2024屆安徽省池州市高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2安徽省池州市2024屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因，而，．故選：C.2.已知，則（）A. B. C. D.2〖答案〗B〖解析〗由復(fù)數(shù)，可得，所以，則．故選：B.3.已知向量，若，則下列關(guān)系一定成立的是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，由可得，，整理得．故選：D.4.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由函數(shù)在上單調(diào)遞增，因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則有函數(shù)在區(qū)間上恒正且單調(diào)遞增，則滿足且，解得，所以實數(shù)的取值范圍是．故選：A.5.某種化學(xué)物質(zhì)的衰變滿足指數(shù)函數(shù)模型，每周該化學(xué)物質(zhì)衰減，則經(jīng)過周后，該化學(xué)物質(zhì)的存量低于該化學(xué)物質(zhì)的，則的最小值為（）（參考數(shù)據(jù)：）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)該化學(xué)物質(zhì)最初的質(zhì)量為，經(jīng)過周后，該化學(xué)物質(zhì)的存量為，由題意可得，即，可得，所以，，故正整數(shù)的最小值為.故選：C.6.的展開式中的系數(shù)為（）A.10 B. C.20 D.〖答案〗A〖解析〗，展開式的通項公式為，時，，所以的系數(shù)為．故選：A.7.已知過點與圓：相切的兩條直線分別是，若的夾角為，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，即，可得圓心，半徑，過點作圓C的切線，切點為M，N，，則，則，故，故為鈍角，則.故選：D.8.下列不等關(guān)系中錯誤的是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗對于A項，因，故A項正確；對于B項，設(shè)，則在上恒成立，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，因，故，即，故，故B項正確；對于C項，因，故構(gòu)造，則則在上單調(diào)遞增，，故C項錯誤；對于D項，，，構(gòu)造函數(shù)則單調(diào)遞增，，故D項正確．故選：C.二、選擇題9.下列判斷中正確的是（）A.一組從小到大排列的數(shù)據(jù)，1，3，5，6，7，9，x，10，10，去掉x與不去掉x，它們的80%分位數(shù)都不變，則B.兩組數(shù)據(jù)與，設(shè)它們的平均值分別為與，將它們合并在一起，則總體的平均值為C.已知離散型隨機變量，則D.線性回歸模型中，相關(guān)系數(shù)r的值越大，則這兩個變量線性相關(guān)性越強〖答案〗AB〖解析〗對于A中，數(shù)據(jù)，1，3，5，6，7，9，x，10，10的80%分位數(shù)為，數(shù)據(jù)，1，3，5，6，7，9，10，10的80%分位數(shù)為10，所以，選項A正確；對于B中，由平均數(shù)的公式，可得，，則將它們合并在一起，可得，所以B正確；對于C中，離散型隨機變量，可得，根據(jù)方差的性質(zhì)，可得，所以C錯誤；對于D中，相關(guān)系數(shù)越大，兩個變量線性相關(guān)性越強，所以D錯誤．故選：AB.10.下列函數(shù)中均滿足下面三個條件的是（）①為偶函數(shù)；②；③有最大值A(chǔ). B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗由題意，函數(shù)滿足：①為偶函數(shù)；②；③有最大值，對于A中，函數(shù)，由余弦函數(shù)的性質(zhì)，可得，不滿足②，所以A不符合題意；對于B中，函數(shù)，由，滿足①；又由，滿足②；由函數(shù)，滿足③，所以B符合題意；對于C中，函數(shù)，由，滿足①；又由，可得，滿足②；當(dāng)時，可得，滿足③，所以C符合題意；對于D中,，函數(shù)為偶函數(shù)，由，可得，，所以D符合題意.故選：BCD.11.如圖，棱長為1的正方體中，E為棱的中點，點F在該正方體的側(cè)面上運動，且滿足平面．下列說法正確的是（）A.點F軌跡是長度為的線段B.三棱錐的體積為定值C.存在一點F，使得D.直線與直線所成角的正弦值的取值范圍為〖答案〗ACD〖解析〗設(shè)G為中點，則截面圖形是為等腰梯形，分別為的中點，可得且，因為平面，平面，且平面，平面，所以平面，平面，又因為，且平面，所以平面平面，因為平面，且點在該正方體的側(cè)面上運動，所以點的軌跡為線段，且，所以A正確；由，所以B錯誤；當(dāng)點為中點時，因為，可得，因，所以，所以C正確；當(dāng)點為中點時，在正方體，可得，則直線與直線所成的角，即為直線與直線所成的角，設(shè)，在等腰中，，可得，在中，可得，所以；當(dāng)點與或重合時，此時直線與直線所成角的正弦值為，所以直線與直線所成角的正弦值的取值范圍為，所以D正確.故選：ACD.12.已知數(shù)列滿足，則下列說法正確的是（）A. B.為遞增數(shù)列C. D.〖答案〗ACD〖解析〗因為，即，所以數(shù)列為遞增數(shù)列，可得，選項A正確；因為數(shù)列為遞增數(shù)列且，則為遞減數(shù)列，選項B錯誤；因為，可得，兩邊平方整理得，選項C正確．因為，整理得，兩邊平方得，即，可得，累加可得，即，所以，故D正確．故選：ACD.三、填空題13.某校思想品德課教師一天有3個不同班的課，每班一節(jié)，如果該校一天共7節(jié)課，上午4節(jié)，下午3節(jié)，該教師的3節(jié)課任意兩節(jié)都不能連著上（第四節(jié)和第五節(jié)不算連著上），則該教師一天的課所有不同的排法有___________種．〖答案〗78〖解析〗上午2節(jié)不連堂，下午一節(jié)，共有種；上午1節(jié)，下午2節(jié)不連堂，共有，故不同的排課方案共有種．故〖答案〗為：78.14.已知函數(shù)的圖象如圖所示，則___________．〖答案〗〖解析〗由圖象可得，函數(shù)的最小正周期為，，則，，，即，由于，，故故〖答案〗為：15.已知雙曲線的左、右焦點分別為，點A在雙曲線C上，點B在y軸上，，則雙曲線C的離心率為___________．〖答案〗〖解析〗因，，點B在y軸上，則.又，則，，由勾股定理，，由雙曲線定義，則．故〖答案〗為：.16.現(xiàn)有一個底面邊長為，高為4的正三棱柱形密閉容器，在容器中有一個半徑為1的小球，小球可以在正三棱柱形容器中任意運動，則小球未能達到的空間體積為___________．〖答案〗〖解析〗邊長為的正三角形的內(nèi)切圓半徑為：，故該小球恰好與該正三棱柱從側(cè)面相切，球在上下移動中所形成的空間幾何體為兩個半球圓柱，其體積為：，所以剩下體積：．故〖答案〗為：.四、解答題17.已知在中，角的對邊分別是，且．（1）求角C的大小；（2）若的面積，求的值．（1）解：由題意知因為，可得，所以，即，可得，又因為，可得，所以，因為，所以.（2）解：因為的面積，可得，解得，由余弦定理得，即，解得或，當(dāng)時，可得，所以；當(dāng)時，可得，所以．18.已知正項數(shù)列的前n項和為．（1）求數(shù)列的前n項和;（2）令，求的前9項之和．（1）解：正項數(shù)列的前n項和為，滿足，可得，兩式相減可得，所以，因為，所以，又因為，解得，所以數(shù)列是以首項為1，公差為2的等差數(shù)列，則數(shù)列的通項公式為，可得.（2）解：由（1）知，可得，所以．19.如圖，在五面體中，四邊形是矩形，平面平面．（1）求該五面體的體積；（2）請判斷在棱上是否存在一點G，使得與平面所成角的正弦值為?若存在，求的長；若不存在，請說明理由．解：（1）因為底面是矩形，所以，又因為平面，平面，所以平面，又因過的平面平面，所以，分別取與的中點M，N，連接，則平面將五面體分割成兩部分，幾何體和棱錐，故，取中點為O，，，為中點，，平面平面，平面平面，平面，平面，又因為，所以，則幾何體為棱柱，取的中點，連接，可得，則四邊形為平行四邊形，則，由平面，可得平面，則為棱錐的高，由可得，則，又，平面，平面平面，平面平面，所以平面，所以為棱柱的高，，；（2）取中點Q，連接，易得，結(jié)合（1）可知兩兩垂直，以O(shè)為坐標原點，為x軸，為y軸，為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系；則，，，設(shè)平面的法向量，可得則，得，令得，解得平面的一個法向量，在上，設(shè)，，，則，設(shè)直線與平面所成角為，，或（舍去），，故存在G點，當(dāng)，即G與F重合時，與平面所成角正弦值為．20.編號為1，2，3，4的四名同學(xué)一周內(nèi)課外閱讀的時間（單位：h）用表示，，將四名同學(xué)的課外閱讀時間看成總體，則總體的均值為．先后隨機抽取兩個值，用這兩個值的均值來估計總體均值．（1）若采用有放回的方式抽樣（兩個值可以相同），則樣本均值的可能取值有多少個？寫出樣本均值的分布列并求其數(shù)學(xué)期望；（2）若采用無放回的方式抽樣，則樣本均值超過總體均值的概率會不會大于0.5？（3）若考慮樣本均值與總體均值的差的絕對值不超過0.5的概率，那么采用哪種抽樣方法概率更大？（1）解：有放回抽樣會有16個等可能的樣本55.566.55.566.5766.577.56.577.58可得，，所以樣本均值的分布列為：55.566.577.58P則均值．（2）解：無放回抽樣會有12個等可能的樣本，5.566.55.56.5766.57.56.577.5可得所以樣本均值的分布列為：5.566.577.5P所以樣本均值超過總體均值的概率為，所以樣本均值超過總體均值的概率不會大于0.5．（3）解：樣本均值與總體均值的誤差不超過0.5的概率，有放回的抽樣，；無放回的抽樣，，因為，故采用無放回的抽樣方法概率更大．21.已知橢圓具有如下光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線射向橢圓上任一點，經(jīng)橢圓反射后必經(jīng)過另一個焦點．若從橢圓的左焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過兩次反射之后回到點，光線經(jīng)過的路程為8，橢圓C的離心率為．（1）求橢圓C的標準方程；（2）如圖，若橢圓C的右頂點為A，上頂點為B，動直線l交橢圓C于P、Q兩點，且始終滿足，作交于點M，求的最大值．（1）解：由橢圓的性質(zhì)可知，左焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過兩次反射之后回到點，可得光線經(jīng)過的路程為，解得，又由橢圓的離心率為，可得，所以，故，故橢圓C的標準方程為．（2）解：橢圓，可得，則，，設(shè)，直線的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，則且，因為，可得，所以，化簡為，而到直線的距離為，即有M的軌跡方程為；法1、設(shè)，則，表示點與點的距離的平方，減去的差；由點與的即離為，可得M與點的距離的最大值為，則的最大值為.法2、令，設(shè)，所以（其中），當(dāng)且僅當(dāng)時，取“等號”．22.已知函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱，若，構(gòu)造函數(shù)．（1）當(dāng)時，求函數(shù)在點處的切線與坐標軸圍成三角形的面積；（2）若（其中為的導(dǎo)函數(shù)），當(dāng)時，，證明：．（參考數(shù)據(jù)：）（1）解：由題，，則，當(dāng)時，，則，.則切線方程為，又切線與坐標軸的交點為，則；（2）證明：當(dāng)時，，由題意，即構(gòu)造函數(shù)，則，，得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.則式因，則，①因，則，又結(jié)合（*）式，可得，因，則，②由①②知，構(gòu)造函數(shù)，則單調(diào)遞增，注意到，由零點存在性定理可知：．安徽省池州市2024屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因，而，．故選：C.2.已知，則（）A. B. C. D.2〖答案〗B〖解析〗由復(fù)數(shù)，可得，所以，則．故選：B.3.已知向量，若，則下列關(guān)系一定成立的是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，由可得，，整理得．故選：D.4.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由函數(shù)在上單調(diào)遞增，因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則有函數(shù)在區(qū)間上恒正且單調(diào)遞增，則滿足且，解得，所以實數(shù)的取值范圍是．故選：A.5.某種化學(xué)物質(zhì)的衰變滿足指數(shù)函數(shù)模型，每周該化學(xué)物質(zhì)衰減，則經(jīng)過周后，該化學(xué)物質(zhì)的存量低于該化學(xué)物質(zhì)的，則的最小值為（）（參考數(shù)據(jù)：）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)該化學(xué)物質(zhì)最初的質(zhì)量為，經(jīng)過周后，該化學(xué)物質(zhì)的存量為，由題意可得，即，可得，所以，，故正整數(shù)的最小值為.故選：C.6.的展開式中的系數(shù)為（）A.10 B. C.20 D.〖答案〗A〖解析〗，展開式的通項公式為，時，，所以的系數(shù)為．故選：A.7.已知過點與圓：相切的兩條直線分別是，若的夾角為，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，即，可得圓心，半徑，過點作圓C的切線，切點為M，N，，則，則，故，故為鈍角，則.故選：D.8.下列不等關(guān)系中錯誤的是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗對于A項，因，故A項正確；對于B項，設(shè)，則在上恒成立，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，因，故，即，故，故B項正確；對于C項，因，故構(gòu)造，則則在上單調(diào)遞增，，故C項錯誤；對于D項，，，構(gòu)造函數(shù)則單調(diào)遞增，，故D項正確．故選：C.二、選擇題9.下列判斷中正確的是（）A.一組從小到大排列的數(shù)據(jù)，1，3，5，6，7，9，x，10，10，去掉x與不去掉x，它們的80%分位數(shù)都不變，則B.兩組數(shù)據(jù)與，設(shè)它們的平均值分別為與，將它們合并在一起，則總體的平均值為C.已知離散型隨機變量，則D.線性回歸模型中，相關(guān)系數(shù)r的值越大，則這兩個變量線性相關(guān)性越強〖答案〗AB〖解析〗對于A中，數(shù)據(jù)，1，3，5，6，7，9，x，10，10的80%分位數(shù)為，數(shù)據(jù)，1，3，5，6，7，9，10，10的80%分位數(shù)為10，所以，選項A正確；對于B中，由平均數(shù)的公式，可得，，則將它們合并在一起，可得，所以B正確；對于C中，離散型隨機變量，可得，根據(jù)方差的性質(zhì)，可得，所以C錯誤；對于D中，相關(guān)系數(shù)越大，兩個變量線性相關(guān)性越強，所以D錯誤．故選：AB.10.下列函數(shù)中均滿足下面三個條件的是（）①為偶函數(shù)；②；③有最大值A(chǔ). B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗由題意，函數(shù)滿足：①為偶函數(shù)；②；③有最大值，對于A中，函數(shù)，由余弦函數(shù)的性質(zhì)，可得，不滿足②，所以A不符合題意；對于B中，函數(shù)，由，滿足①；又由，滿足②；由函數(shù)，滿足③，所以B符合題意；對于C中，函數(shù)，由，滿足①；又由，可得，滿足②；當(dāng)時，可得，滿足③，所以C符合題意；對于D中,，函數(shù)為偶函數(shù)，由，可得，，所以D符合題意.故選：BCD.11.如圖，棱長為1的正方體中，E為棱的中點，點F在該正方體的側(cè)面上運動，且滿足平面．下列說法正確的是（）A.點F軌跡是長度為的線段B.三棱錐的體積為定值C.存在一點F，使得D.直線與直線所成角的正弦值的取值范圍為〖答案〗ACD〖解析〗設(shè)G為中點，則截面圖形是為等腰梯形，分別為的中點，可得且，因為平面，平面，且平面，平面，所以平面，平面，又因為，且平面，所以平面平面，因為平面，且點在該正方體的側(cè)面上運動，所以點的軌跡為線段，且，所以A正確；由，所以B錯誤；當(dāng)點為中點時，因為，可得，因，所以，所以C正確；當(dāng)點為中點時，在正方體，可得，則直線與直線所成的角，即為直線與直線所成的角，設(shè)，在等腰中，，可得，在中，可得，所以；當(dāng)點與或重合時，此時直線與直線所成角的正弦值為，所以直線與直線所成角的正弦值的取值范圍為，所以D正確.故選：ACD.12.已知數(shù)列滿足，則下列說法正確的是（）A. B.為遞增數(shù)列C. D.〖答案〗ACD〖解析〗因為，即，所以數(shù)列為遞增數(shù)列，可得，選項A正確；因為數(shù)列為遞增數(shù)列且，則為遞減數(shù)列，選項B錯誤；因為，可得，兩邊平方整理得，選項C正確．因為，整理得，兩邊平方得，即，可得，累加可得，即，所以，故D正確．故選：ACD.三、填空題13.某校思想品德課教師一天有3個不同班的課，每班一節(jié)，如果該校一天共7節(jié)課，上午4節(jié)，下午3節(jié)，該教師的3節(jié)課任意兩節(jié)都不能連著上（第四節(jié)和第五節(jié)不算連著上），則該教師一天的課所有不同的排法有___________種．〖答案〗78〖解析〗上午2節(jié)不連堂，下午一節(jié)，共有種；上午1節(jié)，下午2節(jié)不連堂，共有，故不同的排課方案共有種．故〖答案〗為：78.14.已知函數(shù)的圖象如圖所示，則___________．〖答案〗〖解析〗由圖象可得，函數(shù)的最小正周期為，，則，，，即，由于，，故故〖答案〗為：15.已知雙曲線的左、右焦點分別為，點A在雙曲線C上，點B在y軸上，，則雙曲線C的離心率為___________．〖答案〗〖解析〗因，，點B在y軸上，則.又，則，，由勾股定理，，由雙曲線定義，則．故〖答案〗為：.16.現(xiàn)有一個底面邊長為，高為4的正三棱柱形密閉容器，在容器中有一個半徑為1的小球，小球可以在正三棱柱形容器中任意運動，則小球未能達到的空間體積為___________．〖答案〗〖解析〗邊長為的正三角形的內(nèi)切圓半徑為：，故該小球恰好與該正三棱柱從側(cè)面相切，球在上下移動中所形成的空間幾何體為兩個半球圓柱，其體積為：，所以剩下體積：．故〖答案〗為：.四、解答題17.已知在中，角的對邊分別是，且．（1）求角C的大小；（2）若的面積，求的值．（1）解：由題意知因為，可得，所以，即，可得，又因為，可得，所以，因為，所以.（2）解：因為的面積，可得，解得，由余弦定理得，即，解得或，當(dāng)時，可得，所以；當(dāng)時，可得，所以．18.已知正項數(shù)列的前n項和為．（1）求數(shù)列的前n項和;（2）令，求的前9項之和．（1）解：正項數(shù)列的前n項和為，滿足，可得，兩式相減可得，所以，因為，所以，又因為，解得，所以數(shù)列是以首項為1，公差為2的等差數(shù)列，則數(shù)列的通項公式為，可得.（2）解：由（1）知，可得，所以．19.如圖，在五面體中，四邊形是矩形，平面平面．（1）求該五面體的體積；（2）請判斷在棱上是否存在一點G，使得與平面所成角的正弦值為?若存在，求的長；若不存在，請說明理由．解：（1）因為底面是矩形，所以，又因為平面，平面，所以平面，又因過的平面平面，所以，分別取與的中點M，N，連接，則平面將五面體分割成兩部分，幾何體和棱錐，故，取中點為O，，，為中點，，平面平面，平面平面，平面，平面，又因為，所以，則幾何體為棱柱，取的中點，連接，可得，則四邊形為平行四邊形，則，由平面，可得平面，則為棱錐的高，由可得，則，又，平面，平面平面，平面平面，所以平面，所以為棱柱的高，，；（2）取中點Q，連接，易得，結(jié)合（1）可知兩兩垂直，以O(shè)為坐標原點，為x軸，為y軸，為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系；則，，，設(shè)平面的法向量，可得則，得，令得，解得平面的一個法向量，在上，設(shè)，，，則，設(shè)直線與平面所成角為，，或（舍去），，故存在G點，當(dāng)，即G與F重合時，與平面所成角正弦值為．20.編號為1，2，3，4的四名同學(xué)一周內(nèi)課外閱讀的時間（單位：h）用表示，，將四名同學(xué)的課外閱讀時間看成總體，則總體的均值為．先后隨機抽取兩個值，用這兩個值的均值來估計總體均值．（1）若采用有放回的方式抽樣（兩個值可以相同），則樣本均值的可能取值有多少個？寫出樣本均值的分布列并求其數(shù)學(xué)期望；（2）若采用無放回的方式抽樣，則樣本均值超過總體均值的概率會不會大于0.5？（3）若考慮樣本均值與總體均值的差的絕對值不超過0.5的概率，那么采用哪種抽樣方法概率更大？（1）解：有放回抽樣會有16個等可能的樣本5