與直線l1：y＝－x的一個交點的橫坐標(biāo)為8.(1)求拋物線C的方程；(2)不過原點的直線l2與l1垂直，且與拋物線交于不同的兩點A，B，若線段AB的中點為P，且|OP|＝|PB|，求△FAB的面積．解(1)易知直線與拋物線的交點坐標(biāo)為(8，－8)，∴(－8)2＝2p×8，∴2p＝8，∴拋物線方程為y2＝8x.(2)直線l2與l1垂直，故可設(shè)直線l2：x＝y(tǒng)＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直線l2與x軸的交點為M.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝8x，,x＝y(tǒng)＋m，))得y2－8y－8m＝0，Δ＝64＋32m>0，∴m>－2.y1＋y2＝8，y1y2＝－8m，∴x1x2＝eq\f(y\o\al(2,1)y\o\al(2,2),64)＝m2.由題意可知OA⊥OB，即x1x2＋y1y2＝m2－8m＝0，∴m＝8或m＝0(舍)，∴直線l2：x＝y(tǒng)＋8，M(8,0)．故S△FAB＝S△FMB＋S△FMA＝eq\f(1,2)·|FM|·|y1－y2|＝3eq\r(y1＋y22－4y1y2)＝24eq\r(5).16．(2016·浙江高考)如圖，設(shè)拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點為F，拋物線上的點A到y(tǒng)軸的距離等于|AF|－1.(1)求p的值；(2)若直線AF交拋物線于另一點B，過B與x軸平行的直線和過F與AB垂直的直線交于點N，AN與x軸交于點M.求M的橫坐標(biāo)的取值范圍．解(1)由題意可得，拋物線上點A到焦點F的距離等于點A到直線x＝－1的距離，由拋物線的定義得eq\f(p,2)＝1，即p＝2.(2)由(1)得，拋物線方程為y2＝4x，F(xiàn)(1,0)，可設(shè)A(t2，2t)，t≠0，t≠±1.因為AF不垂直于y軸，可設(shè)直線AF：x＝sy＋1(s≠0)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,x＝sy＋1))消去x，得y2－4sy－4＝0，故y1y2＝－4，所以，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,t2)，－\f(2,t))).又直線AB的斜率為eq\f(2t,t2－1)，故直線FN的斜率為－eq\f(t2－1,2t).從而得直線FN：y＝－eq\f(t2－1,2t)(x－1)，直線BN：y＝－eq\f(2,t).所以Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t2＋3,t2－1)，－\f(2,t))).設(shè)M(m,0)，由A，M，N三點共線，得eq\f(2t,t2－m)＝eq\f(2t＋\f(2,t),t2－\f(t2＋3,t2－1))，于是m＝eq\f(2t2,t2－1)(t≠0，t≠±1)．所以m＜0或m＞2.經(jīng)檢驗，m＜0或m＞2滿足題意．綜上，點M的橫坐標(biāo)的取值范圍是(－∞，0)∪(2，＋∞)．17．(2017·北京高考)已知拋物線C：y2＝2px過點P(1,1)．過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))作直線l與拋物線C交于不同的兩點M，N，過點M作x軸的垂線分別與直線OP，ON交于點A，B，其中O為原點．(1)求拋物線C的方程，并求其焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；(2)求證：A為線段BM的中點．解(1)由拋物線C：y2＝2px過點P(1,1)，得p＝eq\f(1,2).所以拋物線C的方程為y2＝x.拋物線C的焦點坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0))，準(zhǔn)線方程為x＝－eq\f(1,4).(2)證明：由題意，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋eq\f(1,2)(k≠0)，l與拋物線C的交點為M(x1，y1)，N(x2，y2)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋\f(1,2)，,y2＝x，))得4k2x2＋(4k－4)x＋1＝0，則x1＋x2＝eq\f(1－k,k2)，x1x2＝eq\f(1,4k2).因為點P的坐標(biāo)為(1,1)，所以直線OP的方程為y＝x，點A的坐標(biāo)為(x1，x1)．直線ON的方程為y＝eq\f(y2,x2)x，點B的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1，\f(y2x1,x2))).因為y1＋eq\f(y2x1,x2)－2x1＝eq\f(y1x2＋y2x1－2x1x2,x2)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kx1＋\f(1,2)))x2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kx2＋\f(1,2)))x1－2x1x2,x2)＝eq\f(2k－2x1x2＋\f(1,2)x2＋x1,x2)＝eq\f(2k－2×\f(1,4k2)＋\f(1－k,2k2),x2)＝0，所以y1＋eq\f(y2x1,x2)＝2x1，故A為線段BM的中點．18．(2018·湖南檢測)已知曲線C上的動點M到y(tǒng)軸的距離比到點F(1,0)的距離小1.(1)求曲線C的方程；(2)過F作弦PQ，RS，設(shè)PQ，RS的中點分別為A，B，若eq\o(PQ,\s\up6(→))·eq\o(RS,\s\up6(→))＝0，求|eq\o(AB,\s\up6(→))|最小時，弦PQ，RS所在直線的方程；(3)是否存在一定點T，使得eq\o(AF,\s\up6(→))＝λeq\o(TB,\s\up6(→))－eq\o(FT,\s\up6(→))？若存在，求出P的坐標(biāo)，若不存在，試說明理由．解(1)由條件，點M到點F(1,0)的距離等于到直線x＝－1的距離，所以曲線C是以F為焦點，直線x＝－1為準(zhǔn)線的拋物線，其方程為y2＝4x.(2)設(shè)lPQ：y＝k(x－1)，代入y2＝4x得：k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0.由韋達(dá)定理eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝\f(2k2＋2,k