2024屆北京市昌平區(qū)高三上學(xué)期期末質(zhì)量抽測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2北京市昌平區(qū)2024屆高三上學(xué)期期末質(zhì)量抽測(cè)數(shù)學(xué)試題第一部分（選擇題共40分）一?選擇題1.已知全集，集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意全集，集合，.故選：B.2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)和對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意可知：，，則.故選：A3.若雙曲線(xiàn)的離心率為，則其漸近線(xiàn)方程為（）A.y=±2x B.y= C. D.〖答案〗B〖解析〗雙曲線(xiàn)的離心率為，漸進(jìn)性方程為，計(jì)算得，故漸進(jìn)性方程為.4.已知，則（）A. B.32 C.495 D.585〖答案〗C〖解析〗令，可得，解得；令，可得，則；令，可得，則；令，，則.故選：C.5.下列函數(shù)中，在區(qū)間上為減函數(shù)的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗A選項(xiàng)，在上單調(diào)遞增，不合要求，錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，令得，，在上單調(diào)遞增，而在上單調(diào)遞減，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，在上單調(diào)遞減，D正確.故選：D6.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，則“”是“為減函數(shù)”的（）A.充分必要條件 B.必要而不充分條件C.充分而不必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗若，則，作出函數(shù)圖象，，由圖象可知成立，但顯然不為減函數(shù)；若為減函數(shù)，又，則，所以“”是“為減函數(shù)”的必要不充分條件.故選：B7.已知點(diǎn)在圓上，點(diǎn)坐標(biāo)為為原點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)，因點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，則，設(shè)，即，依題意，求t的范圍即求直線(xiàn)與圓有公共點(diǎn)時(shí)在y軸上截距的范圍，即圓心到的距離，解得，所以的取值范圍為，故選：D.8.“三斜求積術(shù)”是我國(guó)宋代的數(shù)學(xué)家秦九韶用實(shí)例的形式提出的，其實(shí)質(zhì)是根據(jù)三角形的三邊長(zhǎng)求三角形面積，即．現(xiàn)有面積為的滿(mǎn)足，則的周長(zhǎng)是（）A.9 B.12 C.18 D.36〖答案〗C〖解析〗根據(jù)正弦定理可知，不妨設(shè)，由，所以的周長(zhǎng)是.故選：C9.已知函數(shù)，則（）A.B.不是周期函數(shù)C.在區(qū)間上存在極值D.在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)〖答案〗D〖解析〗對(duì)于A，，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，所以是以為周期的函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知在區(qū)間上分別單調(diào)遞增、單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以不存在極值，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，令，得，所以，即該方程有唯一解（函數(shù)在內(nèi)有唯一零點(diǎn)），故D正確.故選：D.10.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為線(xiàn)段上的點(diǎn)，且，點(diǎn)在線(xiàn)段上，則點(diǎn)到直線(xiàn)距離的最小值為（）A. B. C. D.1〖答案〗C〖解析〗由題意以為原點(diǎn)，所在直線(xiàn)分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：因?yàn)檎襟w棱長(zhǎng)為1，，所以，不妨設(shè)，所以，而，所以點(diǎn)到直線(xiàn)的投影數(shù)量的絕對(duì)值為，所以點(diǎn)到直線(xiàn)距離，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，即點(diǎn)到直線(xiàn)距離的最小值為.故選：C.第二部分（非選擇題）二?填空題11.已知，則__________．〖答案〗〖解析〗由題知，，又，所以，所以.故〖答案〗為：12.拋物線(xiàn)上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為8，則點(diǎn)到軸的距離為_(kāi)______．〖答案〗7〖解析〗設(shè)，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，則由拋物線(xiàn)的定義可得，所以，故點(diǎn)到軸的距離為7，故〖答案〗為：7.13.已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿(mǎn)足，且成等差數(shù)列，則__________；__________．〖答案〗〖解析〗由數(shù)列的前項(xiàng)和滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)，，兩式相減可得，又由成等差數(shù)列，所以，即，解得，所以數(shù)列是以2為公比的等比數(shù)列，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.故〖答案〗為：；.14.若函數(shù)在定義域上不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的一個(gè)取值可以為_(kāi)_________．〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗由題知，當(dāng)時(shí)，遞增，當(dāng)時(shí)，遞增，又在定義域上不是單調(diào)函數(shù)，所以，即.故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一）15.已知數(shù)列．給出下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③為遞增數(shù)列；④，使得．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是__________．〖答案〗①②④〖解析〗根據(jù)題意可知，因?yàn)?，所以，即①正確；則，即，故③錯(cuò)誤；依次遞推有，，，，故②正確；因?yàn)?，所以，則，依次可知，所以，故④正確.故〖答案〗為：①②④三?解答題16.如圖，在四棱錐中，平面，底面是直角梯形，，，點(diǎn)是中點(diǎn)，直線(xiàn)交平面于點(diǎn)．（1）求證：點(diǎn)是的中點(diǎn)；（2）求二面角的大小．（1）證明：由題意，面，平面，所以面，又直線(xiàn)交平面于點(diǎn)，即面面，所以，又因?yàn)椋?，又因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以點(diǎn)是的中點(diǎn).（2）解：因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又因?yàn)?，所以?xún)蓛纱怪保砸渣c(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線(xiàn)分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：因?yàn)榈酌媸侵苯翘菪危?，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn).所以，所以，不妨設(shè)面和面的法向量分別為，所以有和，不妨令，則解得，即取面和面的一個(gè)法向量分別為，不妨設(shè)面和面的夾角為，則，所以，而顯然二面角是鈍角，所以其大小為.17.在中，．（1）求角的大??；（2）再?gòu)臈l件①?條件②?條件③這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為己知，使得存在且唯一確定，求的面積．條件①：；條件②：；條件③：．解：（1）由正弦定理得，因?yàn)樵谥?，，所以，又因?yàn)椋裕?，可得；?）由（1）知，若選條件①：，條件②：，則由余弦定理可得,即，解得或，可使得的面積存在但唯一確定，故不符合題意；若選條件①：，條件③：，則可得，在中由正弦定理可得，即，解得，，因?yàn)?，所以，所以，符合題意；若選條件②：，條件③：，則可得，在中由正弦定理可得，即，解得，，因?yàn)?，所以，所以，符合題意.18.某汽車(chē)生產(chǎn)企業(yè)對(duì)一款新上市的新能源汽車(chē)進(jìn)行了市場(chǎng)調(diào)研,統(tǒng)計(jì)該款車(chē)車(chē)主對(duì)所購(gòu)汽車(chē)性能的評(píng)分,將數(shù)據(jù)分成5組：，并整理得到如下頻率分布直方圖：（1）求的值；（2）該汽車(chē)生產(chǎn)企業(yè)在購(gòu)買(mǎi)這款車(chē)的車(chē)主中任選3人，對(duì)評(píng)分低于110分的車(chē)主送價(jià)值3000元的售后服務(wù)項(xiàng)目，對(duì)評(píng)分不低于110分的車(chē)主送價(jià)值2000元的售后服務(wù)項(xiàng)目．若為這3人提供的售后服務(wù)項(xiàng)目總價(jià)值為元，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）用隨機(jī)抽樣的方法從購(gòu)買(mǎi)這款車(chē)的車(chē)主中抽取10人，設(shè)這10人中評(píng)分不低于110分的人數(shù)為，問(wèn)為何值時(shí)，的值最大？（結(jié)論不要求證明解：（1）由頻率分布直方圖可知；（2）根據(jù)頻率分布直方圖可知評(píng)分低于110分的占比，評(píng)分不低于110分的占比，任選3人中其評(píng)分情況有四種：3人均低于110分；2人低于110分，1人不低于110分；1人低于110分，2人不低于110分；3人均不低于110分，所以可取四種情況，，，，，故的分布列為：90008000700060000.0270.1890.4410.343則；（3）由題意可知，可知當(dāng)時(shí)取得最大值.證明如下：設(shè)最大，即，所以，化簡(jiǎn)得，因?yàn)?，?19.已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)（均不與點(diǎn)重合），若以線(xiàn)段為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)，求的值．解：（1）由題意可知，又離心率為，即橢圓方程為：；（2）設(shè)直線(xiàn)，，則，因?yàn)橐跃€(xiàn)段為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)，所以，聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓，所以，則，由，，整理得或，易知時(shí)不符題意，所以.20.已知函數(shù)．（1）求曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)方程；（2）設(shè)函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間；（3）判斷極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由．解：（1）由題意知，定義域?yàn)?，所以，所以直線(xiàn)的斜率，，所以切線(xiàn)方程為，即.（2）由（1）知，所以，令，即，解得或，當(dāng)，，當(dāng)，，當(dāng)，，所以在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.（3）個(gè)極值點(diǎn)，理由如下：由（2）知當(dāng)時(shí)，區(qū)間上單調(diào)遞增，，，所以存在唯一，使；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，，，所以存在唯一，使；當(dāng)時(shí)，，，所以所以在區(qū)間無(wú)零點(diǎn)；綜上，當(dāng)，，當(dāng)，，當(dāng)，，所以當(dāng)時(shí)，取到極小值；當(dāng)時(shí)，取到極大值；故有個(gè)極值點(diǎn).21.已知為有窮正整數(shù)數(shù)列，且，集合．若存在，使得，則稱(chēng)為可表數(shù)，稱(chēng)集合為可表集．（1）若，判定31，1024是否為可表數(shù)，并說(shuō)明理由；（2）若，證明：；（3）設(shè)，若，求的最小值．（1）解：31是，1024不是，理由如下：由題意可知，當(dāng)時(shí)，有，顯然若時(shí)，，而，故31是可表數(shù)，1024不是可表數(shù)；（2）證明：由題意可知若，即，設(shè)，即使得，所以，且成立，故，所以若，則，即中的元素個(gè)數(shù)不能超過(guò)中的元素，對(duì)于確定的，中最多有個(gè)元素，所以；（3）解：由題意可設(shè)，使，又，所以，即，而，即當(dāng)時(shí)，取時(shí)，為可表數(shù)，因?yàn)?，由三進(jìn)制的基本事實(shí)可知，對(duì)任意的，存在，使，所以，令，則有，設(shè)，由的任意性，對(duì)任意的，都有，又因?yàn)?，所以?duì)于任意的，為可表數(shù)，綜上，可知的最小值為，其中滿(mǎn)足，又當(dāng)時(shí)，，所以的最小值為.北京市昌平區(qū)2024屆高三上學(xué)期期末質(zhì)量抽測(cè)數(shù)學(xué)試題第一部分（選擇題共40分）一?選擇題1.已知全集，集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意全集，集合，.故選：B.2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)和對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意可知：，，則.故選：A3.若雙曲線(xiàn)的離心率為，則其漸近線(xiàn)方程為（）A.y=±2x B.y= C. D.〖答案〗B〖解析〗雙曲線(xiàn)的離心率為，漸進(jìn)性方程為，計(jì)算得，故漸進(jìn)性方程為.4.已知，則（）A. B.32 C.495 D.585〖答案〗C〖解析〗令，可得，解得；令，可得，則；令，可得，則；令，，則.故選：C.5.下列函數(shù)中，在區(qū)間上為減函數(shù)的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗A選項(xiàng)，在上單調(diào)遞增，不合要求，錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，令得，，在上單調(diào)遞增，而在上單調(diào)遞減，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，在上單調(diào)遞減，D正確.故選：D6.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，則“”是“為減函數(shù)”的（）A.充分必要條件 B.必要而不充分條件C.充分而不必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗若，則，作出函數(shù)圖象，，由圖象可知成立，但顯然不為減函數(shù)；若為減函數(shù)，又，則，所以“”是“為減函數(shù)”的必要不充分條件.故選：B7.已知點(diǎn)在圓上，點(diǎn)坐標(biāo)為為原點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)，因點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，則，設(shè)，即，依題意，求t的范圍即求直線(xiàn)與圓有公共點(diǎn)時(shí)在y軸上截距的范圍，即圓心到的距離，解得，所以的取值范圍為，故選：D.8.“三斜求積術(shù)”是我國(guó)宋代的數(shù)學(xué)家秦九韶用實(shí)例的形式提出的，其實(shí)質(zhì)是根據(jù)三角形的三邊長(zhǎng)求三角形面積，即．現(xiàn)有面積為的滿(mǎn)足，則的周長(zhǎng)是（）A.9 B.12 C.18 D.36〖答案〗C〖解析〗根據(jù)正弦定理可知，不妨設(shè)，由，所以的周長(zhǎng)是.故選：C9.已知函數(shù)，則（）A.B.不是周期函數(shù)C.在區(qū)間上存在極值D.在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)〖答案〗D〖解析〗對(duì)于A，，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，所以是以為周期的函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知在區(qū)間上分別單調(diào)遞增、單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以不存在極值，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，令，得，所以，即該方程有唯一解（函數(shù)在內(nèi)有唯一零點(diǎn)），故D正確.故選：D.10.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為線(xiàn)段上的點(diǎn)，且，點(diǎn)在線(xiàn)段上，則點(diǎn)到直線(xiàn)距離的最小值為（）A. B. C. D.1〖答案〗C〖解析〗由題意以為原點(diǎn)，所在直線(xiàn)分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：因?yàn)檎襟w棱長(zhǎng)為1，，所以，不妨設(shè)，所以，而，所以點(diǎn)到直線(xiàn)的投影數(shù)量的絕對(duì)值為，所以點(diǎn)到直線(xiàn)距離，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，即點(diǎn)到直線(xiàn)距離的最小值為.故選：C.第二部分（非選擇題）二?填空題11.已知，則__________．〖答案〗〖解析〗由題知，，又，所以，所以.故〖答案〗為：12.拋物線(xiàn)上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為8，則點(diǎn)到軸的距離為_(kāi)______．〖答案〗7〖解析〗設(shè)，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，則由拋物線(xiàn)的定義可得，所以，故點(diǎn)到軸的距離為7，故〖答案〗為：7.13.已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿(mǎn)足，且成等差數(shù)列，則__________；__________．〖答案〗〖解析〗由數(shù)列的前項(xiàng)和滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)，，兩式相減可得，又由成等差數(shù)列，所以，即，解得，所以數(shù)列是以2為公比的等比數(shù)列，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.故〖答案〗為：；.14.若函數(shù)在定義域上不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的一個(gè)取值可以為_(kāi)_________．〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗由題知，當(dāng)時(shí)，遞增，當(dāng)時(shí)，遞增，又在定義域上不是單調(diào)函數(shù)，所以，即.故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一）15.已知數(shù)列．給出下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③為遞增數(shù)列；④，使得．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是__________．〖答案〗①②④〖解析〗根據(jù)題意可知，因?yàn)?，所以，即①正確；則，即，故③錯(cuò)誤；依次遞推有，，，，故②正確；因?yàn)椋?，則，依次可知，所以，故④正確.故〖答案〗為：①②④三?解答題16.如圖，在四棱錐中，平面，底面是直角梯形，，，點(diǎn)是中點(diǎn)，直線(xiàn)交平面于點(diǎn)．（1）求證：點(diǎn)是的中點(diǎn)；（2）求二面角的大?。?）證明：由題意，面，平面，所以面，又直線(xiàn)交平面于點(diǎn)，即面面，所以，又因?yàn)椋?，又因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以點(diǎn)是的中點(diǎn).（2）解：因?yàn)槠矫?，平面，所以，又因?yàn)?，所以?xún)蓛纱怪?，所以以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線(xiàn)分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：因?yàn)榈酌媸侵苯翘菪?，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn).所以，所以，不妨設(shè)面和面的法向量分別為，所以有和，不妨令，則解得，即取面和面的一個(gè)法向量分別為，不妨設(shè)面和面的夾角為，則，所以，而顯然二面角是鈍角，所以其大小為.17.在中，．（1）求角的大小；（2）再?gòu)臈l件①?條件②?條件③這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為己知，使得存在且唯一確定，求的面積．條件①：；條件②：；條件③：．解：（1）由正弦定理得，因?yàn)樵谥?，，所以，又因?yàn)?，所以，所以，可得；?）由（1）知，若選條件①：，條件②：，則由余弦定理可得,即，解得或，可使得的面積存在但唯一確定，故不符合題意；若選條件①：，條件③：，則可得，在中由正弦定理可得，即，解得，，因?yàn)?，所以，所以，符合題意；若選條件②：，條件③：，則可得，在中由正弦定理可得，即，解得，，因?yàn)?，所以，所以，符合題意.18.某汽車(chē)生產(chǎn)企業(yè)對(duì)一款新上市的新能源汽車(chē)進(jìn)行了市場(chǎng)調(diào)研,統(tǒng)計(jì)該款車(chē)車(chē)主對(duì)所購(gòu)汽車(chē)性能的評(píng)分,將數(shù)據(jù)分成5組：，并整理得到如下頻率分布直方圖：（1）求的值；（2）該汽車(chē)生產(chǎn)企業(yè)在購(gòu)買(mǎi)這款車(chē)的車(chē)主中任選3人，對(duì)評(píng)分低于110分的車(chē)主送價(jià)值3000元的售后服務(wù)項(xiàng)目，對(duì)評(píng)分不低于110分的車(chē)主送價(jià)值2000元的售后服務(wù)項(xiàng)目．若為這3人提供的售后服務(wù)項(xiàng)目總價(jià)值為元，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）用隨機(jī)抽樣的方法從購(gòu)買(mǎi)這款車(chē)的車(chē)主中抽取10人，設(shè)這10人中評(píng)分不低于110分的人數(shù)為，問(wèn)為何值時(shí)，的值最大？（結(jié)論不要求證明解：（1）由頻率分布直方圖可知；（2）根據(jù)頻率分布直方圖可知評(píng)分低于110分的占比，評(píng)分不低于110分的占比，任選3人中其評(píng)分情況有四種：3人均低于110分；2人低于110分，1人不低于110分；1人低于110分，2人不低于110分；3人均不低于110分，所以可取四種情況，，，，，故的分布列為：90008000700060000.0270.1890.4410.343則；（3）由題意可知，可知當(dāng)時(shí)取得最大值.證明如下：設(shè)最大，即，所以，化簡(jiǎn)得，因?yàn)?，?19.已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，離心率為．（1）求橢圓的方程；（2