2022-2023學(xué)年江西省景德鎮(zhèn)市高二下學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2江西省景德鎮(zhèn)市2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題第Ⅰ卷（選擇題）一、選擇題：（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.已知一列數(shù)如此排列：1，，4，，16，，則它的一個(gè)通項(xiàng)公式可能是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗令，，，，，選項(xiàng)D正確.故選：D2.已知函數(shù)，則其在處的切線方程為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，則，而，所以在處的切線方程為，即.故選：B3.數(shù)列的前項(xiàng)和，則取最大值時(shí)的值為（）A. B.2 C. D.4〖答案〗B〖解析〗對(duì)于函數(shù)對(duì)稱軸為，開口向下，所以當(dāng)時(shí)函數(shù)取得最大值，所以當(dāng)時(shí)取得最大值.故選：B4.在可導(dǎo)函數(shù)，中，已知，，，，則在時(shí)導(dǎo)數(shù)值是（）A. B.4 C. D.2〖答案〗A〖解析〗令，則，則.故選：A5.放假期間，小明一家準(zhǔn)備去淄博旅游，已知他家汽車行駛速度與每公里油費(fèi)（元）的關(guān)系式為，當(dāng)每公里油費(fèi)最低時(shí)，（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，因?yàn)?，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)每公里油費(fèi)最低時(shí)，.故選：B.6.若函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗函數(shù)定義域?yàn)?，且，依題意恒成立，恒成立，即恒成立，又，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A7.在和兩個(gè)實(shí)數(shù)之間插入個(gè)實(shí)數(shù)，，，，使數(shù)列為等差數(shù)列，那么這個(gè)數(shù)列的公差為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依題意等差數(shù)列中共有項(xiàng)，設(shè)公差為，則，所以.故選：B8.已知為等比數(shù)列，函數(shù)，若與恰好為的兩個(gè)極值點(diǎn)，那么的值為（）A.或 B. C.2 D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，得，令，則或；令，則，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得極大值；當(dāng)時(shí)，取得極小值.因?yàn)榕c恰好為的兩個(gè)極值點(diǎn)，所以，且，又，且，所以.故選：C.二、選擇題：（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.）9.下列結(jié)論中正確的有（）A. B.C. D.〖答案〗CD〖解析〗對(duì)于A：，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，故C正確；對(duì)于D：，故D正確；故選：CD10.對(duì)于定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，為其導(dǎo)函數(shù)，下列說法不正確的是（）A.若是的解，則其一定是函數(shù)的極值點(diǎn)B.在上單調(diào)遞減是在上恒成立的充要條件C.若函數(shù)既有極小值又有極大值，則其極大值一定不會(huì)比它的極小值小D.若在上存在極值，則它在一定不單調(diào)〖答案〗ABC〖解析〗對(duì)于A選項(xiàng)，不妨取，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，但函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，取，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，但函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，“在上單調(diào)遞減”“在上恒成立”，另一方面，若上恒成立，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，“在上單調(diào)遞減”“在上恒成立”，所以，在上單調(diào)遞減是在上恒成立的必要不充分條件，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，若函數(shù)既有極小值又有極大值，則其極大值不一定不會(huì)比它的極小值小，如下圖所示，函數(shù)的極大值小于它的極小值，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，若在上存在極值，則它在一定不單調(diào)，D對(duì).故選：ABC.11.數(shù)列滿是，則（）A.數(shù)列的最大項(xiàng)為 B.數(shù)列的最大項(xiàng)為C.數(shù)列的最小項(xiàng)為 D.數(shù)列的最小項(xiàng)為〖答案〗BD〖解析〗因?yàn)?，所以，由，得到，且易知，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以所以數(shù)列的最大項(xiàng)為，最小項(xiàng)為，故選：BD.12.“內(nèi)卷”是一個(gè)網(wǎng)絡(luò)流行詞，一般用于形容某個(gè)領(lǐng)域中發(fā)生了過度的競(jìng)爭(zhēng)，導(dǎo)致人們進(jìn)入了互相傾軋?內(nèi)耗的狀態(tài)，從而導(dǎo)致個(gè)體“收益努力比”下降的現(xiàn)象.數(shù)學(xué)中的螺旋線可以形象的展示“內(nèi)卷”這個(gè)詞，螺旋線這個(gè)名詞來源于希臘文，它的原意是“旋卷”或“纏卷”，平面螺旋便是以一個(gè)固定點(diǎn)開始，向外圈逐漸旋繞而形成的圖案，如圖（1）；它的畫法是這樣的：正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，取正方形ABCD各邊的四等分E，F(xiàn)，G，H作第二個(gè)正方形，然后再取正方形EFGH各邊的四等分點(diǎn)M，N，P，Q作第3個(gè)正方形，以此方法一直循環(huán)下去，就可得到陰影部分圖案，設(shè)正方形ABCD邊長(zhǎng)為，后續(xù)各正方形邊長(zhǎng)依次為，，，；如圖（2）陰影部分，設(shè)直角三角形AEH面積為，后續(xù)各直角三角形面積依次為，，，，下列說法正確的是（）A.數(shù)列與數(shù)列均是公比為的等比數(shù)列B.從正方形ABCD開始，連續(xù)4個(gè)正方形的面積之和為C.和滿是等式D.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則〖答案〗AC〖解析〗對(duì)于A選項(xiàng)，由題意知，且，所以，又因?yàn)?，所以?shù)列是以4為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，可得，，所以，由得數(shù)列與數(shù)列均是公比為的等比數(shù)列，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，由上，，，，，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，，，所以，所以，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)?，且，所以，因?yàn)闀r(shí)，是單調(diào)遞增函數(shù)，所以，而，故D錯(cuò)誤.故選：AC．第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分.）13.已知是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，，則___________.〖答案〗2〖解析〗由題設(shè)，，兩式相減可得，若等差數(shù)列的公差為，則，即，所以，則.故〖答案〗為：214.記等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則___________.〖答案〗〖解析〗當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，由數(shù)列是等比數(shù)列，則，則，解得.故〖答案〗為：.15.已知可導(dǎo)函數(shù)，定義域均為，對(duì)任意均滿足，且，則___________.〖答案〗3〖解析〗由題意，則，解得，由，則，，可得.故〖答案〗為：.16.現(xiàn)有以下兩個(gè)條件：⑴與有交點(diǎn)；⑵函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，且的值均在內(nèi).我們把在定義域內(nèi)同時(shí)滿足以上兩個(gè)條件的函數(shù)構(gòu)成的集合記作U，以下判斷中正確的有___________.①若，則有且僅有一個(gè)解；②函數(shù)，那么，但；③設(shè)，在的定義域內(nèi)任取，且滿足，，則有.〖答案〗①③〖解析〗對(duì)于①，若，由條件⑴可知方程有解，設(shè)函數(shù)，則，由于，則，即函數(shù)為定義域上的減函數(shù)，所以函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，即有且僅有一個(gè)解，故①正確；對(duì)于②，設(shè)函數(shù)則，顯然，即函數(shù)在上為增函數(shù)，又，所以函數(shù)無零點(diǎn)，即函數(shù)與無交點(diǎn)，那么，所以②錯(cuò)誤；對(duì)于③，依題意，，故③正確.故〖答案〗為：①③四、解答題：（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.）17.已知等差數(shù)列的公差不為0，且，，，，成等比數(shù)列，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式：（2）若數(shù)列滿足，記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求.解：（1）由為等差數(shù)列，則，由等差數(shù)列，可設(shè)其公差為，則，即，又因?yàn)?，且，所以；所以是以為首?xiàng)，為公差的等差數(shù)列，可得.（2）由（1）可知，又，可得；所以，再通過裂項(xiàng)相消得到：，所以18.已知函數(shù).（1）求的值；（2）求在點(diǎn)處的切線方程.解：（1）因?yàn)?，所以，代入得：，所?（2）由（1）可得，則所以，，所以切線方程為，即.19.設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，（1）求數(shù)列的公比；（2）若，數(shù)列滿足，求的前n項(xiàng)和.解：（1）設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，由，得，即，化簡(jiǎn)得，又，故，解得或（舍去），所以.（2）由（1）可知是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，那么.所以，則，兩式相減得，即.20.某品牌汽車準(zhǔn)備在一次車展過程中給顧客免費(fèi)發(fā)放冰淇淋，現(xiàn)欲從家源頭工廠批發(fā)進(jìn)購(gòu)冰淇淋.已知該工廠在這筆訂單中的固定成本為2萬元，生產(chǎn)的最大上限是8萬個(gè)，另外，每生產(chǎn)1萬個(gè)冰淇淋成本會(huì)增加0.5萬元，每x萬個(gè)冰淇淋的銷售額滿足關(guān)系式（單位：萬元，其中a是常數(shù)）；若該工廠賣出2萬個(gè)冰淇淋的利潤(rùn)是12萬元.（1）設(shè)賣出x萬個(gè)冰淇淋的利潤(rùn)為（單位：萬元），求的〖解析〗式；（2）這筆訂單的銷售量為多少時(shí)這家工廠的利潤(rùn)最大？并求出利潤(rùn)的最大值.解：（1）賣出萬個(gè)冰淇淋的利潤(rùn)（單位：萬元）：，，即，，當(dāng)時(shí)，，解得，故，；（2），當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴時(shí)，利潤(rùn)最大為萬元.21.已知函數(shù)，.（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)函數(shù)，且，求的最小值.解：（1）因?yàn)?，?dāng)時(shí)，有，此時(shí)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)單調(diào)遞減所以，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）由題意得，則.設(shè)，則.所以在上單調(diào)遞減.所以在上，則，即在上單調(diào)遞減，此時(shí)，最小值為.22已知數(shù)列滿足，，且，.（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并求出使得不等式成立的n的最小值.解：（1）因?yàn)?，所以，即；又因?yàn)?，所以；所以，整理可得：，所以是等差?shù)列；又因?yàn)?，，所以，可得公差?；所以是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列.（2）由第（1）問可知，又因?yàn)椋凰裕?那么；；所以的最小值為.江西省景德鎮(zhèn)市2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題第Ⅰ卷（選擇題）一、選擇題：（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.已知一列數(shù)如此排列：1，，4，，16，，則它的一個(gè)通項(xiàng)公式可能是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗令，，，，，選項(xiàng)D正確.故選：D2.已知函數(shù)，則其在處的切線方程為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，則，而，所以在處的切線方程為，即.故選：B3.數(shù)列的前項(xiàng)和，則取最大值時(shí)的值為（）A. B.2 C. D.4〖答案〗B〖解析〗對(duì)于函數(shù)對(duì)稱軸為，開口向下，所以當(dāng)時(shí)函數(shù)取得最大值，所以當(dāng)時(shí)取得最大值.故選：B4.在可導(dǎo)函數(shù)，中，已知，，，，則在時(shí)導(dǎo)數(shù)值是（）A. B.4 C. D.2〖答案〗A〖解析〗令，則，則.故選：A5.放假期間，小明一家準(zhǔn)備去淄博旅游，已知他家汽車行駛速度與每公里油費(fèi)（元）的關(guān)系式為，當(dāng)每公里油費(fèi)最低時(shí)，（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，因?yàn)?，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)每公里油費(fèi)最低時(shí)，.故選：B.6.若函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗函數(shù)定義域?yàn)?，且，依題意恒成立，恒成立，即恒成立，又，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A7.在和兩個(gè)實(shí)數(shù)之間插入個(gè)實(shí)數(shù)，，，，使數(shù)列為等差數(shù)列，那么這個(gè)數(shù)列的公差為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依題意等差數(shù)列中共有項(xiàng)，設(shè)公差為，則，所以.故選：B8.已知為等比數(shù)列，函數(shù)，若與恰好為的兩個(gè)極值點(diǎn)，那么的值為（）A.或 B. C.2 D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，得，令，則或；令，則，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得極大值；當(dāng)時(shí)，取得極小值.因?yàn)榕c恰好為的兩個(gè)極值點(diǎn)，所以，且，又，且，所以.故選：C.二、選擇題：（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.）9.下列結(jié)論中正確的有（）A. B.C. D.〖答案〗CD〖解析〗對(duì)于A：，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，故C正確；對(duì)于D：，故D正確；故選：CD10.對(duì)于定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，為其導(dǎo)函數(shù)，下列說法不正確的是（）A.若是的解，則其一定是函數(shù)的極值點(diǎn)B.在上單調(diào)遞減是在上恒成立的充要條件C.若函數(shù)既有極小值又有極大值，則其極大值一定不會(huì)比它的極小值小D.若在上存在極值，則它在一定不單調(diào)〖答案〗ABC〖解析〗對(duì)于A選項(xiàng)，不妨取，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，但函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，取，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，但函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，“在上單調(diào)遞減”“在上恒成立”，另一方面，若上恒成立，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，“在上單調(diào)遞減”“在上恒成立”，所以，在上單調(diào)遞減是在上恒成立的必要不充分條件，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，若函數(shù)既有極小值又有極大值，則其極大值不一定不會(huì)比它的極小值小，如下圖所示，函數(shù)的極大值小于它的極小值，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，若在上存在極值，則它在一定不單調(diào)，D對(duì).故選：ABC.11.數(shù)列滿是，則（）A.數(shù)列的最大項(xiàng)為 B.數(shù)列的最大項(xiàng)為C.數(shù)列的最小項(xiàng)為 D.數(shù)列的最小項(xiàng)為〖答案〗BD〖解析〗因?yàn)?，所以，由，得到，且易知，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以所以數(shù)列的最大項(xiàng)為，最小項(xiàng)為，故選：BD.12.“內(nèi)卷”是一個(gè)網(wǎng)絡(luò)流行詞，一般用于形容某個(gè)領(lǐng)域中發(fā)生了過度的競(jìng)爭(zhēng)，導(dǎo)致人們進(jìn)入了互相傾軋?內(nèi)耗的狀態(tài)，從而導(dǎo)致個(gè)體“收益努力比”下降的現(xiàn)象.數(shù)學(xué)中的螺旋線可以形象的展示“內(nèi)卷”這個(gè)詞，螺旋線這個(gè)名詞來源于希臘文，它的原意是“旋卷”或“纏卷”，平面螺旋便是以一個(gè)固定點(diǎn)開始，向外圈逐漸旋繞而形成的圖案，如圖（1）；它的畫法是這樣的：正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，取正方形ABCD各邊的四等分E，F(xiàn)，G，H作第二個(gè)正方形，然后再取正方形EFGH各邊的四等分點(diǎn)M，N，P，Q作第3個(gè)正方形，以此方法一直循環(huán)下去，就可得到陰影部分圖案，設(shè)正方形ABCD邊長(zhǎng)為，后續(xù)各正方形邊長(zhǎng)依次為，，，；如圖（2）陰影部分，設(shè)直角三角形AEH面積為，后續(xù)各直角三角形面積依次為，，，，下列說法正確的是（）A.數(shù)列與數(shù)列均是公比為的等比數(shù)列B.從正方形ABCD開始，連續(xù)4個(gè)正方形的面積之和為C.和滿是等式D.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則〖答案〗AC〖解析〗對(duì)于A選項(xiàng)，由題意知，且，所以，又因?yàn)?，所以?shù)列是以4為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，可得，，所以，由得數(shù)列與數(shù)列均是公比為的等比數(shù)列，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，由上，，，，，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，，，所以，所以，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)?，且，所以，因?yàn)闀r(shí)，是單調(diào)遞增函數(shù)，所以，而，故D錯(cuò)誤.故選：AC．第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分.）13.已知是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，，則___________.〖答案〗2〖解析〗由題設(shè)，，兩式相減可得，若等差數(shù)列的公差為，則，即，所以，則.故〖答案〗為：214.記等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則___________.〖答案〗〖解析〗當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，由數(shù)列是等比數(shù)列，則，則，解得.故〖答案〗為：.15.已知可導(dǎo)函數(shù)，定義域均為，對(duì)任意均滿足，且，則___________.〖答案〗3〖解析〗由題意，則，解得，由，則，，可得.故〖答案〗為：.16.現(xiàn)有以下兩個(gè)條件：⑴與有交點(diǎn)；⑵函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，且的值均在內(nèi).我們把在定義域內(nèi)同時(shí)滿足以上兩個(gè)條件的函數(shù)構(gòu)成的集合記作U，以下判斷中正確的有___________.①若，則有且僅有一個(gè)解；②函數(shù)，那么，但；③設(shè)，在的定義域內(nèi)任取，且滿足，，則有.〖答案〗①③〖解析〗對(duì)于①，若，由條件⑴可知方程有解，設(shè)函數(shù)，則，由于，則，即函數(shù)為定義域上的減函數(shù)，所以函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，即有且僅有一個(gè)解，故①正確；對(duì)于②，設(shè)函數(shù)則，顯然，即函數(shù)在上為增函數(shù)，又，所以函數(shù)無零點(diǎn)，即函數(shù)與無交點(diǎn)，那么，所以②錯(cuò)誤；對(duì)于③，依題意，，故③正確.故〖答案〗為：①③四、解答題：（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.）17.已知等差數(shù)列的公差不為0，且，，，，成等比數(shù)列，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式：（2）若數(shù)列滿足，記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求.解：（1）由為等差數(shù)列，則，由等差數(shù)列，可設(shè)其公差為，則，即，又因?yàn)?，且，所以；所以是以為首?xiàng)，為公差的等差數(shù)列，可得.（2）由（1）可知，又，可得；所以，再通過裂項(xiàng)相消得到：，所以18.已知函數(shù).（1）求的值；（2）求在點(diǎn)處的切線方程.解：（1）因?yàn)?，所以，代入得：，所?（2）由（1）可得，則所以，，所以